山西省懷仁市第一中學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第一次月

考（8月）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.己知集合力="|/<3*,8={x||x|<l},則4U8=（）

A.（0,3）B.（-1,3）C.（-3,1）D.（0,1）

4

2.已知a>0,則〃?=〃+,的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

3.下列說法中正確的是?）

A.隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率

B.在〃次隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有確定性

C.在同一次試驗中，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1

D.隨著試驗次數(shù)〃的增大，一個隨機事件4發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件力發(fā)生的概

率

4.已知荔=（2,—1）,X=若cos/歷IC=嚕，則實數(shù)人的值是（）

A.-1B.7C.1D.1或7

5.在VE8C中,內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,b,c,且sinV:sin8:sinC=2:3:4,則cos/=

（）

3725

A.-B.-C.-D.一

4836

6.設(shè)。，B，7是互不重合的平面，，相〃是互不重合的直線，給出四個命題：

①若小〃a,m〃0,則魂〃尸②若a_L7,尸_L7,則。_L尸

③若m_L。夕，則?！ā辎苋簟?〃a,〃_La,則/〃〃〃

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.IB.2C.3D.4

7.?個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2石的半圓，在該圓錐內(nèi)有一個體積為P的球，則

該球的體積P的最大值為（）

試卷第1頁，共4頁

8.在平行四邊形力4c。中，E是對角線力C上靠近點。的三等分點，點產(chǎn)在8E上，若

6

ciD.

7

二、多選題

9.已知更數(shù)z滿足（l-i）z=4+6i,3是z的共施復(fù)數(shù)，貝!下列說法正確的足（）

A.z的虛部為5i

B.復(fù)數(shù)三在更平面中對應(yīng)的點在第三象限

C.z+型=-2

z

D.z>z

10.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標有"9這9個數(shù)字（每張卡片

上標1個數(shù)），”從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件4,“從中任

意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過6”記為事件8,“從中任意抽取1張卡片，卡片上的

數(shù)字大于等于7”記為事件C.則下列說法正確的是（）

A.事件彳與事件C是互斥事件B.事件8與事件。是對立事件

C.事件力與事件8相互獨立D.P（4U8）=尸（4）+尸（8）

II.已知函數(shù)/"）=3sin（如r+0）（6>>0,|°|<1）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確

的是（）

試卷第2頁，共4頁

A.函數(shù)/G）的解析式/。）=3軻（2*+5）

B.直線x=-裝兀是函數(shù)/（x）圖象的一條對稱軸

C./*）在區(qū)間（=,坐）上單調(diào)遞增

26

D.不等式/（X）的解集為[-―^-+E,-y^+E],keZ

2412

三、填空題

12.某高中共有學(xué)生1000人，其中高一和高二各有400人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取容

量為25的樣本，那么高二抽取的人數(shù)為.

13.tan35+tanl00-tan35tanlOO=.

14.在三棱錐尸一48。中，PC_L平面P48,PC=2,PA=PB=\,AB=g，點G是空

間內(nèi)的一個點，且PG=],則點G到平面4AC的距離的最大值為.

四、解答題

15.已知V48C的內(nèi)角月，B,。所對的邊分別為b,c,若acosB=bsinA.

⑴求角B；

（2）若6=6，a=五,求V48。的面積S.

16.已知第函數(shù)/3=（加+〃-42一"依〃￡1<）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減.

⑴求/⑻的值；

（2）求不等式〃2x-3"；的解集.

17.已知向量￡3滿足|加=1句,|3-2"=2而,|2￡-司=>/方.

（1）求向量23的夾角；

試卷第3頁，共4頁

(2)若向量［與6+1)"+書的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍.

18.某大學(xué)隨機統(tǒng)計了800名學(xué)生的一個學(xué)期自習(xí)時間(單位：小時)，所得數(shù)據(jù)都在［50J50］

內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成4組：［50,75),［75,100),［100,125"125,150］得到如圖所示的頻率分

布直方圖.

頻率

(1)求。的值以及自習(xí)時間在［100,150］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)：

(2)估計該校每個學(xué)生一個學(xué)期自習(xí)的平均時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

⑶從［100,125)和［125,150］用分層隨機抽樣的方法抽取6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中隨機抽

取2名學(xué)生調(diào)查他們的學(xué)習(xí)成績，求抽到的這2名學(xué)生伶有1名一個學(xué)期自習(xí)時間落在

［125,150］內(nèi)的概率.

19.如圖，在直四棱柱力BCQ-44GA中，底面/出。是邊長為2的菱形,

400=120。.CC.=4,M,N分別是線段。A，8。上的動點，J&D7V=2Z)B(0<2<1).

(I)若二面角M-BC-C.的大小為45°,求OM的長；

(2)當(dāng)三棱錐M-ADC的體積為理時，求CN與平面BCM所成角的正弦值的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《山西省懷仁市第一中學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考(8月)數(shù)學(xué)試題》參考

答案

題號12345678910

答案BCDCBACCBCBC

題號11

答案ABD

1.B

【分析】計算兩不等式，再求并集

【詳解】Pg,化簡得x(x—3)<0,解得0<x<3,故力=(0,3).

|x|<l,解得一1<》<1,故3=(7,1).

所以力。8=(-1,3).

故選：B.

2.C

【分析】利用基本不等式計算可得.

44

【詳解】因為。>0,所以〃?=a+=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=—即a=2時取等號).

4

所以〃?=a+,的最小值為4.

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率，概率的定義，即可逐一判斷.

【詳解】對于A,一般而言，頻率是試驗值，而概率是估計值，故不是同一個概念，故A

錯誤；

對于B,在〃次隨機試驗中，一個隨機事件力發(fā)生的頻率具有隨機性，故B錯誤；

對于C,在同一次試驗中：每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和一定等于1,故C錯誤；

對于D,根據(jù)隨機事件發(fā)生的概率定義，隨著試驗次數(shù)〃的增大，一個隨機事件4發(fā)生的

頻率會逐漸穩(wěn)定于事件4發(fā)生的概率，故D正確.

故選:D.

4.C

【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算，化簡即可求得4的值.

【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標運算，代入化簡可得

答案第1頁，共10頁

2-2_VIo

cos/B/C=i絲害i

l^lkl石?川+；P10,

?二解得4=I.

故選：C.

【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【分析】由正弦定理角化邊，再結(jié)合余弦定理即可求解.

【詳解】由$足41m8411。=2:3:4,根據(jù)正弦定理得。：?c=2:3:4,

設(shè)。=2k,b=3k,c=4k(k>0),

（34）2+（必）、（2。7

可得cosA=

2x3左x縱8

故選：B.

6.A

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理，以及推論，逐項判定，即可求解.

【詳解】對①，若m〃a、m"B，則。與△平行或相交，①錯誤；

對②，若a_L/,PLY,則「與￡平行或相交，②錯誤；

對③，若〃?_L。，/〃_1_夕，則?！ㄏΤ闪ⅲ壅_；

對④，若in//a,〃J.a,則J_〃，④錯誤；

故選：A.

7.C

【分析】根據(jù)題意求出圓錐的底面半徑，高，母線長，再結(jié)合圓錐的軸截面構(gòu)造等式

/_=半即可求出.

3—R2百

l=2yf3

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為人高為h.母線長為/,有

27n.=2\/3兀

可得/?=△/[=J（2揚2_（揚2=3,

圓錐的軸截面如圖，設(shè)體積最大的球的半徑為R,

答案第2頁，共10頁

A

*RDC七RG曰n?

有TX=~777，有T——="廣，解得A-1，

AOAC3-R2j3

44

故該球的最大體積為5幾斤=3兀.

故選：C.

8.C

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算，建立方程組，解之即可求解.

【詳解】由題可知，衣=：就=:(布+石),???點尸在Z?K上,

~AF=XAB+(l-/l)J￡(O</l<1),.1.~AF=+

又萬？：=xN后+萬，

[22A=i

—+—=x

?J：；]，解得?2

5.

---2=-

1333x=~

故選：C.

9.BC

【分析】由復(fù)數(shù)除法求得z，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、幾何意義，復(fù)數(shù)的運算判斷各選項.

4+6i(4+6i)(l+i)

【詳解】Z=T—=(￡〈=-1+5i,z的虛部為5,故A錯誤：

1-1+

7=-1-5i在復(fù)平面中對應(yīng)的點(-1.-5)在第三象限，故B正確：

z+—=-l+5i+------=-l+5i+(-l-5i)=-2,故C正確；

z-l+5i

虛數(shù)不能比較大小，故D錯誤，

故選：BC.

10.BC

【分析】根據(jù)古典概型的概率的計算公式，分別算出事件48、C的概率，然后再根據(jù)互

答案第3頁，共10頁

斥事件、對立事件、相互獨立事件及概率的運算性質(zhì)即可判斷出答案.

【詳解】樣本空間為C={1,2,3,4,5,6,7,8,9},/={2,5,8},B={1,2,3,4,5,6},C={7,8,9}.

因為/cC={8},所以事件力與事件。不是互斥事件，故A錯誤；

因為8uC={l,2,3,4,5,6,8,9},8cC=0,所以事件6與事件C為對立事件，故B正確；

因為尸（48）=1，尸（4）=W（E）=d，所以P（訓(xùn)=*）/＞（/?）,即事件,4與事件A

相互獨立，故C正確：

7

因為尸=f所以尸（力=8）HP（4）+P（8）,故D錯誤.

故選：BC.

11.ABD

【分析】由圖象結(jié)合五點法求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項.

【詳解】對于A,由圖知函數(shù)/（幻的最小正周期r=2x（學(xué)-力二兀，所以3=生=2,

3612幾

所以/"）=3sin（2x+c）,將點（23）代入，得3=3sinC+8），

所以5+夕=4+2%兀（keZ）,解得°=色+2履（左wZ）,

623

又lelvg,所以e=所以/（x）=3sin（2x+§,故A正確；

對于B,當(dāng)"-詈時，=3sin|'2x，9]+斗3,故B正確；

對于C,當(dāng)xw（5，-^-）時，2x+—e（―^-,4TT）,

當(dāng)2x+W=W時，/（X）取得最小值-3,所以/a）在區(qū)間（自,坐）上不單調(diào)遞增，故c錯

3226

誤；

對于D,由得3$in（2x+￥）42,所以一乂+2E42%+44色+2E.kw7..

232636

解得-當(dāng)?+履Vx4+E,kJZ,故D正確.

故選：ABD.

12.10

【分析】根據(jù)分層抽樣的特點：按比例抽樣，即所占比例不變.

【詳解」高二人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為40儒0=《2，高二抽取的人數(shù)為25X2￡=I（）

1v/vzkz，。

答案第4頁，共10頁

故答案為：10.

13.-1

【分析】由tanl35=ian(35'+100),利用兩角和的正切公式變形即可得解.

tan35°+tan100_1

【詳解】vtan135=

l-tan35tanl00

/.tan35+tanlOO=-l+tan35°tan100°,

tan35：+tan100-tan35:anlOO=-1.

故答案為：-1.

3

【分析】利用等體積法求得點尸到平面48C的距離，進而可求得點G到平面48c的距離的

最大值.

【詳解】因為PC_L平面P48,PA,ML平面所以尸C_LP4,PC工PB,

又尸C=2,PA=PB=l,所以8c=4C=后，又AB=6，

所以S如c22因為尸4=P8=1,AB=6,

=-/1BJ/1C-I—|=LXV2XBL

ABC2\[2)222

所以尸不+?產(chǎn)二力"，所以P4LPB,設(shè)P到平面48c的距離為人

等體積法可得=心.，即1x；xlxlx2=9],解得〃=,,

2

所以點P到平面48。的距離為大,

25

又尸G=1,所以點G到平面ABC的距離的最大值為//+PG=-+1=-.

15.⑴吟

⑵與1

2

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)結(jié)合正弦定理化簡求解即可；

<2)先利用余弦定理求得c=x/5+1，再利用三角形的面積公式求解即可.

答案第5頁，共10頁

【詳解】(1)由a8s8=bsin/,

根據(jù)正弦定理得sin力cos8=sin8sin力，

又sin4。0,則tan8=1,

因為8?0,兀)，所以4=：.

4

(2)在V48C中，B=-,b=Ba=Q，

4

由余弦定理，b2=a1+c2-2accosB,3=24-c2—2c，

解得c=V5+l或-g+1（舍去），

故VABC的面積為:acsinB=；乂6x（拒+1）x*=歷:1.

64

⑵圖《言

【分析】（1）根據(jù)某函數(shù)的定義和單調(diào)性求犯〃的值，確定轅函數(shù)的解析式，再求/（8）;

（2）根據(jù)基函數(shù)的解析式，把函數(shù)不等式化為代數(shù)不等式求解.

加,“wN.

【詳解】（1）由題意，卜"〃-4=1=所以/（x）=/，

n=3

m-n<0

所以八8）=8-2=專.

,、1、-2111f|2x-3|<2

（2）/（2x-3）>-=>（2.r-3）*>-=>]----,

'V'4、74|2x-3|2||2x-3|#0

I53

所以;4x4：且

222XH=.

故所求不等式的解集為：托卜仁卷.

17.（I）y

⑵號-》吟年

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律求出|￡|,|川,3九再利用夾角公式求解.

（2）由（1）的信息，利用夾角公式及共線向量定理列式求解.

【詳解】（1）設(shè)向量Z]的夾角為仇0K9K兀），

答案第6頁，共10頁

由|￡一23|=2折，得(￡-2母+.2,即142Tl5+4,『=52,

由|2￡-昨目,得Qi-])2=4|￡『T〉B+?2,即4￡|2—42石+/|2=37,

則有|開—|片=5,又|加=京￡|,解得|)|=2,囚=3,力=-3，

因此85。=言攝=二=一(，所以向量￡出的夾角為勺.

|利6|2x323

(2)由(1)知14|=2,|B=3，(ka-b)-[(k+\)a+b]=(/C+k)a-ah-h

=(k2+k)\af-ab-\b\i=4(k2+k)+3-()=4k2+4k-6,

由向量筋-B與（k+l）￡+5的夾角是鈍角，得/力）［3+1而+向<0,

4r+4左-6<0r-］

且向量Ai-方與（k+l）￡+b不共線，因此限八1,解得一業(yè)〈業(yè)二1且

匕,丁22

所以實數(shù)〃的取值范圍為（-等5與3.

18.（】）。=0.016；480

（2）105小時

（3）A

【分析】（1）利用頻率直方圖的性質(zhì)即可求解：

（2）利用頻率直方圖的中點值結(jié)合均值算法，可估計總體平均值；

（3）利用分層抽樣和古典概型公式可求出概率.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知：（0.004+0.008+0.012+^/）x25=1,解得。=0.016,

一個學(xué)期自習(xí)時間在［100,150］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（0.016+0.008）x25x800=480；

（2）該校學(xué)生一個學(xué)期自習(xí)平均時間

T（竽卜0.004+（亨卜。.32+產(chǎn)盧+產(chǎn)/。卜。.。。8卜25=1。,

即估計該校每個學(xué)生一個學(xué)期自習(xí)平均時間為105小時；

（3）一個學(xué)期自習(xí)時間落在［00,125）的抽取人數(shù)為6x而篙麗=4,

這4人分別記為4B,C,。，

答案第7頁，共10頁

一個學(xué)期自習(xí)時間落在［125,150］的抽取人數(shù)為6x，吸=2,

0.016+0.008

這2人分別記為a,b,

再從這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生的樣本空間。為：

。=｛（44）,（4。）,（4。卜（44）,（48）,（民。）,（叢。）,（民。）,（叢〃）,（。,。）,（。,。）,（。力）,（。,。）,（。力）,（凡〃）｝

，共有15個樣本點，

其中恰有1名一個學(xué)期自習(xí)時間落在［125,150］內(nèi)的樣本點

｛（4a）,（4b）,（8M）,（5,b），C〃）,（C,b）,（2a）,（0,b）｝,共8個樣本點,

Q

所以抽到這2名學(xué)生恰有1名一個學(xué)期自習(xí)時間落在［125,150］內(nèi)的概率尸=］.

19.（l）DM=5

【分析】（1）利用直棱柱和底面是有120,角的菱形，可作出二面角的平面角，從而解直角三

角形即可.

（2）利用等體積法來求線面角，即只需要求出點N到平面8c用的距離，再用距離與CN長

度的比值就是線面角的正弦值，從而可求解?.

【詳解】（1）

DG

AB

取8c中點P,過2點作交用G于點。，連接PM.

由直四棱柱48CO—44?！ǎ傻肅G_L平面力4c

而8Cu平面力4c。，所以CG_L8C,即CG〃P。，

乂因為Cg〃QR,所以PQ〃DD］,

因為底面4AC"是邊長為2的菱形，N/"C=120°,

答案第8頁，共10頁

所以△BC。為等邊三角形，則QP_L6C,

又因為OPnQ。=p,DP,PQ<=平面PQDQ,所以8。_L平面PQD.D,

又因為尸Mu平面尸。。。，所以8clpM,

即4MPQ為二面角A/-5C-C,的平面角，所以AMPQ=45°.

在平面尸。中，由可得NDWP=NMP。=45。.

在RIZXA仍尸中，BC=2,DP=-BC=y/3,

2

&r~

則tan/QMP=tan450=\-，解得。M=G；