2024?2025學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)之江實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

一,選擇題：（本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）若2a=3b（a,人均不為0）,則的值是（）

A.2B.3C.2:3D.3:2

2.（3分）“一個(gè)僅裝有紅球的不透明布袋（只有顏色不同）中摸出一個(gè)白球”這一事件是（）

A.不可能事件B.不確定事件C.必然事件D.隨機(jī)事件

3.（3分）若二次函數(shù)），=。。+力2+C3±0）的圖象，經(jīng)過平移后可與），=（1+3）2的圖象完全重合，則〃,

b,c的值可能為（）

A.6/=1,b=0,c=—2B.。=2,0=6,c=0

C.a=—\fb=—3,c=0D.a=-2,Z>=—3,

4.（3分）在比例尺為1:1500000的地圖上，A,8兩地間的圖上距離為2厘米，則A,8兩地間的實(shí)際

距離是千米（）

A.0.3B.3C.30D.300

5.（3分）在R/ZkABC中，ZC=90°,如果sinA=1,那么下列各式正確的是（）

4

A.AB=4ACB.AB=4BCC.AC=4BCD.BC=4AC

6.（3分）如圖，AB//CD/fEF,A廠與況相交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在CD,七廠之間），若AC=3,CG=2,

GF=4,則處的值為（）

DE

EF

A.-B.-C.-D.-

2534

7.（3分）以下點(diǎn)可能成為二次函數(shù)y=-f+2/雙頂點(diǎn)的是（）

A.（-2,4）B.（1,2）C.（-1,-1）D.（2,-4）

8.（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O,E分別在AB,AC上，DE//BC,ZABE=ZAED,且A3=6,

4C=9,則CE的長為（）

A

A.9-3x/6B.4C.5D.3#

9.（3分）如圖，在m/XABO中，斜邊AB=1.若OC/IBA,Z4OC=36°,則（）

A.點(diǎn)4到AO的距離為sin54。

B.點(diǎn)8到的距離為lan36。

C.點(diǎn)A到OC的距離為疝136。41154。

D.點(diǎn)A到OC的距離為cos36Osin54。

10.（3分）已知到，內(nèi)均為關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)x="時(shí)，函數(shù)值分別為A，&，若對(duì)于實(shí)數(shù)*當(dāng)Ovavl

時(shí)，都有則稱y,當(dāng)為親函數(shù)，則以下函數(shù)、和為是親函數(shù)的是（）

，1、

A?y=x+1,%=B.二+1,必=24—1

C.=x2-1,=--D.y=x?-1,y\=2x-1

x

二,填空題：（本大題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

II.（3分）sin30°=.

12.（3分）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球4個(gè)，黃球若干個(gè)，這些球除顏色外其它都相同，通過多次試

驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.5左右，則袋子中黃球個(gè)數(shù)可能是一個(gè).

13.（3分）如圖，若△A3C與都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），則&DE尸與△

A8c的周長比為

AB

14.（3分）圖①是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，AO和相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

A、4之間的距離為1.2米，AB//CD,根據(jù)圖②中的數(shù)據(jù)可得C、。之間的距離為米.

圖①圖②

15.（3分）設(shè)二次函數(shù)y=加+hx+c（4,b,c是常數(shù)，〃工0）,如表列出了x、y的部分對(duì)應(yīng)值.

X???-5-3123?.?

y?.?-2.4m-2.40n?.?

則方程出+bx+c=〃?的解是，不等式爾+〃x+c>0的解集是.

16.（3分）如圖，在矩形A8CO中，44=4,BC=6,E是BC的中點(diǎn)，將△€7）￡：沿折疊，點(diǎn)C落

在能形內(nèi)點(diǎn)尸處，連接4尸，則。尸=，sinZBEF=

三.解答題：（本大題有8個(gè)小題，共72分）

17.（8分）一球從地面拋出的運(yùn)動(dòng)路線呈拋物線，當(dāng)球離拋出地的水平距離為306時(shí)，達(dá)到最大高度10"?,

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

（I）求球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式.

18.（8分）一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里共有3個(gè)球（只有顏色不同），其中1個(gè)紅球，2個(gè)白球.從中任

意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出1個(gè)球.求：

（I）摸出的2個(gè)球都是白球的概率.

（2）摸出的2個(gè)球中，1個(gè)是白球，1個(gè)是紅球的概率.

19.（8分）如圖，在一個(gè)坡角為15。的斜坡上有一棵樹，高為初，當(dāng)太陽光線與水平線成54。角時(shí)，測(cè)得

該樹斜坡上的樹影BC的長為10/%延長45,交過點(diǎn)C的水平線于點(diǎn)D,求3。與樹高AB（精確到0.1〃?），

（已知sinl50u0.259,cosl5°?0.966,tan15。弓0.268,sin54?！?.809,cos54°￡0.588,tan540t1.376.供

20.（8分）己知二次函數(shù)y=o?+版-2的圖象經(jīng)過（-1,0）、（3,0）兩點(diǎn).

（I）求該函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)-lvxv2時(shí)，求y的取值范圍.

21.（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC.點(diǎn)。在BC上，點(diǎn)E在AC上，連結(jié)AD,DE,且4="DE.

（I）求證：△ABZMZkDCE；

（2）若AB=6,BD=2CE,求CD的長.

22.（10分）如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在CD,A。上，連結(jié)AE,BF,AE_L3戶且AE=8尸.

（I）求證：AB=AD.

（2）連結(jié)日"BE,線段ED是線段AD與AF的比例中項(xiàng).

①若AD=4,求線段斤D的長.

②求證：ADEFs^CEB.

D

23.(10分)己知二次函數(shù)y=Y-m+2)x+2a+l,

(1)若。=4,求函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若函數(shù)圖象向下平移一個(gè)單位，恰好與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求。的值.

(3)若拋物線過點(diǎn)(T,%),且走于拋物線上任意一點(diǎn)(用,凹)都有))..此，若點(diǎn)5(2-m,p)是這

條拋物線上不同的兩點(diǎn)，求證：+

24.(12分)問題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課匕王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張矩形紙片探究折疊的性質(zhì)在矩形ABC。

的C"邊上取一點(diǎn)七，將.沿地翻折，使點(diǎn)C’恰好落在邊上點(diǎn)〃處.

實(shí)踐探究：

(I)如圖1,若80=284,求ZAfB的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)A3=6,且AF￡D=12時(shí)，求QE的長；

問題解決：

八R

(3)如圖3,延長瓦'，與NA8尸的角平分線交于點(diǎn)M,BM交AD于點(diǎn)N,當(dāng)NF=AN+FD時(shí)，求—

BC

的值.

2024?2025學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)之江實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

參考答案與試題解析

一,選擇題（共10小題）

題號(hào)1234567891()

答案DAACBAACCD

二.填空題：（本大題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）sin30°=-.

一2-

12.（3分）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球4個(gè)，黃球若干個(gè)，這些球除顏色外其它都相同，通過多次試

驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在。.5左右，則袋子中黃球個(gè)數(shù)可能是4個(gè).

13.（3分）如圖，若△A6C與△￡>石尸都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），則△￡>￡尸與4

A8C的周長比為—血：1

14.（3分）圖①是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，A。和C8相交于點(diǎn)O,點(diǎn)

A、4之間的距離為1.2米，AB//CD,根據(jù)圖②中的數(shù)據(jù)可得C、Q之間的距離為0.96米.

圖①圖②

15.（3分）設(shè)二次函數(shù)y=依?+hx+c（a,b,c是常數(shù)，。工0）,如表列出了x、y的部分對(duì)應(yīng)值.

X???-5-3123?.?

y?..-2.4m-2.40n?..

則方程小+bx+c=〃?的解是_大=-3或工=-1_,不等式*+〃x+c>0的解集是

【解答】

工=-3或.丫=-1;1<-6或x>2.

16.（3分）如圖，在矩形48CQ中，AB=4,BC=6,石是8c的中點(diǎn)，將△CZ）E沿/無價(jià)疊，點(diǎn)C落

74

在矩形內(nèi)點(diǎn)尸處，連接8/，則C/=—,sinZBEF=

三,解答題：（本大題有8個(gè)小題，共72分）

17.（8分）一球從地面拋出的運(yùn)動(dòng)路線呈拋物線，當(dāng)球離拋出地的水平距離為30〃7時(shí)，達(dá)到最大高度1。/〃,

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）求球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）球被拋出多遠(yuǎn)？

【蟀答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為y=g-30）2+10,

把(0,0)代入得〃=

90

117

.??拋物線解析式為y=———(x-30f+10=———x2+-x；

90903

I9

(2)由(1)y=---x2+—x>

903

令y=0，x,=0>x2=60,

.??拋物線與x軸的交點(diǎn)為（0,0）,（60,0）,

???球被拋出60m.

18.（8分）一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里共有3個(gè)球（只有顏色不同），其中1個(gè)紅球，2個(gè)白球.從中任

意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出1個(gè)球.求:

（I）摸出的2個(gè)球都是白球的概率.

（2）摸出的2個(gè)球中，1個(gè)是白球，I個(gè)是紅球的概率.

【解答】解：（I）畫樹狀圖如下:

開始

小小小

紅白白紅白白紅白白

共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出的2個(gè)球都是白球的結(jié)果有4種，

.??漠出的2個(gè)球都是白球的概率為士.

9

（2）由樹狀圖可知，摸出的2個(gè)球中，1個(gè)是白球，1個(gè)是紅球的結(jié)果有4種，

.??漠出的2個(gè)球中，1個(gè)是白球，1個(gè)是紅球的概率為3.

9

19.（8分）如圖，在一個(gè)坡角為15。的斜坡上有一棵樹，高為AB,當(dāng)太陽光線與水平線成54。角時(shí);測(cè)得

該樹斜坡上的樹影BC的長為10切，延長AB，交過點(diǎn)C的水平線于點(diǎn)。，求與樹高AB（精確到0.1〃?），

（己知sin15。n0.259,cos15°?0.966,tan15°?0.268,sin54。=（）.809,cos54。、0.588,tan54°p1.376.供

【辭答】解：作CD_LA3于O.

在心△BCD中，BC=10m,/BCD=150,

:.CD=BCcosl5°?10x0.966=9.66(㈤,

4。=AC?sin15。*10x0.259=2.59(〃。；

在心△ACD中，CD=9.66m,Z4CD=54°,

AD=CDtan54°?9.66x1.376=13.292(，〃).

AB=AD-BD=\3.292-2.59?10.7(〃。.

答：樹高10.7米.

20.(8分)已知二次函數(shù)y=aF+區(qū)-2的圖象經(jīng)過(—1,0)、(3,0)兩點(diǎn).

(I)求該函數(shù)解析式;

(2)當(dāng)T<x<2時(shí)，求y的取值范圍.

a-h-2=0

【解答】解：(1)將點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(3,0)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

9〃+3/?-2=()'

2

a--

解得?

二次函數(shù)的解析式為y=|f-^x-2；

(2)?.?二次函數(shù)的解析式為)，=2/—±、一2,

33

二次函數(shù)的對(duì)稱軸為人==1,

2a

?.?(7=->0,二次函數(shù)的開口向二，

3

時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)lvxv2時(shí)，)，隨x的漕大而增大,

.W=1時(shí)，>取最小值，y=-g,

=時(shí)，y=0,x=2時(shí)，y=-2,

Q

綜上所述：當(dāng)Tvx<2時(shí)，函數(shù)y的取值范圍為gyv。.

21.(8分)如圖，在△ABC中，AB=AC.點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)石在AC上，連結(jié)AD,DE,且4=石.

(I)求證：

(2)若AB=6,BD=2CE,求CD的長.

A

:./B=ZC,

?/ZADC=NB+NBAD,

即ZADE+ACDE=NA+/BAD,

而4=NA。石，

:.^CDE=ZBAD,

/.△AB44DCE；

(2)解：?.?△ABLA△DCE,

ABBD

----=-----，

DCCE

?;BD=2CE,

,AB

??-=2,

CD

：.CD=—AB=—x6=3.

22

22.(10分)如圖，在矩形4bCD中，點(diǎn)E,廠分別在CD,AD上，連結(jié)AE,BF,AE_L8/且AE=8下.

(I)求證：AB=AD.

(2)連結(jié)日"BE,線段FD是線段4)與AF的比例中項(xiàng).

①若AD=4,求線段㈤的長.

②求證：ADEFsAcEB.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABC。是矩形,

:.^BAD=ZADE=9(r,

...NA“+NA陽=90。，

.?.zm￡+zAra=90°，

：.^ABF=ZDAE,

在△AB/和中，

NABF=NDAE

<NBAF=ZADE=90°,

fib=AE

:.^ABF^/^DAE(AAS),

AB=AD；

(2)①由(I)可知，AAB/二AZME,

.?.AF=DE,

.\DF=CE,

?.?線段DF是線段4廠與AO的比例中項(xiàng)，

..DF2=AFAD,

AD=4，

DF?=(4-DF)x4,

DF=-2+2x[5(負(fù)值舍去)；

②：線段是線段AF與AL)的比例中項(xiàng),

.\DF2=AFAD,

,DFDE

HC~~EC'

,.2FDE=/BCE=X)。，

23.(10分)已知二次函數(shù)y=f-(a+2)x+2a+l,

(I)若a=4,求函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若函數(shù)圖象向下平移一個(gè)單位，恰好與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值.

(3)若拋物線過點(diǎn)(-1,%),且充■于拋物線上任意一點(diǎn)(Xj,y)都有y..%,若點(diǎn)，BQ-m,p)是這

條拋物線上不同的兩點(diǎn)，求證：??+〃>-8.

【解答】解：(1)?.?a=4,

/.y=x2-(4+2)x+8+l,

y=x2-6x+9,

y=(x-3)2,

.??函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：直線x=3,(3,0)；

(2)函數(shù)圖象向下平移一個(gè)單位得y=x2-(a+2)x+2a+l-1,

/.y=x2-(a+2)x+2a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

△=(a+2--4x2a=0,

解方程得：a=2；

(3)?.?拋物線過點(diǎn)(T,%),且對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)區(qū),yj都有升.%，

.?.(-1,%)為拋物線的頂點(diǎn)，

拋物線的對(duì)稱軸為x=-l,

4+2,

...------=-1,

2

ci=~~4，

拋物線為：y=x2+2x-l,

A(m,n),8(2-肛p)在拋物線上,

n=nr+2m-1?p=(2-m)2+2(2-in)-7,

/.n+p=tn2+2in-7+(ni-2)2+2(2-ni)-7,

n+p=2(w-1)2-8,

,4?！?〃)，B(2-m,p)是這條拋物線上不同的兩點(diǎn)，

。2-in，

:.m*1

/./!+/?>—8.

24.(12分)問題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張矩形紙片探究折疊的性質(zhì)在矩形ABCD

的CD邊上取一點(diǎn)石，將△8CE?宿8石翻折，使