2/4第01講函數(shù)的概念及其表示目錄01TOC\o"1-3"\h\u考情解碼?命題預警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅 3知能解碼 3知識點1函數(shù)的概念 3知識點2函數(shù)的定義域 4知識點3函數(shù)的解析式 4知識點4分段函數(shù) 5題型破譯 5題型1函數(shù)的概念及其判斷 5【方法技巧】可以對一，不能一對多題型2相同函數(shù)的判斷 7【方法技巧】定義域相同，對應法則相同題型3已知解析式求定義域 9題型4求抽象函數(shù)的定義域 11題型5已知函數(shù)定義域求參 13題型6待定系數(shù)法求解析式 14題型7換元法求解析式 16題型8方程組法求解析式 18題型9求分段函數(shù)的函數(shù)值 16題型10利用分段函數(shù)的值求參 22【方法技巧】根據(jù)范圍要求再代值04真題溯源·考向感知 2405課本典例·高考素材 28考點要求考察形式2025年2024年2023年1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域與值域2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需求選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用單選題多選題填空題解答題2025年上海卷，12題，4分2024年新課標I卷，第6題,5分2024年新課標I卷，第8題,5分2024年新課標Ⅱ卷，第6題,5分2024年新課標Ⅱ卷，第11題,6分2023年新課標全國I卷，第4題,5分2023年新課標全國I卷，第11題,5分2023年新課標全國Ⅱ卷，第4題,5分考情分析：本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會以函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的定義域與值域，是新高考一輪復習的重點內(nèi)容.復習目標：1.深刻理解函數(shù)的定義；2.熟練掌握函數(shù)的三種表示方法；3.掌握求函數(shù)定義域和值域的基本方法；4.明晰函數(shù)與其他數(shù)學概念的聯(lián)系；5.學會運用函數(shù)解決實際問題。

知識點1函數(shù)的概念及其判斷1.函數(shù)的概念兩個集合A、B設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集對應關(guān)系按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法y＝f(x)，x∈A自主檢測（多選）下列對應關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】ABD【詳解】選項A，B，D中，對集合中任意實數(shù)，按給定的對應關(guān)系，在集合中都有唯一實數(shù)與之對應，故選項A，B，D符合函數(shù)的定義．選項C中，對于集合中元素1，按對應法則，在中有元素和1與之對應，不符合函數(shù)的定義．知識點2函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．自主檢測函數(shù)的定義域為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得到不等式組，進而求得函數(shù)的定義域，得到答案.【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.知識點3函數(shù)的解析式1.函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對于不是的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式.2.求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式，不注明定義域往往導致錯誤.自主檢測若函數(shù)，則．【答案】【分析】由換元法，即可求解.【詳解】利用換元法即可得到答案．令，則，，∴函數(shù)的解析式為．故答案為：．知識點4分段函數(shù)分段函數(shù)的概念若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，則這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集．自主檢測已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式可求.【詳解】由分段函數(shù)的解析式可得：，故選：A.題型1函數(shù)的概念及其判斷例1-1（多選）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值域中的每一個數(shù)都有定義域中的一個數(shù)與之對應B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．若函數(shù)的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素D．對于任何一個函數(shù)，如果x的值不同，那么y的值也不同【答案】AC【詳解】A正確，函數(shù)值域中的每一個數(shù)一定有定義域中的一個數(shù)與之對應，但不一定只有一個數(shù)與之對應；B錯誤，函數(shù)的定義域和值域不一定是無限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函數(shù)的定義域為，值域為；C正確，根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的每一個元素都能在值域中找到唯一元素與之對應；D錯誤，當x的值不同時，y的值可能相同，如函數(shù)，當或時，．例1-2下列從集合到集合的對應中不是函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】選項D中，對于集合中的元素1，在集合中有兩個元素4和5與之對應，不符合函數(shù)的定義．方法技巧只能多對一，不能一對多。【變式訓練1-1】函數(shù)的圖象與直線最多有2個交點.()【答案】錯誤【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)的圖象與直線最多有1個交點.故答案為：錯誤.【變式訓練1-2】給定集合，，則下列不能表示從集合到集合的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的概念判斷各選項即可.【詳解】對于A，，，，且對集合中每一個元素，在集合中有唯一確定的元素與其對應，故A能表示從集合到集合的函數(shù)；對于B，，，，且對集合中每一個元素，在集合中有唯一確定的元素與其對應，故B能表示從集合到集合的函數(shù)；對于C，，，，且對集合中每一個元素，在集合中有唯一確定的元素與其對應，故C能表示從集合到集合的函數(shù)；對于D，當時，無意義，所以D不能表示從集合到集合的函數(shù).故選：D.【變式訓練1-3】已知函數(shù)是從集合到集合上的函數(shù)，若，則集合不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，此時不在集合內(nèi)，因此集合不可能是.故選：A題型2相同函數(shù)的判定例2-1下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】A選項中，的定義域為的定義域為，所以二者不是同一函數(shù)，所以A錯誤；B選項中，與的定義域相同，都是，對應法則也相同，所以二者是同一函數(shù)，所以B正確；C選項中，的定義域為的定義域為，所以二者不是同一函數(shù)，所以C錯誤；D選項中，的定義域為的定義域為，所以二者不是同一函數(shù)，所以D錯誤．例2-2下列各組中的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出兩個函數(shù)定義域以及化簡對應關(guān)系，若兩個函數(shù)定義域和對應關(guān)系都相同，則這兩個函數(shù)相同，從而得到結(jié)果.【詳解】對A，的定義域為，的定義域為，故A錯誤；對B，和的定義域均為，且，故B正確；對C，的定義域為，的定義域為，故C錯誤；對D，和的定義域均為，但，對應關(guān)系明顯不同，故D錯誤.故選：B.方法技巧定義域相同且對應法則相同【變式訓練2-1】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】C【分析】由定義域及對于關(guān)系逐個判斷即可.【詳解】對于A，易知的定義域為，，則，解得或，則的定義域為，定義域不同，A錯誤；對于B，，對應關(guān)系不同，B錯誤；對于C，，定義域相同，對應關(guān)系也相同，C正確；對于D，的定義域為的定義域為，定義域不同，D錯誤．故選：C【變式訓練2-2·變考法】中文“函數(shù)”一詞，最早是由清代數(shù)學家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項中是同一個函數(shù)的是（）A． B．C． D．和【答案】B【分析】先求函數(shù)的定義域，定義域不同則不是同一個函數(shù)，定義域相同再看對應關(guān)系是否相同，對應關(guān)系相同則是同一個函數(shù)，對應關(guān)系不同則不是同一個函數(shù).【詳解】對于A，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應關(guān)系不同，和不是同一個函數(shù)，故A錯誤；對于B，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應關(guān)系相同，和是同一個函數(shù)，故B正確；對于C，定義域為定義域為，故和定義域不相同，和不是同一個函數(shù)，故C錯誤；對于D，定義域為定義域為,故和定義域不相同，和不是同一個函數(shù)，故D錯誤；故選：B.題型3已知解析式求定義域例3-1函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解.【詳解】函數(shù)，，，．故選：B.例3-2函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由，解得且，所以定義域為．【變式訓練3-1】（2025·湖南·二模）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域及分式函數(shù)的定義域求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集概念求解即可.【詳解】對于集合A：由題意，得，所以，對于集合B，，則，所以，因此.故選：A【變式訓練3-2】函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】列不等式求解即可.【詳解】由題：，即，由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)得：，故答案為：.【變式訓練3-3】求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知同號，或，結(jié)合三角函數(shù)線分析求解；（2）由根式意義可得，根據(jù)對數(shù)意義可得，結(jié)合三角函數(shù)線分析求解.【詳解】（1）由題意可得：，可知同號，或，可得，或，所以函數(shù)的定義域.（2）由題意可得：，解得，又因為，且，可得或，解得或，所以函數(shù)的定義域為.題型4求抽象函數(shù)的定義域例4-1已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【詳解】由函數(shù)的定義域為得，解得．例4-2若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是【答案】【分析】由求解即可.【詳解】由題意可得：，解得：，所以定義域是，故答案為：方法技巧(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實數(shù)集合.(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負的實數(shù)集合.(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}.易錯分析(1)求函數(shù)定義域之前,盡量不要對函數(shù)的解析式進行變形,以免引起定義域的變化.(2)用換元法求值域或解析式時,一定要根據(jù)原函數(shù)和定義域求出新變量的范圍.(3)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍而不是φ(x)的取值范圍.(4)分段求解是解決分段函數(shù)的基本原則,已知函數(shù)值求自變量值時,易因忽略自變量的取值范圍而出錯.【變式訓練4-1】已知函數(shù)的定義域和值域均為，則下列說法錯誤的是（

）A．函數(shù)的定義域為 B．函數(shù)的定義域為C．函數(shù)的值域為 D．函數(shù)的值域為【答案】D【詳解】函數(shù)中的x需滿足，解得，故函數(shù)的定義域為，故A正確；函數(shù)中的x需滿足，解得，故函數(shù)的定義域為，故B正確；函數(shù)和的值域都為，故C正確，D錯誤.【變式訓練4-2·變載體】已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域．【答案】答案見解析【分析】由函數(shù)的定義域為可得出，對實數(shù)的取值進行分類討論，解該不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意，，即.當或，即或時，不存在，即的定義域為，不滿足函數(shù)定義，函數(shù)無意義；當，即時，，的定義域為；當，即時，，的定義域為；當時，即時，，故的定義域為；當時，即時，，故的定義域為．綜上：①當或時，的定義域為；②當時，的定義域為；③當時，的定義域為；④當或時，函數(shù)定義域為，不存在．題型5已知函數(shù)定義域求參例5-1已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由題意知恒成立，所以恒成立，所以，又且，所以或．所以實數(shù)a的取值范圍是．例5-2函數(shù)在上有意義，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】先由題設(shè)得在上恒成立，再由一元二次函數(shù)性質(zhì)列出關(guān)于a的不等式組計算即可得解.【詳解】由題意可知在上恒成立，則，所以滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【變式訓練5-1】已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)m的值構(gòu)成的集合是；若函數(shù)在上有意義，則實數(shù)m的值構(gòu)成的集合是．【答案】【詳解】由題意得，從而函數(shù)的定義域為，即，故．要使函數(shù)有意義．則需，從而，故，所以，解得．【變式訓練5-2】若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】若函數(shù)的定義域為，則對任意恒成立．當時，不等式化為，恒成立；當時，需滿足，解得．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．【變式訓練5-3】已知函數(shù)的定義域為R，則函數(shù)的值域為【答案】【分析】由題意在R上恒成立，求得，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)、分式型函數(shù)的性質(zhì)求的值域.【詳解】由題設(shè)知，在R上恒成立，所以，則，故，所以在上單調(diào)遞增，故.故答案為：題型6待定系數(shù)法求解析式例6-1若是一次函數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出函數(shù)的解析式，再根據(jù)給定條件列出方程組，求解作答.【詳解】設(shè)，由題設(shè)有，解得，所以．故選：B．例6-2已知是二次函數(shù)，且對于任意的實數(shù)、，函數(shù)滿足函數(shù)方程，如果.下列選項錯誤的是（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．為偶函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】B【分析】對于A，利用特殊值法，整理題目中等式，可得答案；對于B，利用待定系數(shù)法，根據(jù)等式求得函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；對于C、D，整理對應函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于A，由，令，則，解得，故A正確；對于B，由，令，則，化簡可得，設(shè)二次函數(shù)，則，化簡可得，可得，所以，由，解得，所以，由函數(shù)，則其對稱軸為直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，由B可知，則其對稱軸為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；對于D，由B可知，則其對稱軸為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：B.【變式訓練6-1】（多選）已知是一次函數(shù)，，且，函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)解方程組可得，再由換元法代入計算可得，可得出結(jié)論.【詳解】依題意可設(shè)，由可得，因此可得，解得或；又因為，所以，即，即A正確，B錯誤；又可得，令，所以，因此，所以，可得C正確，D錯誤.故選：AC【變式訓練6-2】設(shè)二次函數(shù)，集合，且，求函數(shù)的解析式.【答案】【分析】由求出的值，再根據(jù)集合的概念可知得解為和，代入求出即可.【詳解】由可得，又因為集合，所以得解為和，代入得，解得，所以.題型7換元法求解析式例7-1已知，則函數(shù)的解析式為（）A． B．（）C．（） D．（）【答案】D【分析】令，采用換元法求函數(shù)的解析式.【詳解】令，則，，所以.故選：D.例7-2若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得．【變式訓練7-1】已知，則．【答案】3【分折】利用換元法，結(jié)合題目的等量關(guān)系，求出解析式，即可求解．【詳解】令，，，，．故答案為：3．【變式訓練7-2】（24-25高一上·重慶·期中）函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用換元法將設(shè)為，反求出，再代入原式，并將改為即得.【詳解】設(shè)，則，即，代入，可得，故.故選：A.題型8方程組法求解析式例8-1已知滿足．若為增函數(shù)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將中的由來替代，與原式聯(lián)立求，由此可得，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得恒成立，利用基本不等式求得的最大值可得結(jié)論.【詳解】將中的由來替代，得到，聯(lián)立，消去兩個式子中的得到．令，，則，解得．又（當且僅當時，等號成立），.故選：D．例8-2（1）若函數(shù)滿足，求的解析式．（2）若滿足，求的解析式．（3）已知的定義域為，且，求的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】利用方程組法計算求解析式即可；【詳解】（1）用代替原方程中的，得到．聯(lián)立方程組消去，得．（2）用代替原方程中的，得到聯(lián)立方程組，消去，得．（3）用代替原方程中的，得到．聯(lián)立方程組消去，得．方法技巧（1）配湊法.(2)待定系數(shù)法.(3)換元法.(4)解方程組法【變式訓練8-1】的定義域為，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立方程組求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值.【詳解】由，得，聯(lián)立消去，得，而，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值.故選：A【變式訓練8-2·變考法】若函數(shù)滿足關(guān)系式，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別令和，即可聯(lián)立方程求解.【詳解】令，則，令，則，聯(lián)立方程可解得.故選：D.題型9求分段函數(shù)的函數(shù)值例9-1（2025·浙江杭州·模擬預測）（多選）已知定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．函數(shù)的值域為【答案】ABD【分析】利用分段函數(shù)的賦值思想不斷求值和遞推求值，再結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性求值域，從而可判斷各選項.【詳解】對于A，根據(jù)題意，由，故A正確；對于B，根據(jù)題意，由，故B正確；對于C，根據(jù)題意，由，故C錯誤；對于D，由于當時，函數(shù)，滿足，所以圖象關(guān)于直線對稱，當時，，所以，，即；當時，，故，；當時，由于，所以此時；當時，由于，所以此時，以此類推，根據(jù)定義域為，所以可得函數(shù)的值域為，故D正確.故選：ABD.例9-2已知函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)指對數(shù)運算及運算律分層計算即可.【詳解】因為，所以，所以．故答案為：.【變式訓練9-1】已知函數(shù)則；【答案】/【分析】由分段函數(shù)解析式及特殊三角函數(shù)值求結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.【變式訓練9-2】已知函數(shù)則；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】-1【詳解】由函數(shù)的解析式可知，則．繪制函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．題型10利用分段函數(shù)的值求參例10-1已知函數(shù)若，則實數(shù)（

）A．2 B．1 C．1或2 D．或2【答案】A【詳解】當時，，解得，故舍去；當時，，解得，故．例10-2已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先分析函數(shù)的取值情況，從而判斷，再結(jié)合得到，再分和兩種情況討論，當時結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性，得到，從而求出的取值范圍.【詳解】對于函數(shù)，當時，，當時，，而，即有，依題意，，又，解得，則；當時，函數(shù)在上的取值集合為，不符合題意，當，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A【變式訓練10-1·變考法】已知的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】若，當時，在上單調(diào)遞減，此時；當時，，當且僅當時，等號成立，又函數(shù)的值域滿足，則解得．若，則當時，；當時，，當且僅當時，等號成立，又函數(shù)的值域，滿足，成立．若，當時，在上單調(diào)遞增，此時，則，而不成立，所以此時不成立．綜上所述，．【變式訓練10-2】（2025·江西南昌·二模）已知函數(shù)，若，則.【答案】2【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式分類討論求解即可.【詳解】由題意知，當時，，解得；當時，，解得，與矛盾，此時無解.所以.故答案為：2【變式訓練10-3】已知實數(shù)，函數(shù)若，則的值為．【答案】/【分析】分別在，時，化簡方程求其解可得結(jié)論.【詳解】當時，，解得；當時，，解得（舍去）．故的值為．故答案為：.1．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：12．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：3．（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)則；若當時，，則的最大值是．【答案】/【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，，所以，當時，由可得，所以，當時，由可得，所以，等價于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.4．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為；a的最大值為．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時，，∴；若時，當時，單調(diào)遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調(diào)遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），15．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對于④，取，結(jié)合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.【詳解】依題意，，當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當，即時，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于②，當時，當時，；當時，顯然取得最大值；當時，，綜上：取得最大值，故②正確；對于③，易知當時，在，且接近于處，的距離最小，

當時，，當且接近于處，，此時，，當時，且接近于處，的距離最小，此時；故③正確；對于④，取，則的圖像如下，

因為，結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.故答案為：②③.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.1．判斷下列對應關(guān)系是否為集合A到集合B的函數(shù)．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，.【答案】(1)不是集合A到集合B的函數(shù)(2)是集合A到集合B的函數(shù)(3)不是集合A到集合B的函數(shù)(4)是集合A到集合B的函數(shù)．【分析】函數(shù)要求對于數(shù)集A中的任意一個實數(shù)，按照對應關(guān)系，在集合B中都有唯一確定的數(shù)與它對應，由此可判斷題中關(guān)系是否為函數(shù).【詳解】（1）A中的元素0在B中沒有對應元素，故不是集合A到集合B的函數(shù)．（2）對于集合A中的任意一個整數(shù)，按照對應關(guān)系在集合B中都有唯一一個確定的整數(shù)與其對應，故是集合A到集合B的函