10月份階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)科試卷（2025.10）

一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題每小題5分，共40分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.直線/：氐-y-3=o的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.90°

2.已知三棱錐O—ABC,點(diǎn)〃，N分熟為AB,。。的中點(diǎn)，且況=萬，OB=b,OC=c,用。,

b,忑表示麗，則兩等于()

11-11

A—(〃+/7—c)B.—(b+c—a)C.—(c—a—b)D.—(u—b+c)

2222

3.已知點(diǎn)。(-1,2)到直線/:4元-3'+機(jī)=0的距離為1,則根的值為()

A.-5或-15B.-5或15C.5或-15D.5或15

4.直線的一個(gè)方向向量為爐=（1,-3）,且經(jīng)過點(diǎn)（0,2）,則直線的方程為（）

A.3x—y+2=0B.3x+y—2=0C.3x+y+2=0D.3x—y—2=0

5.在同一坐標(biāo)系中，表示直線丁二公與y=x+Q正確的是()

6.在空間直角坐標(biāo)系中，向量商=（2,-1,回，5=（＜2,4）,下列結(jié)論正確的是（）

A.若力〃方，則帆=2B.若同=6,則用=5

C.若苗石）為鈍角，則，D.若萬在往上的投影向量為9，則加=4

7.如圖所示，已知在一個(gè)60。的二面角的棱上，有兩個(gè)點(diǎn)A,8,AC,分別是在這個(gè)二面角的

兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,則CO的

長為()

A.25/17B.2面C.2D.10

8.教材44頁第17題：在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量分=（a,6?（a6cw0）,點(diǎn)發(fā)（%,%*。），點(diǎn)

P(x,y,z).(1)若直線/經(jīng)過點(diǎn)兄，且以。為方向向量，尸是直線/上的任意一點(diǎn)，求證:

上馬=1=二為；(2)若平面a經(jīng)過點(diǎn)乙，且以工為法向量，尸是平面a內(nèi)的任意一點(diǎn)，求

證：iz(x-xo)+Z?(y-yo)+c(z-zo)=O.利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面a的方

程為》_y+z_7=0,直線/是平面x+2y-3=0與x+z+l=0的交線，則直線/與平面。所成角的正

弦值為()

A.BB.旦C.立D.巫

951555

二、多項(xiàng)選擇題：(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.)

9.已知福=(-2,1,4),衣=(4,2,0),存=(1,-2,1),邁=(0,4,4),則下列說法正確的是()

A.衣是平面ABC的一個(gè)法向量B.ABC,。四點(diǎn)共面

C.PQ//BCD.BC=V53

10.已知直線/:(a+2)x+ay—2=0與〃：(a—2)x+3y—6=0,下列選項(xiàng)正確的是()

A.若〃/〃，則a=6或°=一1B.若/_L",則o=l

C.直線/恒過點(diǎn)D.若直線〃在x軸上的截距為6,則直線〃的斜截式為y=gx-2

n.已知正方體ABC。-A4CQ1的棱長為I,下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()哥

A.直線5c與直線所成的角為90。B.點(diǎn)耳到平面AC2的距離為日忙二二快

C.平面AC。D.直線5c與平面AC。所成角的余弦值為正

3

三'填空題：(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.若苕=(1,0,1)石=(0,2,2),則sin??=.

13.已知點(diǎn)A(3,l),直線/是過點(diǎn)尸(-2,3)且與線段相相交且斜率存在，貝的斜率上的取值

范圍是.

14.在正四棱錐尸-ABCD中，~PF=FD,PE=2EB,設(shè)平面AEF與

直線PC交于點(diǎn)G,而=彳祀，則2=.

四、解答題：（本大題共6道小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟，需認(rèn)真、規(guī)范書寫.）

15.（13分）已知花=（3,4,x）,b=（2,y,-2）.

⑴若（￡+2石）〃（H）,求x,y的值;

⑵若伍+山伍-5）,且忖=5,求x的值.

16.（15分）已知直線小龍-2y+3=04：2x+3y-8=0.

⑴求經(jīng)過點(diǎn)4L4）且與直線4垂直的直線方程；

⑵求經(jīng)過直線4與人的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

17.（15分）如圖在平行六面體AB。。-A4G2中，AB=AD-AAi=V2,

NA】AB=必AD=ABAD=60。.

（1）求證：直線AC，平面瓦兒＞4；

⑵求直線AC和Ba夾角的余弦值.

18.(17分)已知直線/過點(diǎn)(3,4),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

若直線/與x軸、y軸的正半軸分別交于46兩點(diǎn)且V49B面積為24.

(1)求直線1方程；

(2)若點(diǎn)P為線段4g上一動(dòng)點(diǎn)，且PQ〃O3交力于點(diǎn)Q.在y軸上是否存在點(diǎn)必使取;乜

為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

19.（17分）如圖，在直四棱柱ABC。-中，AB1AC,AB=1,AC=AA,=2,AD=CD=y/5,

AE=-AA^.

(1)求證：平面A3；

⑵求平面〃AC與平面B{AC夾角的余弦值；

⑶若尸為線段CO上的動(dòng)點(diǎn)，求歹到直線BE距離的最小值.

單選答案：1-4BCDB5-8CDAA

二、多項(xiàng)選擇題：（每小題6分，共18分.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)

的得0分.）

多選答案：9.AD;10.AC;ll.ACD

LB【詳解】因?yàn)橹本€/:氐-y-3=0可化為y=gx-3,則其斜率為若，設(shè)其傾斜角為40°4。<180。,

貝Utan6=g,所以。=60°.故選：B.

,_._,__.1uirjumiurn1-1-1-

2.C【詳解】MN=MO+ON=—OA—OB-\—OC=—a—b-\—c.故選：C.

222222

3.D由題意=1得加=5或15.

4.B【詳解】方法一???直線的一個(gè)方向向量為刀=(1,—3),.?.左=—3,

???直線的方程為y=—3x+2,即3x+y—2=0.方法二由題意知直線的一個(gè)法向量為n=（3,1）,

直線的方程可設(shè)為3x+y+C=0,將點(diǎn)（0,2）代入得C=—2,

故所求直線的方程為3x+y-2=0.故選：B

5.c【詳解】由一次函數(shù)y=可知，函數(shù)為增函數(shù)，故排除B,D選項(xiàng)，A選項(xiàng)中，由可知。>0,

函數(shù)y=x+a中的。<0,故不符合，A錯(cuò)誤，C選項(xiàng)兩個(gè)函數(shù)圖像都符合a<0的情況，故C正確.

6.D【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:若4〃石，則==二=:，解得m=-2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B:若同=6,則也許0rd=6,解得加=±?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C:若（方石）為鈍角，則花-5=-8-2+4根=4m-10<0且相片一2,解得加<|■且〃件一2,故選項(xiàng)C錯(cuò)

誤；對(duì)于選項(xiàng)D：a在5上的投影向量為同8$卜萬卜4=|司?前-4=消5=與3方，則電=

解得機(jī)=4,故選項(xiàng)D正確.故選：D.

7.A【詳解】?.C4_LAB,BD1AB,/.CA-=BD-AB=0,-<AC-BB>=60°,??<CA,BD>=120°-

：a)=CA+AB+BlD，CD=CA+AB+BD+2CAAB+2CABD+2AB-BD

=62+42+82+0+2X6X8XCOS1202+0=68.:.\CD\=2717.故選：A.

8.A【詳解】?.,平面a的方程為尤—y+z—7=0,，平面a的一個(gè)法向量正=（1,-1,1）,

同理，可得平面尤+2y-3=0的一個(gè)法向量”=（1,2,0）,平面x+z+l=0的一個(gè)法向量p=（L0,l）,設(shè)平面

%+2》一3=0與平面%+2+1=。的交線的方向向量為夕=(%,y,z),

q-n=x+2y=0

則取y=i,則4=(-2,1,2)設(shè)直線/與平面a所成角為0,

q-p=x+z=O

故選：A

9.AD【詳解】AP-AB=(-2)xl+lx(-2)+4xl=0,AP-AC=lx4+(-2)x2+lx0=0,

所以凡？，48,473,4。,45八4。=448,4。匚平面48(?,

所以平面ABC,所以正是平面A8C的一個(gè)法向量，故A正確；

—2=4/1

設(shè)通=4正+〃戀，則1=24+44,無解，所以A,民C。四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；

4二4〃

Pe=AQ-AP=(-l,6,3),BC=ZC-AB=(6,l,-4),^^-^4'所以而與前不平行，故C錯(cuò)誤；

61-4

Ml=荷+儼+㈠>=后,故D正確；

10.AC【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，〃%則3(a+2)=a(a-2),解得。=一1或。=6,經(jīng)檢驗(yàn)，均符合，故A項(xiàng)

正確；對(duì)于B項(xiàng)，若/_!_〃，貝ij+2)(〃一2)+3〃=a?+3〃—4=(a+4)(〃-1)=0,解得]=1或〃=^,故B

[x+y=0fx=l

項(xiàng)不成立；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?a+2)x+ay-2=0=>(x+y)a+2x-2=0,貝U由'八得｛,所以/恒

[2x-2=0[y=-l

過點(diǎn)(1,-1)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若直線。在x軸上的截距為6,即直線"過點(diǎn)(6,0),則6(“-2)-6=0,

得。=3,所以直線"的方程為尤+3y-6=0,斜截式為y=-；x+2,故D項(xiàng)不成立.故選：AC.

11.ACD【詳解】如圖以。為原點(diǎn)，分別以所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),4(1,0,0),C(0,l,0),A(0,0,1),4(1,1,1),對(duì)于A：^C=(-l,0,-l),A^=(-1,0,1),

因?yàn)槁?宿=(-1)x(-l)+0x0+(—l)xl=0,所以麻工隔，即用C_LA￡>|,直線四。與直線

所成的角為90°，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于C：因?yàn)锳C=(-1,1,0),宿=(—1,0,1),^0=(-1-1,-1),

______?_______?_______?_______?______?_______"UUULUULL

所以AC-4O=1—1+0=0，叫40=1+0—1=0,所以ADt±BXD,

因?yàn)锳CIAD］=A,AC,A。u平面ACn，所以耳。,平面ACR,故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于B：因?yàn)?=(-1,0,-1),平面AC。的一個(gè)法向量麗=(T,T,T),

I而麗22百

所以點(diǎn)B］到平面ACD1的距離為d=??_?=—產(chǎn)=——,故選項(xiàng)B不正確.

仰“733

對(duì)于D：由選項(xiàng)C知：平面ACR,所以平面AC。1的一個(gè)法向量麗

B〔DB]C

因?yàn)樵?(-1,0,T，所以卜OS(麗麻產(chǎn)2=木，即直線51c與平面AC。所成

麗氐后

角的正弦值為華，所以直線B】C與平面ACD,所成角的余弦值為,故選項(xiàng)D正確;

73一3

12.3【詳解】根據(jù)夾角公式，_

2一/a-b1x04-0x2+1x2I

cos<〃,b>=—=---『——F=——

同WV2x2V22

73

注意到色石￡［0,兀］,則sin。,八0,于是廠.故答案為:

2

sin<^,b>=

一2

1一32-1-3

13.【詳解】因?yàn)镻（—2,3）,A（3,l）,所以％=訐］="，原B=_4_.2）=2.

2

???直線/過點(diǎn)尸(-2,3)且與線段A3相交，如下圖所示：.?.勺<左外=-w或與'心5

直線/的斜率上的取值范圍是：］-8,-1。［2,+8).

2

14.【答案】j

【詳解】因?yàn)槎?西+/=耳+旗+防，所以定=西+萬一而+兩一方=麗+而一所,

——?——?——?2——?__.3?.—.

因?yàn)楦?而，而=2麗，所以PD=2PF,PE=—PB,所以PC=〈PE+2尸尸一PA,Xro=AGC;

32

所以而=二無，所以同=豆了丁麗+丁兩-丁萬，因?yàn)锳,E,￡G共面，

4+12（2+1）2+12+1

_,322224…八2

所以^^i-"Q__7=1，解得丸二7.

2（4+1）2+1A+13

15.（13分）已知（=（3,4,尤）,b=［2,y,-2）.

⑴若（￡+25）〃&/）,求x,y的值;

⑵若（2+5）M萬一5）,且帆|=5,求x的值.

【詳解】（1）：a=（3,4,x）,b=（2,y,-2）,：.a+2b=（l,4+2y,x-4）,4-B=（l,4-y,x+2）.（2分）

又（Z+2B）〃（H），**-7=t+2J=7T7＞（5分）解得x=_3,y=]（7分）

（2）由卜+B），（4一5）,得k+B）.（萬一5）=0,（9分）.../一片=o，（io分）

.?.同=W=5,（11分）即萬2=25,；.32+42+尤2=25,（12分）解得x=0.（13分）

16.（15分）已知直線點(diǎn)龍-2y+3=04：2x+3y-8=0.

（1）求經(jīng)過點(diǎn)4L4）且與直線垂直的直線方程;

⑵求經(jīng)過直線4與4的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

229

【詳解】（1）由直線L：2x+3y—8=0ny=—§x+§可得斜率為一.........................2分

所以根據(jù)垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為y=3則依題意有4=；3xl+6,解得b=5

所以所求直線方程為＞3尤+：5,整理得3x-2y+5=0；.....................................7分

[x-2y+3=0[x-1

（2）聯(lián)立.二。八，解得.，即直線乙與4的交點(diǎn)為（L2）,........................9分

[2x+3y-8=0[y=2

當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，假設(shè)直線方程為丫=近，

代入（1,2）得上=2,此時(shí)＞=2無；.........................................................U分

當(dāng)直線的截距都不為0時(shí)，假設(shè)直線方程為-+f=1（。,bW0）,

ab

a=b

依題意12,,解得。=6=3,此時(shí)直線方程為二+1=1,即x+y-3=0.................13分

-+-=133

、。b

綜上所述：所求直線方程為V=2x或x+y-3=0............................................15分

17.（15分）如圖在平行六面體A3CD-ABC2中，AB=AD=AA,=y[2,

Z^AB=ZA.AD=/BAD=60。.

（1）求證：直線AC，平面月；

⑵求直線Ac和BC夾角的余弦值.

【詳解】⑴設(shè)凝工，GJ,屬=1

則｛癡，可為空間的一個(gè)基底，且二，BD^b-a'甌=1（2分）

I-222

因?yàn)?6=仞="=0,ZA,AB=ZA,AD=ABAD=60°,則［<二=2，（3分）

a-b=b-^=2a=l'（4分）可得“?麗=卜+1_）（5_@=0,'^C-BBl=（a+b-c\c=Q,（6分）

即ACLBRACLBB],且BDcBB]=B,^。，臺(tái)耳u平面BDR4,所以AC，平面BOR4.（7分）

（2）由（1）BCX=Z?+c>（8分）貝!1AC-8G=（汗+3-^>0+@=無5+萬?不+廬+5上一5上一不=2（9分）

|ac|=（a+b-c^=a2+b2+c2+2a-b-2d-c-2.b-c=4,（11.分）Bp|AC|=2,（12分）

則|西『=,+寸=52+^+25g=6,即|財(cái)|=#，（13分）

冏c。?，麗.翦2一底

設(shè)與的夾角為。，,（14分）

'麗,阿2x#6

所以直線A。和BG夾角的余弦值為逅.（15分）

6

18.（17分）已知直線/過點(diǎn)（3,4）,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

若直線/與x軸、y軸的正半軸分別交于48兩點(diǎn)且V496面積為24.

（1）求直線1方程；

（2）若點(diǎn)P為線段4?上一動(dòng)點(diǎn)，且PQ〃O3交力于點(diǎn)Q.在y軸上是否存

在點(diǎn)〃，使AMPQ為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在,說明理由.

xy—I—=1a=6

【詳解】（1）由截距式設(shè)直線A8的方程為一+2=l（a力〉0），所以〈ab=>,。，……4分

ab,b=8

所以2+工=1,即4x+3y—24=0；........6分

68

（2）若存在9PQ為等腰直角三角形，不妨設(shè)QQ,0）,te（0,6）,則P，,8-.......7分

因?yàn)锳MPQ為等腰三角形，

當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)M[0,4—MP=\tA-^t\,Me=b,|/-4j,

所以痔?詼=-?2+—r-16=0.即。+12)(5/—12)=0,..............9分

UJ93

1?221212(12、

所以％二=或，=一12(舍)，所以4—1=4—x—=一,即點(diǎn)A/0，L；..............1。分

53355八'I5

(2424、

當(dāng)。為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M(0,0),Ply,yL符合題意；.......12分

當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)M[0,8—3d，由|MP|=|QP|可得：?=8-1f,

24(24、

所以"亍，Mlo,y..............15分

綜上所以M0，M,M(0,0),M0,y,符合題意.17分

19.(17分)如圖，在直四棱柱AB。-A4GR中，AB1AC,AB=1,AC=

AE=^AA^.

(1)求證：BE,平面AM；

⑵求平面RAC與平面E4C夾角的余弦值；

⑶若尸為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，求尸到直線BE距離的最小值.

【詳解】(1)證明：由直四棱柱48。)一426。知44，底面98,

因?yàn)锳Cu平面ABCZ),所以AALAC,又ABIAC,A^A^AB=A,AA1,?18€1平面凡8814,

所以AC，平面AB瓦A，因?yàn)?Eu平面AB用A，所以ACJ_BE...............2分

,一1—.AE1AB

因?yàn)锳B=1,AC=AA=2,AE=-AA^,所以弁=；=^"，NEAB=NAB=90°,

I4An2￡>￡?]

所以AABESABB]A,所以NABE=ZAB.B,

因?yàn)?BAB|+/A耳8=90。，所以ZBAB]+NABE=90。,所以BE_LA耳，.......4分

又A