10.3解二元一次方程組

重難點題型專項練習

考察題型一代入消元法解二元一次方程組

x=4v-3

典例1-1.用代入消元法解關于尤、y的方程組c；'?時，代入正確的是（）

2x-3y=-1

A.2（4y-3）-3y=-lB.4y-3-3y=-l

C.4y-3-3y=lD.2（4y-3）-3y=l

變式1-1.用代入法解方程組卜一時，代入正確的是（）

x-2y=4

A.x-2-x=4B.x-2-2x=4C.x-2+2x=4D.x-2+x=4

2x+5y=21,①

典例1-2.用代入法解方程組＜,下列解法中最簡便的是（)

x+3)，=8?②

A.由①得工=21一2），代入②B.由①得y=4-2_r代入②

2255

D.由②得），=：—；代入①

C.由②得x=8-3），代入①

變式1-2.用代入法解方程組使得代入后化簡比較容易的變形是（）

2x—y=5②

A.由①得x=2*B.由①得y=2凸C.由②得x=￡gD.由②得y=2x—5

342

典例1-3.解方程組：

⑴廠;

y+4x=15

2x+4y=5

(2),

x=\—y

變式i-3-i.若@=2,且為+〃=18,則〃的值為

b5

變式1-3-2.解卜.列方程組:

7x+5y=9

y=2x-3

(2)

3x+2y=8

考察題型二利用代入元法求式

典例2.現有方程組,,消去〃?，得x與），的關系式為（）

|2x+3y=3〃i+l

A.3%+2y=1B.x+4y=1C.5x+6y=1D.x-6y=-l

r=4-t

變式2-1.已知..，寫成用含X的代數式表示），的形式，得—.

y=2-3/

變式2-2.若方程組\一"，則），=.（用含x的代數式表示）

2+y=m'

考察題型三加減消元法解二元一次方程組

典例3-1.用加減法解方程組（:“一，＞=時，②①得（）

3x+2），=3②

A.-8y=9B.6.v-4y=11C.Sy=-5D.-2y=5

變式3-1.已知二元一次方程組茅，若用加減法消去y,則正確的是（）

A.①xl+②xlB.①xl+②x2C.①xl-②xlD.①xl-②x2

典例3-2.解下列二元一次方程組：

5X-2)，=4

(1)

2x-j=1

1y+\,

-X------=1

⑵23

3x+2.y=IO

0.8.r-0.9y=2

(3)

6x-3y=2.5

變式3?2」.解方程組

x+y=-2

(1)

x+2y=4

x+1_y-3

(2)---2;

3x+4)，=32

0.6x-0.4y=1.1

(3)

0.2x—0.4y=2.3

變式3-22解方程組尸-2y=時，兩位同學的解法如下:

解法一：由①②得：一2工=2；

解法二：由②得：2x+（x-2y）=-l③；

把①代入③得：2A+（-3）=-1.

（1）上述兩種消元過程是否正確？你的判定是—.

4.兩種解法都正確

13.解法一錯誤，解法二正確

C.解法一正確，解法二錯誤

D.兩種解法都錯誤

（2）解這個方程組.

考察題型四利用加減消元法求式、求參

典例4-1.已知X,），滿足方程組則x+y等于_.

x+2y=5

變式4-1.已知方程組則3x+y的值是（）

[2x-y=1

A.-2B.2C.-4D.4

典例4-2.已知x,y滿足方程組I2".則.丫—y等于（）

x+2y=5

A.9B.3C.1D.-1

變式4-2.若a+*=8,&7+劭=18,貝U.+〃的值為（）

A.10B.26C.5D.13

Y—V=+3

典例4-3.由方程組:，,消去山，可得x與），的關系式是（)

x+2y=3m+4

A.2x-5y=5B.2x+5y=-iC.-2x+5y=5D.4x-y=13

變式4-3.已知［產一?'=；一：，則x-y的值為（）

［5,-3y=5-2。

A.1B.3C.5D.7

典例4-4.關于％,〉，的二元一次方程組［*+'=?的解也是二元一次方程2x+3），=6的解，則k的值是

x-y=9k

（）

a3「3「4n4

A.——B.—C.—D.——

4433

變式4-4-1.已知關于x、），的方程組的解滿足4x+），=23,求〃，的值.

變式4-4-2.若關于x、y的二元一次方程組［"+3>=23的解滿足/一丫=一］,則〃的值為

典例4-5.若方程組=的解滿足x—y=7,則。的值為一.

x+3y=-2a-3

變式4-5-1.已知方程組［2"+3）'"9的解.滿足工一）,=4。+2,則a的值為.

3x+2y=-l------

變式4-5-2.美于勺的二元一次方程組「X的解，流足入-2），——3,則，〃的值是

x+5y=16-3m

考察題型五利用整體法求方程組的解

典例5.已知方程組產：3y=l的解是y=22[x+l)+3()，-2)=l

則出方程組的解是

x-2y=4［y-~(x+1)-2(3,-2)=4

變式5.已知關于”的方程組號的解是，則與方程組屋“3幻『.有關的V

的值為.

考察題型六方程組的應用

典例6-1.若（2%-），）2與|x+2y—5|互為相反數，則（1-了了儂二

變式6-1.已知（x+y-5）2+1x-y+21=0,x、），分別為小正方形和大正方形的邊長，則陰影部分面積為

典例62在等式），="+〃中，當x=l時,y=5,當x=-2時,y=ll,則人力的值為（）

k=lk=-7k=2k=-2

A.B.C.D.

b=-2b=2b=-7b=l

變式6-2-1.在等式y(tǒng)=履+〃中，當工=一1時,y=-2,當x=2時,y=7,則這個等式是

)

A.y=3x4】C.y=2xi3D.y=3x1

變式6-2-2.已知y=kr+伙％工0）中，當x=-l時，），=5,當x=2時，＞'=14,則h》二

考察題型七同解方程組

典例7.關于x、y的兩個方程組"2和!:"-具有相同的解，則巾〃的值是（）

2x-y=7[3x-y=11

A.-1B.5C.6D.不能確定

變式7-1.已知方程組廠,和卜+?=3有相同的解，求/_2"+從的值.

3x-2y=1[ar-by=1

3x7=5和2x+y丁有相同解,求（_4值.

變式7-2.己知關于x,），的方程組，

4ar+5by=-22ax-by=S

考察題型八新定義問題

典例8-1.對于有理數X,y,定義一種新運算：x^y=ax+by,其中。，人為常數.已知1十2=10,（-3）

十2=2,則ae力=.

變式8-1.定義一種新運算“十”，規(guī)定：x?y=cix+bxy^其中a,b為常數，且1十2=4,20（-1）=5,

則a+b=.

典例8-2.定義：數對（.%），）經過一種運算可以得到數對3,），'），將該運算記作：d（x,），）=（/,/）,其中

”:“+?但人為常數）.

y=ax-by

例如，當a=l,。=1時，J(-2,3)=(1,-5).

(1)當。=2,。=1時，d(3,l)=；

(2)若，(-3,5)=(-1,9),求。和6的值;

(3)如果組成數對(x,y)的兩個數x,y滿足二元一次方程x-3y=0時，總有d(x,)，)=(-x,，則a=,

b-.

變式8-2.定義：數對",)，)經過運算?？梢缘玫綌祵?MW，記作奴X,)，)=3,川，其中

y=ax-by

b為常數).如，當。=1,〃=1時，叭一2,3)=(1,-5).

(1)當a=2,。=1時，0(1.0)=；

(2)若以2,1)=(0,4),則〃=,b=；

(3)如果組成數對0,y)的兩個數x,)，滿足x-2y=0,xywO,且數對(乂)，)經過運算8又得到數對“,)，),

求。和b的值.

10.3解二元一次方程組

重難點題型專項練習

考察題型一代入消元法解二元一次方程組

典例用代入消元法解關于小y的方程組二一.一時'代入正確的是（）

A.2(4y-3)-3y=-lB.4y-3-3y=-\

C.4y—3-3y=1D.2(4)，-3)-3y=l

x=4y-3①

【詳解】解:

,2x-3y=-\?

把①代入②得：2(4y-3)-3y=-l.

故本題選：A.

y=\—x

變式1-1.用代入法解方程組《時,代人止確的是（）

x-2y=4

A.x-2—x=4B.x-2-2x=4C.x-2+2戈=4D.x-2+x=4

y=l-x?

【詳解】解:‘x_2y=4②

把①代入②得：X-2(1-A)=4,

去括號得：x-2+2x=4.

故本題選：C.

典例12用代入法解方程組fx+5）'=2用，下列解法中最簡便的是（）

[x+3y=8.②

A.由①得工=弓—gy代入②B.由①得y=g—|x代入②

C.由②得工=8—3），代入①D.由②得），=|一；代入①

【詳解】解：由于兩方程中只有②中未知數的系數最小，

故可把②變形為用），表示x的形式，再代入①求解.

故本題選：C.

變式1-2.用代入法解方程組產—4）'=/',使得代入后化簡比較容易的變形是（）

23-），=5②

A.由①得x=2z至B.由①得y=2z2C.由②得x=￡gD,由②得y=2r—5

32

【詳解】解：觀察可知，由②得），=2x-5代入后化簡比較容易.

故本題選：。.

典例1-3.解方程組:

y=x

(1)

y+4.r=15

2x+4y=5

(2)

x=\-y

y=A

【詳解】解：（1）40

y+4x=15②

把①代入到②中得：5x=15,

解得：x=3，

把x=3代入到①得：y=3,

x=3

方程組的解為

j=3

2x+4y-5

(2)

x=\-y

把②代入①得：2(l-y)+4y=5,

解得：y=|

22

1

X=----

2

原方程組的解為

3

尸5

變式1-3-1.若g=且為+力=18,則。的值為

b5

【詳解】解：由@=2,得到5a=?,

b5

5a=2b@

聯立得：，

2。+)=18②

由②得：人=-2?+18③，

把③代入①得：5a=~4a+36,

解得：a=4.

故本題答案為：4.

變式1-3-2.解下列方程組：

x=y-3

(1),

7x+5)，=9

y=2x-3

(2)

3x+2y=8

x=y-3

【詳解】解：(1)<?

lx+5y=9②

把①代入②得：7(.y-3)+5y=9,

解得：y=|,

把y=3代入①得：x=--3=-l,

*222

1

x=——

所以原方程組的解是2；

卜=5

⑵尸已

3x+2y=8②

把①代入②得：3x+2(2%-3)=8,

解得：x=2,

把x=2代入①得：y=4-3=l,

't=2

則方程組的解為‘.

考察題型二利用代入元法求式

s

典例2.現有方程組自；3工皿+>消去明得用的關系式為()

A.3x+2y=1B.x+4y=\C.5x+6y=1D.

x-y=m?

【詳解】解：方程組《

2x+3y=3m+1②

把①代入②得：2x+3y=3(x-y)+l,

整理得：x-6y=-\.

故本題選：D.

變式2-1.已知卜”二：一：，寫成用含x的代數式表示y的形式，得

y=2-3/

【詳解】解：x=47

:.t=4-x,

.?.y=2-3r=2-3(4-x)=3x-10.

故本題答案為：y=3x-K).

變式2-2.若方程組【：一2"=3,則）,=_.（用含x的代數式表示）

2+y=m

x-2m=3①

【詳解】解:

2+>'=m?

由?得：m=――,

2

把小=七口代入②得:

2

y=m-2

_x-7

考察題型三加減消元法解二元一次方程組

典例3-1.用加減法解方程組產-6y=8?時，②①得（

3x+2y=3②

A.一8y=9B.6.v-4y-11C.8y=-5D.-2y=5

【詳解】解：②①得：2）」（Y）y）=-5,

整理得：8_y=-5.

故本題選：C.

變式3」.已知二元一次方程組①，若用加減法消去），，則正確的是（）

|4x-y=8②

A.①xl+②xlB.①xl+②x2C.①xl-②xlD.①xl-②x2

【解答】解：用加減法消去y,需①xl+②x2.

故本題選：B.

典例3-2.解下列二元一次方程組：

⑴廣，=4

2x-y=\

1y+\_y

（2）<2X--3~~；

3x+2y=10

0.8x-0.9y=2

(3)

6x-3y=2.5

5x-2y=40

【詳解】解：(1)

2x-、=l②

由①0x2可得：x=2.

把x=2代入②可得：y=3,

A=2

所以原力程組的解為:

y=3

3x-2y=8①

(2)原方程組整理得：

3x+2y=\0@'

由①+②可得：6x=18,解得：x=3,

把x=3代入①得：,=1

x=3

所以原方程組的解為:

0.8x-0.9y=2①

(3)

6%一3)，=2.5②

①xlO得：8x-9y=20@,

②x3得:18x-9y=7.5?,

③④得:-10%=12.5,

5

解得:x=——

4

把/=一1.25代入②得：-7.5-3y=2.5,

解得：y=*

5

x=——

故原方程組的解是4

10

y=----

3

變式3-2-1.解方程組

x+y=-2

(1)

x+2y=4

x+\_y-3

(2)

3x+4y=32

0.6x-0.4y=1.1

(3)

0.2.r-0.4y=2.3

x+y=-2①

【詳解】解：(1)

x+2>=4②

②?得：y=6,

把y=6代入①得:x4-6=-2?

解得：x=—R.

所以方程組的解是

y=6

2x-5y=-\l①

(2)整理得:

3x+4y=32②

①x3-②x2得：-23y=-115,

解得：y=5,

把=5代入②得：3x+20=32,

解得：x=4,

fr=4

所以方程組的解是《：

1)'=5

⑶整理原方程組得：fly"巴

2,v-4y=23@

①?得：4x=-12,

解得：x=—3,

把x=-3代入②得：-6-4y=23,

解得：y=--，

4

x=-3

方程組的解為29.

[k-彳

變式322.解方程組卜2：一-3管時，兩位同學的解法如下:

解法一：由①②得：-2x=2：

解法二：由②得：2x+(x-2)，)=-l③；

把①代入③得：2A-+(-3)=-1.

(1)上述兩種消元過程是否正確？你的判定是—.

A.兩種解法都正確

5.解法一錯誤，解法二正確

C.解法一正確，解法二錯誤

D.兩種解法都錯誤

（2）解這個方程組.

【詳解】解：（1）由①②得：必=一2,即解法一錯誤,

由②得：2x+x-2y=-\?t

把①代入③得：2x+（-3）=-l.即解法二TF確.

故本題選：B；

m卜-2），=-3①

-[3x-2y=-l?t

由②得：2x+（x-2y）=-l@,

把①代入③得：2x+（—3）=-1,

解得：x=1?

把x=l代入①得：1-2），=-3,

解得：），=2,

所以原方程組的解是「二：.

b，=2

考察題型四利用加減消元法求式、求參

2v+一4

典例4-1.已知％,y滿足力程組J-—則x+y等于

x+2v=5

2x+y=4①

【詳解】解:

x+2y=5?

①+②得：3（x+y）=9,

則x+y=3.

故本題答案為：3.

變式4-1.己知方程組則3x+y的值是（）

2J-y=1

A.-2B.2C.-4D.4

【詳解】解：第■

①+②得：3x+y=4.

故本題選：D.

2x+y=4r,皿-

典例4-2.已知x,），滿足方程組，則x-y等十()

|x+2y=5

A.9B.3C.1D.

2x+)，=4①中,

【詳解】解：在方程組

A+2y=5②'

①②得：x-y=-\.

故本題選：D.

變式4-2.若a+2/?=8,34+劭=18,貝1」〃+/?的值為（)

A.10B.26C.5D.13

【詳解】解：a+2b=8,3〃+必=18,

:.a+b

=[(3〃+4〃)-3+%)]+2

=(18-8)4-2

-10e2

=5.

故本題選：C.

"一—〃:3消去

典例4-3.由方程組m,可得x與）的關系式是（)

x+zy=3m+4

A.2x-5y=5B.2x+5y=-1C.-2.x+5y=5D.4x-y=13

x-y=m+3?

【詳解】解：

x+2y=3ni+4②’

①x3-②得：2x-5y=5.

故本題選：A.

3x-2y=3-a

變式4?3.己知?<Q<c，則x-y的值為()

5x-3Jv=5-2?

A.1B.3C.5D.7

【詳解】解：忙;;m

①x2可得:6x-4y=6-2a③,

③@可得:(6x-4y)-(5A-3y)=(6-2a)-(5-2a),

.x-y=\.

故本題選:A.

'十）二:f的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,

典例4-4.關于x,），的二元一次方程組，

x-y=9k

則我的值是

()

334

A.--B.-D.

443

【詳解】解：解方程組?得：卜

[A-y=9K[y

，.,關干x.y的二元一次方程組產+尸?的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,

X-y=9k

代入得：144-6攵=6,

解得：k=~.

4

故本題選：B.

變式4-4-1.已知關于x、丁的方程組卜+：=的解滿足4*+),=23,求加的值.

x-2y=Sm

x+y=5m

【詳解】解：方程組《

x-2y=8機

兩方程相減得：3y=-3m,

解得：y=-/n,

將y=t〃代入x+y=5m,

x=5m+m=6m，

將x,y代入4x+y=23得：24/??-m=23?

解得：m=\.

變式4-4-2.若關于x、y的二元一次方程組F"+3)'=23的解滿足X_),=T,則〃的值

為.

【詳解】解：尸3y譽①,

x+y=p@

@@x3得：2x=23-3p,x=y-^/?,

735

①②x5得：-2y=23-5p,y-—+~P,

解得：〃=6.

故本題答案為：6.

其二;工的解滿足…一則〃的值為

典例4-5.若方程組

3x+），=l+2a①

【詳解】解：

x+3_y=-2a-3②，

①②得：2x-2y=4a+4-即工一了=勿+2,

因為y=-l,

所以2zz+2=—1,

解得：?=--

2

故本題答案為：一|

m的解滿足—+2,則〃的值為

變式4-5-1.己知方程組

2x+3），=9①

【詳解】解：

3x+2），=-l②'

②①得：x-y=-\O,

方程組的解滿足x-y=4a+2,

.\4?+2=—10,

解得：a=-3.

故本題答案為：-3.

道二〃二的解’滿足…3則〃的值

變式4-5-2.關于外的二元一次方程組,

是

3x+y=5/n+6①

【詳解】解:

x+5.y=16-3m?'

①?得：2r-4y=8w-lCi,

4m-5=-3?

解得：m=—.

2

故本題答案為：

2

考察題型五利用整體法求方程組的解

IX"的解是［；［［，則出方程組'落晨二＞解

典例5.已知方程組

是

二M的解電x=2

【詳解】解：?.?方程組

j=-l

二的解滿足關系式‘x+1=2

方程組

y-2=-\

解得：

故本題答案為：

r=42ax+34），'=4q

變式5.已知關于的方程組?的解是'八，則與方程組

a2x+bzy=c2［)'=92。2f+34），=4c2

有關的1-2曠的值為.

ax+by=G,二

【詳解】解：「關于x,y的方程組t}

a2x+h2y=c2

2x,“

——=4

黑：黑：北的解滿足關系式?

方程組《4

*9

4

y=8

解得:

y=i2‘

故本題答案為：-16.

考察題型六方程組的應用

典例6-1.若(2式-?與|》+2)，-5|互為相反數，則(X-^產值二

【詳解】解：.(2]-?與|x+2y-5|互為相反數，

/.(2x-y)'+1x+2y-51=0,

.\2x-y=0,x+2y-5=0,

2x-y=0?

x+2)，-5=0②’

①x2得：4x-2y=0③，

②+③得：5x-5=0,

解得：x=1?

把x=l代入①得：2-y=0,

解得：y=2,

原方程組的解為：

[y=2

y）畋2=（1_2）故2=1.

故本題答案為：1.

變式6-1.已知(x+y—5)：+|x-y+2|=0,x、)，分別為小正方形和大正方形的邊長，則陰

影部分面積為.

X+y=5

x-y=-2

則陰影部分面積為：

戶/

=(y+x)(y-x)

=_(x+y)*_y)

=-5x(-2)

=10.

故本題答案為：10.

典例6-2.在等式)，=履+〃中，當x=l時,y=5,當工=一2時,)，=11,則左、b的值為(

)

/=7(k=-7攵=2k=-2

A.B.C.D.

b=-21力=2b=-7b=l

【詳解】解：由題意得：一,二

-2k+b=\\

解得：：

故本題選：D.

變式6-2-1.在等式），=去+。中，當工=一1時，＞-=-2,當x=2時，y=l,則這個等式是

（）

A.y--3x+1B.y=3x+lC.y=2x+3D.y=3x-\

【詳解】解：分別把當x=-l時，y=-2,當x=2時，y=7代入等式丁="+6得：

J-27+力

[l=2k+b'

①@得；一3左--9,

解得：k=3,

才Ek=3代入（D得：-2=—3+。，

解得：b=l,

分別把左=3、〃=1的值代入等式y(tǒng)=得：y=3x+l.

故本題選：B.

變式6-2-2.已知y=H+貿kwO）中，當x=—l時，y=5,當x=2時，y=14,則h〃=.

【詳解】解：，丫=辰+"女=0）中，當x=-l時，y=5,當x=2時，y=14,

J-2+b=5①

[2k+b=\4?'

②?得：32=9,

解得：k=3,

把Z=3代入①得：-3+〃=5,

解得：0=8，

故本題答案為：24.

考察題型七同解方程組

典例7.關于x、y的兩個方程組I?""2和]產-5,：9具有相同的解，則日,的值

2x-y=713x-y=11

是（）

A.-1B.5C.6D.不能確定

【詳解】解：由題意得：產一）'"7火，

3x-y=\\?

②3）得：x=4,

把x=4代入①中得：8-y=7,解得：y=\,

原方程組的解為；

[y=l

把[I代入方程組六丹=2中可得2b="

y=113ar-5力=9[l2a-5Z?=9②

①x3得：1為-6/?=6③，

③②得：—Z?=—3?解得：b=3,

把人=3代入①中得：4〃-6=2,解得：a=2、

此方程組的解為

a+Z?=2+3=5.

故本題選：B.

變式7-1.已知方程組和有相同的解，求/一2t必+6的值.

3x-2y=1[ax-by=\

【詳解】解：解方程組[?+）'=5得：x=1

3x-2y=l)'=1

把r二!代入第二個方程獨得:a+b=3

[y=la-b=\

a=2

解得：

b=l

則/-2"+〃=22-2x2x1+J.

變式7-2.已知關于1，y的方程組）；5“和有相同解，求（-4值.

4av+5by=-22[av-by=8

【詳解】解：因為兩組方程組有相同的解，

所以原方程組可化為[“7=5,*x+5e=-22,

2x+3y=T山-by=S

解方