2/22第三章排列、組合與二項式定理（高效培優(yōu)單元測試·提升卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中的系數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【難度】0.65【知識點】求指定項的系數(shù)、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題【分析】先把兩項相乘化簡，再應(yīng)用二項式展開式的通項公式結(jié)合組合數(shù)的計算求解.【詳解】的展開式中含的項為，所以的系數(shù)為15.故選：B.2．哈爾濱市開展支教活動，我校有甲，乙，丙等六名教師被隨機地分到四個不同的中學(xué)，且每個中學(xué)至少分到一名教師，共有多少種不同分法（

）A．1080 B．1560 C．2640 D．3960【答案】B【難度】0.65【知識點】排列組合綜合、分組分配問題【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理和部分平均分組計數(shù)方法計算即得.【詳解】依題意，可分為兩類情況：第一類，將六名教師按照分配到四個不同的中學(xué)，有種分法；第二類，將六名教師按照分配到四個不同的中學(xué)，有種分法.故由分類加法計數(shù)原理，共有種不同分法.故選：B.3．的展開式中二項式系數(shù)的和為64，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．60 B． C．15 D．【答案】A【難度】0.85【知識點】求二項展開式的第k項、二項式的系數(shù)和【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)，求出參數(shù)；根據(jù)二項式展開式，求出指定項即可.【詳解】由題可知，解得，則二項式展開式通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項為.故選：A.4．如圖是第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會標(biāo)，會標(biāo)中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制數(shù)是，正是會議最初計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，換算后十進制數(shù)的末尾數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【難度】0.65【知識點】二項展開式的應(yīng)用、不同進制數(shù)的互化【分析】先將八進制數(shù)換算成十進制數(shù)得，進而得，利用二項式定理即可求解.【詳解】由進位制的換算方法可知，八進制數(shù)換算成十進制數(shù)為．根據(jù)二項式定理，可得，因為是10的倍數(shù)，所以換算后十進制數(shù)的末尾數(shù)字為的末尾數(shù)字，由，可得末尾數(shù)字為3．故選：B．5．某社區(qū)廣場有一個如圖所示的花壇，花壇有1，2，3，4四個區(qū)域，現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種植同一種花卉，中間圓圈區(qū)域不種植花卉.若從所有種植方案中任意選一種，則這種方案中花壇區(qū)域1和區(qū)域3種植的是同一種花卉的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、涂色問題、實際問題中的組合計數(shù)問題、計算古典概型問題的概率【分析】分別求出區(qū)域1與區(qū)域3種同種花卉和不同花卉的方案種數(shù)，根據(jù)古典概率的公式求解.【詳解】當(dāng)區(qū)域1與區(qū)域3種植同一種花卉時，該花壇種植方案共有種；當(dāng)區(qū)域1與區(qū)域3不種植同一種花卉時，該花壇種植方案共有種．故該花壇區(qū)域1和區(qū)域3種植的是同一種花卉的概率為.故選：B.6．關(guān)于的展開式，下列說法正確的是（

）A．第項的二項式系數(shù)最大B．當(dāng)時，被除的余數(shù)為C．展開式中存在常數(shù)項D．展開式中存在連續(xù)三項的系數(shù)成等差數(shù)列【答案】D【難度】0.65【知識點】組合數(shù)方程和不等式、二項式系數(shù)的增減性和最值、求指定項的系數(shù)、整除和余數(shù)問題【分析】利用二項式系數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項；利用二項展開式可判斷B選項；利用二項展開式通項可判斷C選項；假設(shè)、、成等差數(shù)列，利用等差中項的性質(zhì)結(jié)合組合數(shù)公式求出的值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，的展開式有項，其中第項的二項式系數(shù)最大，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，因為能被整除，故被整除的余數(shù)為，B錯；對于C選項，的展開式通項為，由得，故展開式中不存在常數(shù)項，C錯；對于D選項，由C選項可知，展開式中每一項的系數(shù)都為其二項式系數(shù)，不妨設(shè)、、成等差數(shù)列，所以，即，整理得，解得或，合乎題意，D對.故選：D.7．衡水湖國際馬拉松賽是經(jīng)國家體育總局批準(zhǔn)的國際性馬拉松賽事，自2012年起每年9月份舉行一屆．競賽項目分為全程馬拉松、半程馬拉松和迷你馬拉松．甲、乙、丙等5名馬拉松愛好者均計劃參加衡水湖國際馬拉松賽，若甲和乙均參加迷你馬拉松，且每人只參加一個競賽項目，這5名馬拉松愛好者的競賽項目涵蓋了三個競賽項目，則不同的參賽方案有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．18種【答案】B【難度】0.65【知識點】排列組合綜合、分組分配問題【分析】根據(jù)參加迷你馬拉松的情況進行分兩類進行討論，只有甲和乙參加迷你馬拉松和有3人參加迷你馬拉松，分別求出方案數(shù)，再相加即可．【詳解】若只有甲和乙參加迷你馬拉松，則剩下的3人按1，2分成2組，所以有種參賽方案；若有3人參加迷你馬拉松，則從剩下的3人中選1人參加迷你馬拉松，再將剩余的2人按1，1分成2組，所以有種參賽方案．故不同的參賽方案共有種，故選：B．8．杭州“六小龍”企業(yè)(宇樹科技、深度求索、游戲科學(xué)、群核科技、強腦科技、云深處科技)在科技領(lǐng)域大放異彩.現(xiàn)從這6家企業(yè)中選出4家，分別派往A、B、C、D四個不同的科技交流活動進行成果展示，且必須同時滿足條件：①宇樹科技和深度求索中至少有一家被選中；②若宇樹科技被選中，則必須去A活動，若深度求索被選中，則不能去D活動.則不同的安排方式種數(shù)是（

）A．96 B．120 C．240 D．336【答案】B【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題【分析】分選中宇樹科技，不選中深度求索、選中深度求索，不選中宇樹科技、宇樹科技和深度求索都選中，三種情況分別求解即可.【詳解】若選中宇樹科技，不選中深度求索，共有種安排方式；若選中深度求索，不選中宇樹科技，共有種安排方式；若宇樹科技和深度求索都選中，共有種安排方式，所以不同的安排方式種數(shù)是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑假開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有30種選法B．課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，共有72種排法D．課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有504種排法【答案】BD【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題、實際問題中的組合計數(shù)問題【分析】根據(jù)題意，由分步、分類計數(shù)原理和排列數(shù)與組合數(shù)公式，分別判斷各選項即可.【詳解】對于A，某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有種選法，故A錯誤；對于B，課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，共有種排法，故B正確；對于C，課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，共有種排法，故C錯誤；對于D，課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，分兩種情況：若課程“禮”排在最后一周，有種排法，若課程“禮”不排在最后一周，有種排法，共有種排法，故D正確.故選：BD.10．已知函數(shù)，則（

）A． B．C．的個位數(shù)是9 D．【答案】BD【難度】0.65【知識點】二項展開式的應(yīng)用、求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和【分析】賦值法求系數(shù)和判斷A、B；由，結(jié)合展開式通項得個位數(shù)由決定，即可判斷C；由并應(yīng)用二項式定理求對應(yīng)項系數(shù)判斷D.【詳解】由題設(shè)，令，則，A錯；令，則，所以，即，B對；由，展開式通項為，顯然個位數(shù)由決定，即個位數(shù)是1，C錯；由，展開式通項為，，當(dāng)時，，即，D對.故選：BD11．如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，則下列關(guān)于“楊輝三角”的性質(zhì)中正確的是（

）A．第2026行的第1013個數(shù)最大B．第8行所有數(shù)之和為256C．D．記第20，21行數(shù)的最大值分別為a，b，則【答案】BC【難度】0.65【知識點】二項式系數(shù)的增減性和最值、二項式的系數(shù)和【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】A錯，因為第2026行的第個數(shù)是，由組合數(shù)性質(zhì)可知，為的最大值，所以第2026行的第1014個數(shù)最大；B對，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，第n行各數(shù)的和為，所以第8行所有數(shù)之和為；C對，因為；D錯，第20行數(shù)的最大值為，第21行數(shù)的最大值為，所以．故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．展開式中各項系數(shù)的和為64，則展開式中的常數(shù)項為．【答案】4【難度】0.65【知識點】求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和、三項展開式的系數(shù)問題【分析】通過賦值求得，再根據(jù)展開式中常數(shù)項的產(chǎn)生，結(jié)合組合數(shù)的計算即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，取，可得，解得，則即，其展開式中的常數(shù)項可由兩種形式的項構(gòu)成：①3個括號全部選常數(shù)項1，可得這樣的常數(shù)項為1；②2個括號選的項且1個括號選的項，可得這樣的常數(shù)項為.綜上可得，展開式中的常數(shù)項為.故答案為：4.13．如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到9，1→2→3→5→7→8→9就是一條移動路線．從1移動到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動到9的事件中（每條移動路線都是等可能的），經(jīng)過數(shù)字的概率記為，則，．【答案】5【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、計算古典概型問題的概率【分析】根據(jù)題意分析可知：，進而求出相應(yīng)的的值，結(jié)合古典概型求，【詳解】由題意得：，若移動到數(shù)字，則由數(shù)字或數(shù)字移動一次得到，則，據(jù)此即可得到，，又因為從到共有三條路徑可走，故從1到9經(jīng)過6的路徑共有，故,故答案為：，14．如圖，現(xiàn)要對某公園的4個區(qū)域進行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.【答案】180【難度】0.85【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、涂色問題【分析】利用分步乘法原理求解即可【詳解】如圖：ABDC從A開始擺放花卉，A有5種顏色花卉擺放方法，B有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法；由D區(qū)與B，C花卉顏色不一樣，與A區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，則D有3種顏色花卉擺放方法.故共有種涂色方法.故答案為：180四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32．(1)求；(2)求展開式的系數(shù)和；(3)求展開式中的系數(shù)；(4)求展開式的第四項．【答案】(1)(2)(3)(4)【難度】0.65【知識點】求二項展開式的第k項、二項式的系數(shù)和、求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和【分析】（1）二項式定理所有二項式系數(shù)和為代入即可；（2）令即可求得所有系數(shù)的和；（3）寫出二項式的通項，可求得；（4）根據(jù)第三小問的通項即可求得.【詳解】（1）因為二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32，即，所以.（2）令，，所以展開式的系數(shù)和為.（3）二項式展開式的通項為：，令，解得，所以當(dāng)時，，所以展開式中的系數(shù)為.（4）令，，所以展開式的第四項為.16．從分別寫有0，1，2，3，4，5，6的7張卡片中，任取4張，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，計算：(1)這個四位數(shù)是偶數(shù)的概率；(2)這個四位數(shù)能被9整除的概率；(3)這個四位數(shù)比4510大的概率．【答案】(1)(2)(3)【難度】0.65【知識點】排列組合綜合、元素（位置）有限制的排列問題、計算古典概型問題的概率【分析】（1）分個位是不是0討論，結(jié)合古典概型概率計算公式求解.（2）先弄清能被9整除的數(shù)字組合，再求能被9整除的數(shù)的個數(shù)，結(jié)合古典概型概率計算公式求解.（3）分情況討論，先求比4510大的四位數(shù)的個數(shù)，結(jié)合古典概型概率計算公式求解.【詳解】（1）組成的所有四位數(shù)共有（個）．當(dāng)這個四位數(shù)是偶數(shù)時：①若個位數(shù)字是0，則有（個）；②若個位數(shù)字不是0，則有（個）．所以共有（個）．故組成的四位數(shù)為偶數(shù)的概率為．（2）能被9整除的數(shù)，其各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除.數(shù)字組合為：，，，，此時共有這樣的四位數(shù)（個）．故能組成被9整除的四位數(shù)的概率為．（3）對比4510大的四位數(shù)進行分類：①當(dāng)千位是4，百位是5時，有（個）；②當(dāng)千位是4，百位是6時，有（個）；③當(dāng)千位大于4時，有（個）．所以共有（個）．故組成的四位數(shù)比4510大的概率為．17．（1）求滿足等式的所有正整數(shù)；（2）已知正整數(shù)滿足，求正整數(shù)的值.【答案】（1）3或7（2）【難度】0.65【知識點】排列數(shù)的計算、組合數(shù)的計算【分析】（1）利用組合數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)排列數(shù)的公式計算即可.【詳解】（1）因為，所以或，解得：或（2）因為，所以，，解得：18．電影《奪冠》講述了中國女排姑娘們頑強拼搏、為國爭光的勵志故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．(1)女生互不相鄰的坐法有多少種？(2)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？【答案】(1)1440(2)960【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】（1）采用插空法即可求解.（2）利用插空法結(jié)合捆綁法可求解.【詳解】（1）先將4個男