培優(yōu)點(diǎn)10整數(shù)解問題

錄

01重點(diǎn)解讀........................................................................2

02思維升華........................................................................3

03典型例題........................................................................4

題型一：直接法....................................................................4

題型二：分離參數(shù)法................................................................4

題型三：分離函數(shù)法................................................................5

題型四：隱零點(diǎn)法..................................................................6

題型五：必要性探路法..............................................................7

04課時(shí)精練........................................................................8

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利用導(dǎo)數(shù)解決整數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的一類特色題型，常出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用題中。這類問題通常結(jié)

合函數(shù)單調(diào)性、極值以及整數(shù)取值范圍進(jìn)行考察。

解題時(shí)，首先通過求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，確定函數(shù)在不同區(qū)間的變化趨勢(shì)。接著，根據(jù)題

目條件，結(jié)合函數(shù)圖像或性質(zhì)，找出滿足整數(shù)條件的自變量取值范圍。這往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在關(guān)

鍵點(diǎn)（如整數(shù)點(diǎn)）的取值情況，或通過放縮法、不等式估計(jì)等方法確定整數(shù)解的邊界。

高考中，這類問題注重考查學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。備考時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的理解,

熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性和極值的方法，同時(shí)注重整數(shù)問題的解題技巧訓(xùn)練，如合理放縮、利用

函數(shù)單調(diào)性縮小范圍等。

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02思維升華

利用導(dǎo)數(shù)解決整數(shù)問題，關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與整數(shù)取值范圍進(jìn)行推理，以下是具體方法總結(jié)：

(1)求導(dǎo)分析單調(diào)性：對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的增減區(qū)間和

極值點(diǎn)。

(2)確定關(guān)鍵點(diǎn)取值：計(jì)算函數(shù)在整數(shù)點(diǎn)或關(guān)鍵點(diǎn)(如極值點(diǎn)、邊界點(diǎn))的函數(shù)值，明確函數(shù)在這

些點(diǎn)的取值范圍。

(3)結(jié)合整數(shù)條件推理：根據(jù)題目要求的整數(shù)條件，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)取值，推理出自變量

的整數(shù)取值范圍。例如，若函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增，且已知某整數(shù)點(diǎn)的函數(shù)值，則可推斷出該點(diǎn)附近滿足

條件的整數(shù)解。

(4)驗(yàn)證與調(diào)整：對(duì)推理出的整數(shù)解進(jìn)行驗(yàn)證，確保其滿足題目條件。必要時(shí)，通過調(diào)整參數(shù)或進(jìn)

一步分析函數(shù)性質(zhì)，縮小或擴(kuò)大整數(shù)解的范圍。

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題型一：直接法

【例1】(2025?湖北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力=祀2*+工+15<0).

⑴當(dāng)。=-1時(shí)，求函數(shù)J，=/(x)在點(diǎn)(0,/(。))處的切線方程；

⑵求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若不等式/'("+(。+2)/?0恒成立，求整數(shù)。的最大值.

【變式1?1】已知函數(shù)/(x)=lnx+(a-2)..2〃+4(〃>0),若有且只有兩個(gè)整數(shù)不匕使得/。)>。，且

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.即3,2)B.(0,2-In3]C.(0,2-In3)D.[2-In3,2)

【變式1?2]已知函數(shù)/(x)=ae'-2x.

(1)忒討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)當(dāng)x>0時(shí)，不等式/(x)<(e-2)x+2e，+a-1恒成立，求整數(shù)a的最大值.

題型二：分離參數(shù)法

【例2】已知函數(shù)/("=處出?與函數(shù)g(x)=〃a的圖象相交于不同的兩點(diǎn)力(1乂)*(々,為)，若存在唯一

的整數(shù)瓦?菁，與)，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值是()

【變式2?1】(2025?安徽淮北?二模)若關(guān)于工的方程2犬-3/-12工+k=0有3個(gè)不同實(shí)根，則滿足條件的

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整數(shù)％的個(gè)數(shù)是（）

A.24B.26C.29D.31

【變式2?2】已知/'（X）是函數(shù)/（k）的導(dǎo)函數(shù)，旦對(duì)任意的實(shí)數(shù)式都有/'（x）=4-/（x）（e是自然對(duì)數(shù)的底

e

數(shù)），/（（））=0,若不等式/"）-上NO的解集中恰有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

【變式2?3】已知函數(shù)/（切=學(xué)-。/,若存在唯一的整數(shù)將，使得〃,％）2一；，則。的取值范圍是（）

XZ

fln31In2I-

A.4-_____▲_B.

國(guó)18168.

Qn21r3

C.J___D.

82」18,2]

【變式2-4】當(dāng)%＞1時(shí)，去＞lm:+4x恒成立，則整數(shù)〃的最小值為（）

A.6B.5C.1D.3

題型三：分離函數(shù)法

【例3】定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/（0）=0,f（x）=cx-ff（x）（/'（X）為/（x）的導(dǎo)函數(shù)），若存在唯

一的整數(shù)孔,使得+則實(shí)數(shù)。的取值范闈是（）

(2e2+ll

A.(1,2]

B.C.D.‘丁

【變式3-1］若當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式e、-xcosx+cosxlncosx+ox，21恒成立，則滿足條件的

的最小整數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3?2】已如函數(shù)/（丫）=壬，若不等式/（x）-a（x+】）＞。的解集中有且僅有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取

值范圍是（）

111_[2121)

A.B.■>,一C.D.

e-e3?)2e

【變式3?3】（2025?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=三，若不等式/（x）-。（、+2）＞0的解集中有且

C

僅有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

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1I)2121

2e23e森'五5?2

題型四：隱零點(diǎn)法

【例4】已知函數(shù)/(幻=加+("2卜一111.丫(acR).

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)討論/(X)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，若/(x)+2x>0恒成立，求。的最小值.

【變式4-1】設(shè)函數(shù)/(x)=〃?x-lnx-2.

(1)求/。)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃?=1,，為整數(shù)，且當(dāng)x>1時(shí)，不等式+恒成立，求，的最大值.

x

【變式4?2】已知函數(shù)/&)=(v-2)el-x+\nx.

⑴判斷函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。,內(nèi))上的單調(diào)性，并說明理由：

⑵若函數(shù)“X)在上的最大值在區(qū)間(也根+1)內(nèi)，求整數(shù)川的值.

【變式4-3](2025?安徽安慶?二模)對(duì)任意xwke2,使得不等式(Inx-左)x>31nx成立的最大整數(shù)我為

()

A.-2B.-1C.0D.1

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題型五：必要性探路法

【例5】已知函數(shù)〃x)=e'—ln。一〃7)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x,

5

都有/(外＞4,求整數(shù)加的最小值?(參考數(shù)據(jù)：/B3.49)

【變式5?1】已知函數(shù)/(x)=e2x-(2a+l)eX+a2+2a,g(x)=lnx+〃?，對(duì)wR,,W(O,+R),不等式

/Cr)Ng(x)恒成立，求整數(shù)加的最大值.

【變式5?2】e'-aiNf]1a對(duì)一切的工＞。恒成立，試求出整數(shù)。的最大值.

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1.若不等式2xe，-a(x-1)<0(其中〃<1)的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是1)

3,4

A.—-<a<--B.Sa<1

2e33e2

41

C.-<a<\D.--<a<-

3e-e

2.已知/'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有r(x)-/(x)=2e)〃0)=-1,若不等式

(其中。<1)的解集中恰有三個(gè)整數(shù)，則4的取值范圍是()

75757575

A.B.C.D.

_4e3

3.(2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))若當(dāng)XJ0,午時(shí)，關(guān)于x的不等式e*-xco<t+cos^lncosx+a/2I恒成立,

則滿足條件的。的最小整數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

4.若關(guān)于x的不等式左(/+2,91].丫+1的解集中恰有2個(gè)整數(shù)，則左的取值范圍是()

nln2+l-1

A.]<k41

即

C.D.

1582415

5.已知函數(shù)/(x)=(kx-2)e'-《>0),若/(x)<0的解集為(，叫〃)，且(小,〃)中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)欠

的取值范圍是()

1,1,121

A.—+1,-+2B.7+?V+1

e-e

1c1,

C.-<?,-+2D.-=O,—+1

6.已知函數(shù)/(x)=2xlnxT〃(x+l)(〃”Z)存在零點(diǎn)，則整數(shù)故的最小值是()

A.-2B.-1C.0D.1

7.(2025?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有/'(x)=3e'+/(x),/(0)=-1,若不等式

/(x)<q(x-2)(其中。<1)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則。的取值范圍是()

4n7_4

A.國(guó)5B.白)C.4c7,3e

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8.設(shè)函數(shù)/(x)=ar2+ar-ln(x+l),若/(/)<0的整數(shù)/有且僅有兩個(gè)，則a的取值范圍是()

9.已知函數(shù)/(x)=的+〃-2ax,若存在唯一的整數(shù)與，使/1)>0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

X

M3M2、ln3In2

A?［丁丁)B，(5，2

ln2ln3

c(亍'亍)D.(In2,In3)

10.(2025?高三?黑龍江哈爾濱?期末)設(shè)函數(shù)=-4-。，若存在唯一的整數(shù)使得/(/)<(),

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

，瓜底-6

B.

A.7'-TT5-T

C.272-2,

11.已知函數(shù)/(、)=(，若關(guān)于x的不等式/(/(力+。)>0的解集中有且只有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是

12.已知函數(shù)/(x)=與，直線/)=公，若有且僅有一個(gè)整數(shù)%,使得點(diǎn)P(xM(x。))在直線/上方，則

實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

13.已知函數(shù)/(力=呵,設(shè)g("=/2(x)-"(x),若g(x)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是一：

?X

若不等式g(x)>0的解集中有且只有四個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

14.不等式冰-2〃>2》-111工-4(。>0)解集中有且僅含有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是—.

15.已知函數(shù)/(x)=有兩個(gè)零點(diǎn)〃、b,且存在唯一的整數(shù)與€(。力)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是.

16.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)=(3x-1)e、，若不等式2)(其中〃>0)的解集中恰有兩個(gè)

整數(shù)，則。的取值范圍是—.

17.已知函數(shù)/(工)=。、一/+4,xwR的圖象在x=0處的切線為y=/)x.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式：

(2)設(shè)g(x)=/(x)+d-2x,比較g(x)與T大小關(guān)系,并說明理由;

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(3)若對(duì)任意的63=/3+/-2》+1,〃3＞履對(duì)任意的xe(0,+oo)恒成立，求滿足條件的最大整數(shù)上的

值.

18.已知函數(shù)/(工)=2丁