5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

目錄

01課標(biāo)要求........................................................................2

02落實(shí)主干知識(shí)....................................................................3

一、平面向量的數(shù)量積..............................................................3

常用二級(jí)結(jié)論......................................................................4

03探究核心題型....................................................................5

題型一：數(shù)量積運(yùn)算................................................................5

題型二：模長(zhǎng)運(yùn)算..................................................................6

題型三：投影、投影向量運(yùn)算........................................................7

題型四：夾角運(yùn)算..................................................................8

題型五：萬(wàn)能建系法................................................................8

題型六：利用向量平行垂直關(guān)系求解.................................................9

題型七：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.............................................................10

題型八：利用投影法求范圍.........................................................11

04好題賞析（一題多解）..........................................................14

05數(shù)學(xué)思想方法...................................................................15

①數(shù)形結(jié)合........................................................................15

②轉(zhuǎn)化與化歸.....................................................................16

③分類討論........................................................................16

06課時(shí)精練（真題、模擬題）......................................................17

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)篇........................................................................17

能力拓展篇........................................................................18

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01課標(biāo)要求

（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義

（2）了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.

（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

（4）會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題

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02落實(shí)主干知識(shí)

一、平面向量的數(shù)量積

(1)基底的定義

如果ere2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量〃，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)4,

4,使得a=4q+44.我們把不共線的向量弓、4叫做表示這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底.

(2)平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

特殊基底的應(yīng)用：非0基底向量垂直時(shí)，可利用平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)化解題，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別

取與x軸、歹軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底，對(duì)平面內(nèi)任一向量〃，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)

(x,y),使得。=浦+方，則實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量”的坐標(biāo)，記作。=(x,y),其中X,J，分別叫做a在

x軸、y軸上的坐標(biāo)，相等向量的坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等向量.

①已知點(diǎn)彳區(qū)，乂)，B(x,,y2),則48=(匕一%，為一乂)，|1="(馬—$)2+(y]——『

②已知4=(凡，乂)，〃=(工2，必)，則a±力=(占±工2，必土必)，2〃=(，內(nèi)，力必)，

(3)數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)A,則：

?ab=ba;

?(Aa)h=A(ab)=a(Ab)：

?(a+b)c=a-c+bc.

(4)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量〃=(芭，必)，A=(x,,y2),0為向量〃、力的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=y/aa1a|=舊+y2

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0ab=Xix2+y]y2

cos0=&"儂—產(chǎn)+學(xué)—

夾角

\M\b\屑+N：?收+必

的充要條件ab=0王超+必為=0

?！?。的充要條件a=Ab（b工0）X歸一々%=°

?方兇a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)

與|〃|網(wǎng)的關(guān)系1+%為任也：+y\-7X2+yl

c〃b時(shí)等號(hào)成立)

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常用二級(jí)結(jié)論

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量”與6,我們把數(shù)量|a|S|cos。叫做〃與方的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作即

a-b=\a^b\cosO,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|o|cos。叫做向量〃在〃方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)夕為鈍角

時(shí)、它是負(fù)數(shù)；當(dāng)。為直角時(shí)，它是0.

②A的幾何意義：數(shù)量積等于〃的長(zhǎng)度與。在〃方向上射影|"cos6的乘積.

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03探究核心題型

題型一：數(shù)■積運(yùn)算

【典例1-1](2025?四川綿陽(yáng)-模擬預(yù)測(cè))已知同=2,口—囚=1)與[Z的夾角為々，則1心()

A.2B.3C.4D.5

【典例1?2】\F8c中，AB=6,AC=6,BC=4,則說(shuō).氏=()

A.6B.-6C.-3D.3

【解題總結(jié)】

(1)求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路.

(2)平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量7.已

知向量。=(4sina,l-cosa),6=(1,-2),若G.6=-2，貝hana=()

A.vB.2C.-2D.--

22

【變式1-1】在矩形488中，48=6,80=4,七為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)/滿足方=2斤，則荏.萬(wàn)=

()

A.32B.16C.-16D.-32

【變式1?2】(2025?高二?湖南?開(kāi)學(xué)考試)如圖，N為等邊二角形月3。的中線力。上任一點(diǎn)，M4=3,

MC—2,則A/C)=()

【變式1?3】已知向量滿足|G=|〃H萬(wàn)山=2,則限很=()

A.0B.2C.-2D.2百

5/20

【變式1-4］（2025?高三?河南?開(kāi)學(xué)考試）在矩形”C'￡＞中，已知48=2,點(diǎn)E為線段力。的中點(diǎn)，且

BE上AC,則E?赤=（）

A.2B.4C.8D.16

題型二：模長(zhǎng)運(yùn)算

【典例2?1】已知向量￡=（1,赤）,|$|=2,|3-6|=2,貝1］［3+51（）

A.1B.百C.2D.2百

【典例2?2】（2025?高三?四川成都?開(kāi)學(xué)考試）已知向量￡與坂的夾角為60。，向=1.|；+力卜仃，則慟

等于（）

A.IB.2C.3D.4

【解題總結(jié)】

求模長(zhǎng)，用平方，|劃二后.

【變式2?1】（2025?高三?安徽合肥?開(kāi)學(xué)考試）已知兩個(gè)單位向量2］滿足.+則拒-3%

（）

A.3B.4C.5D.6

【變式2-2］（2025?遼寧大連?一模）設(shè)單位向量源-已知"工=g,則慳-Z+4的最小值為（）

A.0B.1C.73-1D.V3+1

【變式2-3］如圖，在平行四邊形/18CO中，48=2,NBAD=",上是邊4c的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上靠近D

的三等分點(diǎn)，若荏屏=8,則園等于（）

A.4B.4N/2C.4GD.8

【變式24】已知兩個(gè)單位向量舒滿足力人則|4135卜（）

A.5B.4C.3D.2

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題型三：投影、投影向置運(yùn)算

【典例3-1】已知向量萬(wàn)，B滿足向=W=1,\b=-；,則1在6上的投影向量為（）

1_1--1517

A.—aB.——aC.-bD.——b

2222

【典例3?2】（2025?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）已知~+可=,-可，則2+在在B上的投影向量為1）

A.hB.—bC?GD.-<i

【解題總結(jié)】

設(shè)d，B是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是40與B是方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過(guò)荔的

起點(diǎn)4和終點(diǎn)8,分別作麗所在直線的垂線，垂足分別為得到彳瓦，我們稱上述變換為向量3

向向量B投影，彳瓦叫做向量A在向量5上的投影向量.記為|）|cos距.

【變式3?1】若向量很滿足同=6,問(wèn)=3,且卜+29刀=12,則向量1在向量行上的投影向量為（）

4r4丁-

A.—brB.4bC，一D?—4b

【變式3?2】（2025?高三?甘肅向銀?期末）已知兩個(gè)非零向量嬴7滿足忖-2*麻+44則向量而在向

量G上的投影向量為（）

A.3〃B.2〃

C.5〃D.—n

【變式3?3】已知向量1，B滿足|2|=|5|=2,且1_1（d-46），則向量值在向量B方向上的投影向量為（）

1一11-If

A.B.—rbC.~aD.-b

4422

【變式3?4】（2025?高三?安徽?開(kāi)學(xué)考試）己知平面向量3=（2,-2）,取=（-1,3）,則向量Z+E在向量方

上的投影向量為（）

A.g，TB.（-1J.C.（-1,|）D.（1-1）

【變式3?5］若向量3）,B=（2J）,C=U，1）,x,yeR,書(shū)店，6R，則向量〃+在B方向上

的投影向量為（）

A.（1,-3）B.（-1,3）C.（2,-3）D.（2,3）

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題型四：夾角運(yùn)算

【典例4?1】己知向量滿足值=（2,2）,21+5=（3,4）,則向量。與B的夾角為.

【典例4?2】（2025?高三?湖南永州?開(kāi)學(xué)考試）若向量"=（匕3）,5=（1,4）,3=（2,1）,已知與

"的夾角為鈍角，則片的取值范圍是—.

【解題總結(jié)】

求夾角，用數(shù)量積，由■表二|引揚(yáng)|cos0得cosg二一:「=+產(chǎn)-----進(jìn)而求得

㈤的后5/^37

向量萬(wàn),B的夾角.

【變式4?1】（2025?高三?河北保定?開(kāi)學(xué)考試）若向量1=（1刈），3=（2,-1）,且dM，則

cosa-b,b=.

【變式4-2］在V"C中，48=2,/C=l,NMC=60,。為3c的中點(diǎn)，~AC=3AE>4。與8E相交于點(diǎn)凡

則tanZDFE=.

【變式4-3］（2025?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知向量用5滿足歸+同加/=2瓦則8$卜+尻9=_.

【變式4-4】已知向量￡,E滿足同一忸"石=2,a-b=VTo,則cos（詞=_.

【變式4-5］若?是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，則G=21+］與B=-31+2］的夾角為—.

題型五：萬(wàn)能建系法

【典例5?1】在等腰直角V/14C中，乙48c=90J5=8C=2,M,N為/C邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M,N不與

4c重合），且滿足|麗卜加，則麗?麗的取值范圍為

【典例S?2】（2025?高三?內(nèi)蒙百?開(kāi)學(xué)考試）慈，是一種含三個(gè)環(huán)的稠環(huán)芳煌，化學(xué)式為CMHO,恿的

三個(gè)環(huán)的中心在一條直線上，意是菲的同分異構(gòu)體，其分子結(jié)構(gòu)圖如圖1所示（由三個(gè)正六邊形組成），

將慈的分子結(jié)構(gòu)圖中的14個(gè)C原子分別記為4民C,Q、E,RG,〃,/JK,L,M、N,如圖2所示，設(shè)43=2,

則蘇?元=一.

【解題總結(jié)】

8/20

【變式5?1】已知在VZ8C中，4c=2,〃。=6,。是\,48。內(nèi)一點(diǎn)，且方+3麗+收;=6，則

OC（5J+25C）=_.

【變式5?2】己知在V48c中，凌.刀=0，聞-陽(yáng)=2,也是線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，且

Zv7（Z&+JC）=1,貝ij|無(wú)可的取值范圍為一.

【變式5-3】已知在平行四邊形4BCO中，NDAB=g邊48,4。的長(zhǎng)分別為1,2,若M,N分別是邊

BM\CN

8C,CO上的點(diǎn)，且滿足=/=昌，則麗.前的取值范圍是—.

BC\|CD|

【變式5~4】在V/8c中，AB=AC=2,BC=2+，點(diǎn)〃在線段6c上，若力尸_L3C，則瓦?.麗=

若而=麻，當(dāng)蘇?》取得最小值時(shí)，2=.

題型六：利用向■平行垂直關(guān)系求解

【典例6?1】已知向量"，否的夾角為45。，同=正，且力=2，若（二+可，九則％=—

【典例6-2］己知aeR,m=（6,a）?n=（a-1,5）,若（/〃+〃）_1_力，則a的值為.

【解題總結(jié)】

①已知點(diǎn)彳（X］，乂），8區(qū)，為），則48=（%一不，為一乂），I1=46-作'+（J，？-.了

②已知a=（Xi，M）,b=（x2fy2）,則?！纀=&±巧，乂±必）,2。=（%芭，孫），

22

a?b=x1x2+y}y2,\a\=yjx}+y1.a//bx^y2-x2）\=0,<?!/><=>xix2+y1y2=0

【變式6?1】已知向量,，B的模相等且?jiàn)A角為60。，若向量I與向量a垂直，則實(shí)數(shù)4=

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【變式6?2】已知平面向量)=(2,1),3=(2,x),若1+2B與垂直，且x>0，貝伊=

【變式6?3】已知平面向量￡=(2,-1)石=(6,幻，若￡_1(￡-])，則實(shí)數(shù)上=.

【變式6Y】(2025?上海嘉定?二模)已知向量〃?=(1,-2),〃=(4,4),若帚J,1，則衣=___.

題型七：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

【典例7?1】冰球運(yùn)動(dòng)是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進(jìn)行的相互對(duì)抗的集體性競(jìng)技運(yùn)動(dòng).在冰球運(yùn)

動(dòng)中冰球運(yùn)動(dòng)員腳穿冰鞋，身著防護(hù)裝備，以球桿擊球，球入對(duì)方球門(mén)，多者為勝.小華同學(xué)在練習(xí)冰球

的過(guò)程中，以力戶=(sina,cosa),awR,作用于冰球，使冰球從點(diǎn)力(1,2)移動(dòng)到點(diǎn)6(4,6),則力戶對(duì)冰

球所做的功的最大值為()(動(dòng)力做的功力=凡而)

A.V5B.3C.4D.5

【典例7?2】(2025?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)〉一條河兩岸平行，河的寬度為1.2km,一艘船從河岸邊的某地

出發(fā)，向河對(duì)岸航行.已知船在靜水的速度大小為13km/h,且船在航行過(guò)程中受水流的影響.當(dāng)船以路

程最短的方式航行到對(duì)岸時(shí)，所需時(shí)間為6分鐘，則水流速度的大小為()

A.1.3km/hB.5km/liC.10km/hD.12km/h

【解題總結(jié)】

用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

【變式7?1】(2025-高三?山東泰安-開(kāi)學(xué)考試)如圖，飛機(jī)飛行中的地面速度(GS)是指飛機(jī)相對(duì)于地

面的實(shí)際速度，由飛機(jī)相對(duì)于周?chē)諝獾膶?shí)際運(yùn)動(dòng)速度(TAS)句量加減風(fēng)速(股)向量得出，其中風(fēng)速

順風(fēng)為正，逆風(fēng)為負(fù)，。力為偏流角.已知某飛機(jī)逆風(fēng)飛行，在某時(shí)刻測(cè)得風(fēng)速對(duì)應(yīng)向量為儂石/0石)，

10/20

地面速度對(duì)應(yīng)的向量為（100石,90萬(wàn)），則飛機(jī)在該時(shí)刻的實(shí)際飛行速度（單位：km/h）為（）

（參考數(shù)據(jù)：加=224,710=3.16，7305=17.46）

wsz/*^^>/rAS

GS

A.252.8B.349.2C.425.6D.492.8

【變式7?2】某貨船執(zhí)行從力港口到“港口的航行任務(wù)，A港口在力港口的正北方向，已知河水的速度為向

東2m/s.若貨船在靜水中的航速為4m/s,船長(zhǎng)調(diào)整船頭方向航行，使得實(shí)際路程最短.則該船完成此段

航行的實(shí)際速度為（）

A.2m/sB.2\/3m/sC.4m/sD.2后m/s

【變式7?3】（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）某貨船執(zhí)行從4港口到8港口的航行任務(wù)，8港口在4港口的

正北方向.已知河水的速度為向東2m/s.若貨船在靜水中的航速為4m/s,船長(zhǎng)調(diào)整船頭方向航行，使得實(shí)

際路程最短.則該船完成此段航行的實(shí)際速度為（）

A.2m/sB.2x/3m/sC.4m/sD.25/5m/s

【變式74]共點(diǎn)力耳=（lg2,1g2）,E=0g5[g2）作用在物體材上，產(chǎn)生位移X=（21g5,l）,則共點(diǎn)力對(duì)

物體做的功為（）

A.1g2B.1g5C.1D.2

【變式7?5】（2025?寧夏?一模）如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā)，沿力&BC,CO運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)。，已知

ABUCD、AB=4、BC=2,CD=3,ABBC=-2>則質(zhì)點(diǎn)P位移的大小是（）

題型八：利用投影法求范圍

【典例8?1】如圖所示，弧訪是以。為圓心，04為半徑的圓的一部分，。8=2,28。。=學(xué),C是。4的中

6

點(diǎn)，力在弧夕。上運(yùn)動(dòng)，則而?歷的最小值為（）

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【典例8-2】已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形力8cOE尸內(nèi)的一點(diǎn)，則而?刀的取值范圍是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.（-2,4）D.（-4,6）

【解題總結(jié)】

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量〃與力，我汨把數(shù)量141sleOS。叫做G與力的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作即

ab=\a\\b\cosO,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|@|cos。叫做向量a在力方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)6為鈍角時(shí)，

它是負(fù)數(shù)；當(dāng)。為直角時(shí)，它是C.

②ab的幾何意義：數(shù)量積等于〃的長(zhǎng)度|a|與力在〃方向上射影181cos0的乘積.

【變式8?1】（2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正六邊形48C。防的邊長(zhǎng)為2,對(duì)稱中心為O,以。為

圓心作半徑為1的圓，點(diǎn)〃為圓。上任意一點(diǎn)，則而?兩的取值范圍為（）

A.[-6,4]B.[0,8]C.[-8,0]D.[-66。

【變式8-2】邢臺(tái)一中數(shù)學(xué)探索館中“圓與非圓一搬運(yùn)”的教具中出現(xiàn)的勒洛三角形是一種典型E勺定寬曲線,

以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形

就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知力8=2,P為弧力。上的一點(diǎn)，且/尸8C=a,則

AA屁的最小值為（）

12/20

A

L-in

T.V/

一；一_-：__】、

C.-2D.2

13/20

041好題賞析（一題多解）

14/20

1.在“5C中，AC=3,8c=4,NC=90。/為48C所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則方.麗的

取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

2.如圖，在平面四邊形48C。中，4B1BC,AD1CD,/胡0=120°,AB=4D=1.若點(diǎn)E為邊

。上的動(dòng)點(diǎn)，則前.詬的最小值為（）

3.在△N8C中，AB1AC,AC=6,亞=；配，點(diǎn)￡是BO的中點(diǎn)，貝ij(萬(wàn)+麗)?麗=()

A.-8B.-12C.8D.12

①數(shù)形結(jié)合

1.在等邊“8C中，D、E分別是8C、4。的中點(diǎn)，有以下兩個(gè)結(jié)論：①萬(wàn).臣=0,

@CEICiI（哨），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②不成立D.①不成立，②成立.

2.已知正方形力8C。的邊長(zhǎng)為2,尸為正方形48co內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足方.方=0,則

CPDP的取值范圍是

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

3.已知1,B，。是平面向量，0是單位向量.若非零向量]與0的夾角為。，向量B滿足

戶一4。4+3=0，則|。一囚|的最小值是（）

4V3-1從V3-1仁2D.2-百

15/20

②轉(zhuǎn)化與化歸

4.已知平面直角坐標(biāo)系xQy中，|01|二|05|二行，|AB|=2,設(shè)。（3,4）,則|+萬(wàn)］的取值范圍是

（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

5.A/BC中，AB=無(wú),N4CB=5，。是“8C外接圓圓心，則反.方+E?赤的最大值為（）

6.能使命題”給定，〃個(gè)非零向量（可以相同），若其中任意〃（1?〃<〃?）個(gè)向量之和的模等于另外〃?一〃個(gè)

向量之和的模，則這加個(gè)向量之和為零向量”成為真命題的一組小、〃的值為（）①〃7=4,

n=2@rn=5?/?=2@/??=6-〃=3④〃z=7,n=3

A.①②B.③④C.①③D.②④

③分類討論

7.已知向量2石滿足1可=2,仍|=1,且對(duì)一切實(shí)數(shù)x,|2+蘇|開(kāi)|1十月|恒成立，則G,。的夾角的大

小為?

8.如圖，將邊長(zhǎng)為1的正五邊形的各邊延長(zhǎng)，得到一個(gè)正五角星.若點(diǎn)2。在正五角星的內(nèi)部（

含邊界），則萬(wàn)?而的最小值為.

9.已知平面向量扇反乙滿足|刈=1,?萬(wàn)|=百，G.B=O，1-萬(wàn)與彳的夾角為/，則1?（另一。）的

最大值為.

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［06］課時(shí)精練（真題、模擬即）H

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)篇

1.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知向量萬(wàn)=（0,1）萬(wàn)=（21）,若BjL（B-4］）,則l=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)2,否是向量，貝上伍+粗。-可=0”是=R或￡=戶的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足問(wèn)=中+20=2,且0-2￡）_1_幾則忖=（）

人IV2

A-2Bn-2C.—D.1

2

4.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量,3滿足彳+B=（2,3）萬(wàn)一石=（一2』），則|G『一S『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形力8。力的邊長(zhǎng)是2,E是力B的中點(diǎn)，則反?麗=（）

A.岳B.3C.2>/5D.5

6.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量￡=（3,1）［=（2,2）,則彌5?+31—9=（）

A.工B.姮n2石

1/?----LJ?-----------

171755

7.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量瓦章滿足同=忖=1,同=無(wú)，且"坂+己=0,則

cos（a-c,b-c）=（）

4「2C.|D.1

八,一飛B--?

8.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知向量￡=（1,1）出=（1,-1）,若倒+阿_L（Z+聞，則（）

A.A+//=1B.2+〃=-l

C."=1D.辦=T

9.記向量G=（2,3）方=（0』），設(shè)甲：向量。與向量的夾角為銳角；乙：》＞-1，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2025.貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知向量￡=（1,1）,（3+2j；）_L伍—2?,貝川@=（）

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.n「拉n及

AA.1B.~LC?—D.—

242

11.（2025?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知向量。=（1,2）,力=（2,3）,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.=3B.（4+6）＞L（214T3b）

C.恢工卜26D.否在2方向上的投影向量為（沾:

12.（2025?高三-浙江-開(kāi)學(xué)考試）已知向量不=（（）/））=（14）.若向量值+6在向量方上的投影向量為方1，

則4=（）

A.-1B.-C.1D.—

22

13.（2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量）=（2,0）,a-U（3,-V3）,cos（a-2^5）=（）

A.一直B.正C."D.旦

5577

14.（2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）已知力。為V的高，且AD=e,則而?而=（）

A.-2B.2C.2&D.-272

15.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知向量1=（2,）5=（1,T）,若B+B卜卜一，同，則吁（）

A.2B.-1C.2或-1D.3

16.（2025年高考全國(guó)二卷數(shù)學(xué)真題）已知平面向量M=（x,l）石=（x-1,2。若則|止

17.（2023年上海秋季高考數(shù)學(xué)試題）已知。=（-2,3）石=（1,2）,求萬(wàn)彳=

能力拓展篇

1.（2025年高考北京卷數(shù)學(xué)真題；在平面直角坐標(biāo)系中，|以|=|歷l=&，I萬(wàn)1=2.設(shè)C（3,4）,則

ULXliLA.O

12c4的取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

2.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)《理）真題）己知。。的半徑為1,直線為與相切于點(diǎn)兒直線〃〃與

00交于8,C兩點(diǎn)，。為8C的中點(diǎn)，若|?。|=3,則可.方的最大值為（）

A1+V21+25/2

A.-----BD.------

22

C.1+V2D.2+V2

3.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知正方形力4。。的邊長(zhǎng)為1,DE=2EC,^BE=ABA+pBC,其中4〃

為實(shí)數(shù)，則4+〃=—:設(shè)/是線段6E上的動(dòng)點(diǎn)，G為線段力產(chǎn)的中點(diǎn)，則萬(wàn)?麗的最小值為_(kāi).

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4.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在8c中，BC=l,乙4=60。，~AD=\jBXE=\cb,記

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AB=a.AC=b,用仇B(yǎng)表示次=;若麗=；前,則荏.簫的最大值為

5.（2025?黑龍江大慶?一?模）如圖，在等腰V48c中，力8=,4C=5,3C=