專題03銳角的三角比（期中復習講義）

.明?期中考情.

核心

復習目標考情規(guī)律

考點

三角能結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系，

基礎(chǔ)必考點，在小題和解答題中均有涉及，包

比的準確寫出任意一個銳角的三種三

括直接默寫、代入計算以及結(jié)合其他數(shù)學知識

基本角比表達式.熟記特殊銳角的三

進行化簡計算.

概念角比數(shù)值.

銳角掌握銳角三角比隨角度變化的規(guī)

三角律，能根據(jù)這一性質(zhì)比較兩個銳重點考查根據(jù)同角三角比的關(guān)系求值以及解直

比的角三角比的大小.明確同角三角角三角形中簡單的邊長或角度計算.

性質(zhì)比的基本關(guān)系.

熱門考點，以實際生活中的測量、航海、建筑

解直熟練掌握解直角三角形的基本類

等問題為背景，考查學生的數(shù)學建模能力和知

角三型及解法.能將實際問題轉(zhuǎn)化為

識應用能力.題H難度有逐漸提升的趨勢，常

角形解直角三角形的數(shù)學問題.

與其他幾何圖形結(jié)合考查.

.記?必備知識.

知識點01銳角的三角比

一個銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個銳角的三角比.

定義表達式取值范圍相互關(guān)系

tanJ>0,1

tanA=tantantanA=——

正切（NA為銳cot

ft）

試卷第1頁，共22頁

cotJ>0

cotA=cotcot

余切(N4為銳

第)

0<sin<1

sinA=sinsin

正弦（//為銳

sin/=cos-

角）

cosJ=sin《

0<cos4<1

cosJ=coscos

余弦（ZA為銳

角）

知識點02特殊銳角的三角比的值

a=30。a=60。a=45°

也

tanor1

T

cota■1

6~T

石V2

sina

~2V2

cosaV3旦

22

知識點03銳角的三角比性質(zhì)

①當銳角增大時，這個銳角的正切與正弦值都增大，這個銳角的余切與余弦值都減小;

②若N4+N8=90°,則tan力=cot4;sinA=cosB-

(3)tanJ?cot=1.

知識點04解直角三角形的基本類型

在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在中，如果/C=90。，那么它的三條邊和兩個銳角之間有以下的關(guān)系：

(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2

(2)銳角之間的關(guān)系：4+4=90。

試卷第2頁，共22頁

(3)邊角之間的關(guān)系：sinJ=cos5=—,cosA=sinB=-

cc

tanJ=cot5=—,cotJ=tan5=—

ha

知識點05解直角三角形的應用

1.仰角與俯角

在測量過程中，常常會遇到仰角和俯角.如圖，當我們進行測量時，在視線與水平線所成的

角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.

2.方向角

指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90。的角叫做方向角.

如圖：北偏東30。，北偏西70。,南偏東50。，南偏西45-

在修路、挖河、開渠等設(shè)計圖紙上，都需要注明斜坡的傾斜程度.

如圖，坡面的鉛垂高度A和水平寬度/的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作八即

坡度通常寫成1：〃［的形式，如，=1:1.5.

坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a.

坡度i與坡角a之間的關(guān)系：i=3=tana.

試卷第3頁，共22頁

h

?破?重難題型.

3題型一角的正弦值及其應用

【典例1]（24-25九年級上?上海黃浦期中）

1.如圖，在ZU4C中，8是邊/出上的高，已知4cB=90。，8C=1.下列線段中，其長

為siM的是（）

A

A.BDB.ACC.BCD.AD

【典例2]（24-25九年級上?上海靜安?期中）

2.如果口是邊長為10的菱形的一個銳角，Sina=4（,那么這個菱形的面積是.

【典例3]（24-25九年級上?上海楊浦?期中）

2

3.已知點P位于第一象限內(nèi)，OP=6,且。尸與x軸正半軸夾角的正弦值為：，那么點P

的坐標是

【典例4】（24-25九年級上?上海?期中）

4.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，46、C、。均在格點上.

試卷第4頁，共22頁

8

MH

圖1圖2

（1）如圖1,僅利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，在MN上找一點P,使MP=3.小明作出線段

GH（點、G、〃均在格點上），得到G〃、MN的交點就是點P,請證明小明的畫法是正確

的：

（2）利用小明的方法，僅利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，請在圖2的線段48上畫點E,使

BE=2AE,保留作圖痕跡，并求/4OE的正弦值.

【變式1］（24-25九年級上上海浦東新?期中）

5.已知直角三角形兩直角邊長分別為9和40,那么較小銳角的正弦值是.

【變式2】（24-25九年級上?上海青浦?期中）

4

6.在中，ZC=90°,J5=10,sinJ=-,那么8C=.

【變式3】（24-25九年級上?上海虹口?期中）

7.己知：如圖，。中，Z5JC-900,點后是邊4。上的一點，口=

月8=3,AC=4.

⑴求BE的長：

（2）作EO18C于。，求NE8C的正弦值.

但題型二角的余弦值及其應用

【典例I】（24-25九年級上?上海?期中）

8.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,CD是斜邊上的高，下列線段的比值不等于cos/

的值的是（）

試卷第5頁，共22頁

ADAC廠BD「CD

C.---D.---

ABBCBC

【典例2】（24-25九年級上?上海楊浦?期中）

9.已知在中，ZC=90°,AB=n,那么下列關(guān)系式正確的是（）

A.AC-,7sinAB.AC=ncosA

C.AC=/?tanAD.AC=ncotA

【典例3】（24-25九年級上?上海寶山?期中）

10.如圖，在菱形44co中，對角線/C、4。交于點。，點E是力。的中點，聯(lián)結(jié)OE.如

果/出=3,AC=4,那么cos//?！?.

【變式1］（23-24九年級上?上海閔行期中）

11.在Rt△48。中，ZC=90°,cos8=3，如果48=14,那么.

【變式2］（24-25九年級上?上海?期中）

12.如圖，△48。中，ZC=90°,將△力8C沿圖中的虛線翻折，使點C落在邊8c上的點。

jn5

處，如果一=-,那么COS/"C=.

DB8

色題型三角的正切（余切）值及其應用

【典例1】（24-25九年級上?上海普陀?期中）

13.已知在平面直角坐標系xQy內(nèi)有一點42,5）,那么。力與x軸正半軸的夾角。的正切值

試卷第6頁，共22頁

是（）

【典例2】（24-25九年級上?上海松江?期中）

14.已知，在中，ZC=90°,tan=—,BC=4,則4C=_____.

2

【典例3】（24-25九年級上?上海松江?期中）

15.已知：如圖，在平行四邊形N8CO中，力8=6,8C=8,/8=60。，點￡在。力的延長線

上，連接E。，交力B于點、F.

EdD

七

iiC

（1）當4E=3時，求）尸的長:

（2）當?shù)?:時，求/￡的正切值?

CF2

【典例4］（24-25九年級上?上海?期中）

已知在平面直角坐標系xQy中，反比例函數(shù)），=一的圖像與正比例函數(shù)

y=%k00）的圖象相交于橫坐標為2的點力,平移直線0力，使它經(jīng)過點8（3,0）,與），軸

交于點C.

K

（1）求平移后直線的表達式；

（2）求NO5C的余切值.

【變式1］（24-25九年級上?上海虹口?期中）

17.如圖，在RtA/lAC中，ZC=90°,BC=,4,4c=2,則tan/1等于（）

A

c^-——^^2?

試卷第7頁，共22頁

A.YB.2C.正D.V5

25

【變式2]（23-24九年級上?上海黃浦?期中）

18.如圖已知在△力8c中，ZC=90°,AB=5,cot8=:，正方形OEFG的頂點G、尸分別

在邊/C、BCE點、D、E在斜邊力8上，那么正方形QE/G的邊長為.

「題型四特殊角三角比的混合運算

【典例1】（24-25九年級上?上海嘉定?期中）

ic、,有nc。3cot60'+tan45-^

19.計算：cos60+--------------cos-24a3

2sin30°

【典例2】（24-25九年級上?上海黃浦?期中）

20.計算：V6cot60°-|l-2cos45°|+4sin230°.

【典例3]（24-25九年級上?上海?期中）

21.計算：2sin60+--------------J(sin45-1)

tan450-tan60巾f

【變式1】（24-25九年級上?上海靜安?期中）

lc；245°

22.3tan2600-V3cos30°+n\

cot230°

【變式2】（24-25九年級上?上海?期中）

win30°

23.計算：|tan30°-l|+———......sin2600-cos2600

1cot450-sin60°

r題型五解直角三角形的相關(guān)計算

【典例1]（24-25九年級上?上海?期中）

24.在銳角△力4c中，tan/=4,那么sin/=

【典例2]（24-25九年級上上海崇明期中）

25.如圖，在RtZ\48。中，ZC=90°,AC=2,tanB=-.

2

試卷第8頁，共22頁

A

（1）求BC的長；

⑵求cos4的值.

【變式1]（24-25九年級上?上海寶山?期中）

26.已知RtZ\/18C中，ZC=90°,AC=3,8C=4,那么下列各式中，正確的是（）

C.cot8=3

D.sinB=—

4

【變式2】（24-25九年級上?上海?期中）

27.如果在等腰也力鳥。中，AB=AC=3,BC=2,那么底角的正弦值為.

「題型六解直角三角形中的翻折與旋轉(zhuǎn)問題

【典例1]（24-25九年級上?上海寶山?期中）

3

28.如圖，在△/18C中，.43=4C=4,8s8=一，D、E分別在/a8c上，點“沿OE翻

折后正好落在射線84的點/處，射線E/交射線。于點G,當4/=1時，則

AG:GC=____.

【典例2]（24-25九年級上?上海寶山?期中）

29.如圖，已知在矩形/BC。中，連接力C,cotZJ5Z）=|,將矩形/4C。繞點C旋轉(zhuǎn),

使點8恰好落在對角線4c上的點9處，點兒。分別落在點力',。'處，邊力⑻,4c分別與

邊AD交于點、M、N,MN—AM=5,那么線段"N的長為.

【變式1]（22-23九年級上?上海嘉定?期中）

試卷第9頁，共22頁

30.如圖所示，△/8c中，AC=5y/5,tanC=1,BC=22,且Q為BC上一點,將“C。

沿4。翻折，C落在C',邊力C'與邊8c交于F,若DC〃AB,則。尸=.

【變式2】（24-25九年級上?上海普陀?期中）

。2

31.如圖，在中，Z^C5=90,J5=5,tan5=-.將△44C繞著點力順時針旋轉(zhuǎn)后,

點8恰好落在直線4C上的點。處，點C落在點E處，射線OE與直線48相交于點尸，那

1題型七仰角俯角問題

【典例1]（24-25九年級上?上海閔行?期中）

32.進博會期間，從一架離地200米的無人機力上，測得地面監(jiān)測點8的俯角是60。，那么

此時無人機A與地面監(jiān)測點B的距離是米.

【典例2】（24-25九年級上?上海普陀?期中）

33.如圖，某興趣小組用無人機進行航拍測高，無人機從1號樓和2號樓的地面正中間8點

垂直起飛到高度為60米的力處，測得1號樓頂部上的俯角為60°,測得2號樓頂部少的俯角

為45°.已知1號樓的高度為27米，則2號樓的高度為米（結(jié)果保留根號）.

【典例3]（24-25九年級上?上海靜安?期中）

34.如圖，小明身高（即48）為1.6米，通過地面上的一塊平面鏡（即點C）,剛好能看到

試卷第1（）頁，共22頁

前方大樹（即。￡）的樹梢，此時他測得俯角為45。，然后他直接抬頭觀察樹梢，測得仰角

為30。，求樹的高度.（結(jié)果保留整數(shù)米，V2?1.4,V3?1.7）

【變式1】（24-25九年級上?上海寶山?期中）

35.如圖所示，胡和CQ表示前后兩幢樓，按照有關(guān)規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高

度，即圖中力。大于等于CO.小明想測量一下他家所住48樓與前面。。樓是否符合規(guī)定,

于是他在力。間的點M處架了測角儀，測得C。樓頂。的仰角為45。，已知4M=4米，測角

儀距地面MN=1.5米.

（1）問：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說出你的理由；

（2）為了知道前面8樓的高度，小明乂到家里（點P處），用測角儀再次測得CO樓頂。的

仰角為。，如果4P=7.5米，sina=0.6,請你來計算一下。。樓的高度.

【變式2］（24-25九年級上?上海?期中）

36.根據(jù)背景素材，探索解決問題：

測算發(fā)射塔的高度

、、、

博雅小組在一幢樓房窗前測算遠處小、、、、、

、、、

山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1）,、、、，激

背景

他們通過自制的測傾儀（如圖2）在

素材■儕函）"1

一鉗錘

力、B、。三個位置觀測，測傾儀上的

P支架大拇指尖和中指尖

示數(shù)如圖3所示.指尖的最大距離

圖2

試卷第11頁，共22頁

于的3r3任2任1任

7【

北.典務務務

偏如例題

圖

千東1型經(jīng)測測測

6，]

米0在八討得得得

。2（

（.方一4方論D44

結(jié)-

向條2，、、、

果5位

、東九只EC8

保角之之

在西年需之

留間間

碼方級問換推獲選間

根的

頭向上題算理取擇的的

號圖

8筆?高計數(shù)其圖圖圖

）的上上上上

直度算據(jù)中1

北的海兩距距距

浦離

試偏沿個離離

東為為為

卷西湖合

4新適514

第5道?m2m

。路期的mm

1方問mm

2/中位..；

向上題D

頁）解置KeMy*

，有

，決，

共4力換樓計離直值直

C通

2、算房算：接：接過

2=8發(fā)的發(fā)_寫_寫

頁6__測

千兩射實射_出_出L-.

個__量B~-

米塔際塔_已_所處-

游__點選、3-

的寬的_測_選仰擰:-

?船___擇換4-

那實度圖_得_位_掛-

___算角

么碼際。上_且_置_兩

碼頭高__個就N

￡高_需_且和能

頭，度為__觀圖3掛8

度要;需點計

4觀.._察3

1M的要_算處

、光2N線的_位。

8島米._發(fā)處仰

段觀_置

之嶼，_射仰2角

請的測.：塔擰

間。圖角角

的通的N

在上的2

距過高N

碼距正N

禽頭測度4

切

等力量.

北

【變式】（23-24九年級上上海閔行期中）

38.如圖，海中有一小島P,在以尸為圓心，半徑為16、2海里的圓形海域內(nèi)有暗礁.一輪

船自西向東航行，它在力處測得小島Q位于北偏東60。方向上，且力，P之間的距離為32

海里.

r-梅

（1）若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？

（2）如果輪船繼續(xù)向正東方向航行有危險，輪船自力處開始改變航行方向，沿南偏東。變方

向航行確保安全通過這一海域，求。的取值范圍.

「「題型九坡度坡比問題

【典例】（24-25九年級上?上海普陀?期中）

39.如果斜坡的坡比為1:6，那么斜坡的坡角等于（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【變式1】（23-24九年級上?上海長寧?期中）

40.如圖，土坡48CZ）是一個梯形，DC//AB,斜坡力。長130米，坡度是1:2.4,沿4。

走上平臺，可以坐電梯直達矩形觀景臺CQE尸頂部￡尸，在點￡觀察坡底點力，俯角是45。,

則觀景臺的垂直高度為米.

試卷第13頁，共22頁

【變式2】（23-24九年級上?上海松江?期中）

41.如圖，已知梯形相C。是一水庫攔水壩的橫斷面示意圖，壩頂寬">=6米，壩高米,

迎水坡8的坡度不=1：1,背水坡48的坡度/；二|，求壩底寬8C.

「題型十解直角三角形其它應用

【典例1】（24-25九年級上?上海?期中）

42.如圖，為了測量河寬月8（假設(shè)河的兩岸平行），測得4c8=30。，408=60。，CZ）=30

米，則河寬為米（結(jié)果保留根號）.

【典例2]（24-25九年級上上海?期中）

43.材料閱讀:

光從空氣中射入水中時，傳播方向發(fā)生了偏折，這種現(xiàn)象叫做光的折\法線；

>7:空氣

射，我們把入射角。的正弦值和折射角0的正弦值之比稱為折射率

/、rcsincz4

（力即"sin/T已知光線從空氣進入水中時的折射率為§.1認水

問題解答：

如圖，矩形48。。為盛滿水的水槽、一束光線從點P射句水面上的點O,折射后照到水槽

底部的點。.測得“00=37。，NQ=12cm,若P,O,。三點在同一條直線上，請依據(jù)相

關(guān)材料回答以下問題：

試卷第14頁，共22頁

M

O

D

B

NQC

（1）求一尸。河的正弦值；

343

⑵求的長（結(jié)果精確到?！筩m,參考數(shù)據(jù)：疝37。方網(wǎng)37。，丁337。7.

【變式1】（24-25九年級上?上海?期中）

44.根據(jù)以下素材,探索完成任務:sin28°?0.47,cos28°?0.88,tan28°?0.53,結(jié)果精確到

0.1cm)

素材1：如圖1是上海地鐵里常見的一組通道閘機，當乘客掃碼或刷卡后，閘機兩側(cè)的圓弧

翼閘會收回到兩側(cè)閘機箱內(nèi)，這時行人即可通過.圖2是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形

48c和扇形QE廠是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對,稱，8c和石尸均垂直于地面,

/ABC=/DEF=28°,半徑比1=瓦）=60cm,點力與點。在同一水平線上，且它們之間的

距離為10cm.

素材2：小磊同學要攜帶如圖3的長方體行李箱進站.（單位：cm）

問題解決

任務1確定寬度求閘機通道的寬度，即AC與痔之間的距離.

若點B、E到地面的距離均為20cm,求點A到地

任務2確定高度

面的距離.

試卷第15頁，共22頁

小磊同學的行李箱是否可以通過閘機？請說明理

任務3能否通過

由.

【變式2】（24-25九年級上?上海青浦?期中）

45.圖1是一種折疊式晾衣架.晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩

支腳0。=0。=10分米，展開角NCOQ=60。，晾衣臂。力=08=10分米，晾衣臂支架

HG=FE=6分米,且，。="。=4分米.（參考數(shù)據(jù)：石=1.73）

（I）當/力00=90。時，求點/離地的距離4W約為多少分米：（結(jié)果精確到0.1）

（2）當08從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到08'（在CO延長線上）時，點E繞點/隨之旋轉(zhuǎn)至OZT上的點

處，則8'￡=.

.過?分層驗收.

期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）

（24-25九年級上?上海?期中）

46.在直角△/AC中，NC=90。，那么下列關(guān)系中，正確的是（）

A.c=a-sinAB.c=----C.c=a-tanAD.c=----

SinAcos/

（24-25九年級上?上海?期中）

47.若sina=；（0o<a<90。），則。是多少度（）

A.30°B.45°C.60°D.任意度數(shù)

（24-25九年級上,上海?期中）

試卷第16頁，共22頁

si?"

48.在△/出。中，NB、NC都是銳角，且-sinB=0,則/力的度數(shù)為

22

()

A.120°B.100C.90°D.60°

（24-25九年級上?上海普陀?期中）

49.如果cosa=g,那么銳角。=___度.

（24-25九年級上?上海靜安?期中）

50.如果。是銳角，sina=i,那么cos（90。一a）=.

（24-25九年級上?上海閔行?期中）

51.在RtZ\/i8C中，ZC=90°,如果tan8=2,BC=2,那么4C=.

（24-25九年級上上海寶山?期中）

52.在Rt△/BC中，ZC=90°,NB=a,AB=2,那么4C=.（結(jié)果用。的銳角三

角函數(shù)表示）

（24-25九年級上?上海普陀?期中）

53.計算：COS45°rCOS450+2tan60°cos30°.

sin'30°

期中重難突破練（測試時間；10分鐘）

（24-25九年級上?上海?期中）

54.如圖，在RtzUAC中，乙4cB=90\4C=BC,將折疊，使點力落在8C邊上的

點。處，即為折痕.若.4E=3CE,sinNBFD=.

（24-25九年級上?上海黃浦?期中）

55.如圖，已知在四邊形48CQ中，4C與8。相交于點O,AB1AC,CD1BD.若

s\nZ.ABO-q，SJOD=2,則S&BOC=-

試卷第17頁，共22頁

A

D

"°、

(24-25九年級上?上海?期中)

2

56.如圖，已知在△力8c中，CDVAB,垂足為點。，力。=2,4。=6,tanN4=§,點E是

邊8c的中點.

(1)求邊4c的長；

⑵求co"E48的值.

(22-23九年級上?上海長寧?期中)

57.如圖，為測量學校旗桿的高度，小明從旗桿正前方3米處的點C出發(fā)，沿坡度為

i=l：G的斜坡8前進26米到達點。，在點。處放置測角儀，測得旗桿頂部力的仰角為

37。，量得測角儀QE的高為1.5米./、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，且旗桿和測角儀都與

水平地面8c垂直.

(I)求點。的鉛垂高度；

(2)求旗桿的高度.

(結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75.)

(24-25九年級上?上海?期中)

58.小華家準備購買一?套新房，經(jīng)過考察小華家發(fā)現(xiàn)有的房產(chǎn)開發(fā)商，為了獲取更大利益,

縮短樓間距，以增加住宅摟棟數(shù).某市某小區(qū)正在興建的若干幢20層住宅樓，國家規(guī)定普

通住宅層高宜為2.8()米.如果樓間距過小，將影響其他住戶的采光(如圖所示，窗戶高1.()

試卷第18頁，共22頁

米).

窗

窗

第

第

第C8-4

〃

〃

〃

層

層

層

樓

樓

戶

戶

戶

高

-篙

高

*分送陽高度角111

米

米

米

.永*霰.....

太陽高度角不影響采光稍微影響完全影響

(1)某市的太陽高度角(即上午太陽光線與水平面的夾角)：夏至日為8L4度，冬至日為34.88

度.為了不影響各住戶的采光，兩棟住宅樓的樓間距至少為多少米？(保留到0.1米)

(2)小華一家決定在該小區(qū)8、。兩棟樓中選擇一套進行購買，現(xiàn)向售樓中心咨詢得到如下信

息：

1.B,C兩棟樓中各套房子的面積均為100m，

2.4B、。三棟樓平行排列，4樓在8樓正南方且間距68米，8樓C樓的正南方且間

距76米.

3.8樓一層每平方米4萬8,隨著樓層增高單價也隨之增高，每增