江蘇省南京市秦淮區(qū)20252026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬

一、選擇題：本題共8小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x-2=0B.1C.2x_3y=1D.x2=1

x-lJ

2.已知。。的半徑為3cm,圓心。到直線，的距離為2“n,則，與0。的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

3.已知方程2/+5%-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根m,n,則下列方程中，兩個(gè)根分別是-加，-九的是

A.2x2+5x-2=0B.2x2-5x+2=0C.2x2+5x+2=0D.2x2-5x-2=0

4.已知一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,5的平均數(shù)是五，方差是*，另一組數(shù)據(jù)2,3,4,5,6的平均數(shù)是兀，方

差是登，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.上1—%2，s"=S；B.X]*%2，s；=sg

C.Xi=X2，SiS2D.Xi*X2，S：芋S2

5.如圖，在。0中，AB,BC是弦，點(diǎn)。在AB的延長(zhǎng)線上，連接04OC,若OC〃AB,^CBD-^.OAD=

6。，則乙4OC的度數(shù)是（）

C.122°D.124°

6.如圖，力8是半圓。的直徑，弦EF〃48,點(diǎn)。在OA上（不與點(diǎn)0,力重合），點(diǎn)。在4E上，連接CD,DE,

CF,且乙力。。=4BC"，若｛3=Q,CD=b,CF=c,則。E2的值為（）

222222

A.a-b+cB.Q2+/_c2C.(a+b)-cD.Q2—(匕+c)

7.如圖，。。是四邊形48CD的內(nèi)切圓，若該四邊形的周長(zhǎng)是24,面積是36,則。。的半徑是（）

A.1.5B.3C.4D.6

8.如圖，在正八邊形4BC0EFG”中，連接4D,EH,AE,DH,4E與0〃交于點(diǎn)0.下列結(jié)論：①BC?+

EH2=AE2；②器=2+0；③，AOD=135°；④力（0冽8c的GH=4S狼磔8。，其中正確結(jié)論的序號(hào)

/lil

是（）

A.①②③B.①0@C.①③④D.②③④

二、填空題：本題共10小題，共24分。

9.一組數(shù)據(jù)3,5,8,-1的極差是____.

10.某校九年級(jí)甲班40名學(xué)生中，S人13歲，30人14歲，S人1S歲.則這個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡是

11.超市決定招聘一名廣告策劃人員，某應(yīng)聘者三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試的成績(jī)?nèi)绫恚?/p>

測(cè)試項(xiàng)目創(chuàng)新能力綜合知識(shí)語(yǔ)言表達(dá)

測(cè)試成績(jī)/分727090

創(chuàng)新能力、綜合知識(shí)和語(yǔ)言表達(dá)三項(xiàng)成績(jī)按5：3：2的比例計(jì)入總成績(jī)，則該應(yīng)聘者的總成績(jī)是

分.

12.如圖，4B,C是。。上的三個(gè)點(diǎn)，若?為100。，AC//0B,則4A的度數(shù)為

13.如圖，正方形內(nèi)接于O。，隨機(jī)向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)飛鏢投中圓形區(qū)

域中的每一點(diǎn)是等可能的（若投中邊界或沒(méi)有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正

方形區(qū)域內(nèi)的概率是_____.

14.如圖，四邊形48CD是。。的內(nèi)接四邊形，48是。0的直徑，點(diǎn)E在優(yōu)弧C4B上，

連接EC,EB,若乙4DC=115。，則N8EC的度數(shù)為_(kāi)_____°.■

15.如圖，矩形4BCDG4B>8C）繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形EFCG,P是線段所上一點(diǎn)，若由4PE為直角

三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是

16.如圖，以正方形ABCD的頂點(diǎn)C為圓心，8c氏為半徑畫3肅D，再以邊。為直徑畫"0，則B7%0的

長(zhǎng)占0的長(zhǎng).（填或"="）

BC

21.(本小題8分)

已知％=/%y2=2-x,求當(dāng)％為何值時(shí),力與力互為相反數(shù)?

22.(本小題8分)

如圖是南京市2023年2024年8月上旬口最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖.閱讀統(tǒng)計(jì)圖并回答以卜問(wèn)題.

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息，填寫下表：

南京市2023年、2024年8月上甸日最高氣溫的統(tǒng)計(jì)表

年份平均數(shù)/國(guó)中位數(shù)AC眾數(shù)/國(guó)方差/國(guó)2

202333.634—1.44

202439.1—391.09

(2)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表中的信息，從兩個(gè)不同的角度比較南京市2023年、2024年8月卜旬的日最高氣溫.

南京市2023年，2024年8月上旬II最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖

23.(本小題8分)

已知關(guān)于欠的一元二次方程2/3k-l)x+k2-2=0(k為常數(shù)).

(1)求證：無(wú)論A取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

(2)若“1、”2為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足2%1+2%2=%1%2-8，求k的值.

24.（本小題8分）

如圖，48是。。的直徑，C為力B延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與。。相切于點(diǎn)E,連接00,與。。交于點(diǎn)F,連接

AE,F1.Z71=ZD.

（1）求證：點(diǎn)F是“的中點(diǎn)；

（2）若乙4二47,。。的半徑為3,則陰影部分的面積為—

25.（本小題8分）

某商店銷售一批數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用具，零售價(jià)每件240元.如果一次購(gòu)買超過(guò)10件，那么每多購(gòu)1件，購(gòu)買的所有

實(shí)驗(yàn)用具的單價(jià)均降低6元，但單價(jià)不能低于150元.小明和幾位同學(xué)購(gòu)買這種實(shí)驗(yàn)用具支付了3600元，

他們共買了多少件？

26.（本小題8分）

某同學(xué)在證明命題“在同一個(gè)圓中，兩條平行的弦所夾的弧相等”時(shí)，畫出了下圖，并寫出了如下證明過(guò)

程：

己知：如圖，AB,C。是00的兩條弦，求證元■=而）.證明：如圖，連接。兒。氏GC,

0D,過(guò)點(diǎn)。作￡77/48,交。。于點(diǎn)E,F.-AB//CD,EF//CD..'.^OCD=^COE,￡.EOA=

WAB.vLCOA=乙COE+^AOE,:.Z.COA="CD+40力8.同理，乙DOB=乙ODC+LOBA.V

04=08,404B=，0B4同理，Z.OCD=Z.ODC.E（?--二〉二該同學(xué)畫的圖）???/。。力=

4t/B

Z.DOB.AAC=BD-

(1)數(shù)學(xué)老師認(rèn)為該證法有問(wèn)題，請(qǐng)指出問(wèn)題;

(2)完善該命題的證明.

27.(本小題8分)

類比是探索發(fā)現(xiàn)的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法.

學(xué)習(xí)再現(xiàn)：

設(shè)一元二次方程/+px+q=0的兩個(gè)根分別為與和不，

2

那么％2+p%+q=(無(wú)一%D(x-j2)=%-(jq+x2)x+xtx2，

比較系數(shù)得XI+x2=-p>Xi無(wú)2=q-

(1)類比推廣：設(shè)/+p/+qx+r=o的三個(gè)根分別為與，%2,x3,求修小+%2%3+與右的值.

(2)問(wèn)題解決：若三一5/-12%-3=0的三個(gè)根分別為與，X?,x3,則好+石+據(jù)的值是.

(3)拓展提升：已知實(shí)數(shù)。也。滿足。+8+。=0,且北=3求正數(shù)b的最小值.

28.(本小題8分)

尺規(guī)作圖

已知線段48和O。，將線段48沿某條直線翻折后，A、B兩點(diǎn)恰好落在。0上，請(qǐng)按照下列要求分別作出

翻折后的線段4,9.(①保留作圖痕跡；②寫出必要的文字說(shuō)明).

圖2

(1)如圖1,AB的長(zhǎng)度等于00的直徑;

(2)如圖2,4B的長(zhǎng)度小于。。的直徑.

1.【答案】D

【解析】解：力、未知數(shù)的次數(shù)是1，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

3、不是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、符合一元二次方程的定義，是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

一元二次方程必須滿足三個(gè)條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為0；(3)是整式方程；由此

判斷即可.

本題考查了一元二次方程的定義，只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，

一般形式是a/+以+c=0(且a=0),特別要注意a=0的條件，這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn).

2.【答案】C.

【解析】解：:O。的半徑為3cm,圓心。到直線1的距離為2cm,且2cmV3cm,

.?胭心。到直線四勺距離小于。。的半徑，

???直線，與。。相交，

???直線，與。。有兩個(gè)交點(diǎn)，

故選：C.

^2cm<3cm,可知圓心。到直線/的距離小于。。的半徑，所以直線2與O。相交，則直線1與。0有兩個(gè)

交點(diǎn)，于是得到問(wèn)題的答案.

此題重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心。到直線，的距離小于0。的半徑證明直線，與。0相交是解題

的關(guān)鍵.

3.【答案】D

【解析】解：???方程2*2+5%-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根n,

Am+n=-I，mn=-1,

-m-n=I，(—m)(—n)=mn=-1,

，方程2/一5%一2=0兩個(gè)根分別是一m,-n.

故選：D.

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出m+九與mri的值，再根據(jù)一m-九=￡(-7n)(-n)=mn=-1,即

可得出答案.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】B

【解析】解：...五=1+2+；+4+5=3,

2+3+4+5+6-

g=-5-=4，

sf=1[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,

si=1[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2,

Xj*無(wú)2，S：=^2?

故選:B.

分別計(jì)算出平均數(shù)和方差即可得出答案.

本題考查了方差和算術(shù)平均數(shù)，熟練掌握方差和算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式是解題關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】解：加圖，在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)P,連接P4PC,

???匹邊形48CP內(nèi)接于O。，

:.Z.CPA=乙CBD,

???Z.AOC=2乙CPA=2乙CBD,

:.乙CBD=^AOC,

?:GC//AB.

LAOC+乙OA0=180\

?:乙CBD-LOAD=6°,

：.^/.AOC-Z,OAD=6°,

LAOC=124°,

故選:D.

在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)P,連接P4PC,根據(jù)圓周角定理及平行線的性質(zhì)求解即可.

本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵.

6.【答案】0

【解析】解：補(bǔ)全。。下部半圓如圖所示，連接力D，BD,

?:&EF//AB,

???AE=BF-

延長(zhǎng)。。交。。于點(diǎn)G,

Z.ACD=乙BCG,

XvZ.ACD=乙BCF,

:.乙BCG=乙BCF.

由圓的對(duì)稱性可知，BF=BG^CF=CG=c,

/**>

:.AE=BG?

AZ.AOE=乙BOG,

?:點(diǎn)A、0、B三點(diǎn)共線，

.??點(diǎn)E、。、G三點(diǎn)必共線，

即EG為直徑，EG=AB=a,

由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，EOG=90%

由勾股定理可得：

222

DE=EG-DG=Q2-3+c)2.

故選：D.

-------^F

補(bǔ)全。。下部半圓，由弦EA7/4B,可得靠二戰(zhàn).由圓的對(duì)稱性可知，BF=BGf從而靠=命，可推出

EG為直徑，再由直徑所對(duì)的圓周帝是直角可得NEDG=90。，最后根據(jù)勾股定理可求答案.

本題考查了弧、圓心角、弦之間的關(guān)系，平行弦間所夾的弧相等，勾股定理，圓的對(duì)稱性，圓周角定理的

推論，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【解析】此題主要考查了三角形面積以及切線的性質(zhì)，正確將四邊形分割成三角形是解題關(guān)鍵.利用切線

的性質(zhì)進(jìn)而利用三角形面積求法得出。。的半徑.

【詳解】解：O。是四邊形力的內(nèi)切圓，設(shè)切點(diǎn)分別為：F,G,M,E,

連接FO,OA,OG,OC,OM,OB,OE,OD,O。的半徑為r,如圖：

F0=0G=0M=0E=r,F01AB,OG1BC,OM1CD.OE1AD,

???匹邊形/18CD的面積=；E0.+goM?DC+；G0?BC+g/0.

1

=^(AD+AB+BCDC)r

1

=5x24r

=36,

解得：r=3.

故00的半徑為3.

故選:B.

8.【答案】C

【解析】設(shè)正八邊形的中心為點(diǎn)0',連接。'H、0(、。午、O'E.O'D.HF、EG,過(guò)點(diǎn)A作AK1OH于點(diǎn)

K,過(guò)點(diǎn)8作BN1AD于點(diǎn)N,設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為a,AD=b,根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得乙4HG=乙HGF=

乙EFG=乙FED=Z.EDC=乙DCB=Z.CBA=乙BAH=135°,Z.HO'G=乙GO'F=Z.FO'E=乙EO'D=45°,

點(diǎn)D、。'、”共線，且點(diǎn)。'是。”的中點(diǎn)，證明團(tuán)FGH三國(guó)GFE(SAS)得F”=GE,證明團(tuán)EG”三13，F(xiàn)E(SSS)

得《GHE=乙FEH,推出心力HE=LHED=LADE="AH=135°-45°=90°,可判斷①；推出點(diǎn)O'與點(diǎn)

0重合，得440"=45°,可得-10。的度數(shù)，可判斷③：在Rt國(guó)力DH中，DH=y/AH2+AD2=

GT",得。/=?！?摩根據(jù)等積法得4K=鬻=/=二絲里亙，繼而得到力K=0K,

2DHL?.u2a2+dz

I2

A0=yT2AK,得域巴3X典史工求解后可判斷②；分別求出正八邊形4BCDEFG”和四邊形

乙al+b

48C。的面積，可判斷④.

【詳解】解：設(shè)正八邊形的中心為點(diǎn)0',連接。'"、O'G、。N、O'E.。刀、HF、EG,過(guò)點(diǎn)、A作4KlDH

于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)B作BN14D于點(diǎn)N,設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為a,AD=bf

?.?八邊形48CDEFGH是正八邊形，

:.AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HA=a,

每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是：(8-2)xl8(r+8=135。，中心角的度數(shù)是：360。+8=45。，

二Z.AHG=Z.HGF=乙EFG=乙FED=乙EDC=Z.DCB=/.CBA=乙BAH=135°,

Z.HO'G=乙GO'F=Z-FO'E=AE0fD=45°,

:.Z.H0'G4-Z-GO'F+乙FO'E+乙EO'D=45°x4=180°,

：.點(diǎn)D、。'、”共線，且點(diǎn)。'是DH的中點(diǎn)，

在團(tuán)尸GH和團(tuán)GFE中，

GH=FE

乙HGF=乙EFG,

FG=GF

.-.0FGH三團(tuán)G/E(S4S),

AFH=GE,

在用EGH和團(tuán)”/￡中，

GE=FH

HG=EF,

(HE=EH

.?.由EGH三回HFE(SSS),

乙GHE=乙FEH,

在四邊形EFG”中，Z.GHE=乙FEH=1(360°-乙HGF-Z.GFE)=1x(360°-135°-135)°=45°,

按同樣的方法得乙BAO=ZCD/I=45°,

:.Z.AHE=Z.HED=Z,ADE=/LDAH=135°-45°=90°,

在At團(tuán)中，AH2+EH2=AE2,

：.BC2+EH2=AE2,故結(jié)論①正確；

v￡AHE=cHED=Z.ADE=90°,

匹邊形ADEH是矩形，

：,AO=EO,DO=HO,AE=DHf

二點(diǎn)。是4E、DH的中點(diǎn),

.??點(diǎn)。'與點(diǎn)。重合，

ZAO”=45°,

Z.AOD=1800-/.AOH=180°-45。=135°,故結(jié)論③正確；

在圖力DH中，DH=y/AH2+AD2=Va2+b2,

???OA=OH=^DH=Ja”,

-S^ADH=^DH-AK=^AH-AD,

...AHADababJa2+b2

-AK1DH,

Z.OAK=900-Z.AOK=90°-45°=45°=^.AOK,

，AK=OK,

:.AO=y/AK2+OK2=y/AK2+AK2=y[2AK,

，叵L支二爪耳工

2a2+n

解得:-=>/~2+1或2=V~2—1,

aa

?."OH=45°,OA=OH,

￡OHA=WAH=1(180°--OH)=1x(180°-45°)=67.5°,

￡ADH=90°-Z.OHA=90°-67.5°=22.5°,

???￡ADH<Z.AHD,

?-a<b,

=V2+1,

.?.喘=2+1,故結(jié)論②錯(cuò)誤；

/117

01八”Ja2+b2ab1,

■:S^AOH=q°H?AK=x---xJ=-^ab,

yla2+b2

：?S八邊形ABCDEFGH=8X彳Q”=2db,

v￡ABC+Z.BAD=135"4-45u=18(T,

:.BC//AD,

BC*AD,

???匹邊形48CD是等腰梯形，

vBNLAD,

乙ABN=90°-乙BAN=90°-45°=45°=乙BAN,

：.AN=BN,

:.AB=yjAN2+BN2=y/l,BN,

.,AB/2/2

:'BDN=77=—A4DB=-ai

???4s四邊形ABCD=4x+AD)-BN=2(a+b)x苧。=/2a(a+匕)，

Q

:.a.=(>J~2—1)/).

a+b=(\/-2—l)b+b=\[~2b,

?,4s四邊形ABCD~+b)=x\/~2,b=2ab,

故結(jié)論④正確;

'S八邊形ABCDEFGH=4s四邊形ABCD

???正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.

故選：C.

9.【答案】9

【解析】解：數(shù)據(jù)3,5,8,一1的極差是8-（—1）=9.

故答案為：9.

根據(jù)極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差計(jì)算即可.

本題考查了極差，解題的關(guān)鍵是掌握極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差，即極差=最大值-最

小值.

10.【答案】14

【解析】解：根據(jù)題意得：

一,中、

-1-3-x-5-+-14而x3-0-+--1-5-x-5二14（歲），

答：這個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡是14歲；

故答案為：14.

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法是求出該班所有人數(shù)的總歲數(shù)，然后除以總學(xué)生數(shù)即可.

此題考查了加權(quán)平均數(shù)，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是求13,14,15這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，對(duì)平均數(shù)的理解不正確.

11.【答案】75

【解析】解：該應(yīng)聘者的總成績(jī)是：72又得+70乂4+90乂。=75（分）.

故答案為：75.

根據(jù)該應(yīng)聘者的總成績(jī)=創(chuàng)新能力X所占的比值+綜合知識(shí)X所占的比值+語(yǔ)言表達(dá)X所占的比值即可求

得.

此題考查了加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟記加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法.

12.【答案】40

【解析】解：如圖，連接。4

設(shè)=x°,則48。。=2/4=2x°,

-AC//OB,

:.LC=Z-BOC=2x°,

v0A=OC,

乙OAC—Z.C—2x0,

...Z.AOC=180°一4C-LOAC=180°-2x°-2x°=180°-4x°,

&為1000，

Z.AOB=Z.AOC+Z-BOC=100°,

???180-4x4-2x=100,

???x=40,

A=40".

故答案為：40.

連接。4LA=x°,利用圓周角定理將4BOC用工表示出來(lái)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)將“用"表示出來(lái)，從而

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)將，。4c用工表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理將乙4OC用工表示出來(lái)，最后根據(jù)

Z-AOB=100。列方程并求出x的值即可.

本題考查圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解題的

關(guān)鍵.

13.【答案】-

n

【解析】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,則圓的半徑為Jia,

所以正方形的面積為4a2,圓的面積為2乃小，

所以飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是：篇=??

故答案為：

n

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,由題意知，正方形的面積為4a2,圓的面積為2TTQ2,再根據(jù)概率公式求解即可得出

答案.

本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所求事件

(4)：然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件(4)發(fā)生的概率.

14.【答案】25

［解析］解:連接4C,

?.?匹邊形21灰?。是圓內(nèi)接四邊形，LADC=115°,//\\\

.??"8。=180°-115。=65。，/\\

???力8是。。的直徑，ArZ~i~7\B

￡ACB=90°,\//j

???乙CAB=90°-/-ABC=90°-65°=25°,

乙BEC=乙CAB=250.E

故答案為：25.

連接4。，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出48的度數(shù)，再由圓周角定理得出N/1C8的度數(shù)，由直角三角形的

性質(zhì)得出NC4B的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論.

本題考查的是圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】3

【解析】本題主要考查判斷直角三角形的個(gè)數(shù)，分44PE=90。和NP/1E=90。兩種情況，畫出圖形即可得

出結(jié)論

【詳解】解：以力￡為直徑畫圓，與。尸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得兩個(gè)直角三角形：以點(diǎn)力為直角頂點(diǎn)可作一個(gè)直

角三角形，如圖，

------、、

忠三口

D加、......./4r

所以，若團(tuán)力PE為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是2+1=3,

故答案為：3.

16.【答案】=

【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握正方形的性質(zhì)及弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正

方形的性質(zhì)得出8C=C。，乙BCD=90。，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧BmO的長(zhǎng)、弧GiO的長(zhǎng)，比較即可.

【詳解】解：?.?四邊形4BCD是正方形,

???BC=CD,乙BCD=90°,

設(shè)BC=CD=r,

._90b_nr

"lBmD-180-~2r

???CD為直徑，

=幽殳=匹

CnD1802

???弧的長(zhǎng)=弧。幾￡）的長(zhǎng)，

故答案為：=.

17.【答案】1

【解析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，

如圖，連接0。、。仄BC,分別用S屆的時(shí)表示出陰影面積和半圓面枳，然后計(jì)算比值即可得解，熟練掌

握其性質(zhì)，正確的作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，連接。。、OE、BC,

D

C

AOFB

?.?AB為直徑，

￡ACB=90°,

???/CAB=30A,

:.Z.ABC=60°,

■:OB—OC,

.WOBC為等邊三角形，

???Z.BOC=60°,

:.Z.AOC=120°,

?：DE=BC,

:.乙DOE=60°=乙BOC,

設(shè)圓的半徑為r,過(guò)C點(diǎn)作CF1AB于點(diǎn)F,

$扇形DOE-S扇形BOC=嚴(yán)？=空扇形AOC，S^DOE=S(3B0C'0F=\r'

*CF=Jr2-Qr)2=畀

：?S/80c—28°xCF—才"—^GDOE~S目40c—,4°XCF,

+

S陰影=S扇形AOC~SgJAOC一(s剪影DOE-S@D0E)=2s明影一^B/1OC-S^DOE$團(tuán)DOE=5點(diǎn)形BOC，

S半斷=3s扇形BOC'

S陰影S璃形BOC1

:.------=---------------=",

qqqa

'半懶3、身形BOCJ

故答案為:i

18.【答案】8<a<2/21

【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理.由垂徑定理知，當(dāng)弦4B垂直平分CP時(shí)，弦48最短，當(dāng)弦48垂

直平分DE時(shí)，弦48最長(zhǎng)，利用垂徑定理和勾股定理計(jì)算即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作。0的直徑CE，由垂徑定理知，當(dāng)弦A8垂直平分CP時(shí)，弦A8最短，當(dāng)弦48垂直平

分DE時(shí)，弦力8最長(zhǎng)，

如圖,連接04,

???C。的半徑為5,OP=1,

CD=PD="P=2,

:.OD=3,

在Kt團(tuán)。力。中，AD=V52-32=4,

:.a=AB=2AD=8：

如圖,連接04,

???00的半徑為5,OP=1,

...ED=PD=3PE=3,

???OD=2,

在Kt圖。力。中，AD=V52-22=/21,

:.a=AB=2AD=2/21；

這條弦的長(zhǎng)度a的范圍是8<a<2/21.

故答案為：8<a<2/21.

19.【答案】解：(1)》2一3工+2=0,

(x-1)(%-2)=0,

.*.x—l=。或x—2=0,

."1=1,x2=2；

(2)(%+1產(chǎn)=(2x+I)2,

(%+1)2-(2%+1)2=0,

(m+1-2%—l)(x+1+2x+1)=。，

；?-x=0或3%+2=0,

2

-

角用得X]=0,X2=3

【解析】(1)用因式分解法求解即可；

(2)用因式分解法求解即可.

本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握各種解法是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】(-2,0)2后苧

【解析】解:(1)如圖，依據(jù)網(wǎng)格，作力B,BC的中垂線相交于點(diǎn)P,點(diǎn)、P

的坐標(biāo)為(一2,0),

PA=OA2+OP2=2/5)

即QP的半徑為26，

故答案為：(一2,0),2，虧；

(2)如圖，易證△40P0△POC(S4S),

:.Z.OAP=Z.DPC,

/.OAP+WPA=90°,

:.乙DPC+Z-OPA=90°,

Z/1PC=180°-90°=90°,

二余的長(zhǎng)為駕等=后加，

loU

設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2口=r，

解得r=§

故答案為：苧.

(1)根據(jù)垂徑定理以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)求出扇形PAC的圓心角度數(shù)，進(jìn)而求出弧AC的長(zhǎng)，再根據(jù)圓卷側(cè)面展開(kāi)圖的特征進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查垂徑定理、勾股定理，圓錐的計(jì)算，掌握垂徑定理、勾股定理以及弧長(zhǎng)、圓周長(zhǎng)的計(jì)算方法是正

確蟀答的關(guān)鍵.

2

21.【答案】解：yi與丫2互為相反數(shù)，71=x-4,y2=2-x,

x2-4+2-x=0,

整理得，x2-x-2=0,

解得％1=2,%2=

即當(dāng)％為2或-1時(shí)，力與丫2互為相反數(shù).

【解析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)得出/-4+2-3=0,整理后根據(jù)因式分解法解方程即

可.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法，相反數(shù)，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】32或34或35,39；

見(jiàn)解析.

【解析】解：(1)2023年8月上旬日最高氣溫出現(xiàn)次數(shù)最多的是32,34,35,故眾數(shù)為32或34或35；

2024年8月上旬日最高氣溫從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是39和39,故中位數(shù)為翌/=39；

故答案為：32或34或35,39；

(2)從平均數(shù)來(lái)看，2024年8月上旬口最高氣溫的平均值更高，

從方差來(lái)看，2024年8月上旬日最高氣溫方差小，溫度變化較穩(wěn)定.(答案不唯一).

(1)分別根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義解答即可；

(2)根據(jù)平均數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)量解答即可.

本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)、中位數(shù)、方差和平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，利用數(shù)形結(jié)合的方

法解答.

23.【答案】(1)證明：4=[-(3/C-1)]2-4X2X(/C2-2)

=9^2-6/C+1-8/<2+16

=A2-6/c+17

=A2-6/c+9+8

=(A—3產(chǎn)+8.

???(k-3/NO,

???(k-3)2+8>0,

即4>0,

.??無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：?.?勺,不為關(guān)于X的一元二次方程2--(3k一1口+1-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

3k—1k2-2

+X2=2?必％2=2

V2%1+2X2=X1X2~8,

整理得：/C2-6/C-16=0,

解得:ki=-2,解=8,

：?k的值為一2或8.

【解析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式4=爐一4M,可得出4=（左一3產(chǎn)+8,由偶次方的非負(fù)

性，可得出（k-3產(chǎn)20,進(jìn)而可得出（k-3）2+8>0,即d>0,由此即可證出無(wú)論k取何值，方程總有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

xx

（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出.q+x2=與士%1%2=三工，結(jié)合2與+2x?=i2~8，可列出關(guān)于k

的一元二次方程，解之即可得出k的俏.

本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)4>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系及2/+2%2=無(wú)1必一8,找出關(guān)于k的一元二次方程.

24.【答案】見(jiàn)解析;

9口37r

~22'

【解析】(1)證明:連接OE,

???C。與。。相切于點(diǎn)E，

:.乙OED=90。，

ZD+乙DOE=90°,

vOE=OA,

:.Z.A=Z.AEO,

Z.D=Z.AEO,

AAEO+-.DOE=90。，

：.AE1OD,

：.AF=部,

二F是力E的中點(diǎn)；

(2)解：???心力=zC,z/1=ZD,

ZC=乙D,

???OC=OD,

OE1CD,

:.乙COE=乙DOE,

由⑴知，a=介,

:.Z.AOF=乙DOE,

Z.COE=乙DOE=^AOD=1X180°=60°,

VGE=3,

DE=>J1OE=3G

遍影部分的面積=Sa-Sv=卜3x3C-嚅

故答案為：甲一半.

22

(1)連接0E,根據(jù)切線的性質(zhì)得到40E0=90。,求得乙。=乙1E0,根據(jù)垂直的定義得到4E100,根據(jù)

垂徑定理得到Q二病，得到尸是4E的中點(diǎn)；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到〃0E=zD0E,由⑴知，AF=EF，求得〃。尸=40E,得到"0E=

乙D0E=乙400=1x180°=60%根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

?J

本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】解：設(shè)小明和幾位同學(xué)共買了工件，

V240x10=2400(元)，2400<3600,

???x>10.

???(240-150)+6=25,當(dāng)％225時(shí)，單價(jià)為150元時(shí)，25X150=3750>3600,

二x<25,

根據(jù)題意得：［240-6。-10)卜=3600,

整理得：X2-50x4-600=0,

解得：xt=20,x2=30,

當(dāng)％=20時(shí)，240-6(x-10)=180>150,符合題意；

當(dāng)《二30時(shí)，240-6(x-10)=120<150,不符合題意，舍去.

答:他們共買了20件.

【解析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)小明

和幾位同學(xué)共買了工件，根據(jù)小明和幾位同學(xué)購(gòu)買這種實(shí)驗(yàn)用具支付了3600元，列出關(guān)于x的一元二次方

程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

26.【答案】【小題1】

解：這道題應(yīng)分兩種情況證明；

【小題2】

已知：如圖，AB,C。是O。的兩條弦，AB//CD.

求證：AC=BD.

證明：分兩種情況：

①如圖1,當(dāng)AB、CD在圓心0的同一側(cè)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)。作。G于點(diǎn)小交CC于點(diǎn)E,交。0于點(diǎn)G,

???OGLAB,

-AG=BG，

-AB//CDt

OG1CD,

???CG=麗,

CG-AG=DG-BG'

二"=8D；

②如圖2,當(dāng)48、CO在圓心。的兩側(cè)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)。作HGJL/1B于點(diǎn)尸，交CD于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)G、H,

??.HG是。。的直徑，

?*-GAH=GBH，

HG工AB,

AG=BG'

-AB//CD,

HG1CD,

?*-CH=DH，

：?GAH-AG-CH=GBH-BG~DH，

.*.AC=BD；

綜上所述，AC=BD，

G

/I\

-￡

.

.

廠

，

圖J2

【解析】1.

本題考查圓周角定理、垂徑定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)

根據(jù)題意分兩種情況畫出圖形；

2.

根據(jù)題意分兩種情況畫出圖形，寫出已知、求證及證明過(guò)程即可;

，熟練運(yùn)用圓周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

27.【答案】【小題1】

解：根據(jù)學(xué)習(xí)材料提示得，

X3+px2+QX4-r=(X—%1)(%-%2)(X-%3)

=僮2-O1+X2)x+%1%2](^-%3)，

322

=X~XX3-(%1+x2)x+(與+x2)x3x+xrx2x-xrx2x2,

32

=X-(Xi+%2+X3)X+(xtx2+x2x3+%逐