專題2.1一元二次方程（舉一反三講義）

【北師大版】

題型歸納

【題型1識別一元二次方程】.....................................................................2

【題型2根據(jù)一元二次方程的定義求值】..........................................................3

【題型3根據(jù)一元二次方程的一般形式求系數(shù)】....................................................5

【題型4根據(jù)一元二次方程各系數(shù)的值求字母的值】................................................6

【題型5根據(jù)一元二次方程的解代入求值】........................................................8

【題型6根據(jù)一元二次方程的解降次求值】........................................................9

【題型7由實際問題抽象出一元二次方程】........................................................11

【題型8根據(jù)一元二次方程的解求另一方程的解】.................................................13

■

知識點1一元二次方程的定義

1.定義：等號兩邊都是整式，只含有二個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做

一元二次方程.

2?一元二次方程必須同時滿足三個條件；是整式方程、只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

例如：妥+%=2,x*2+1,x2+y-3=0,%3-3x4-8=0,Q—1）。-2）=/—1均不是一元二次方程.

知識點2一元二次方程的一般形式

1.一元二次方程的一般形式是Q/+bx+c=0（aH0）,其中屋是二次項，魚是二次項系數(shù);m是一次項，b

是一次項系數(shù)：C是常數(shù)項.

2.?1）MQ是一元二次方程一般形式的重要條件,但是）「可以為0：（2）任何一個一元二次方程都可

以化成一般形式;（3）一元二次方程的各項都包含它前面的符號.

3?一元二次方程的特殊形式.

(I)當b=0時,得a/+。=O(Q工0)；

(2)當c=0時，得Q/+bx=0(aCO)；

(3)當(=0且c=0時，得ax?=o(a*0).

知識點3一元二次方程的解(根)

1.定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次

方程的根.

2?一元二次方程可能沒有實數(shù)根，可能有兩個相等的實數(shù)根，也可能有兩個不相等的實數(shù)根.若心，外是一元

二次方程+板+c=o(a00)的兩個實數(shù)根，則下列兩個等式成立，并可利用這兩個等式求解未知參數(shù):

2

ax^+bx1+c=0(czH0)?ax2+bx2+c=0(aH0).

【題型1識別一元二次方程】

【例1】(2425九年級上?山東濰坊?期末)下列四個方程①x2-9=0；②(2x+l)(2x-1)=0：③x2=0；

@V/-2x+l=l中，不是一元二次方程的是()

A.①B.②C.③D.?

【答案】D

【詳解】試題分析：根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；

含有一個未知數(shù).由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案.

解：①X?-9=0是一元二次方程；

②(2x+l)(2x-I)=0是一元二次方程；

③x2=0是一元二次方程；

@\^2-2x4-1=1不是一元二次方程；

故選D.

【變式11】(2425九年級上?四川南充?階段練習)下列方程中，一定是關(guān)于匯的一元二次方程的是()

A./+以=0B.a/+w+c=0

C.x2+x-2=0D.3x-2xy+Sy2=0

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個

未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

【詳解】解：A.分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，故該選項不符合題意；

B.a=0時，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

C.是一元二次方程，故該選項符合題意：

D.含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意;

故選:c.

【變式12】(2425八年級下?廣西梧州?期中)下列各式中，不是一元二次方程的是()

A.2x2+1=0B.x-2y-3=0C.2x2=0D.y2-3y+4=0

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可.

【詳解】解：A.2/+1=0是一元二次方程，故選項不符合題意；

B.%-2y-3=0是二元一次方程，故選項符合題意；

C.2/=0是一元二次方程，故選項不符合題意；

D.好一3丫+4=0是一元二次方程，故選項不符合題意.

故選:B.

【點睛】此題考查了一元二次方程，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次

方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式13】(2425八年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習)下列方程是一元二次方程的有()

22

①3--x=0；②a/+bx+c=Q.③3%+1=0；?2x-1=(x-1)(%-2)；⑤(5x-2)(3x-7)=15x

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個

未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.根據(jù)一元二次方程的定義即可解

答.

【詳解】解：①3/-%=0是一元二次方程；

②a%2+bx+c=0,當Q=0,b亍0時是一元一次方程，不是一元二次方程；

③3%+工=0是分式方程，不是一元二次方程；

X

?2x2—1=(x-l)(x-2),整理得：x2+3x-3=0是一元一次方程；

⑤(5%-2)(3%-7)=157,整理得：-41%+14=0是一元一次方程，不是一元二次方程；

則共有2個，

故選:B.

【題型2根據(jù)一元二次方程的定義求值】

【例2】(2425九年級上?江蘇無錫?期中)已知關(guān)于x的方程(m+1)/的|-2+27mx+5=0是一元二次方程,

則加=.

【答案】1

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義得出7九+1=0且|4m|-2=2,再求出

答案即可.

【詳解】解：???關(guān)于%的方程（血+1）%1向-2+27皿+5=0是一元二次方程,

An+1工。且14nli-2=2,

解得：m=1,

故答案為：1.

【變式21】（2425八年級下?江蘇鹽城?期中）若方程a/-％+5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范

圍為（）

A.a^OB.a>3C.a=0D.a>0

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根據(jù)一元二次方程的定義即可求解，解題的關(guān)鍵是熟記一元二次

方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程，熟記一般形

式為a/+.+c=0（aw0）.

【詳解】解：方程Q/-無+5=0是關(guān)于文的一元二次方程，

G*0,

故選:A.

【變式22】（2425八年級下?山東東營?階段練習）若方程Q+是關(guān)于％的一元二次方程，則

【答案】1

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，由題意得3a2—1=2且Q+1H0,解之即可求解，掌握一元二次

方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???方程（。+1）/。2-1=0是關(guān)于％的一元二次方程，

：.3a2-1=2且Q+1H0,

??G—1,

故答案為：1.

【變式23】（2425八年級下?江蘇南通?階段練習）若關(guān)于x的一元二次方程（加一1）%2—2%+m2-1=0有

一個解是0，則巾=

【答案】-1

【分析】本題考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正確求出機的值是關(guān)鍵，注意二次項系數(shù)不為():

把％=0代入原方程可得關(guān)于加的方程，解方程即可得解.，注意皿-1H0.

【詳解】解：?關(guān)于x的一元二次方程(m-1)/一2%+瓶2-1=o有一個解是o,

Am2-1=0且m-100,

解得：m=-1；

故答案為：—1.

【題型3根據(jù)一元二次方程的一般形式求系數(shù)】

【例3】(2425九年級上河南商丘?期中)方程(3%+1)。-1)=5整理成一元二次方程的一般形式后，它的

二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的比值是.

【答案】V

【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式為?2+8工+c=0(a=0),其中。叫做二次項系數(shù)，力叫做一次項系

數(shù)解答即可.

本題考查了一元二次方程的一般形式a/+以+c=0(Q00)及其相關(guān)概念，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由(3X+1)(工-1)=5,

得37—2x—6=0?

二二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為一2.

二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的比值是-今

故答案為：一條

【變式31】(2425八年級下?黑龍江哈爾濱?期中)關(guān)于工的一元二次方程3/一5工+2=0的二次項系數(shù)，一

次項系數(shù)和常數(shù)項分別為()

A.3,—5,—2B.3,-Sx,2C.3,5x,-2D.3,—5,2

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程的概念及一般式“a/+力工+。=0伍。oy，判定即可.

【詳解】解：關(guān)于工的一元二次方程3/一5%+2=0的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為3,-5,2,

故選：D.

【變式32](2425九年級上?貴州貴陽?期中)方程/一卜鈦-l=xIS化為一般形式后，一次項系數(shù)和常數(shù)

項分別為（）

A.1和3B.1和一6C.3和一6D.3和4

【答案】C

【分析】本題考杳了一元二次方程的一般式，根據(jù)?2+"+c=0（。工0）進行判定即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，，+4%-1=%+5移項整理得，X2+3X-6=0,

???一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為3和一6.

故選:C.

【變式33】（2425九年級上?湖南林州?階段練習）寫出一個二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為-3,常數(shù)項為-4

的一元二次方程是.（用一般形式表示）

【答案】%2-3%-4=0

【分析】本題考查一元二次方程的一般形式，根據(jù)一元二次方程的一般式：a/+bx+c=0（QH0）,其中

二次項系數(shù)為一次項系數(shù)為常數(shù)項為c，進行作答即可.

【詳解】解：由題意，可得方程為：X2-3X-4=0；

故答案為：x2-3x-4=0.

【題型4根據(jù)一元二次方程各系數(shù)的值求字母的值】

【伊|14]（2425八年級下?山東煙臺?期中）關(guān)于x的一元二次方程m/+租%=3%+12中不含x的一次項，

則此方程的解為—.

【答案】=2,x2=-2

【分析】本題考查一元二次方程的定義，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定義是解題關(guān)鍵.根據(jù)

一次項的定義先確定一次項，然后確定系數(shù)，解方程即可.

【詳解】解：???一元二次方程m/+小%=3%+12中不含%的一次項，

即m/+（m-3）x=12不含x的一次項，

m—3=0,

工加=3,

?,?原方程為37=12,

解得：X]=2,X2=-2,

故答案為:必=2,X2=-2.

【變式41】（2425八年級下?北京西城?階段練習）關(guān)于x的一元二次方程（爪-1）/+5%+血2-1=（）的常

數(shù)項為0,則小的值為（）

A.IB.-1C.2D.±1

【答案】B

【分析】本題考杳了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是正確計算常數(shù)項為0的值，利用一元二次方程的定

義判斷即可.

【詳解】解：由題意得：[血之一/"?，

解得m=-1,

故選:B.

【變式42](2425九年級上?河南洛陽?期中)若關(guān)于％的一元二次方程3/+%-2=ax(x-2)化成一般形式

后，其二次項系數(shù)為1,常數(shù)項為-2,則該方程中的一次項系數(shù)為.

【答案】5

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程進行化簡整理，從而可得(3-a)/+(1+2a)x-

2=0,然后根據(jù)題意可得3從而可得：a=2,再把。的值代入1+2a中，進行計算即可解答.

【詳解】解：3x2+x-2=ax(x-2),

3x2+x—2=ax2—2ax,

3x2-ax2+x+lax-2=0,

(3-a)/+(1+2a)x—2=0,

由題意得：3-a=1,

解得:a=2,

:.該方程中的一次項系數(shù)=1+2。=1+2x2=5,

故答案為：5.

【變式43】(2425九年級上?四川廣元?期中)若關(guān)于的一元二次方程2X2一(巾+1次=雙％+1)化成一般形

式后二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為-1,則?n的值為.

【答案】-1

【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根據(jù)題意解答即可求解，掌握一元二

次方程的一般式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：2/-(血+1)%="&+1),

2xz-(m+l)x-x(x+1)=0,

2xz-(m4-l)x-x2-x=0,

x2-(mI2)x=0?

???化成一般形式后二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為-1,

/.-(TH4-2)=-1,

771=-1,

故答案為：—1.

【題型5根據(jù)一元二次方程的解代入求值】

【例5】(2425八年級下?吉林?階段練習)若X=4是關(guān)于x的方程。/一"二8的解，則2。25-8。+2匕的值

為.

【答案】2021

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值，把％=4代入a/一bx=8得到8Q-2b=4,再整體代入求值.

【詳解】解：,.”=4是關(guān)于x的方程a--b%=8的解，

16a—4b=8,

/.8a-2d=4,

???2025-8a+2b=2025-(8a-2b)=2025-4=2021,

故答案為:2021.

【變式51】(2425八年級下?安徽六安?階段練習)已知〃是方程d+3%-1=。的一個根，則(Q+4)(Q-1)

的值為()

A.1B.3C.-3D.-5

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)“是方程/+3%-1=0

的一個根，可得出M+3Q=1,再化簡代數(shù)式，整體代入即可求解.

【詳解】解：是方程/+3%-1=0的一個根，

/.a2+3Q=1

A(a+4)(a-l)=a2+4a-a-4=a2+3a-4=l-4=-3

故選:C.

【變式52】(2425九年級上?湖南長沙?期中)若/〃是方程產(chǎn)一3%-1=0的一個根，則一27*+6m+19的

值為.

【答案】17

【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，代數(shù)式求值，掌提一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程根的定義可得比2-3血一1=0,即m2-3m=1,整體代入代數(shù)式即可求解.

【詳解】解：???m是方程/一3%-1=0的一個根，

/.m2—3m—1=0,BPm2-3m=1,

.*.-2TH2+6m+19

=-2(m2—3m)+19

=-2+19=17.

故答案為：17.

2

【變式53](2425九年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習)已知m是方程/+x_1=。的一個根，則代數(shù)式(m+I)+

(m+l)(m-1)的值為.

【答案】2

【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及一元二次方程的根、完全平方和公式、平方差公式等知識，先由一元二

次方程根的定義得到7n2+a=1,再由整式混合運算化簡代數(shù)式得到2(m2+ni),將7n2十例=1代入求值

即可得到答案，熱練掌握整式化簡求值是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???m是方程M+x—i=o的一個根，

?n2+m—1=0,則/+m=1,

???(m+l)2+(m+l)(m-1)

=m2+2m4-1+m2-1

=2m2+2m

=2(m2+m)

=2,

故答案為：2.

【題型6根據(jù)一元二次方程的解降次求值】

2

【例6】(2025?重慶?一模)已知m為方程/+x-3=0的一個根，則代數(shù)式m?+2m-2m+6的值為.

【答案】9

【分析】本題考查一元二次方程的解及代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是運用整體代入思想進行解題.先將機代入方

程得7*+血=3,再將tn?+小=3代入加2(巾+2)-2(?n-3)變形后的式子進行化簡求值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：m2+77i=3,

vm3+2m2-2m+6

=m3+m2+m2-2m+6

=n（m2+m）+m2-2m+6

=3m+TH2—2m+6

=m2+in+6

=3+6

=9.

故答案為：9.

【變式61】（2425九年級上?廣東湛江?階段練習）如果。是一元二次方程無2=3x-2的根，則代數(shù)式。2一3a+

2024的值為（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的解，整體代入法求代數(shù)式的值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)一元二次方程的解的意義可得，=3。-2,從而可得。2-3。=-2,然后代入式子中進行計算，即可解

答.

【詳解】解：?.?a是一元二次方程%2=3%一2的根，

/.a2=3a—2,

-3a=-2,

：.G2-3Q+2024=-2+2024=2022,

故選：B.

【變式62】（2425八年級下?重慶期末）若a是方程/+為一4=0的一個根，則M+2小一3Q+7的值為_

【答案】11

【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，根據(jù)一元二次方程的解的定義把x=Q代入方程得到

a2+a-4=0,然后根據(jù)等式的性質(zhì)易得M+Q=4,代入原式即可解答.

【詳解】解：??Z是方程/+%-4=0的一個根，

+Q-4=0,

.*.G2+Q=4,

a。+2a2一3Q+7

=c（a2+Q）+Q?-3Q+7

=4a+a?-3Q+7

=G24-a+7

=4+7

=11,

故答案為：11.

[變式63](2425八年級.匕上海徐匯?階段練習)已知a是關(guān)于A的一元二次方程/一％-11=0的一個根,

則07的值等于

72a3-3。2+11

【答案】1

【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值得到標一時11=0,進而得到M-a=11,再把所求式子轉(zhuǎn)化為2as237)'據(jù)此

整體代入求解即可.

【詳解】解：???〃是關(guān)于工的一元二次方程/一11=0的一個根,

/.a2—a—11=0>

G2—a=11,a2—11=a,

.a?一1]

**za3-3a2+ll

a

=(2a3-2a2)-(a2-11)

a

=za(a2-a)-(a2-ll)

a

22a—a

21

故答案為：

【題型7由實際問題抽象出一元二次方程】

【例7】(2425八年級下?浙江杭州?期中)某公司今年一月的營業(yè)額為200萬元，按計劃第一季度的總營業(yè)額

要達到950萬元，求該公司二、三兩個月營業(yè)額的月平均增長率.設該公司二、三兩個月營業(yè)額的月平均增

長率為，則根據(jù)題意可列方程為()

2

A.200[1+(1+x)+(1+X)2]=950B.200(1-Fx)=950

C.200[(1+x)+(1+x)2]=950D.950(1+x)2=200

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用，設該公司二、三兩個月營業(yè)額的月平均增長率為無，則二月

份公司的營業(yè)額為200(1+%)萬元，三月份公司的營業(yè)額為200(1+%)2萬元，根據(jù)第一季度的總營業(yè)額包

括一月、二月、三月的營業(yè)額總和，可列方程200[1+(1+%)+(1+X)2]=950.

【詳解】解：設該公司二、三兩個月營業(yè)額的月平均增長率為工,

則二月份公司的營業(yè)額為200(1+幻萬元，

三月份公司的營業(yè)額為200(1+幻2萬元，

???第一季度的總營業(yè)額要達到950萬元，

:.200+200(1+%)+200(1+%)2=950,

即200[1+(1+*)+(1+%)2]=950.

故選：A.

【變式71】(2425八年級下?上海崇明?期中)聯(lián)歡會上，每位同學向其他同學贈送1件禮物，結(jié)果共有互贈

禮物870件，求參加聯(lián)歡會的同學人數(shù)，設參加聯(lián)歡會的同學有x人，那么可列出方程.

【答案】x(x-1)=870

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，設參加聯(lián)歡會的同學有x人，則每人送出a-1)件禮

物，根據(jù)共送禮物870件可列出方程.

【詳解】解：設參加聯(lián)歡會的同學有x人，則每人送出(無-1)件禮物，

由題意得,x(x-1)=870.

故答案為：x(x-1)=870.

【變式72】(2425九年級上?貴州貴陽?期中)如圖，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為60m,寬為40m

的矩形空地上，修建一個矩形花圃，并將花圃四周余下的空地建成同樣寬的通道.若通道所占面積是整個

矩形空地面積的[則此時通道的寬為一.

O

【答案】5m

【分析】本題主要考查了?■元二次方程的應用，

先設通道的寬為xm,再根據(jù)花圃面枳所占整個矩形空地面積的(1列出方程，求出解即可.

【詳解】解：設通道的寬為xm,根據(jù)題意，得

(60-2%)(40-2%)=60x40x(1

解得%i=5,x2=45(舍去)，

所以通道的寬為5m.

故答案為：5m.

【變式73)(2425八年級下?重慶二匕暗?期中)哪吒的乾坤圈工坊以每個30靈石的進價購入一批迷你風火輪,

井以每個5。靈石售出，母日可售出8U個.據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，母個迷你風火輪的售價每降低2靈石，每日可多

售出10個，若哪吒希望單日盈利達400()靈石，則需將售價降低多少靈石？若設降價工靈石，則列出方程為

()

A.(50-x)(80+^x10)=4000B.(50-x-30)(80+x10)=4000

C.(50-x-30)(80+10x)=4000D.(50-2x-30)(80+10%)=4000

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設降價x靈石，則每個迷你風火輪的利潤為(50-工-30)

元，銷售量為(80+；x10)個，再根據(jù)總利潤為4000靈石列出方程即可.

【詳解】解：由題意得，(50-x-30)(804-x10)=4000,

故選:B.

【題型8根據(jù)一元二次方程的解求另一方程的解】

[例8](2425九年級上?福建泉外?期中)若關(guān)于x的一元二次方程a/+bx+c=0(ac*0)有一根為X=

2024,則關(guān)于y的一元二次方程eV++Q=0(QC00)必有一根為()

A.2024B.-2024D」短

【答案】C

【分析】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解方程的解的定義，屬于中考?？碱}型.

因為％=2024滿足方程Q/+'-c=0,所以20242。+2024b+c=0,兩邊同時除以20242即可確定所

求方程的一個根.

(詳解］解：把x=2024代入一元二次方程a/+bx+c=0,得2024202024b+c=0,

兩邊除以20242,得Q+表門高-0,

蔡^是一元二次方程cy2+by+a