浙江省金華十校2024-2025學年高一下學期期末調研考試數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合力={f,0,2,4,6},8={x0<xW4},則4()

A.{f,0,2,4}B.{0,2,4}C.{2,4}D.(0,4]

2.已知復數z=i(2-i),則z在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某次測量中得到的總樣本數據如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若8樣

本數據恰好是4樣本數據都加2后所得，則力、4兩樣本的下列數字特征對應相同的是()

A.眾數B.平均數C.中位數D.方差

4.已知a,4表示兩個不同的平面，/〃為平面a內的一條直線，則是"?的?：)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設樣本空間Q=含有等可能的樣本點，且力二;伍,e},C={a.d],則

P(ABQ=()

11八11

A.-B.—C.-D.—

>4X1A

6.以下說法正確的是()

A.a2>a+\B.tr<a-\C.sin1-cosl<—D.sin1-cos1<

42

7.如圖是某函數/(x)的部分圖象，則該函數最有可能的解析式是()

%

I\t、

-2TT\y°\2

.sinJ.

A./(x)=------B..Ax)=sinx+x

Y

C.j[x)=x.cos.vD../(x)=sinx+sin2x

8.如圖，已知正方體力8CD一小4GR的棱長為1,點P是上底面力產內的一個動點.設

試卷第I頁，共4頁

平面力。2與平面3c尸的夾角為a,平面彳8P與平面CO尸的夾角為。，若a之/3,則下圖中

陰影部分表示P點軌跡的是()

二、多選題

9.已知點力則以下說法正確的是()

A.\OA\=4B.(OA-OB)±(OA+OB)

C.0力.=2JiD.'6A在6T上的投影向量是

\

10.已知事件48,且尸。)=0.4/e)=0.5,貝IJ()

A.事件A與事件8互為對立事件

B.若事件4與事件6互斥，則尸。1①)=0.9

C.若事件力與事件4互斥，則“48)=0.2

D.若尸網=0.3,則事件4與事件6相互獨立

11.若球。的半徑為2,,48為直徑，0/中點為P,則下列說法正確的是()

試卷第2頁，共4頁

A.球面上任意一點到戶距離的最大值為3

B.過尸作球。的截面，則截面面積的最小值是4兀

C.若某正方體的外接球是球0,則點。到該正方體各面距離的最大值是

D.若某正四面體的外接球是球。，則點。在該正內面體上的軌跡長度是8國

a

三、填空題

12.計算：］gg+21g2=.

11

13.已知甲，乙兩個投籃命中率分別是③，2，并且他們投籃互不影響，每人投籃1次，則

恰好有一個人命中的概率為.

14.已知函數/'(、)=12-4"4卜在(0,4)上恰有2個零點，則a的取值范

圍是___________.

四、解答題

15.2025年是“全民體重管理年”，健康體重成為社會關注的新焦點.為了提升人們體重管

理意識和技能，預防控制超重肥胖，某市開展“體重管理知識''宣傳活動.舉辦了“體重管理”

知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(成績均為不低于40分

的整數)進行適當分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

八頻率/組距

a.......................—

0.025----------------------------

0.020------------------

0.010--------------------------------

0.005-1-

?！?05060708090?數

(1)求圖中a的值與該樣本數據的第60百分位數：

(2)根據該頻率分布直方圖，估計1000個參賽選手中有多少人能得60分及以上.

16.已知二次函數/(x)=ad?(2。+l)x+2.

(1)若“=1,求/(x)>0的解集；

試卷第3頁，共4頁

《浙江省金華十校2024-2025學年高一下學期期末調研考試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案CADABDDBBCDBD

題號11

答案ACD

I.C

【分析】由交集的概念可得結果

【詳解】由題意可得月n8二{2,4}.

故選：C.

2.A

【分析】根據復數乘法運算化簡，結合復數的幾何意義幽定z在復平面內對應的點的坐標，

由此可得結論.

［詳解】因為z=i(2-i)=1+2i,

所以復數z在復平面內對應的點的坐標為(1,2),

故復數z在復平面內對應的點位于第一象限，

故選：A.

3.D

【解析】利用平均值和方差的定義和公式，即得解.

【詳解】設樣本力的平均值為:，方差為。(x),

則樣本8的平均值為f+2,

D(x+2)=D(x),樣本4B的方差相同.

故選：

【點睛】本題考查了樣本的平均數和方差，考查了學生概念理解，數學運算能力，屬于基礎

斷

4.A

【分析】由面面平行的性質、線面、面面平行的判定即可判斷.

【詳解】因為相若a//6,則由線面平行的性質可知〃故"or//。“是“〃邛”的

充分條件，

設an6=〃，mIa,m/,n,顯然〃「。，從而有成立，但此時a,B不平行.

故選：A.

答案第1頁，共14頁

5.B

【分析】根據題意可得〃(。)二4,n(ABC)=1,利用古典概型概率公式即可求解.

【詳解】因為樣本空間C={。,洋,A={a,力,8={a,c},C={a,d},

/、/、八n(ABC)1

則〃(Q)=4,〃(力BC)=1,所以P(48C)=〃

故選：B.

6.D

【分析】舉例說明判斷AB；利用二倍角的正弦及正弦函數單調性比較判斷C；利用輔助角

公式，結合5畝/<耳0</<；域解判斷口.

【詳解】對于AB,取a=I,a2=1<2=6r+1,a2=I>0=a-1?AB錯誤；

對于C,sin1-cos1=—sin2,而:<2<勺，sin2>sin—=—?sinIcosI>—?C錯誤；

對于D,單位圓。交x軸正半軸于4,點尸在圓0上，且上力OP=xe(0,￡),尸朋_1_。4于"，

2

1,.1,

則二sinx,劣弧4P長為x,由Sa/op<S均形4“，--1-sm^<--1x,因此sinx<x,

sinl-cosl=V2sin(l--)<^(l--)<1.42x(l-i)<l,42x(1-3.144-4)=0.3053<-,I：正確.

444，

故選：D

7.D

【分析】A中函數定義域不符合圖象排除：B中函數為增函數不符合圖象排除：C中函數的

正負不符合圖象排除.

【詳解】對于A,函數/。)=儂的定義域為{xxW0|}，不符合圖象，排除A；

Y

對于B,.?)=sinx+x,#Q)=COSX+130,火x)在R上為增函數，不符合圖象，排除日

對于C,當xw[0,；]時，f(x}=x.cosx>0,當一番時，義x)=x?cosx<0,不符合

答案第2頁，共14頁

圖象，排除c.

故選：D

8.B

【分析】根據線面垂直，結合面面角的定義可得上二。，上BNC=B,進而根據全等,

將問題轉化為在正方形內考慮anB，結合對稱性以及平面幾何的知識即可求解.

【詳解】如圖.取正方體為卜底面的各動中點及r.G.〃,

過P作PA/_L4自于作PNJ_SG于N,

則PM平面ABBA,PN''平面C88C,

AM,8ML平面力BB，I,則PM±AM,PM±BM,上4/8=a

同理可得上8NC=P.

由于DM=CN=JcC，AN=BN=西爐+用解,4"=BC,

因此MOV三故上BNC=上媼VR=B.

同理可得上4W8=上GM%=a,

因此只需要在正方形48GR內考慮a2S,即上GA〃）；取皿

等價于2到叱的距離比到EG的距離大，所以P在如圖所示的陰影范圍內.

故選：B.

9.BCD

【分析】先求出345八，再求出即可判斷A：求出弄及山+3,，驗證

是否等于0即可判斷B；求出演.51的值，即可判斷C：根據公式

OAOBOB_

,何下q求出。唯5A上的投影向量，即可判斷D.

答案第3頁，共14頁

【詳解】因為加石）：所以蘇=（6必無=化6）.

因斗明=畫+12=2：故A錯誤；

因31一0月=（6—1,1一方），OA+OB=（y/3+\,\+43）,

所以（oN-oA）（oN+oA）=（6—1）（占+1卜（1-G）|+￡卜2+（2>o:

所以（04-OB）±（OA+04）,故B正確；

因為湯?。月二JJxl+lx?=2，L故C正確：

因40q=J%㈣2=2，

所以37在石％一-上的投影向量為

OAOB0B2后八百）A「百]（百3]

故D正確.

故選：BCD

10.BD

【分析】根據對立事件的定義、互斥事件概率公式、相互獨立事件的性質及概率公式計算判

斷作答.

【詳解】由于對立事件的概率和為1,但尸Q）+。（8）=0.9W1,A錯誤：

若事件力與事件8互斥，則PQ_8）=pQ）+。（8）=0.9,B正確：

若事件力與事件4互斥，則4B不可能同時發(fā)生，即尸二0,C錯誤；

因為尸（彳）尸（月）=0.6、0.5=0.3=尸（1月），所以事件力與事件8相互獨立，

則事件*與事件8相互獨立，D正確.

故選：BD.

11.ACD

【分析】對于A,分析出球面上一點到球內一點的最大距離為R+。。即可判斷：對于B,

分析出當OP垂直于截面時，截面的面積最小即可判斷；對于C,設正方體的極長為。，分

析出?到該正方體各面距寓的最大值為q+0P即可判斷：先求出正四面體的高人即球心O到

7

答案第4頁，共14頁

正四面體一個面的距離。。一再判斷出點P與正四面體的每個面的交線是一個圓，并求出截

面圓的半徑，即可求出點尸在該正四面體上的軌跡長度，即可判斷.

【詳解】

對于A,如圖所示球。的半徑&=2,48為直徑，04中點為尸，則有0P=；CM=L

根據球的性質可知，球面上?點到球內?點的最大距離為球的半徑

加上該點到球心的距離，即R+0P=2+1=3,故A正確；

對于R,過戶作球。的截面,當。尸垂直于截面時,截面圓的半徑廠最小.

由勾股定理可知廠==xll2-\2=A/3

所以截面面積的最小值為S=7rx(JJ)~=37t故B錯誤:

對于C,如圖所示:

若正方體的外接球是球。，設正方體的棱長為。，

「4

則有2A=&：由R=2可知。二方.

a2

已知球心。到正方體各面的距離為］=耳，又因為。尸二1.

所以點p到該正方體各面距離的最大值是1+。尸=2%+1=32百+L

故C正確:

對于D,如圖所示

答案第5頁，共14頁

A

若正四面體4-SCO的外接球是球O,取8c的中點為R,連接力凡。/?,

設力在底面的射影為則。在。R上，旦OQ=2DR=乙義&x=Sx，

設正四面體的棱長為K,

則正四面體的高力=/4Q2—OQ2=一與x=與

又因為外接球半徑火=AO=-h=—X,

44

由R=2可垢=勺色，//=2^x^=-,00]=h-R=^-<\.

a?a?3

所以點p與正四面體的每個面的交線是一個圓，截面圓的半徑

r=J"OO；￥周長為2W=2TTX半二與售

所以點P在該正四面體上的軌跡長度是還Sx4=）反，故D正確.

故選：ACD

12.1

【分析】根據對數的運算法則及對數的性質計算可得.

【詳解】解：lgg+21g2=lg5+lg22=|g.lg4=lg工4lglO=l

故答案為：1

【點睛】本題考查對數的運算及對數的性質，屬丁基礎題.

13.—/0.5

?

【分析】恰好有一個人命中包含以下兩種情況①甲投中，乙沒投中②甲沒投中，乙投中，由

此能求出恰好有一個人命中的概率.

【詳解】甲、乙兩人投籃命中率分別為:和今,并且他們投籃互不影響.

現每人分別投籃1次，恰好有一個人命中包含以下兩種情況：

答案第6頁，共14頁

①甲投中，乙沒投中，概率為：=

326

211

②甲沒投中，乙投中，概率為：>

所以恰好有一個人命中的概率〃=0|+〃2=；+!=；

故答案為：y

兀

14.0<?<—

1?

【分析】令g(x)=--4x+。，h(x)=sin^aj-j:討論在(0,4)上的零點個數，確定”

的取值范圍，分析g(x)在(0,4)上的零點個數，最終確定/(Q在(0,4)上的零點個數.

【詳解】設g(x)=x2-4x+o,x€(0,4),h(x)=s\n>0),xw(0,4)則

/W=g(x)h(x).

二次函數g(x)=f-4.T+a,x￡((),4)圖象開口向上，對稱軸為直線x=2,

g(x)m=g(2)="4，g(0)=g(4)=a?

兀，71,兀、

因為x￡(0,4),所以如一彳^-T^Ti-

3(33)

①當人(x)在(0,4)上沒有零點時，4"^￡°故0<a?2，

此時g(2)=。-44$4<0,g(0)=g(4)=a>0,

所以g(x)在區(qū)間(0,2)和(2,4)內各有一個零點，故/{x)在(0,4)上恰有2個零點.

②當〃(x)在(0,4)上有1個零點時，0<4。一色￡兀，故

jfcHtg(2)=a-4<--4<0,g(0)=g(4)=o>0.

所以g(x)在區(qū)間(0,2)和(2,4)內各有一個零點，故/'(x)在(0,4)上有3個零點，不合題意.

③當力(x)在(0,4)上有2個零點時，兀<4〃-]￡2兀故聆，

此時g(2)=a-4?^^-4<0,g(0)=g(4)=a>0.

所以g(x)在區(qū)間(0,2)和(2,4)內各有一個零點，故/(X)在(0,4)上有4個零點，不合題意.

綜上得，

答案第7頁，共14頁

故答案為：0<QW2.

1?

235

15.(1)0.030：—；

(2)850

【分析】(1)根據頻率分布直方圖的性質，求得4=0.030,設樣本數據的第60百分位數為

x，根據百分位數的計算方法，列出方程，即可求解：

<2)根據題意，求得得分在60分以上的參賽選手所占的比例，進而求得1000個參賽選手

中得60分及以上的人數，得到答案.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖，可得10x(0.005+0.01+0.02+4+0.025+0.01)=1,

解得。=0.030,

可得數據在[40,50)的頻率為0.05,數據在[40,60)的頻率為0.15,數據在[40,70)的頻率為0.35,

數據在[40,80)的頻率為0.65,所以第60百分位數在[70,80),

設樣本數據的第60百分位數為戈，可得。?70)x0.03=0.6-0.35,解得》=言，

所以第60百分位數為23專s；

(2)樣本數據中，得分在60分及以上的參賽選手所占的比例為1-0.05-0.1=0.85,

所以可估計1000個參賽選手中得60分及以上的人數為10()()x0.85=85().

6(1)(-%l)i，(2,+?>)

(2)[1U

【分析】(1)根據一元二次不等式的解法求解即可；

(2)用換元法令2,則｛/)=0在/￡[4,8]上有解，求出方程的根，根據題意列式即可求

解.

【詳解】(1)當1時，<x)=x2-3x+2=a-l)(x-2)>0,解得x<1或x>2,

故解集為(-8,1)(，(2,+°0)

<2)令/=2,,/為增函數，

因為x￡[2,3],所以/￡[4,8],

即/?=0在fW[4,8]上有解,

/(/)二(川一1)(/-2)=0,解律2=7或％=2:舍去)：

答案第8頁，共14頁

所以34,8],即可言.

17.(1)證明見解析

【分析】(1)連接"，利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理得證.

(2)作Q/；工/1C于F,結合余弦定理求出。尸，再利用幾何法求出線面角的正弦.

【詳解】(1)連接8E,由4?=為AC中點，得8E_LlC,

由±480=90。，得BE=、AC=-y[^T^=26,BE2+DE2=\3=BD2,

22

因此BE_LED，而力CT!ED=E,AC,EDJ平面/CD,則BE_L平面AC。，

又"Eu5?面/8C,所以平面/8C_L平面力CO.

(2)在平面/CO內過點。作_Z/4C于廣，連接就

由平面/13CJL平面4CO,平面48Cn平面4CO=4C,于是。戶1平面48C,

上。8廠即為直線8。與平面48C所成角，在V4)E中，AE=2x/2,JD=VH,DE=>/5；

則C“心吟嘿產有

因此。b=4QsinN￡UE二揚x4=百，sinZDBF=—=4^=—

V7DBJ1313

所以直線夕。與平面力所成角的正弦值為叵

1?

18?⑴

。小nu25an。373

(2)(1)DM=-------f=:(11)—!—

tanO+j34

【分析】(1)在△8CZ)中，利用余弦定理可得結果.

(2)G)由上=8得上兒儀)=」-氏在△/￡)“中，利用正弦定理可得結果.

3

答案第9頁，共14頁

(ii)在中，利用正弦定理用tan。表示8N,結合三角形面積公式將問題轉化為求

QM+&M的最大值即可得解.

【詳解】(1)在△8CQ中，由余弦定理得,

BD2=CB2+CD2-2CB-CDcosC=622^-2x6x^3xy=1

所以8。=2丁3.

(2)(i)由(1)可知上OBC=上480=上C=?

n

所以上48c二三上B4C=N,故AD=、BD=C,AB=-BC=3,±ADB=-.

R2224

因為上。4必=6,所以上JMQ二名一夕

3

DMJ3

DMAD

在△/￡>,“中，由正弦定理得,，即sin。加信.0

sin/DAMsinZAMD

VJsin0_5sin92Stan9

所以0河=

tan?！?/p>

sin\--G—cos^+-sin^

3,22

(ii)因為上,上MAN=JU)AM=6t月f以上氏1N二'一夕

)3A

又上=所以上/NB=§+。，

63

BN3

BNAB

在。8N中，由正弦定理得,sin(竽十夕

sin/RANsin/ANR

3a3也.

3sin^-0a

(6.-cost/--------sint/3-35an。

所以BN=「22

2n八GnJ?/>樞-tan0

sin——+9——cos?！猻in。

I322

力8攏。3J33

設點力到8。的距離為d,則d二

~BD2？F-21

所以§△皿、二;MNd斗BD-DM-B2-DM-BN”

要求三角形面積的最小值，即求。M+8N的最大值,

,防4俎八uD\r273tan03-3\/3tan^?\2\[3

由題意得DM+BN=-------尸+—j=------------=5V3...............-

tanO+j3V3-tan3-tan'0

1273

因為0?:所以3Tan?0eQ，

63-tan26>

答案第10頁，共14頁

56-I2，w,故0M+8N的最大值為“3,

3-tan'6?|_2

所以△M4N面積的最小值為』x（26-J5）=偵

44

&加44

19.（1）W巫=3；（2：證明見解析；G）—

\ARCyis

【分析】（1）不妨設過V48C重心的直線/與8C平行，且與48,4C分別交于。，E兩點,

jnAp2

由重心性質及平行線性質可得一="二三，結合面積公式求結論；

ARAC?

一4B一AC一

（2）根據向量線性運算法則可得力。=〃（1-⑼絲力。+，加'■4E,結合條件。，O,E三

ADAF.

點共線，證明結論；

（3）證明上SEC為二面角力??！?8的平面角，過S點作”所在直線的垂線，垂足為L

求［二怨，設點=/元$0=），礪，結合（2：證明2+1=冬2,結合體積公式證明

SE-vxZ

4=L42x+y）：再結合基本不等式，二次函數性質求其最小值.

I?

【詳解】（I）不妨設過V力8c重心的直線/與8c平行，且與。分別交于。，E兩點,

/八,匚ccsinc。力

則生=四二，所用3=^—-A-D----A-E--*----A-

ARAC"S△次^-ABACsinA339

2

(2)證明：由AO=nAF=n(AB+BF)=nAB+nmBC

-nAB+nm(AC-AB)=zz(l-m)AB+nmAC

=n(\-m)—AD+nm—AE

AHAF

ARAC

因為￡),O?E三點共線，所以〃(1—/w)---Fnm---=1.

AHAR

即（1—〃7）任+加生=」

4DAF”

（3）不妨設等腰直角V48C兩條直角邊長為2,則月￡二J5,

答案第11頁，共14頁

因為上C=T，DE分別為的中點，

所以DE"BC,DE[SE,DE_1_CE,

所以上SEC為二面角/-QE-8的平面角，

記二面角力-QE-8的所成角為①則夕€y,y,

因為。￡_1_5￡,。七_1。后，5瓦?！曦纹矫?",SEC]CE=E,

所以QEJ_平面SCE,DEr平面BCED,

所以平面SCE_L平面5CEO,平面SCEI平面9CEO=CE,

過S點作CE所在直線的垂線，垂足為7,則ST=sinaCT=l-cos6

因為S7L平面SCE,所以S7j_平面8"。，BTL平由BCED,

所以ST-L4T

=-j22+(|-cos9)2+sin20=?、，6-2cos。，

由8M是上S8￡的平分線，所以格=黑=展-2g色

MEBEV5

ME,ME+SMSE節(jié),6+B2cos8

m以+1=--------==.=+1=---]=—

SMSMSMj6-2cos9#-2cos。