4.2.1平行線

夯基礎(chǔ)

題型一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系

1.（23-24七年級上?安徽宿州?期一）在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可能是（）

A.相交或垂直B.垂直或平行C.平行或相交D,相交或重合

【答案】C

【分析】本題考查了平行線，根據(jù)兩條直線有一個交點的直線是相交線，沒有交點的直線是平行線，可得

答案.

【詳解】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，

兩條直線平行，故C正確；

故選：C.

2.（22-23七年級下?河北石家莊?期末）小小b為同一平面內(nèi)的三條直線，若，i與%不平行，0與，3不平行，

那么下列判斷正確的是（）

A.。與G一定不平行B.。與，3一定平行

c.。與q一定互相垂直D.。與％可能相交或平行

【答案】D

【分析】根據(jù)關(guān)鍵語句“若。與%不平行，。與，3不平行，"畫出圖形，圖形有兩種情況，根據(jù)圖形可得答案.

【詳解】根據(jù)題意可得圖形：

根據(jù)圖形可知：若。與%不平行』2與％不平行，則與％可能相交或平行，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了直線的位置關(guān)系，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交.

3.（22-23七年級上?重慶萬州?期末）在同■—平面內(nèi)有2022條直線的,。2,…，。2022，如果a1%，a211a3,

a3La4,a411a5,…那么如與。2022的位置關(guān)系是（）?

A.重合B.平行或重合C.垂直D.相交但不垂直

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4個一循環(huán)，依此可得小,

。2022的位置關(guān)系.

【詳解】解：13在同平面內(nèi)有2022條直線...。2022，若的1。2，。2IIII?5……

13al與。2、。3、。4、…依次是垂直，垂直，平行，平行，…,

團（2022-1）+4=505...1,

團由與。2022的位置關(guān)系是垂直.

。3%

故答案為：垂直.

【點睛】本題考查垂線、平行線的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律.

4.（21-22七年級上?四川德陽?階段練習(xí)）如果同一平面內(nèi)有三條直線，那么它們交點個數(shù)是（）個.

A.3個B.1或3個C.1或2或3個D.0或1或2或3個

【答案】D

【分析】根據(jù)三條直線是否有平行線分類討論即可.

【詳解】解：當(dāng)三條直線平行時，交點個數(shù)為0;

當(dāng)三條直線相交于1點時，交點個數(shù)為1;

當(dāng)三條直線中，有兩條平行，另一條分別與他們相交時，交點個數(shù)為2；

當(dāng)三條直線互相不平行時，且交點不重合時，交點個數(shù)為3；

所以，它們的交點個數(shù)有4種情形.

故選：D.

【點睛】本題考查多條直線交點問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)三條直線中是否有平行線和是否交于一點進(jìn)行分類

討論.

題型二用直尺、三角板畫平行線

5.（23-24七年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，已知直線4B外一點戶，過P點畫直線CD,使CDIL4B,借助三角

板有如下操作：

①固定直尺E八并沿E尸方向移動三角板，使斜邊經(jīng)過點P；

②用三角板的斜邊靠上直線4B；

③沿三角板斜邊畫直線CD；

④用直尺EF緊靠三角板的一條直角邊.

正確的操作順序是（）

A.①②③④B.②④③①C.②④①③D.④③②①

【答案】C

【分析】利用基本作圖方法得出作直線CDIIA8的步驟即可.

【詳解】解：②用三角板的斜邊靠上直線48；

④用直尺E尼緊靠三角板的一條直角邊；

①固定直尺EF，并沿己尸方向移動三角板，使斜邊經(jīng)過點P;

③沿三角板斜邊畫直線CD；

故選：C.

【點睛】此題考查了作平行線以及平行線的判定，正確掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵.

6.（23-24七年級下?廣西南寧?開學(xué)考試）如圖，。是線段4B外一點，按要求畫圖：

（1）畫射線C3：

⑵過點C畫直線CDIIAB,

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了作射線和平行線，根據(jù)相關(guān)作圖步驟進(jìn)行作圖是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)射線的定義作圖即可；

（2）根據(jù)平行線的做法和直線的定義，即可作圖.

【詳解】（1）解：如圖所示：射線CB即為所求；

（2）解：如圖所示：直線CD即為所求；

7.（23-24七年級下?甘肅隴南?階段練習(xí)）根據(jù)語句畫圖，并回答問題.如圖所示，點P為/A08內(nèi)一點，點Q

為乙AOB外一點.

⑴過點P作尸CIIO4交。8于點C

⑵過點Q作Q。1。4垂足于點0,交PC于點￡

⑶猜想Q0與PC的位置關(guān)系.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

（3）QD1PC,證明見解析

【分析】本題主要考查了畫平行線，畫垂線，垂線的定義:

（1）根據(jù)平行線的畫法畫圖即可；

（2）根據(jù)垂線的畫法畫圖即可；

⑶根據(jù)PPII。。,QDLOAf即可得到QO_LPC.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求：

（2）解：如圖所示，即為所求；

B

A

o"

（3）解：QD1PC,證明如下：

0PCIIOA,QD1OA,

即D1PC.

8.（22-23七年級下?遼寧沈陽?期口）如圖，在正方形網(wǎng)格中有四個格點。、A、B、C,按要求進(jìn)行下列作

圖，并標(biāo)出相應(yīng)的字母（要求畫圖時用28鉛筆加黑加粗）.

⑴畫射線。氏畫直線AC;

⑵過點4畫射線C8的垂線4D,垂足為點Q：

⑶過點0畫直線AC的平行線?！?/p>

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

（3）見詳解

【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖；

（1）按要求作圖，即可求解；

（2）用直尺和三角板畫圖，即可求解；

（3）按要求作圖，即可求解；

掌握作法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：如圖,

題型三平行公理的應(yīng)用

9.(23-24七年級下?重慶九龍坡?開學(xué)考試)下列說法正確的是()

A.過一點有且只有一條直線與已知直線平行

B.對頂角一定相等

C.直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離

D.互補的兩個角是鄰補角

【答案】B

【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)、點到直線的距離等知識點.根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)、對頂角

相等、點到直線的距離等逐一判斷即可.

【詳解】解：A.過直線外的一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項不符合題意；

B.對頂角一定相等，故本選項符合題意；

C.從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，故本選項不符合題意；

D.互補的兩個角不一定是鄰補角，故本選項不符合題意；

故選：B.

10.（22-23七年級下?山東德州?期中）數(shù)學(xué)課上，老師畫一條直線m按如圖所示的方法，畫一條直線力與

直線。平行，再向上推三角尺，畫一條直線c也與直線。平行，此時，發(fā)現(xiàn)直線。與直線c?也平行，這就說

A.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

B.兩直線平行，同位角相等

C.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行

D.同位角相等，兩直線平行

【答案】A

【分析】本題主要考查了平行線公理，根據(jù)平行線公理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：0a||bfa||c,

命IIc,

自這說明了如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，

故選A

11.（23-24七年級下?河北石家莊?階段練習(xí)）已知直線/,在同一平面內(nèi)，甲、乙、丙得到如下結(jié)論，下列

判斷正確的是（）

甲：與直線/垂直的直線有且只有一-條；乙：經(jīng)過一點，有且只有一條直線與直線/平行；

丙：若兩條直線小〃都與直線/平行，則直線a,人平行

A.甲對乙錯B.甲錯乙對

C.甲對丙錯D.乙錯丙對

【答案】D

【分析】本題考查的是平行線公理及推論，牢記平行公理是關(guān)鍵，根據(jù)平行公理及垂直的性質(zhì)直接判斷即

可.

【詳解】解：己知直線/,在同一平面內(nèi)，

與直線，垂直的直線有無數(shù)條，故甲說法錯誤；

經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與直線/平行，故乙說法錯誤；

若兩條直線4,0都與直線/平行，則直線小。平行，故丙說法正確；

故選：D.

12.（2024?河南駐馬店?模擬預(yù)測）如圖所示是我們常見的馬路標(biāo)線，工人師傅在劃線時要保證中間的線與

兩邊的線保持平行，小明認(rèn)為我們已知馬路兩邊的線是互相平行的，只要中間的線與兩邊其中任意一條線

平行，那么它就一定與另一條線平行，這其中的數(shù)學(xué)原理是.

【答案】同平行于一條直線的兩條直線互相平行

【分析】本題考查平行公理，掌握同平行于一條直線的兩條直線互相平行是解題的關(guān)鍵.

【詳解】中間的線與兩邊其中任意一條線平行，那么它就一定與另一條線平行，這其中的數(shù)學(xué)原理是是同

平行于一條直線的兩條直線互相平行，

故答案為：同平行于一條直線的兩條直線互相平行.

13.（23-24七年級下?湖北?周測）如圖,因為（訓(xùn)嶼BC\\DE（己知）.所以A,B,C三點共線.依

據(jù)：.

ABC

DE

【答案】過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行

【分析】本題考查了平行公理的應(yīng)用，根據(jù)“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行"即可求解，熟

練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：因為48IIDE,BCWDE（已知）.所以A,B,C三點共線.依據(jù)：過直線外一點有且只有一條

直線與這條直線平行，

故答案為：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

題型四平行公理推理的應(yīng)用

14.（23-24七年級下?北京朝陽?階段練習(xí)）如圖是一個可折疊的衣架，AB是地平線，當(dāng)乙1=42時，PMWAB；

乙3=44時，PNWAB,就可確定點N、P、M在同一條直線上的依據(jù)是

【答案】過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】本題考查平行線的判定，平行公理，根據(jù)平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知

直線平行進(jìn)行判斷即可，掌握經(jīng)過直線外一點，有且只有?條直線與已知直線平行是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：團乙1=42,

13PMIIAB,

0Z3=z4,

（3PN||4B,

團過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，

回點N,P,"在同一條直線上，

故答案為：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

15.（22-23七年級下?廣東河源?階段練習(xí)）如圖，在直線a的同側(cè)有P,Q,R三點，若PQIIa,QR|a,那

么P,Q，R三點―（填"是"或"不是〃）在同一條直線上，理由是—.

a

?P

?。

?R

【答案】是過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】依據(jù)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，即可得到P,Q,R三點在同一條直線上.

【詳解】解：回PQIIa,QR\\a,

團P,Q,R三點在同一條直線上，（過直線外一點有且只有?條直線與已知直線平行）

故答案為：是：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

【點睛】本題主要考查了平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.要準(zhǔn)確理解“有

且只有"的含義.從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思.

16.（21-22七年級上?全國?課后作業(yè)）完成下列推理，并在括號內(nèi)注明理由.

（1）如圖1所示，怩為AB"DE,BC/IDE（已知）.所以A,B,C三點；（）

（2）如圖2所示，因為AB//CD,CD//EF（已知），所以0.（）

ABC

--?--A?AB

CD

DE

——??EF

圖1圖2

【答案】共線平行公理ABEF平行公理的推論

【分析】（1）根據(jù)平行公理：過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行.

【詳解】解：⑴0XF//DE,BC//DE,

財、B、C三點共線（平行公理）；

（2）^AB//CD,CD//EF,

（平行公理的推論）.

故答案為：（1）共線；平行公理：（2）A儀EF；平行公理的推論.

【點睛】本題主要考查了平行公理和平行公理的推論，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

17.（22-23七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，將一張長方形的硬紙片F(xiàn)8CD對折，MN是折痕，把面ABNM平

攤在桌面上，另一個面CDMN不論怎樣改變位置，總有4B與CD平行，請你說出其中的道理?

【分析】根據(jù)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：團長方形的硬紙片ABCD對折，MN是折痕，

ISMNWAB,MN||CD,

回48||C。,

團另一個面CDMN不論怎樣改變位置，總有與CD平行.

【點睛】本題主要考查了平行公理，熟知平行公理是解題的關(guān)鍵.

18.（22-23八年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，一組直線小b,c,d是否都互相平行？

■■■■■■■

尤口口口*

*f******d5

【答案】直線小b,c,d都互相平行，理由見解析

【分析】根據(jù)平行公理證明即可.

【詳解】解：直線。，b,C,d都互相平行，理由如下：

國a||byb||c,c||",

0aIIbIIcIId.

【點睛】本題主要考查了平行公理，熟知平行于同一直線的兩條直線平行是解題的關(guān)鍵.

B提能力

19.（23-24七年級下?湖北省直轄縣級單位?階段練習(xí)）如圖，在書寫藝術(shù)字時，常常運用畫“平行線段〃這種

基本作圖方法，此圖.是書寫的字母“M".

⑴請從正面，上面，右面三個不同方向上各找出一組平行線段，并用字母表示出來；

（2）￡?與A方有何位置關(guān)系？CU與HR有何位置關(guān)系？為什么？

⑶圖中力8所在的直線與RH所在的直線有公共點嗎？若沒有公共點，能否說明這兩條直線平行？你還能找出

一組具有類似位置關(guān)系的直線嗎？由此可知在敘述平行線的概念時，應(yīng)注意什么？

【答案】⑴正面A8IIEF（答案不唯一）

上面ABIIA8'（答案不唯一）

右面HR110。'（答案不唯一）

（2）EF||A'B'CCIIHR,理由見解析；

⑶見解析.

【分析】本題主要考查同一平面內(nèi)兩直線平行.能從復(fù)雜的圖形中找出同向線段，就要求同學(xué)們練就一雙

慧眼，這與平時的努力是密不可分的，熟練掌握平行線的定義是解題的關(guān)鍵.

（1）正面AE、MF、NG、D”是平行的，MP、Q8平行，PN、CQ平行；上面/U'、BB'.CU、DD'相互平

行，AB、小夕、CD、CD'平行；右側(cè)，/?、0?平行，HD,RD，平行；據(jù)此分別找出一組平行線即可；

（2）EF與4夕都與A8平行，所以平行；CU與。0，平行，。）與?！ù怪?，因為它們不在同一平面內(nèi)，所以

是異面垂直.

（3）根據(jù)平行線的定義作答即可.

【詳解】（1）解：正面42、MF.NG、?！ㄊ瞧叫械?，AB.Q平行；

回正面：ABIIEF（答案不唯一），

上面：上面44'、BB=CC\DD'相互平行，AB.A'B'.CD、C'D'平行;

回4BII4'8'；

右側(cè)：HR.平行，HD、RD'平行

團IIDD'；

故答案為:正面:AB||EF；上面:AB||A'B\右側(cè)：HR||DDf；（答案不唯一）

（2）解：^AB||A'B',AB||EF,HR||DDf,CC||DD1,

0FFIIA'B\CCIIHR（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）；

（3）解：圖中4