北京航空航天大學(xué)2025強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)考試真題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請將答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.所有解答必須寫出文字說明、演算步驟或證明過程。3.答案以分?jǐn)?shù)小數(shù)點(diǎn)后兩位表示。一、填空題（每題5分，共20分）1.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x^2-3x+2>0},則A∩B=________.2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.3.在等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5,a_4+a_7=26,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=________.4.執(zhí)行以下程序框圖（無法顯示，但描述為：初始x=1,y=1,循環(huán)條件為x+y<=100，循環(huán)體為x=x+y,y=x，輸出x和y），則輸出的x和y的值分別為________和________.二、選擇題（每題6分，共24分）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=x^3B.y=|x|C.y=x^2+1D.y=log_(-x)2.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=i，則z的實(shí)部可能是（）A.0B.1/2C.sqrt(2)/2D.13.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a^2+b^2=2c^2，且cosC=1/2，則sinA+sinB的值為（）A.sqrt(3)B.sqrt(2)C.1D.3/24.為了得到函數(shù)y=sin(2x+π/3)的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象（）A.向左平移π/3個(gè)單位長度B.向右平移π/3個(gè)單位長度C.向左平移π/6個(gè)單位長度D.向右平移π/6個(gè)單位長度三、解答題（共26分）1.(10分)解不等式|2x-1|<x+1.2.(8分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=3,b=√7,c=2,求△ABC的面積.3.(8分)已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值.試卷答案一、填空題（每題5分，共20分）1.(1,1)解析：集合B={x|x<1或x>2}。A∩B={x|-1<x<2}∩{x|x<1或x>2}={x|-1<x<1}。2.(0,1)解析：對數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，需a>1。3.a_n=3n+2解析：設(shè)公差為d。a_4=a_1+3d=5+3d,a_7=a_1+6d=5+6d。a_4+a_7=10+9d=26。解得d=2。故a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)*2=3n+2。4.x=55,y=11解析：x=1,y=1,x+y=2<100,x=x+y=2,y=x=2,x+y=4<100,x=x+y=4,y=x=4,...,x=54,y=54,x+y=108>100,循環(huán)結(jié)束。輸出x=54,y=54。但題目要求輸出最終x和y的值，根據(jù)循環(huán)體x=x+y,y=x，可知最后一次循環(huán)是x=54,y=54->x=108,y=54。循環(huán)條件x+y<=100不再滿足，輸出的是上一輪的x=54,y=54。這里可能題目或程序描述有誤，通常強(qiáng)基會(huì)考察更標(biāo)準(zhǔn)的循環(huán)輸出。若按標(biāo)準(zhǔn)循環(huán)，輸出x=54,y=54。但若按最終計(jì)算值，輸出x=108,y=54。鑒于選擇題形式，且常見陷阱，可能考察的是最后一次循環(huán)的輸入值。若按x=x+y,y=x理解，輸出應(yīng)為54,54。但若理解為輸出最后一次循環(huán)的x和y，即108,54。考慮到強(qiáng)基難度，更可能是考察邏輯的最終狀態(tài)，108,54。但題目要求輸出的是x和y，根據(jù)描述，最終狀態(tài)是x=54,y=54。這里存在歧義，標(biāo)準(zhǔn)答案應(yīng)為54,54。但按題目描述的輸出邏輯，應(yīng)為108,54。假設(shè)題目描述無誤，最終狀態(tài)為54,54。若題目考察的是最終計(jì)算值，則輸出108,54。此處選擇54,54作為答案，假設(shè)題目描述的是輸出最終狀態(tài)。二、選擇題（每題6分，共24分）1.A解析：y=x^3是奇函數(shù)（f(-x)=-f(x)），且在R上單調(diào)遞增（導(dǎo)數(shù)y'=3x^2≥0）。y=|x|是偶函數(shù)。y=x^2+1是偶函數(shù)。y=log_(-x)不是奇函數(shù)（定義域不對稱）。故選A。2.C解析：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)。z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=i。比較實(shí)部和虛部，得a^2-b^2=0且2ab=1。解得a=±sqrt(2)/2,b=±sqrt(2)/2。若a=sqrt(2)/2,b=1/(2*sqrt(2))=sqrt(2)/4，則實(shí)部為sqrt(2)/2。若a=-sqrt(2)/2,b=-sqrt(2)/4，則實(shí)部為-sqrt(2)/2。故實(shí)部可能是sqrt(2)/2。故選C。3.A解析：由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC。代入a^2+b^2=2c^2和cosC=1/2，得c^2=2c^2-2ab*(1/2)，即c^2=2c^2-ab，解得ab=c^2。又由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。故sinA*sinB=c^2/sin^2C=c^2/(1-cos^2C)=c^2/(1-(1/2)^2)=4c^2/3。又sin(A+B)=sin(π-C)=sinC=√3/2。由于a^2+b^2=2c^2>c^2(cosC=1/2<1)，可知△ABC為銳角三角形，且A+B=π-C=π-π/3=2π/3。故sinA+sinB=√3。故選A。4.C解析：將函數(shù)y=sin(2x+π/3)寫成y=sin[2(x+π/6)]。根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移π/6個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin[2(x+π/6)]=sin(2x+π/3)的圖象。故選C。三、解答題（共26分）1.(10分)解析：不等式|2x-1|<x+1等價(jià)于-(x+1)<2x-1<x+1。解不等式-(x+1)<2x-1，得-x-1<2x-1，即-x<2x，即-3x<0，即x>0。解不等式2x-1<x+1，得x-1<1，即x<2。故原不等式的解集為{x|0<x<2}。2.(8分)解析：由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(3^2+(√7)^2-2^2)/(2*3*√7)=(9+7-4)/(6√7)=12/(6√7)=2/√7=√7/7。sinC=√(1-cos^2C)=√(1-(√7/7)^2)=√(1-7/49)=√(42/49)=√42/7。△ABC的面積S=(1/2)*a*b*sinC=(1/2)*3*√7*(√42/7)=(3/2)*√7*√42/7=(3/2)*√(7*42)/7=(3/2)*√(294)/7=(3/2)*√(49*6)/7=(3/2)*7√6/7=(3/2)*√6=(3√6)/2。3.(8分)解析：(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)。(2)函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的駐點(diǎn)為x=0,2。需要比較駐點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值。