蘇科新版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第3章《勾股定理》單元測(cè)試卷

一.選擇題

1.直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為3和4,則斜邊長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.10

2.一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：1,其相對(duì)應(yīng)三邊之比為（）

A.1：2：1B.I：V2：1C.1：4：1D.12：1：2

3.已知四個(gè)三角形分別滿(mǎn)足下列條件：

①一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和；②三個(gè)內(nèi)角之比為3：4：5；③三邊長(zhǎng)分別為

7,24,25；④三邊之比為5：12：13.

其中能判定是直角三角形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.1.5,2,2.5C.32,42,52D.氏,也，仇

5.兩只小穗鼠在地下從同一處開(kāi)始打洞，一只朝北面挖，每分鐘挖8cm,另一只朝東面挖,

每分鐘挖6c?〃?，10分鐘之后兩只小頻鼠相距（）

A.100cmB.50cmC.140cmD.80?！?/p>

6.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于25°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）

A.25°B.55°C.65°D.75°

7.如圖，趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直

角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為。和從若必=8,大正方形的邊長(zhǎng)為5,則小正方形的邊

2C.3D.4

8.如圖，中N/C8=90°,CD//AB.NB=60°,則N1等于()

E

9.下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）

A.。=2,力=3.c=4B.a=5,b=6,c=8

C.a=5,b=[2,c=\3D.a=7,6=15,c=12

10.如圖，在△力8c中，乙4c8=90°,過(guò)點(diǎn)C作。8交乙48。的平分線于點(diǎn)。，若

)

C.40°D.50°

二.填空題

11.如圖所示的圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后

的圖形，四邊形/AC。與四邊形小G〃均為正方形，點(diǎn)，是OE的中點(diǎn)，陰影部分的

面積為24,則力。的長(zhǎng)為.

12.若一個(gè)三角形的三邊之比為5：12：13,且周長(zhǎng)為60c〃1，則它的面積為

cm2.

13.如圖，要為一段高5米，長(zhǎng)13米的樓梯鋪上紅地毯，至少需要紅地毯米.

14.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則/46c的度數(shù)為.

A

15.在中，NC=900,N4=65°,則N4=.

16.在Rt△48c中，ZC=90",ZA=709,則N4=.

17.在直角三角形中，一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的4倍，則較小銳角的度數(shù)為度.

18.把兩個(gè)相同大小的含45°角的三角板如圖所示放置，其中一個(gè)三角板的銳角頂點(diǎn)與另

一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)4另外三角板的銳角頂點(diǎn)&C,。在同一直線上，若AB=

V2,l/lijBD=.

19.已知直角三角形的直侑邊長(zhǎng)為小b,斜邊長(zhǎng)為c,將滿(mǎn)足"+房=/的一組正整數(shù)稱(chēng)為

“勾股數(shù)組”，記為b,c),其中。W/)Vc.事實(shí)上，早在公元前十一世紀(jì)，中國(guó)

古代數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了“勾三、股四、弦五”，我們將其簡(jiǎn)記為(3,4,5).類(lèi)似

的勾股數(shù)組還有很多….例如:(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),

(11,60,61),(13,84,85),如果q=2〃+l(〃為正整數(shù))，那么6+c=

.(用含〃的代數(shù)式表示)

20.直角三角形中，以直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積分別為7C〃R8c,〃/,則以斜邊為

邊長(zhǎng)的正方形的面積為cm2.

三.解答題

21.如圖，ZACB=90°.CDLAB,垂足為O.求證：ZACD=ZB.

22.已知：如圖，在RtAJBC中，NA4C=90°,。是8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD=AB,求證:

ZBAD=2ZACB.

（1）①請(qǐng)敘述勾股定理:

②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了40（）多種方法，請(qǐng)從卜.列幾種常見(jiàn)的證明方法中

任選一種來(lái)證明該定理;（以下圖形均滿(mǎn)足證明勾股定理所需的條件）

以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、

等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足S]+S2=S3的有個(gè);

圖7

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰

影部分）的面積分別為舟,S2,直角三角形面積為冬，請(qǐng)判斷S2,S3的關(guān)系并證明;

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別

向外作正方形，重及這一過(guò)程就可以得到如圖8所示的“勾股樹(shù)”.在如圖9所示的

“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形用的邊長(zhǎng)為定值機(jī)，四個(gè)小正方形

A,B,C,O的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d,已知/I=N2=N3=Na,則當(dāng)Na變化時(shí),

回答下列問(wèn)題：(結(jié)果可用含〃?的式子表示)

(l)a2+^2+c2+t/2=；

②人與c的關(guān)系為—，。與d的關(guān)系為.

圖8圖9

26.如圖，在中，AB=AC,NA4c=90°,0為8C的中點(diǎn).

(1)寫(xiě)出點(diǎn)。到△RBC的三個(gè)頂點(diǎn)4、B、C的距離的關(guān)系(不要求證明)

(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段48、力。上移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中保持力N=8M,請(qǐng)判斷

△OMN的形狀，請(qǐng)證明你的結(jié)論.

27.定義：如圖，點(diǎn),“、M把線段力8分割成4"、MN、NB,若以AM、MN、NB為邊的

三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M、N是線段48的勾股分割點(diǎn).

(1)已知V、N把線段44分割成MMNB,若/必=2,MN=4,4N=2近，則

點(diǎn)”、N是線段44的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)已知點(diǎn)M、N是線段力夕的勾股分割點(diǎn)，且4”為直角邊，若力4=12,4W=5,

求8N的長(zhǎng).

NB

參考答案與試題解析

一.選擇題

1.解：由勾股定理得：斜邊長(zhǎng)為：732+42=5.

故選：B.

2.解：設(shè)三個(gè)角的度數(shù)分別為x,2x,x,

???根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個(gè)角分別為45°,45°,90°,

???這個(gè)三角形是等腰直角三角形，

???斜邊等于直角邊的的倍，

???相對(duì)應(yīng)三邊之比為1：V2：1.

故選：B.

3.解：①設(shè)兩個(gè)較小的角為x,則2x+2x=18O°,則三角分別為45°,45°,90°,故

是直角三角形；

②設(shè)較小的角為3口則其于兩角為4x,5x,則三個(gè)角分別為45°,60°,75°,故不

是直角三角形；

③因?yàn)槿叿瞎垂啥ɡ淼哪娑ɡ恚适侵苯侨切危?/p>

④因?yàn)?2+122=132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形.

所以有三個(gè)直角三角形，故選：C.

4.解：力、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)：

4、1.52+22=2.52,能構(gòu)成直角三角形，不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)；

C、(32)2+(42)2K(52)2,不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；

D、(,)2+(V3)2=(V5)2,不能構(gòu)成直角三帶形，不是正整數(shù)，故不是勾股

數(shù).

故選：A.

5.解：兩只露鼠10分鐘所走的路程分別為80s?,60cm,

???正北方向和正東方向構(gòu)成直角，

:.由勾股定理得46居W/=io(),

???其距離為100cm.

故選：A.

6.解：???在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于25°,

???另一個(gè)銳角的度數(shù)是90°-25。=65".

故選：C.

7.解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b,

_1_1

???每一個(gè)直角三角形的面積為：2ab=2義8=4,

2

??.4X2ab+(a-b)2=52,

:.Ca-b)2=25-16=9,

???正方形的邊長(zhǎng)。-力＞(),

*.a-b=3,

故選：C.

8.解：???△ABC中，N*C5=90°,N8=60°,

AZA=30°,

\'CD//AB,

/.Z1=ZJ,

/.Zl=30°,

故選：A.

9.解：力、???22+32#42,???不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意;

8、?.?52+62782,???能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、???52+122=132,???能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

。、???72+122#152,???不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

1().解：:BD平分NABC,

:?NABD=NDBC=2G0,

AZJ5C=40°,

VZACB=90°,

AZJ=90°-N/80=90°-40°=50°,

?：CD//AB,

AZACD=ZA=50a,

故選：D.

二.填空題

11.解：由四邊形48co與四邊形￡FG〃均為正方形，點(diǎn)〃是QE的中點(diǎn)，可■知

E、F、G分別為力尸、BG、C”的中點(diǎn)，

且AE=EH=DH=HG=CG=FG=BF=EF=BE,

.o_o_萬(wàn)'正方形EFGH

??'AAEH-、、4CGF-、△BFE-乙?

:'S陰影=3XS正方形EFGH=24,

:、S正方形EFGH=8,

：,E11=D1I=2V2,

:.DE=2EH=4版,

又NAED=90°,

??.AD-7DE2+AE2=V（4T2）2+（2V2）2=^40=2A/1C.

故答案為：26.

12.解：設(shè)三邊分別為5x,12x,13x,

貝ij5x+12x+13x=60,

/?x=2,

，三邊分別為10cm?24cm,26cm,

Vl02+242=262,

???三角形為直角三角形，

???S=10X24+2=12（W.

故答案為：120.

13.解：根據(jù)勾股定理，樓梯水平長(zhǎng)度為J132-52=i2米，

則紅地毯至少要12+5=17米長(zhǎng)，

故答案為：17.

14.解：連接4C,

由勾股定理得：力。2=22+口=5,

8c2=22+p=5,

482=12+32=10,

???AC2+RC2=5+5=10=。42.

是等腰直角三角形，ZACB=90°,

/.ZABC=45°,

15.解：VZC=90°,N力=65°,

???NB=90°-65°=25°.

故答案為：25°.

16.解：VZC=/?/Z,ZA=70a,

???N8=90°-ZA=90a-70°=20°.

故答案為：20°.

17.解：設(shè)較小銳角為x度.

由題意：4x+x=90,

解得x=18,

故答案為18.

18.解：如圖，過(guò)點(diǎn)4作47LL8C于足

在RtZV/AC中，NB=45°,

???△力8。是等腰直角三角形，

_1

:.BC=^2AB=2,BF=AF=2BC=I,

???兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺，

:.AD=BC=2,

在中，根據(jù)勾股定理得，￡>r=VAD2-AF'=V3,

BD=BF+DF=1+V3,

故答案為：I+d^.

BFD

19.解：方法1：觀察“勾股數(shù)組”（a,b,c）,當(dāng)。為奇數(shù)時(shí)，c=b+\,

又。=2〃+1（〃為正整數(shù)），

由勾股定理可得：/-從=（2〃+1）2,即（Hl）2-b2=（2〃+1）2,

解得b=2n2+2ib

.,.c=2〃2+2〃+l,

Z>+C=4/?2+4??+1,

故答案為：4/r+4/7+1.

方法2：觀察''勾股數(shù)組"（mb,c）,當(dāng)。為大于1的正奇數(shù)時(shí)，有如下規(guī)律:

32=4+5,52=12+13,72=24+25,…，a2=b+c,

.??當(dāng)Q=2〃+1時(shí)，b+c=（2〃+1）2.

20.解：設(shè)直角三角形力8。的兩直角邊是。和人斜邊是c,

則由么J股定理得：a2+b2=c2.

則分別以ah為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和是a2^=lcm2^cm2=\5cm2,

以斜邊c為邊長(zhǎng)的正方形的面積是S=c2=a2+b2=\5cm2,

故答案為：15.

三.解答題

21.證明：'：CDLAB,//C4=90°,

ZJDC=90°=NACB.

VZJ+ZJCD+ZJDC=180°,N/+N8+N4C8=180",

；?NACD=NB.

22.證明：\'AD=AB,

：.4B=4D,

設(shè)NB=ND=a,

，/BAD=18（r-ZB-ZD=18O/'-2a=2（90、-a）,

*：ZBAC=90°,

AZACB=90°-ZB=90°-a,

:?NBAD=2NACB.

23.解：VZ5=30°,COJ_48于。，

；?/DCB=900-N8=60°.

???"平分N4C8,NACB=90°,

_1

AZECB=2ZJC5=45°,

:?/DCE=NDCB-NECB=60°-45°=15°；

(2)VZC￡F=135°，NECB=2/ACB=45。,

：?/CEF+/ECB=l80°,

J.EF//BC.

24.解：(1)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，

xXl+6=2x,

解得：x=6,

即當(dāng)V、N運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，點(diǎn)N追上點(diǎn)M；

(2)①設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)，秒后，可得到等邊三角形△/〃雙,如圖1,

AM=t,AN=6-2t,

VZJ=60°,當(dāng)4M=/N時(shí)，是等邊三角形

：?t=6-2t,

解得f=2,

???點(diǎn)"、'運(yùn)動(dòng)2秒后，可得到等邊三角形△4UN.

②當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3,

圖2

若/AMN=90°,,：BN=2t,AM=t,

:?AN=6-23

VZA=60°,

：.2AM=AN,BP2t=6-2t,

_3

解得/=2；

如圖3,著NANM=90°,

12

解得尸5.

312

綜上所述，當(dāng)/為2或5s時(shí)，△4WN是直角三角形；

(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在8C邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形,

由(1)知6秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在。處，

如圖4,假設(shè)△/M/N是等腰三角形，

:./AMN=4ANM,

???ZAMC=/ANB,

,：AB=BC=AC.

，△力圓是等邊三角形,

：.4C=/B,

在CM和△/BN中，

■:/AMC=/ANB,NC=/8,AC=AB,

:.△ACMQAABN(AAS),

:.CM=BN,

1-6=18-21,

解得f=8,符合題意.

所以假設(shè)成立，當(dāng)運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，能得到以為底的等腰三角形.

25.解：(1)①如果直角三角形的兩條直角邊分別為小b,斜邊為c,那么次+扇=°2.

(或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.)

②證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方

形面積的和.

_1

即2=2^X4+(h-a)2,

化簡(jiǎn)得：

在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的

和.

_1

22

即(a+6)=c+2abX4,

化簡(jiǎn)得：。2+接=/.

在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和.

_1_1_1

2

即2(a+b)(。+6)=2^X2+2c,

化簡(jiǎn)得：〃2+房=/.

(2)①三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足Si+S2=S3的有3個(gè)：

故答案為3；

②結(jié)論：5|+S2=S3.

VS1+52=2(2)。2(2)2+53-2(2)2,

_1

2

：.