（浙教版）七年級上冊數(shù)學(xué)《第5章一元一次方程》

5.4一元一次方程的解法

知識歸納

知識點一］解一元一次方攥-合并同類項

?1、利用合并同類項解一元一次方程的一般步驟和方法：

（1）合并同類項，即把含有未知數(shù)的同類項和常數(shù)項分別合并;

（2）系數(shù)化為1,即在方程的兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù).

知識點二解一元一次方程■-將項

?1、移項：一般地，把方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變

形叫做移項.

?2、移項的依據(jù)及注意事項：

（1）移項是將項從等號的一邊移到另一邊的變形，移項實際上是利用等式的性質(zhì)1.

（2）移項一定要變號.

（3）在解方程時，習(xí)慣上把含有未知數(shù)的項放在等號的左邊，常數(shù)項放在等號的右邊.

（4）方程中的項包括數(shù)和它前面的符號.

（5）不要把移項和加法交換律混淆.

知識點三解一元一次方程"W括W

?1、去括號的概念：解一元一次方程時，按照去括號法則把方程中的括號去掉，這個過

程叫做去括號.

?2、去括號的法則：

去掉“+（）”，括號內(nèi)各項的符號不變.

去掉“?（）”，括號內(nèi)各項的符號改變.

?3、去括號的順序：

先去小括號，再去中括號，最后去大括號，一般是由內(nèi)向外去括號；也可以由外向內(nèi)去括

號，先去大括號，再去中括號，最后去小括號.運用乘法分配律去括號時，不要漏掉括號內(nèi)

的任何一項.

?4、解含有括號的方程一般步驟：

（1）去括號.（2）移項.（3）合并同類項.系數(shù)化

為1.

知識點四解一元一次方星-去分處

?1、去分母的概念：解含有分母系數(shù)的一元一次方程時，方程兩邊各項都乘所有分母的最小公倍數(shù)，從

而約去分母，使方程的系數(shù)化成整數(shù)，這個過程叫做去分母.

?2"去分母'’的依據(jù)是等式的性質(zhì)二.

?3"去分母的方法：“去分母”的方法是方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù).

?4、“去分母”的注意事項：

（1）去分母時,方程兩邊的每一項都要乘各分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘沒有分母的項.

（2）去分母時，若分子是多項式，去掉分母后這個多項式要加上括號.

（3）當(dāng)分母含有小數(shù)時，先利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把小數(shù)化為整數(shù)，再去分母.

?5、去分母解方程的步驟是：

①去分母：②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1.

B題型歸納

題型一利用合并同類項解一元一次方程

題型二利用移項解一元一次方程

題型三利用去括號解一元一次方程

題型四利用去分母解一元一次方程

一元一次方-Q題型五求一元一次方程中的字母的值

程的解法

題型六一元一次方程的整數(shù)解問題

題型七利用換元法解一元一次方程

題型八利用新定義構(gòu)造一元一次方程

題型九含絕對值的一元一次方程

題型一利用合并同類項解一元一次方程

解題技巧提煉

利用合并同類項解一元一次方程的一般步驟和方法：

(1)合并同類項，即把含有未知數(shù)的同類項和常數(shù)項分別合并;

(2)系數(shù)化為1,即在方程的兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù).

35

-X---

23X2-1的解為()

A.x=-3B.x=一至C.x=3D.x=1

2.下列一元一次方程的同類項合并，正確的是()

A.已知x+7x-6x=2-5,則-2x=-3

B.已知0.5.r+0.9x+0.1=0.4+0.9x,則1.5x=1.3

C.已知25x+4x=6?3,則29x=3

D.已知5x+9x=4x+7,則18x=7

3.（2023秋?福田區(qū)校級期末）如果單項式與是同類項，那么關(guān)于x的方程"+力=o的解為（）

A.x=lB.x=-1C.x=3D.x=-3

4.（2024春?沈丘縣月考）若代數(shù)式-x-4與1的值互為相反數(shù)，則x的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2023秋?佛山期末）若2a-5-3=0,則關(guān)于x的方程（4a-2/力x-5=7的解是.

6.已知關(guān)于x的方程3x=5?2,%若該方程的解與方程2x-5》=1+8的解相同，則加的值是.

7.（2023秋?萊西市期末）小明在做作業(yè)時，不小心把方程2），-*=2-■中的一個常數(shù)污染了看不清楚.他

想了想，便翻看了書后的答案，此方程的解為于是，他很快知道了這個常數(shù)，他補(bǔ)出的這個常

數(shù)是.

8.用合并同類項的方法解下列方程：

1

（I）—X-2x=-1；

3

（2）x-2x=-2-7：

（3）—3-^.v+3x=1+2；

（4）4x-3x-3x=-9+8-1.

題型二利用移項解一元一次方程

解題技巧提煉

利用移項解一元一次方程的步驟是:

（1）移項；（2）合并同類項；（3）系數(shù)化為1.

I.（2024春?蒸湘區(qū)期末）方程3x+4=2x-5移項后，正確的是（）

A.3x+2x—4-5B.3x-2x-4-5

C.3x-2x=-5-4D.3x+2x=-5-4

2.代數(shù)式-2a+l與。?2的值相等，則。等于（）

A.0B.1C.2D.3

3.由方程3廠5=2?4變形得3x?2t=-4+5,那么這是根據(jù)（）變形的.

A.合并同類項法則B.乘法分配律

C.移項D.等式性質(zhì)2

4.通過移項，將下列方程變形，錯誤的是（）

A.由2r-3=-x-4,得2x-x=-4+3

B.x+2=2t-7,得L2T=-2-7

C.5y-2=-6,得5y=-4

D.由x+3=2-4x,得5x=-1

5.（2023秋?興化市期末）已知yi=x+3,y2=2-x,當(dāng)戶="時，x的值是（

11

A.2B.-C.-2D.-4

22

6.（2023秋?隆回縣期末）已知2x+l與3x-2的和等于9,則x的值為

7.（2023秋?倉山區(qū)期中）解下列方程：

（1）3+2x=6；

(2)3-|x=3x+l.

8.（2023秋?中山區(qū)期中）解方程:

31

X+----

23X2

(2)3A+7=32-2v.

題型三利用去括號解一元一次方程

解題技巧提煉

利用去括號解一元一次方程的步驟：

（1）去括號.（2）移項.（3）合并同類項,4）系數(shù)化為1.

1.（2023秋?鳳陽縣期末）解方程（3x+2）-2（2x-i）=1,去括號的結(jié)果正確的是（）

A.3x+2-2x+1=1B.3x+2-4x+1=1

C.3x+2-4x-2=1D.3x+2-4x+2=l

2.方程4（2-x）-4（x+1）=60的解是（）

66

--

A.x=lB.x=-7C.x=7D.7

3.（2023秋?彭水縣期末）當(dāng)產(chǎn)時，式子3（x-2）和4（x+3）?4的值相等.

4.（2023秋?昌邑區(qū)校級期末）已知2（「3）與4（1-x）互為相反數(shù)，則x=.

5.（2023秋?海門市期末）已知1yi=x+3,yi=2-x,當(dāng)x=時，戶比”大5.

6.（2023秋?秀山縣期末）已知x=\是關(guān)于x的方程6-（，〃-x）=5x的解，則代數(shù)式〃尸-6〃?+2=

7.（2024秋?南崗區(qū)校級月考）解方程：

（1）8A--3（3x+2）=6；（2）3（x-2）=2-5（x+2）；

8.解方程：

(1)3(3x+5)=2(2r-1),

(2)2x-3(20-A)=0,

(3)5(x+8)-5=6⑵-7)

(4)2(x-2)-3(4x-l)=9(1-x)

題型四利用去分母解一元一次方程

解題技巧提煉

去分母解方程的步驟是：

①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1.

Y—16

1.(2024秋?南崗區(qū)校級月考)若代數(shù)式一二與二的值互為倒數(shù)，則x=

2.(2023秋?路南區(qū)期中)下列方程變形中，正確的是()

A.方程3x-2=-2x+l,移項，得3x-2x=-l-2

B.方程2-x=3-5(x+1),去括號，得2-x=3-5x+l

C.方程g=6,系數(shù)化為1,得/=4

X

D.方程二7+1=x,去分母得2x+l=x

0.5

3Y—1x+2

3.(2023秋?離石區(qū)期末)已知方程,去分母后正確的結(jié)果是()

26

A.3(3x-1)-1=-x+2B.3(3x-1)-1=-(x+2)

C.3(3x-1)-6=-x+2D.3(3x7)-6=-(x+2)

12x—111—2%

4.(2023秋?襄城縣期末)下列是嘉淇同學(xué)解一元一次方程的過程:十——=--——.

4224

解：去分母，得1+2(2x-I)=2-(1-22,第一步

去括號，得1+4.L2=2-1-2x,第二步

移項，得4x+2r=2-I-1+2,第三步

合并同類項，得6x=2,第四步

系數(shù)化為1，得％

上述解法中，開始出現(xiàn)錯誤的是()

A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

1Y—71+x

5.（2。23秋,雨山區(qū)校級月考）若單項式wam+%3與的和仍是單項式,則方程工-丁=1的

解為（

A.A=-23B.x=23C.x=-29D.x=29

3x+a2x+3

6.（2023秋?巴東縣期末）下面是小明解一元一次方程一^-2=——-的過程.

2105

W：去分母，得5（3A-+1）-2=（3x+a）-2（2x+3）,…第一步

去括號，得15x+5-2=3x+a-4.r-6,…第二步

移項，合并同類項，得16工=。-9,…第三步

系數(shù)化為1，得工=噂…第四步

1O

（1）老師告訴小明答案錯誤，請你幫助小明分析，他在以上解題過程中第步開始出借，錯誤的原

因足:

（2）若〃=-2,請將正確的解答過程寫出來.

7.（2023秋?西安期末）小芳同學(xué)在解關(guān)于x的一元一次方程不一一1=一廠時，誤將工-4抄成戶小求

得方程的解為x=2,請幫小芳求出原方程正確的解.

8.（2024秋?南崗區(qū)校級月考）解方程:

9.（2023秋?廣州期中）解方程

x+24x-31

(1)

~3~~6-246

3%-25%+12r—3x-1

+3(4)2-^^+1

33I-

題型五求一元一次方程中的字母的值

解題技巧提煉

有關(guān)一元一次方程中求字母值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)題中的相關(guān)的概念（相反

數(shù)、倒數(shù)、同解方程）等條件入手，通過方程建模，從而求出待定系數(shù)或相關(guān)字

母的值.

I.（2024?涼州區(qū)三模）已知關(guān)于%的方程----=x+—與3."（A--1）=5的解相同，則"7=.

23---------

2.（2023秋?渝中區(qū)校級期中）若-5是關(guān)于x的方程+=x+3的解，則/〃=.

3.（2023秋?黃岡期中）關(guān)于x的方程2以=（。+1）x+6的解是x=l,則關(guān)于x的方程3奴=2（a+l）x+6

的解是.

4.（2023秋?香坊區(qū)校級期中）當(dāng)1=_________時，代數(shù)式?與1-字的值相等.

25

5.（2024春?宜陽縣期末）當(dāng)產(chǎn)時，代數(shù)式4x+3的值比2（x?1）的值大1.

k+x

6.（2023秋?扶溝縣期末）己知方程6-3（.￥+1）=0的解與關(guān)于x的方程逐一~3k~2=lx的解互為相反

數(shù)，求出的值.

7.（2023秋?陽東區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程2（x+1）-〃下一竿的解比方程5（X-1）-1=4（A-1）

+1的解大2.

（1）求第二個方程的解;

（2）求小的值.

8.（2024秋?南崗區(qū)校級月考）已知：關(guān)于x的方程二%-彳=二與3（x+m）=〃?-1有相同的解，求以y

2361

3—mym—3y

為未知數(shù)的方程的解.

32

9.（2024春?雁峰區(qū)校級月考）（1）已知關(guān)于x的方程2G+1）=3〃?+1的解與方程5x+3=-7的解互為

相反數(shù),求，〃的值.

（2）己知關(guān)于x的方程5m+31=工+1的解比關(guān)于x的方程〃?+2x=3/〃的解大2,求〃?的值.

題型六一元一次方程的整數(shù)解問題

解題技巧提煉

先把方程變形，然后用含待求字母的式子表示未知數(shù)，根據(jù)方程的有整數(shù)解，求

出符合條件的值即可.

1.攵為整數(shù)，當(dāng)左=時，方程92?3=h+14有止整數(shù)解.

2.（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的方程依-1=2（肝1）的解為整數(shù)，且A為整數(shù)，則滿足條件

的所有k的值為.

3.（2023秋?惠陽區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程％-5=-/心有整數(shù)解，則正整數(shù)機(jī)的值為（）

A.4B.4或0

C.4或2或6L）.4或。或-2或-6

4.若關(guān)于x的方程（女-2019）x-2017=7-2019（x+l）的解是整數(shù)，則整數(shù)&的取值

個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.6

5.（2024秋?楊浦區(qū)校級月考）若關(guān)于x的方程2%-上產(chǎn)=2口+1）—1的解是正整數(shù)，且關(guān)于），的多項

式（a-2）/+-_?是二次三項式，那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）

A.\B.3C.5D.7

6.（2023秋?公安縣期末）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值.如果一個方程的解都是整數(shù)，

那么這個方程叫做“立信方程”.

⑴若“立信方程"2x-1=3的解也是關(guān)于x的方程1-2（x-w）=3的解，則〃?=；

（2）若關(guān)于x的方程:?2x?3=0的解也是“立信方程”37-6「5+2〃=0的解，求〃的值.

（3）關(guān)于工的方程5x+6=k-7是“立信方程”，直接寫出符合要求的正整數(shù)人的值.

題型七利用換元法解一元一次方程

解題技巧提煉

1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得

到簡化，這叫換元法.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用

一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn),把一些形式

復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元一次方程，從而求解.

I.已知關(guān)于x的一元一次方程202〃-a=需上+2024的解為4=3,那么關(guān)于y的一元一次方程2022（.y+l）

乙U乙*3

?a=2Q23(y+1)+2024的解為

1

2.（2023秋?滕州市校級期末）已知關(guān)于x的一元一次方程——％+2020=2%+8的解為了=?3,那么

2019

關(guān)于>>的一元一次方程（y-2）+2020=2（y-2）+b的解為.

3.（2023春?內(nèi)鄉(xiāng)縣月老）已知大于k的一元一次方程五三工十2=的解為”=3,那么關(guān)于），的一

乙U4D

元一次方程啜3（2y+1）+2=2（2y+1）-b的解是（）

乙U4D

1b

A.~B.y=1C.y=2y=而存

4.（2023秋?漢陽區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元一次方程1+1=2葉。的解為x=-1,那么關(guān)于y的一元一次

方程（y+2）+1=2（y+2）+a的解是（）

A.y=-1B.y=1C.y=-3D.y=3

題型八利用新定義構(gòu)造一元一次方程

解題技巧提煉

首先利用新定義運算的方法構(gòu)造一元一次方程，然后再解一元一次方程即可解答.

1.（2023秋?泰山區(qū)期末）定義新運算：a^b=a-b+ab,例如：（-5）*3=?5?3+（-5）X3=?23,

那么當(dāng)（-x）*（-2）=3x時，x的值是（）

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4

2.（2024春?平羅縣期末）對于實數(shù)”，b,定義關(guān)于“※”的一種運算：a※方=2〃-36例如2派1=2乂2

-3X1=1,若（“※勸）-3〃=4,且（a-1）X（/?+1）=2,則小〃的值分別為（）

A.-2,1B.2,-IC.-1,2D.1,-2

.r.XX+1

3.（2024春?鄲城縣校級月考）設(shè)c,d為實數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運算J；為a+b-c+d,則滿足2I-

的x的值為（）

116

A.3B.-C.—D.4

55

4.（2023秋?湛江期末）現(xiàn)定義運算“”，對于任意有理數(shù)〃與力，滿足。坨=『°一4a-h,譬如5*3

,a-3b,a<b

115

=3X5-3=12,-*l=--3xl=若有理數(shù)x滿足廿3=12,則x的值為（）

222

A.4B.5C.21D.5或21

5.（2023秋?青縣期末）對有理數(shù)a,b,規(guī)定運算☆的意義是：3b=a+2b,則方程（4x-5）=1

中x=.

6.（2024?海淀區(qū)校級開學(xué)）現(xiàn)規(guī)定一種運算：”尸3尸冬如果xA（4A4）=7,那么x=.

7.（2023秋?太倉市期末）若規(guī)定“十”的運算過程表示為：a<Sib=\a-2h,3?1=|x3-2x1=-1.

⑴則（-6）,工=

2-------------

（2）若（2x-1）e|x=3?x,求x的值.

8.（2024秋?南崗區(qū)校級月考）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程依=。的解為力+小則稱該方程為“和

解方程”.例如：方程2x=-4的解為x=-2,而-2=-4-2,則方程2x=-4為“和解方程”.請根

據(jù)上述規(guī)定解答下列問題

9

-

（1）判斷：方程3x=2（“是”或“不是”）“和解方程”.

（2）關(guān)于x的一元一次方程5、=/是“和解方程”，求/的值.

（3）關(guān)于x的一元一次方程-34=〃?〃+〃是“和解方程”，并且它的解是x=m,求辦〃的值.

題型九含絕對值的一元一次方程

解題技巧提煉

解含絕對