專題03一元一次方程的應(yīng)用（原卷版）

A題型建模?專項突破

題型一、一元一次方程應(yīng)用之古代數(shù)學名著中問題...................................1

題型二、一元一次方程應(yīng)用之銷售問題.............................................2

題型三、一元一次方程應(yīng)用之行程問題.............................................3

題型四、一元一次方程應(yīng)用之工程問題.............................................5

題型五、一元一次方程應(yīng)用之方案選擇問題.........................................6

題型六、一元一次方程應(yīng)用之分段收費問題.........................................8

題型七、一元一次方程應(yīng)用之配套問題............................................10

題型八、一元一次方程應(yīng)用之動點問題............................................12

B綜合攻堅?能力躍升

題型建模-專項突破

題型一、一元一次方程應(yīng)用之古代數(shù)學名著中問題

1.我國古代《孫子算經(jīng)》記載了“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車

各幾何？”其意思是“每3人共乘一輛車，恰好空余2輛車；每2人共乘一輛車，最終有9人無車可乘，問人

和車的數(shù)量各是多少？，，求人和車的數(shù)量.

2.《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一：人出

六，不足十六、問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又

差16錢.問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？

3.《直指算法統(tǒng)宗》中有這樣一道題，原文如下：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個,

大小和尚得幾?。俊贝笠鉃椋河?00個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分

完，大、小和尚各有多少人？請解答上述問題.

4.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.

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問：人數(shù)、雞價各幾何？

譯釋：幾人湊錢買雞，每人出9元，則多11元；每人出6元，則差16元.有幾人？雞的價格是多少元?

5.在我國明代數(shù)學家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一首數(shù)學名詩叫“寶塔裝燈”.內(nèi)容為“遠望巍

塔七層，紅燈點點倍加增：共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”，大致意思是有一座七層高塔，從底層開

始，每層安裝的燈的數(shù)目都是上一層的2倍，共有381盞燈，請你算出塔的頂層有多少盞燈.

題型二、一元一次方程應(yīng)用之銷售問題

6.某超市計劃購進甲、乙兩種商品共120件，這兩種商品的進價、售價如表:

進價（元/件）售價（元/件）

甲2530

乙4560

（1）超市如何進貨，進貨款恰好為4600元.

（2）為確保乙型節(jié)能燈順利暢銷，在（1）的條件下，商家決定對乙型節(jié)能燈進行打折出售，且全部售完后,

乙型節(jié)能燈的利潤率為20%,請問乙型節(jié)能燈需打幾折？

7.已知某商店有兩件進價不同的運動衫都賣了150元，其中一件盈利20%,另一件虧損20%,在這次買賣

中這家商店是虧了還是賺了？虧了（或賺了）多少錢？

8.DeepSeek的出現(xiàn)，不僅為我國人工智能的發(fā)展注入新的活力，更讓全世界見證了我國在AI領(lǐng)域的卓越

創(chuàng)新與突破.某人工智能研發(fā)公司要購進一種芯片，他們購買的這種芯片價格是：商家按成本提價60%后

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標價，再打八五折賣給他們.結(jié)果商家每片這種芯片獲利144元，求這種芯片的標價.

9.在家電以舊換新的政策下，購買一臺節(jié)能家電的實際費用=(商場的實際售價-舊家電的折合價)

x(l-20%).張強借此政策為自己的婚房添加一臺節(jié)能電視機，他與銷售員協(xié)商后，電視機的實際售價為標

價的九折，張強的舊電視折合200元.經(jīng)計算，張強發(fā)現(xiàn)自己實際費用比這臺電視機按標價出售便宜了

30%.求這臺電視機的標價是多少元.

10.一次數(shù)學課上，老師要求學生根據(jù)圖示張剛和李東的對話內(nèi)容，展開如下活動:

活動1：仔細閱讀對話內(nèi)容；

活動2：根據(jù)對話內(nèi)容，提出一些數(shù)學問題，并解答.

下面是學生提出的兩個問題，請你列方程解答.

(1)如果張剛沒有辦卡，他應(yīng)付多少錢？

(2)你認為買多少元的書辦卡比原價購買便宜？

題型三、一元一次方程應(yīng)用之行程問題

11.周末小明和爸爸來到了一處馬場體驗騎馬.馬場有一個如圖所示的全長為800m的環(huán)形跑道，把跑道從

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A,B,C,。處分成長度相等的四段，小明和爸爸在騎師的引導下分別從/,。兩處同時出發(fā)，沿箭頭方向

相向而行，小明騎小馬和爸爸騎大馬的平均速度分別為4m/s,6m/s.

(1)多久后兩人首次相遇？

(2)在首次相遇后第二次相遇前，又經(jīng)過多長時間兩人相距80m?

12.甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)同向而行，乙車在甲車前面.甲車每小時行駛72km,乙車每小時行

駛48km,已知A,3兩地相距120km.

(1)若兩車同時開出，則甲車經(jīng)過多少小時追上乙車？

(2)若兩車同時開出，經(jīng)過多少小時兩車相距72km?

13.隨著全民健身的理念逐漸深入人心，跑步作為一項簡單易行，老少皆宜的運動，成為許多人日常鍛煉

的首選.周末，小聰和小明準備去迎澤大街進行跑步活動.已知迎澤大橋與五一廣場之間的距離為3.6千

米.小聰從迎澤大橋出發(fā)，以10千米/時的速度向五一廣場方向跑步；小明從五一廣場出發(fā)，以8千米/時

的速度向迎澤大橋方向跑步.兩人同時出發(fā)，相向而行.

迎澤大橋五一廣場

(1)兩人出發(fā)后多長時間相遇？

(2)若小聰在出發(fā)后5分鐘發(fā)現(xiàn)忘記帶水壺，于是停下來休息2分鐘后以原速度返回迎澤大橋取水壺，隨后

再次以原速度向五一廣場方向跑步，求兩人出發(fā)后多長時間相遇？

14.環(huán)形跑道一圈長400m,小明同學在跑道上練習騎自行車，平均每分鐘騎350m；小軍同學在跑道上練

習跑步，起初平均每分鐘跑250m.

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(1)若兩人從同一處同時反向出發(fā)，經(jīng)過多長時間首次相遇？

(2)若兩人從同一處同時同向出發(fā)，小軍同學跑1分鐘后，體能下降，平均速度下降到每分鐘跑150m,經(jīng)過

多長時間首次相遇？

15.江岸區(qū)某校七年級學生從學校乘大客車去實踐基地開展研學活動.小李同學因事遲到!小時才趕到學

6

校，他立即坐上爸爸的小汽車從學校出發(fā)，沿相同的路線用了半小時在路上追上了大客車.已知小汽車的

速度比大客車的速度每小時多20千米，分別求大客車、小汽車的速度.

(1)若設(shè)大客車的速度為x千米/時，則小汽車的速度為千米/時，小汽車追上大客車時，大客車從

學校出發(fā)已行駛的路程可表示為千米，小汽車從學校出發(fā)已行駛的路程可表示為千米;

(2)請列方程求大客車、小汽車的速度.

題型四、一元一次方程應(yīng)用之工程問題

16.宇樹科技的機器人H1接到一項緊急任務(wù)：在4小時內(nèi)處理完1000條生產(chǎn)數(shù)據(jù)，以確保智能工廠生產(chǎn)線

的高效運行.H1有兩種工作模式:常規(guī)模式每小時能處理200條數(shù)據(jù)，增強模式每小時能處理300條數(shù)據(jù).為

了優(yōu)化能耗，工程師讓H1先以常規(guī)模式工作一段時間，再切換到增強模式.最終H1剛好在4小時內(nèi)完成了

全部任務(wù).問：機器人H1在常規(guī)模式和增強模式下各工作了多少小時？

17.某工廠需要生產(chǎn)一批設(shè)備，每套設(shè)備由一個A部件和3個8部件組裝而成；若工廠每人每天只能生產(chǎn)同

一種部件，每人每天平均生產(chǎn)A部件的個數(shù)比8部件的個數(shù)少6個，且每天6個工人生產(chǎn)A部件的數(shù)量與5

個工人生產(chǎn)B部件的數(shù)量相同.

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(1)工廠每人每天平均生產(chǎn)A部件和B部件各多少個？

(2)現(xiàn)共有21名工人，應(yīng)如何分配工人才能使每天的生產(chǎn)的A部件和8部件配套?

18.甲、乙兩工程隊承接某段隧道挖掘工程，已知該段隧道長度為600米，甲工程隊每天挖掘的長度是乙

工程隊每天挖掘長度的L5倍，甲、乙兩工程隊合作4天完成該工程的;.

(1)求甲、乙兩個工程隊每天分別可挖掘隧道多少米.

(2)若甲工程隊先單獨挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程隊單獨完成，總費用剛好94萬元.已知甲工程

隊每天的挖掘費用為5萬元，乙工程隊每天的挖掘費用為3萬元，求甲工程隊單獨挖掘的天數(shù).

19.我國首臺千萬億次超級計算機“天河一號”現(xiàn)在安裝的是由我國自行設(shè)計制造的“飛騰”計算機中央處理器

(CPU)芯片.據(jù)了解，安裝“飛騰”芯片后，“天河一號”的運算速度將在原來的基礎(chǔ)上提速20%,達到每秒

1200萬億次.已知一項復(fù)雜的運算任務(wù)在安裝“飛騰”芯片后比安裝前使用其他芯片快10分鐘，請算出“天

河一號”以現(xiàn)在的運算速度完成這項任務(wù)需多長時間.

20.黃茅海跨海通道連接珠海市和江門市，是港珠澳大橋西延的關(guān)鍵通道，黃茅海大橋建設(shè)過程中，有甲、

乙兩個工程隊參與其中，甲、乙兩個工程隊一天共鋪設(shè)橋梁構(gòu)件80件，甲工程隊施工3天比乙工程隊施工

2天多鋪設(shè)橋梁構(gòu)件30件，問甲、乙工程隊每天各鋪設(shè)橋梁構(gòu)件多少件？

題型五、一元一次方程應(yīng)用之方案選擇問題

21.洛陽龍門石窟被聯(lián)合國教科文組織評為“中國石刻藝術(shù)的最高峰”.某校七年級組織了一次研學活動，計

劃安排6名老師帶領(lǐng)x名學生參觀龍門石窟，已知每張門票的票價為90元.現(xiàn)有A,8兩種購票方案可供

選擇：

6/51

方案A:教師全價，學生半價.

方案B:不分教師與學生，師生全部六折優(yōu)惠.

(1)請分別計算A,8兩種方案的總費用(請用含X的代數(shù)式表示).

(2)當學生人數(shù)是多少時，A,B兩種方案的總費用一樣.

⑶當x=30時，請通過計算來說明A,B兩種購票方案中哪種更優(yōu)惠.

22.某出租車公司推出N專車和8快車兩種出租車，這兩種出租車的收費方式如下.

/專車：3千米以內(nèi)(包括3千米)收費10元，超過3千米的部分每千米收費2.5元，不收其他費用:

2快車：

計費項目起步價里程費遠途費

計費價格8元2元/千米1元/千米

注：車費由起步價、里程費、遠途費三部分組成，其中起步價包含里程2千米；里程大于2千米的部分按

計價標準收取里程費：遠途費的收取方式為：行車不超過12千米，不收遠途費，超過12千米的，超出的

部分每千米加收1元.

(1)如果乘車路程是10千米，使用/專車出行，需支付的費用是元；使用3快車出行，需支付的費用

是元；

(2)如果乘車路程是尤卜＞12)千米，使用/專車出行，需支付的費用是元；使用2快車出行，需支付

的費用是元；(用含x的式子表示，結(jié)果要化簡)

(3)如果乘車路程是V千米時，使用8快車出行的費用比使用/專車出行的費用省3元，求了的值.

23.游泳館推出兩種付費方式：方式一，單次卡，每次收費30元；方式二，辦理會員年卡，一次繳納300元

會員費，每次游泳另外收費10元(一年內(nèi)有效).

(1)爸爸游泳鍛煉的計劃是一年，每月兩次.他選擇哪種方式更劃算？請寫出簡要的思考過程.

(2)一年內(nèi)游泳達到幾次時，兩種付費方式所用錢數(shù)相等？請寫出簡要的思考過程.

7/51

24.“五一”期間，甲、乙兩個商場以同樣價格出售相同的商品，并且各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累

計購物超過250元后，超出部分打八五折；在乙商場累計購物超過100元后，超出部分打九五折.

(1)購買多少元商品時(大于250元)，兩個商場的實際花費相同？

(2)張阿姨要選定一個商場購買500元的商品，通過計算說明她選哪個商場購物實際花費會少些.

25.暑假期間，某校組織學生到北京研學，研學社報價每人收費400元，當研學人數(shù)超過50人時，研學社

給出兩種優(yōu)惠方案(只選其中一種方案)：

方案一：研學團隊先交1600元后，每人再收費320元；

方案二：其中5人免費，其余每人收費打九折.

當參加研學的總?cè)藬?shù)是x(x>50)時.

(1)請用含x的代數(shù)式分別表示方案一和方案二各收費多少元；

(2)當兩種方案的收費相同時，求該校參加研學的總?cè)藬?shù).

題型六、一元一次方程應(yīng)用之分段收費問題

26.為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費.下表是該市“一戶一表”生活用水階梯式

計費價格表的部分信息：

自來水銷售價格污水處理價格

每戶每月用水量單價：元/噸單價：元/噸

8/51

17噸及以下a0.50

超過17噸但不超過30噸的部分b0.50

超過30噸的部分3.000.50

（說明：①每戶生產(chǎn)的污水量等于該戶自來水用量；②水費=自來水費用+污水處理費）

已知小王家2025年1月用水15噸，交水費30元；2月份用水26噸，交水費61元.

⑴求a,6的值；

（2）如果小王家3月份上交水費108元，則小王家這個月用水多少噸？

27.為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費.下表是該市“一戶一表”生活用水階梯式

計費價格表的部分信息：

自來水銷售價格污水處理價格

每戶每月用水量單價：元/噸單價：元/噸

17噸及以下a0.50

超過17噸但不超過30噸的部分b0.50

超過30噸的部分3.000.50

（說明：①每戶生產(chǎn)的污水量等于該戶自來水用量；②水費=自來水費用+污水處理費）

已知小王家2024年7月用水15噸，交水費30元；8月份用水26噸，交水費61元.

（1）求a,b的值.

（2）如果小王家9月份上交水費108元，則小王家這個月用水多少噸？

（3）小王家10月份忘記去交水費，當他11月去交水費時發(fā)現(xiàn)兩個月一共用水52噸（其中10月份用水超過

30噸），一共交水費132.59元（其中包含10月份的滯納金，即10月份水費的2%）,求小王家11月份用

水多少噸.（滯納金：因未能按期繳納水費，逾期要繳納的“罰款金額”）

28.為節(jié)約用水，政府決定對居民用水實行三級階梯水價：

每戶每月用水量水費價格（單位：元/立方米）

不超過22立方米2.3

超過22立方米且不超過30立方米的部分a

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超過30立方米的部分4.6

(1)若小明家今年2月份用水量是26立方米，繳費62.6元，請求出上表中。值？

(2)在(2)的條件下，若小明家3月份用水量增大，共繳費97.6元，請求出他家3月份的用水量是多少立方

米？

29.為倡導合理利用電資源，電力局推行了居民申請使用“峰谷”電制度，具體如下圖所示.已知一個家庭使

用峰谷電的某月電費為95.2元，經(jīng)測算，比不使用峰谷電節(jié)約10.8元，該家庭當月使用峰電和谷電各多少千

瓦時？

8:00-22:00：每千瓦時0.56元(峰電價格)

22:00-8:00：每千瓦時0.28元(谷電價格)

不使用峰谷電：每千瓦時0.53元

30.“水是生命之源”，我縣自來水公司鼓勵居民節(jié)約用水，收費按以下標準:

用水量/月單價(%/m3)

不超過20m32.8

超過20m3的部分3.2

⑴如果1月份某用戶用水量為19m3,那么該用戶1月份應(yīng)該繳納水費元.

(2)某用戶2月份共繳納水費80元，那么該用戶2月份用水多少?

題型七、一元一次方程應(yīng)用之配套問題

31.某車間有60個工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件28個或乙種零件14個.已

知每2個甲種零件和3個乙種零件配成一套，問應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能

使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？

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32.在勞技課上，老師組織七年級一班的學生用硬紙制作圓柱形茶葉筒.該班共有學生55人，其中男生人

數(shù)比女生人數(shù)少3人，并且每名學生每小時剪筒身50個或剪筒底120個.

(1)該班有男生、女生各多少人？

(2)要求一個筒身配兩個筒底，為了使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套，應(yīng)該分配多少名學生剪筒身，多

少名學生剪筒底？

33.某生產(chǎn)線共有60名工人，每名工人每天可生產(chǎn)14個電壓表或20個電流表，1套物理電學實驗器材包

中要配有1個電壓表和2個電流表，要使該生產(chǎn)線每天生產(chǎn)的電壓表和電流表恰好能配套裝入物理電學實

驗器材包，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)電壓表？

34.制作一張桌子要用一個桌面和4條桌腿，木材可制作20個桌面或400條桌腿，現(xiàn)有12m3木材.

(1)應(yīng)怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子呢？

(2)這樣制作，一共能制作多少套？

35.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中，一部分人加工

甲種零件，其余的加工乙種零件.

(1)如果某產(chǎn)品要求甲種零件與乙種零件每天生產(chǎn)的個數(shù)按照3:4配比，那么應(yīng)該安排幾名工人加工甲種零

件，幾名工人加工乙種零件？

(2)已知每加工一個甲種零件可獲利15元，每加工一個乙種零件可獲利20元.若此車間某天一共獲利1240元,

求這一天有幾名工人加工甲種零件.

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題型八、一元一次方程應(yīng)用之動點問題

36.如圖，在數(shù)軸上，點/表示的數(shù)為-12,點5表示的數(shù)為4,原點為0,有兩個電動玩具甲、乙分別從

點/沿數(shù)軸同時相向勻速運動，在4秒后相遇繼續(xù)運動，玩具甲的速度為每秒3個單位長度.

AB

—1--------------------------------------------------1-----------------1——>

O

(1)/、3兩點之間的距離為；

(2)求玩具乙的運動速度；

(3)若玩具甲，乙開始運動的同時，玩具丙從點。出發(fā)，沿數(shù)軸正方向以每秒2個單位長度運動，求運動時

間為多少時，玩具甲、乙之間的距離等于玩具丙運動的距離？

37.如圖，數(shù)軸上/、8兩點所對應(yīng)的數(shù)分別為-8,4,/、8兩點各自以一定的速度同時運動，且點4運動

的速度為2單位長度/秒.

‘I』》

(1)若/、2兩點相向而行，在原點O處相遇，求點2的速度；

(2)若/、2兩點從開始位置上同時按照(1)中的速度向數(shù)軸正方向運動，多少秒后，點/、3與原點距離

相等.

38.如圖，在數(shù)軸上點/表示數(shù)a,點3表示數(shù)6,且a,6滿足|a+11+(6-9>=0.動點P從點/出發(fā)，

以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為/秒.

AB

-------1-----------1--------------------------------------------1―?

0

⑴填空：°=_,b=_.

Q)若PB=4PA,求才的值.

(3)動點0從點3出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動.點尸，。同時運動，是否存在某一

時刻/，使得3,P,。三點中，有一點恰好是另外兩點所連線段的中點？若存在，請直接寫出/的值；若不

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存在，請說明理由.

39.如圖，點A,3在同一數(shù)軸上，數(shù)軸的單位長度為1,且點A,8表示的數(shù)互為相反數(shù).

(1)求48的長度；

(2)點C,。為同一數(shù)軸上兩個動點，兩點同時出發(fā).點C從點A出發(fā)，向右以1(單位長度/秒)的勻速移

動秒；點。從點3出發(fā)，向左以2(單位長度/秒)的勻速移動.

(i)用含f的代數(shù)式表示點C,。表示的數(shù)；

(ii)若AD=BC,求t的值.

40.綜合與實踐

己知數(shù)軸上有/、8、C三點，點/在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為0,點3對應(yīng)的數(shù)為6,且a、6滿足卜+50|+僅-30)2=0,

2

點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程x=1x+6的解

?*-

ACB

圖1

______1~??！?/p>

ACB

圖2

⑴數(shù)軸上點4、B、。表示的數(shù)分別為、、；

13/51

（2）如圖1,若動點P從/點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，動點0從點2出發(fā)，

以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點尸、0同時出發(fā)，當/為何值時，P、。之間的距離

恰好等于8個單位長度？

（3）如圖2,若動點P、。兩點同時從/、3出發(fā)，向右勻速運動，同時動點R從點C出發(fā)，向左勻速運動，

已知點P的速度是點R的速度的6倍，點。的速度是點R的速度2倍少5個單位長度/秒.經(jīng)過5秒時，尸、

。、R三點恰好有其中一點為其余兩點的中點.請直接寫出動點R的運動速度.

1.（2025?浙江?模擬預(yù)測）明代大數(shù)學家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書中，記載了這樣一道數(shù)學題：“八萬

三千短竹竿，將來要把筆頭安，管三套五為期定，問君多少能完成?”也就是說：有83000根短竹，每根短竹

可制成毛筆的筆管3個或筆套5個，怎樣安排制作筆管或筆套的短竹數(shù)量，使制成的筆管數(shù)量與筆套數(shù)量正

好配套?下列說法正確的是（）

A.設(shè)用于制作筆管的短竹數(shù)為x根，則可列方程為5x-3x=83000

B.設(shè)用于制作筆管的短竹數(shù)為x根，則可列方程為3x=5（83000-x）

C.設(shè)用于制作筆套的短竹數(shù)為y根，則可列方程為=83000

D.設(shè)用于制作筆套的短竹數(shù)為y根，則可列方程為3y=5（83000-、）

2.（2025?黑龍江佳木斯?三模）某工廠計劃生產(chǎn)一批口罩，原計劃每天生產(chǎn)10000個，由于疫情形勢變化,

實際每天生產(chǎn)的數(shù)量比原計劃增加20%,結(jié)果提前5天完成生產(chǎn)任務(wù).設(shè)原計劃生產(chǎn)x個口罩，根據(jù)題意

可列方程為（）

10000-10000x(1+20%)10000x(1+20%)10000

1000010000x20%10000x20%10000

3.（2025?吉林長春?二模）用一種硬紙板制作某種長方體包裝盒，每張硬紙板可制作盒身12個或制作盒底

18個，1個盒身與2個盒底配成一套.現(xiàn)有28張這種硬紙板，全部用來制作這種包裝盒，要使盒身和盒底

剛好配套，設(shè)需要x張做盒身，根據(jù)題意可列方程為.

4.（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測）某條地下管線由甲工程隊單獨鋪設(shè)需要20天，由乙工程隊單獨鋪設(shè)需要30

天，現(xiàn)計劃由乙工程隊先從一端鋪設(shè)5天，然后增加甲工程隊從另一端和乙工程隊同時鋪設(shè).則完成這條

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地下管線的鋪設(shè)任務(wù)時，甲、乙兩個工程隊合作鋪設(shè)的天數(shù)為.

5.（2025?四川宜賓?模擬預(yù)測）如圖，C、D、E、尸為直線NB上的4個動點，其中/C=10,5尸=14.在

直線48上，線段CD以每秒2個單位的速度向左運動，同時線段EP以每秒4個單位的速度向右運動，則運

動秒時，點C到點A的距離與點F到點B的距離相等.

11.1.1I,.1

ACDEFB

6.（2025?吉林?中考真題）《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車，二車空：二人共車，九人

步.問車幾何？其譯文為：有若干人乘車，若每3人同乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，

最終剩下9人因無車可乘而步行.問有多少輛車？為解決此問題，設(shè)共有x輛車，可列方程為.

7.（2025?陜西西安?三模）某服裝加工廠要用工業(yè)機器人生產(chǎn)一批上衣和褲子，已知該加工廠共有8臺機

器人，每臺機器人每天可完成240件上衣或400條褲子，為使每天生產(chǎn)的上衣和褲子剛好配套（每套含1件

上衣和1條褲子），請問該服裝加工廠應(yīng)該安排多少臺機器人生產(chǎn)上衣？多少臺機器人生產(chǎn)褲子？

8.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）漢服是漢民族的傳統(tǒng)服飾，是中國“衣冠上國”、“禮儀之邦”、“錦繡中華”

的體現(xiàn)，深受小朋友們喜愛.某漢服店老板購進了一批兒童漢服，若每件兒童漢服按標價的九折出售，則

每件可賺10元；若按標價的六折出售，則每件虧損20元.求每件兒童漢服的進價.

9.（2025?貴州遵義?一模）今年春節(jié)期間，電影《哪吒2》特別火爆，小強一家去某電影院觀看此部電影.到

了影院后，看到有以下優(yōu)惠活動方案：

優(yōu)惠方案一會員費200元，票價35元/人.

優(yōu)惠方案二原票價50元/人，成人原價，學生票價是原價的5折.

（1）若小強一家6人（成人4人，學生2人），他選擇哪種優(yōu)惠方案劃算？

（2）若成人人數(shù)是學生人數(shù)的2倍且兩種優(yōu)惠方案所付票價相等，求成人、學生各多少人?

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10.(2025?甘肅張掖?一模)如圖，。為數(shù)軸原點，點N在數(shù)軸上，點M在原點O左側(cè)，點N在原點

O右側(cè)，且。"=9,MN=24.螞蟻尸從點N出發(fā)，以3個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向左運動，同時螞

蟻。從點M出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸運動.設(shè)點尸，0的運動時間/(秒).

M0PN

______II.I.

0

⑴點〃表示的數(shù)為二點N表示的數(shù)為」

(2)用含t的代數(shù)式表示經(jīng)過t秒時點P表示的數(shù)；

(3)若螞蟻0沿數(shù)軸向右運動，當兩只螞蟻之間的距離為6時，求才的值；

(4)螞蟻。沿數(shù)軸向左運動，若無論/取何值，OQ-mNP(加為常數(shù))的值始終固定不變，求加的值.

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專題03一元一次方程的應(yīng)用（解析版）

目錄^---------------

A題型建模?專項突破

題型一、一元一次方程應(yīng)用之古代數(shù)學名著中問題...................................1

題型二、一元一次方程應(yīng)用之銷售問題.............................................2

題型三、一元一次方程應(yīng)用之行程問題.............................................3

題型四、一元一次方程應(yīng)用之工程問題.............................................5

題型五、一元一次方程應(yīng)用之方案選擇問題.........................................6

題型六、一元一次方程應(yīng)用之分段收費問題.........................................8

題型七、一元一次方程應(yīng)用之配套問題............................................10

題型八、一元一次方程應(yīng)用之動點問題............................................12

B綜合攻堅?能力躍升

題型建模-專項突破

題型一、一元一次方程應(yīng)用之古代數(shù)學名著中問題

1.我國古代《孫子算經(jīng)》記載了“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車

各幾何？”其意思是“每3人共乘一輛車，恰好空余2輛車；每2人共乘一輛車，最終有9人無車可乘，問人

和車的數(shù)量各是多少？，，求人和車的數(shù)量.

【答案】有39人，15輛車

【知識點】古代問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)有x個人，根據(jù)每3人共乘一輛車，恰好空余2輛車；每2

人共乘一輛車，最終有9人無車可乘，再建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)有x個人，則根據(jù)題意列方程，得：+2=彳，

32

解得x=39.

車的數(shù)量為；+2==+2=15.

33

答：有39人，15輛車.

2.《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一：人出

六，不足十六、問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又

差16錢.問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？

【答案】人數(shù)為9人，買雞的錢為70錢

【知識點】古代問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意找等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.設(shè)人數(shù)為無，根據(jù)題意列出

方程，解方程即可求解.

17/51

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為X,根據(jù)題意得9x-ll=6x+16,

解得:x=9,

.?.買雞的錢數(shù)為：9x9-11=70,

答：人數(shù)為9人，買雞的錢為70錢.

3.《直指算法統(tǒng)宗》中有這樣一道題，原文如下：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個,

大小和尚得幾??？”大意為：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分

完，大、小和尚各有多少人？請解答上述問題.

【答案】小和尚有75人，大和尚有25人.

【知識點】古代問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，設(shè)小和尚有無人，則大和尚有（10。-尤）人，根據(jù)100個饅頭

列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)小和尚有無人，則大和尚有。00-x）人，

由題意得，j+3（100-x）=100,

解得75,

100-75=25（人），

答：小和尚有75人，大和尚有25人.

4.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.

問：人數(shù)、雞價各幾何？

譯釋：幾人湊錢買雞，每人出9元，則多11元；每人出6元，則差16元.有幾人？雞的價格是多少元？

【答案】9人；70元

【知識點】古代問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意可知，雞的總價、總?cè)藬?shù)是不變的，總?cè)藬?shù)x9元一11

元=總?cè)藬?shù)x6元+16元，設(shè)一共有x人，列方程為9x-ll=6x+16,然后解出方程即可.

【詳解】解：設(shè)一共有x人.根據(jù)題意得：

9x-ll=6x+16,

解得，x=9

.*.9x9-11=81-11=70（元）

答：有9人；雞的價格是70元.

5.在我國明代數(shù)學家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一首數(shù)學名詩叫“寶塔裝燈”.內(nèi)容為“遠望巍

塔七層，紅燈點點倍加增：共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”，大致意思是有一座七層高塔，從底層開

始，每層安裝的燈的數(shù)目都是上一層的2倍，共有381盞燈，請你算出塔的頂層有多少盞燈.

【答案】3

【知識點】古代問題（一元一次方程的應(yīng)用）

18/51

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)塔的頂層有X盞燈，根據(jù)“從底層開始，每層安裝的燈的數(shù)目

都是上一層的2倍，共有381盞燈”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解題意，正確列出方程

是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)塔的頂層有x盞燈，

由題意得：%+2尤+4工+8尤+16尤+32尤+64工=381,

解得：x=3,

塔的頂層有3盞燈.

題型二、一元一次方程應(yīng)用之銷售問題

6.某超市計劃購進甲、乙兩種商品共120件，這兩種商品的進價、售價如表：

進價（元/件）售價（元/件）

甲2530

乙4560

（1）超市如何進貨，進貨款恰好為4600元.

（2）為確保乙型節(jié)能燈順利暢銷，在（1）的條件下，商家決定對乙型節(jié)能燈進行打折出售，且全部售完后，

乙型節(jié)能燈的利潤率為20%,請問乙型節(jié)能燈需打幾折？

【答案】（1）應(yīng)購進甲商品40件，購進乙商品80件

（2）乙商品需打9折

【知識點】銷售盈虧（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知

數(shù)，列出方程.

（1）設(shè)商場購進甲型節(jié)能燈x只，則購進乙型節(jié)能燈（120-x）只，根據(jù)甲乙兩種燈的總進價為4600元列出

一元一次方程，解方程即可；

（2）設(shè)乙型節(jié)能燈需打。折，根據(jù)利潤=售價-進價列出。的一元一次方程，求出。的值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)超市應(yīng)購進甲種商品x件，則購進乙種商品（120-x）件，

由題意得：25x+45（120-x）=4600,

解得：x=40,

???120-％=120-40=80,

答：應(yīng)購進甲商品40件，購進乙商品80件；

（2）解：設(shè)乙商品需打。折，由題意得：60x0.1〃—45=45x20%,

解得：a=9,

答：乙商品需打9折.

19/51

7.已知某商店有兩件進價不同的運動衫都賣了150元，其中一件盈利20%,另一件虧損20%,在這次買賣

中這家商店是虧了還是賺了？虧了（或賺了）多少錢？

【答案】在這次買賣中這家商店是虧了，虧了12.5元錢.

【知識點】銷售盈虧（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.設(shè)第一件運動衫的進價為x元，第二件運動衫的進價為y元，根

據(jù)題意求出x,y,然后再用售價減去進價即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)第一件運動衫的進價為龍元，第二件運動衫的進價為y元，

則x（l+20%）=150,y（l-20%）=150,

解得x=125（元）,j^=187.5（元）.

A2x150-125-187.5^-12.5（元）.

答：在這次買賣中這家商店是虧了，虧了12.5元錢.

8.DeepSeek的出現(xiàn)，不僅為我國人工智能的發(fā)展注入新的活力，更讓全世界見證了我國在AI領(lǐng)域的卓越

創(chuàng)新與突破.某人工智能研發(fā)公司要購進一種芯片，他們購買的這種芯片價格是：商家按成本提價60%后

標價，再打八五折賣給他們.結(jié)果商家每片這種芯片獲利144元，求這種芯片的標價.

【答案】這種芯片的標價為640元.

【知識點】銷售盈虧（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)這種芯片的成本價為x元，則這種芯片的標價為（l+60%）x元,

由題意列出方程（1+60%）XX0.85-X=144,然后解方程即可，讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)這種芯片的成本價為x元，則這種芯片的標價為（l+60%）x元，

由題意得，（1+60%）尤x0.85-x=144,

解得:x=400,

,這種芯片的標價為（1+60%）x400=640,

答：這種芯片的標價為640元.

9.在家電以舊換新的政策下，購買一臺節(jié)能家電的實際費用=（商場的實際售價-舊家電的折合價）

x（l-20%）.張強借此政策為自己的婚房添加一臺節(jié)能電視機，他與銷售員協(xié)商后，電視機的實際售價為標

價的九折，張強的舊電視折合200元.經(jīng)計算，張強發(fā)現(xiàn)自己實際費用比這臺電視機按標價出售便宜了

30%.求這臺電視機的標價是多少元.

【答案】8000元

【知識點】銷售盈虧（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程得應(yīng)用，準確找出等量關(guān)系，列出L元一次方程是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)“購買一臺節(jié)能家電的實際費用=（商場的實際售價-舊家電的折合價）x（l一20%）”，可得出實際費

20/51

用為(1-20%)x(0.9x-200)元.又已知實際費用比按標價出售便宜了30%,那么實際費用也可表示為

(l-30%)x元.根據(jù)上述兩種方式表示的實際費用相等，列出方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)這臺電視機的標價為x元，由題意得，

(l-2O%)x(O.9x-2OO)=(l-3O%)x,

解得尤=8000.

答：這臺電視機的標價是8000元.

10.一次數(shù)學課上，老師要求學生根據(jù)圖示張剛和李東的對話內(nèi)容，展開如下活動：

活動1：仔細閱讀對話內(nèi)容；

活動2：根據(jù)對話內(nèi)容，提出一些數(shù)學問題，并解答.

下面是學生提出的兩個問題，請你列方程解答.

(1)如果張剛沒有辦卡，他應(yīng)付多少錢？

(2)你認為買多少元的書辦卡比原價購買便宜？

【答案】(1)如果張剛沒有辦卡，他需要付350元

(2)我認為買多于250元錢的書辦卡就便宜

【知識點】銷售盈虧(一元一次方程的應(yīng)用)

【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際問題，根據(jù)題目等量關(guān)系，列方程是解決本題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)如果張剛沒有辦卡，他需要付x元，根據(jù)關(guān)系式為：書的原價-10=書的原價xO.9+25,列出一元

一次方程即可；

(2)設(shè)買y元的書辦卡與不辦卡的花費一樣多，根據(jù)題意得到了=25+0.9y,求出了即可.

【詳解】(1)解：設(shè)如果張剛沒有辦卡，她需要付x元，

貝1］有：25+0.9x=x-10,

解得：x=350,

答：如果張剛沒有辦卡，他需要付350元；

(2)解：設(shè)買y元的書辦卡與不辦卡的花費一樣多，

則有：y=25+0.9y,

21/51

解得。=250.

所以當購買的書的總價多于250元時，辦卡便宜，

答：我認為買多于250元錢的書辦卡就便宜.

題型三、一元一次方程應(yīng)用之行程問題

11.周末小明和爸爸來到了一處馬場體驗騎馬.馬場有一個如圖所示的全長為800m的環(huán)形跑道，把跑道從

A,B,C,。處分成長度相等的四段，小明和爸爸在騎師的引導下分別從N,。兩處同時出發(fā)，沿箭頭方向

相向而行，小明騎小馬和爸爸騎大馬的平均速度分別為4m/s,6m/s.

(1)多久后兩人首次相遇？

(2)在首次相遇后第二次相遇前，又經(jīng)過多長時間兩人相距80m?

【答案】(1)60秒后兩人首次相遇

(2)在首次相遇后第二次相遇前，又經(jīng)過8秒或72秒時，兩人相距80m

【知識點】行程問題(一元一次方程的應(yīng)用)

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是看清是相遇問題以及找到兩人兩人相距80m,所

走得路程.

(1)兩人分別A,。兩處同時出發(fā)，沿箭頭方向相向出發(fā)，從圖上可知首次相遇是個相遇問題，找到路程,

知道速度，根據(jù)路程等于速度乘以時間，可列方程求解；

(2)在首次相遇后第二次相遇前，又經(jīng)過y秒兩人相距80m,依然是行程問題，找到路程，知道速度，根

據(jù)路程等于速度乘以時間，可列方程求解；

【詳解】(1)解：設(shè)x秒后兩人首次相遇，

3

依題意得到方程4x+6尤=800義一.

4

解得x=60.

答：60秒后兩人首次相遇.

(2)解：設(shè)又經(jīng)過V秒后兩人兩人相距80m,

依題意得4y+6y=80或4j，+6產(chǎn)800-80

解得了=8或y=72.

答：在首次相遇后第二次相遇前，又經(jīng)過8秒或72秒時，兩人相距80m；

12.甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)同向而行，乙車在甲車前面.甲車每小時行駛72km,乙車每小時行

駛48km,已知A,3兩地相距120km.

22/51

(1)若兩車同時開出，則甲車經(jīng)過多少小時追上乙車？

(2)若兩車同時開出，經(jīng)過多少小時兩車相距72km?

【答案】⑴甲列車經(jīng)過5小時追上乙列車

(2)經(jīng)過2小時或8小時兩車相距72千米

【知識點】行程問題(一元一次方程的應(yīng)用)

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出方程求解，需要注意進行分類討

論.

(1)設(shè)甲列車經(jīng)過尤小時追上乙列車，根據(jù)甲列車行駛的路程等于乙列車行駛的路程加上120千米，列出

方程求解；

(2)設(shè)經(jīng)過y小時兩車相距72千米，分情況討論，甲追上乙之前和甲追上乙之后，列出方程求解.

【詳解】(1)解：設(shè)甲列車經(jīng)過x小時追上乙列車，根據(jù)題意得，

72x=48x+120,

解得x=5,

答：甲列車經(jīng)過5小時追上乙列車；

(2)設(shè)經(jīng)過V小時兩車相距72千米，

甲追上乙之前，

48了+120-72尸72,解得了=2；

甲追上乙之后，

72y-(48y+120)=72,解得y=8,

答：經(jīng)過2小時或8小時兩車相距72千米.

13.隨著全民健身的理念逐漸深入人心，跑步作為一項簡單易行，老少皆宜的運動，成為許多人日常鍛煉

的首選.周末，小聰和小明準備去迎澤大街進行跑步活動.已知迎澤大橋與五一廣場之間的距離為3.6千

米.小聰從迎澤大橋出發(fā)，以10千米/時的速度向五一廣場方向跑步；小明從五一廣場出發(fā)，以8千米/時

的速度向迎澤大橋方向跑步.兩人同時出發(fā)，相向而行.

迎澤大橋五一廣場

(1)兩人出發(fā)后多長時間相遇？

(2)若小聰在出發(fā)后5分鐘發(fā)現(xiàn)忘記帶水壺，于是停下來休息2分鐘后以原速度返回迎澤大橋取水壺，隨后

再次以原速度向五一廣場方向跑步，求兩人出發(fā)后多長時間相遇？

【答案】(1)12分鐘

(2)三分鐘

【知識點】行程問題(一元一次方程的應(yīng)用)

23/51

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是列出方程進行求解；

(1)設(shè)兩人出發(fā)后X分鐘相遇，根