14.3角的平分線第2課時課時練

2025-2026學年上學期初中數學人教版(2024)八年級上冊

一、單選題

1.如圖，尸“_104于9吶，08于%,產河二外,/3。。=3()。則4408=()

C.60°D.90°

2.下列所作。F平分NA08的方案，說法正確的是(）

B

將兩個完全一樣的三B用刻度尺在

角板長直角邊放在N/O8兩邊

\Z.AOB^]\!IOA^OBOA.OB上分別

上，移動三角板，使姬取O￡=OR再

直用邊的銳角頂點重用刻度尺量取

會在一點,記為點p,E/的長咬,取

作射線其中點，記為點

甲乙P,作射線OP.

A.只有甲對B.只有乙對C.甲、乙都對D.甲、乙都不對

3.如圖，在V48c中，D、E為邊AC上兩點，連接8。、BE,DFA.BE于點、F,若ZA=9O。,

AD=DF,/DBF=25°,則/BEC的度數為（）.

D.140°

4.如圖，在VA8C中，NAC8的外角平分線與/ABC的外角平分線相交于點。.則下列結論正

A.點。平分AOB.AD平分NC43

C.AD平分/CDBD.AD±BC

5.如圖，在VABC中，A2CE分別是/明。，NBC4的平分線，AO.CE相交于點F,且以板=42,

VA8C的周長為21,關于甲、乙、丙三人的結論，下列判斷正確的是（）

甲：FE=ED;乙；點F到AC的距高為2；丙：連接肝，則所平分/4BC

A.只有甲對B.甲、乙、丙都對

C.乙錯，丙對D.甲錯，乙對

6.如圖，已知點尸到4E,AD,8c的距離相等，則下列說法：①點尸在N84c的平分線上;

②點尸在NC3E的平分線上；③點尸在N8CD的平分線上；④點、P是NBAC,NCBE,的

)

D.無法確定

7.如圖，V48c的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16,點。是VABC三條角平分線的交

點，則S&OAB-S&OBC:S4OAC的值為)

C.2:3:4D.3:4:5

8.如圖，在VABC中，NB4C和/ABC的平分線r相交于點。，AE交BC于點E,BF交

AC于點F,過點。作OD_L8C于。，下列三個結論：?ZA6）B=9O°+1ZC；②若

OD=a,AB+BC+CA=2b,則S,詠=“〃；③當NC=60。時，AF+BE=AB.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.?@?

二、填空題

九如國，已知在△八CE中，NAEC=90。，點。，〃分別在邊CK,AE上，DF/AC于E,BD=CD,

BE=CF.

(I)若NC=60。，則；

(2)已知AC=10,BE=2,則AB的長是

10.如圖，在VA4。中，ZA=45°,ZABC=67.5°,點、E,尸是內角/A8c與外角NACD的三

等分線的交點，貝1]/8莊=一.

11.如圖，VA8C中N4=66。，點M、N是NA3C與NAC8三等分線的交點，則4WV的度數

12.如圖，將V48C紙片沿OE折疊，點A落在點4處，恰好滿足48平分ZABC,AC平分,

若4=125。,則N2度數為

13.如圖，在VA4c中，N8=60。，NC=50。，點。為V44C的邊4c上一點，點E、G分別在

SAE

邊人8、ACh,連接A。、DE、DG,若產^=可，則/，V)C的度數為

,△ADGACr

o

18.如圖所示，V/18C和J2)的中，BA=BC,BD=BE,并且NA8C=ND8E,連接AD,BE,

相交于點尸.求證：

(1)A￡)=CE；

⑵C8平分/ACE：

19.如圖，在VA8C中，N3AC=120。，BE,C/是VA8C的角平分線，它們相交于點/.

(1)如圖1,連接A/,求證：點/在N84C的平分線上；

(2)如圖2,延長山交8C干點。，過點尸作口_L8C于點兀FLLAD于點、L.求證：FT=FL.

參考答案

題號12345678

答案CCDBCAAD

1.C

【分析】本題考查了角平分線判定定理的應用，注意：到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上.

根據角平分線判定定理得出夕在/4OA的角平分線上，推出NAO8=2N8OC,求出即可.

【詳解】解：????加_1_。4于知，PNLOB于N,PM=PN,

???尸在NA08的角平分線匕

???ZBOC=30

???ZAOB=2ZBOC=2x30°=60°.

故選C.

2.C

【分析】本題考查了角平分線的判定定理，全等三角形的判定和性質，由角平分線的判定定理可

判定甲；由SSS可證。Qg—OF產(SSS),得到NEOP=NFOP,即可判定乙，綜合即可求蟀，掌握

以上知識點是解題的關鍵.

【詳解】解：由甲的作法可知，點尸到NAO8的距離相等，

???點~在/AO8的角平分線上，

即0P平分NAO8,故甲對；

由乙的作法可知，OE=OF,EP=FP,OP=OP,

OEP^OFP(SSS),

???NEOP=/FOP,

???即OP平分/AQB,故乙對；

綜上，甲、乙都對，

故選：C.

3.D

【分析】本題考查了角平分線的判定，直角三角形的兩個銳角互余，鄰補角的定義；根據已知得

出80是NA3E的角平分線，進而得出N/W￡=2ND8/=50。，再根據直角三角形的兩個銳角互余求

得NAE8=40。，最后根據鄰補角的定義，即可求解.

【詳解】解：：OF_L8E,4=90。，AD=DF,

:."。是的角平分線，

:/DBF=25。，

：.ZABE=2/DBF=50。，

???ZAEB=90。ZABE=90050°=40。,

???BEC=180°-Z4=180°-4()°=140°,

故選：D.

4.B

【分析】本題考杳了角平分線的性質和判定，解題的關鍵是熟知角平分線上的點到角兩邊的距離

相等.

過。點分別作A及BC、的垂線，垂足分別為區(qū)G、F,然后根據角平分線的性質和判定即

可求解.

【詳解】解?：過。點分別作/W、BC、AC的垂線，垂足分別為￡、G、F,

???/ABC、NAC8外角的平分線相交于點。，

：?ED=GD,GD=DF,

:.ED=DF,

???點。在NC48平分線上，

；?4。平分NC48,

故選：B.

5.C

【分析】本題考查角平分線的性質和判定，連接防，過點尸作R7_LAC,"/J_八注尸

根據角平分線的性質，得到卬="/=FM,進而得到M平分NABC,利用分割法求面積法，求出

心的的長，進行判斷即可.

【詳解】解：連接防，過點尸作/G_L4C,"_LA及尸MJ.8C,

?：AD,CE分別是ZBAC,ZBCA的平分線,

???FG-FH、FG-FM,

:?FH=FM,

???8尸平分/ABC,故丙說法正確；

?.林+（）

??S八tiL,“=SAlir.S/IC“r,+Slir..=-ACFG+-AB,FH+-BC2F'M=-AB+BC'+ACFG=42,

???VABC的周長為21,

AB+BC+AC=2\f

???FG=4,

???點尸到AC的距離為4,故乙說法錯誤；

條件不足，無法得到［'￡=&）,故甲說法錯誤；

故選C.

6.A

【分析】根據角平分線的判定定理判斷即可.

【詳解】解：???點P到A￡、AO的距離相等，

???點〃在的平分線上，故①正確；

???點產至IJ4E、8c的距離相等,

???點P在NC8E的平分線上，故②正確；

???點P到AO、的距成相等，

???點P在/8co的平分線上，故③正確；

，點P在NR4C,NCBE,N8CD的平分線上，故④正確；

綜上所述，正確的是①@③④，

故選：A.

【點睛】此題考查了角平分線的判定定理，掌握到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上時解

題的關鍵.

7.A

【分析】過點。作ODLAB于點。，OELBC于點E,O尸_L4c于點凡根據角平分線的性質

定理可知8=。石=。尸.再由三角形的面積公式計算，作比即可.

【詳解】如圖，過點。作OD_LA8于點。，OE上BC于點、E,O/J.AC于點E

???點。是VA4c三條角平分線的交點,

...OD^OE-OF.

iyKJ.'\n2OD=-2x\6OD=3OD,

S"=-BCOE=-x\2OD=6OE

AT典〃.22t

S^AC=^ACOF=^OF=4OFf

AQAC

,?S&0AB?06C:^=:6OE:4OF=4:3:2.

故選A.

【點睛】本題主要考查角平分線的性質定理.正確作出輔助線，由角平分線的性質定理得出

OD=OE=OF是解題關鍵.

8.D

【分析】本題考杳了三角形內角和定理，三角形全等的判定與性質以，角平分線的性質與判定等

知識，由角平分線的定義、三角形的內角和定理得NAO3與NC的關系，判定①正確;過。作ON_LAC

十點N,OMJ.A6十點M,由三角形的血積證得②正確；在A8上取一點，，使BH=BE,證

△HBO^EBO,得NBOH=ZBOE=60。,再證得人尸=4〃，判定③正確，即可得

出結論，正確作出輔助線證得△/小。且△加o是解題的關鍵.

【詳解】解：①???/84。和/ABC的平分線相交于點0,

7.ZOBA=-ZCBA,ZOAB=-ZCAB

22f

??.ZAOB=180°-ZOB/\-ZOAB=180o--ZCBA--ZCAB=180o--(180o-ZC)=90°+-ZC,

222172

故①符合題意；

②過。作ON_LAC于點N,OM_LA8于點M,如圖：

ZBAC和ZABC的平分線相交于點。,

???點O在/C的平分線上，

：.ON=OM=OD=a,

AB+AC+BC=2f)

??SA8c=；xABxOM+gxACxON+；xBCxOO=；(AK+AC+BC)a=4/?,故②符合題意;

@VNC'=6()0,

JZBAC+ZABC=120°,

VAE,BF分別是NBAC與/"C的平分線,

/.ZOAB+ZOBA=g(N84C+/ABC)=60°,

，ZAOB=12()°,

/.NA。尸=60。，

???ZBOE=60°,

如圖，在AB上取一點〃，使BH=BE,連接OH,

???斯是-48C的角平分線，

???NHBO=NEBO,

在△”80和..E4O中，

BH=BE

<NHBO=NEBO,

BO=BO

；._HBO^EBO(SAS),

J/BOH=NBOE=600,

???ZA0/7=180°-60°-60°=60°,

r.ZAOH=ZAOF,

在一HAO和二必。中，

ZHAO=ZFAO

?AO=AO,

ZAOH=ZAOF

???H4g_/<4O(ASA),

???AF=AH,

:.AB=BH+AH=BE+AF,故③符合題意;

故選：D.

9.1506

【分析】本題考查了角平分線的判定與性質、三角形全等的判定與性質、三角形內角和定理，熟

練掌握以上知識點，證明三角形全等是解此題的關鍵.

（1）先證明乃（HL）得到A。平分一以尸，由三角形內角和定理計算出

ZE4C=30°,即可得到答案；

（2）先計算出A/=8,證明Rl^AOEtRIZXA。尸（HL）得至ljAE=Ab=8,最后由A8=A/一防

即可得到答案.

【詳解】解：（1）;NA￡C=90。，DF1AC,

：.^BED=^DFC=9（r,

在RtABDE和RtACDF中,

BE=CF

BD=CD'

RtABD￡^RtACDF（HL）,

:.DE=DF，

A0平分一￡4產，

/.ZBAD=-ZEAC,

2

.ZAEC=90°,ZC=60S

ZE4C=90°-ZACE=30°,

：.ZBAD=-ZE4C=15°,

2

故答案為：15。；

（2）BE=2,

:.CF=BE=2,

:.AF=AC-CF=\Q-2=^,

在RtAOE和RtAO9中，

DE=DF

AQ=A。'

RtAADE^RtAAQE（HL）,

/.AE=AF=8,

：./\B=AE-BE=S-2=（）t

故答案為：6.

10.52.5°.

【分析】過點尸作于點M，FNLCE于點、N,FHA.BE,根據角平分線的性質可得

FM=FH,FM=FN,再由內角和即可求解.

【詳解】如圖，過點〃作13c于點M,FN工CE亍點、N,FHJ.BE,交BE的延長線于點

H,

???點E,r是內角/A8C與外角NACO的三等分線的交點，

:.8"是/EBD的平分線，

又.；FMtBD,FHA.BE,

???FM=FH,同理可得QW=/W,

???FN=FH,

又。：FNLEC,FHJ,EH,

:.EF是NCEH的平分線,

VZA=45°,ZABC=675°,

???ZACM=NA+ZABC=112.5°,ZACB=67.5°

???點E,r是內角/ABC與外角ZACD的三等分線的交點，

???NEBC=-ZABC=45°,NACE=-NACM=-x112.5=37.5°,

333

???AECB=ZACB+ZACE=67.5°+37.5°=105°,

???ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°-45°-l05°=30°,

???ACEH=180°-ZBEC=180°-30°=150°,

???ZCEF=ZHEF=75°,

???NBFE+NFEC=NECB+/FBC=105°+22.5°=127.5°,

:./BFE=127.5°-75°=52.5°,

故答案為:52.5°.

【點睛】此題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的性質定理和判定定理,

解題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質.

11.52。/52度

【分析】本題考杳與角平分線有關的三角形的內角和定理.

過點N作NGJ.BC于G,NE上BM于E,NF工CM于F,根據角平分線上的點到角的兩邊的距

離相等可得NE=NG=NF,再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出MN平分NBMC,

然后根據三角形內角和等于180。求出/A8C+NAC氏再根據角的三等分求出/M8C+NMCB的度數，

然后利用三角形內角和定理求111NBMC的度數，從而得解.

【詳解】解：如圖，過點N作NGLBC于G,NEA.BM于E,NF1CM于F,

???點M、N是NA3C與/AC8三等分線的交點，

：?BN平分/MBC,CN平分/MCB,

???NE=NG,NF=NG,

???NE=NF、

:.MN平分/BMC,

4BMN='/BMC,

2

?/NA=66。，

???ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-66°=114°,

2

???/MBC+/MCB=-(ZABC+ZACB)=76°,

在ABMC中，/BMC=180°-(/MBC+ZMCB)=180°-76°=1()4°

???4BMN=-/BMC=52c.

2

故答案為:52。,

12.70。/70度

【分析】本題考杳了翻折變換的性質、角平分線的判定與性質、三角形內角和定理及三角形外角

的性質，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，三角形的內角和等于180c是解題的

關鍵.連接A4',過4作4"，八民4%，成"/，人。，利用角平分線的判定得到44，平分/347,

利用角平分線性質及三角形內角和定理得出相應角度，進而求得/WC=7(T；再根據折疊匕知，得出

D4=OA,由等腰三角形性質得出ND4A=NDAA=NC/VV,最后利用外角性質即可得到答案.

【詳解】解：連接A4',過A作AM_LA及4N_L8C,4P_LAC,如圖所示：

A

*/A'6平分A'C平分N'ACB,

1.A!M=A!N=AP,

???44,平分N84C,

???ZZWT二NW

?/A8平分/ABC,A'C平分NACB,

???NH4C=-/ABC,NAC3=-ZACB,

22

Zl=125°,

?..ZA/BC+Z4ZCB=1800-Z1=180°-125°=55°,

???ZABC+ZACB=2(ZA,BC+ZA,CB)=]10°,

JZBAC=180°-110o=70°,

???將VA3C紙片沿OE折疊，點A落在點A處，

:.DA=DA,

???ZZM4，=NZM4,

ZDAA=ZCAAf

ZDAA'=ZDA!A=NC4/V,

N2是-ATM的一個外集，

???N2=ZDAA+ZDAA!=ZDAA'+ZCAA=ABAC=70°,

故答案為：70°.

13.95

【分析】根據角平分線的判定與性質可知ND4C=；/B4C,最后利用三角形的內角和定理即可

解答.

【詳解】解：過點。作。F_LA3,垂足為尸，過點。作?！╛LAC,垂足為〃，

S3ngACDH,

C-AEDF

?.?—3w：一_—_2________,

S"L.ACDH

2

..SADE二AE

S△八DGAG

，DF=DH,

???AO是28AC的角平分線，

???ADAC=-ABAC,

2

???28=60。，ZC=50°,

???ABAC=180°-Z?-ZC=70°,

???ZDAC=-ZBAC=35°,

2

：.ZADC=180°-ZC-ADAC=180°-35°-50°=95°,

故答案為95.

【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質，三角形的內角和定理，掌握角平分線的判定與性質

是解題的關犍.

14.(1)見解析

(2)23

【分析】本題考兗的是全等三角形的判定與性質，角平分線的判定;

(1)先證明Nf=N力尸。=90。，再證明RtZ\8￡Z汪RtZ\C/7)(HL),再結合全等三角形的判定與

角平分線的判定可得結論；

(2)由全等三角形的性質可得他=所，再進一步解答即可.

【詳解】(1)證明：???DE_LA8,DFJ.AC,

.,.NE=NQFC=90°,

???,在正的和rRico中，“BD=二bCD

RtAfi￡D^RtACFD(HL),

:.DE=DF,

?.DEA.AB,DFA.AC,

???人。平分NBAC：

(2)解：vZAED=^AFD=90°,AD=AD,DE=DF,

RtAAOE且RtAAO/(HL),

:.AE=AF,

AB=\5.CF=BE=4f

AE=AF=\5+4=\9,

:.AC=AF+CF=]9+4=23.

15.(1)N8尸C=；/B4C,見解析

(2)50°

【分析】本題考查的是角平分線的判定與件府及二角形外角忤質.熟練掌握判定與性質是關鍵.

(1)先得出々?C=NP6-NMC,根據角平分線定義得出N8PC=g(NACO-N48C),進而證

明結論；

(2)過點P作尸Q■!"8。于點Q,刊?J.AC于點R,PM1BA交BA延長線于點M,證明PR=,

得出小平分NC4M,即可求出結論.

【詳解】(1)解：NBPC=g/BAC,理由如下：

???/PCD=ZPBC+/BPC,

：.ZBPC=4PCD-4BC,

??,PB、PC分別平分/ABC,ZACD,

???4BPC=-ZACD--ZABC=-(ZACD-NABC),

,/ZACD=ZABC+ABAC,

:ACDABC?BAC,

???NBPC=L/BAC；

2

(2)解：如圖，過點P作/3Q_L8。于點Q,PR工AC亍點R,PM_L成交區(qū)4延長線于點M,

???PB,PC分別是ZABC,ZACD的平分線,

PQ=PM,PQ=PR,

???PR=PM,

???點尸在NC4例的平分線上，

即出平分NC4M,

由（1）得/胡C=2N8PC=80。，

A?CAM100?,

????CAP-?CAM50?.

2

16.（I）見解析

（2）DE=2.

【分析】本題考查角平分線的性質和判定，三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質是解題的關

鍵.

（1）利用角平分線的性質證得力G=D"，然后利用角平分線的判定定理，即可得出結論；

（2）連接CO,由（1）知￡>E=O/=￡>G,然后由改=$八"8+48”+、外板求得

SABC=^DE（AB+BC-^AC），根據V4BC的周長和面積都為24列式求解即可?

【詳解】（1）證明：???/24。和//WC的平分線交于點。，過點。作DE/AB,DF1AC,

DGLBC,

:?DE=DF,DE=DG,

???DG=DF,

VDF1AC,DGLBC,

???點。在/C的平分線上；

（2）解：連接CD,

由(1)知DE=DF=DC,

=-ABDE+-BCDG+-AC-DF

222

=^DE(AB+BC+AC)t

???VA4C的周長和面積都為24,

:.24=-DEx24,

2

???DE=2.

17.見解析