26/27第04講基本不等式及其應(yīng)用目錄01TOC\o"1-3"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅(jiān) 3知能解碼 3知識(shí)點(diǎn)1基本不等式 3題型破譯 4題型1直接法求最值 4題型2配湊法求最值 5題型3二次與二次（一次）的商式求最值 5【方法技巧】形如的分式函數(shù)求最值題型4“1”的代換求最值 5【方法技巧】形如分式相加模型求最值題型5雙換元法求最值 6【方法技巧】求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題題型6條件等式有和有積求最值 6【方法技巧】等式有和有積求最值題型7消元法求最值 7題型8多次使用基本不等式求最值 7【易錯(cuò)分析】注意“三相等”的條件題型9利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題 8題型10利用基本不等式在恒成立問(wèn)題求參數(shù) 9題型11基本不等式與對(duì)勾函數(shù) 10【方法技巧】對(duì)勾函數(shù)圖象題型12多元均值不等式 11【方法技巧】多元均值不等式公式題型13基本不等式多選題的綜合 1104真題溯源·考向感知 1205課本典例·高考素材 13考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）了解基本不等式的證明過(guò)程；（2）能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題；（3）掌握基本不等式在生活實(shí)際中的應(yīng)用；單選題多選題填空題解答題北京卷T6（5分）上海卷T8（5分）北京卷T9（5分）天津卷T14（5分）考情分析：近三年考情顯示，高考對(duì)基本不等式的考查雖單獨(dú)命題頻率較低，但相關(guān)知識(shí)貫穿各類(lèi)題型，是進(jìn)行求最值的常用工具，難度不定，分值一般在5分左右。復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”；2.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值；3.能正確處理常數(shù)“1”求最值；4.能夠在基本不等式與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合時(shí)，靈活運(yùn)用基本不等式的解題方法知識(shí)點(diǎn)1基本不等式1.基本不等式1、如果，那么_______（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.2、如果，,則或_______（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.（1）基本不等式成立的條件：.（2）等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)取等號(hào)．注：（1）在利用基本不等式求最值時(shí)，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．其中，“一正”是說(shuō)每個(gè)項(xiàng)都必須為正值，“二定”是說(shuō)各個(gè)項(xiàng)的_______必須為定值，“三相等”是說(shuō)各項(xiàng)的值相等時(shí)，等號(hào)成立．（2）多次使用均值不等式解決同一問(wèn)題時(shí)，要保持每次_______的一致性和不等號(hào)方向的一致性．2.幾個(gè)重要不等式1. 2.3. 4.5._______.3.最值定理（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，x＋y有最小值是.(簡(jiǎn)記：_______)（2）如果和x＋y是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：_______)4.常用方法（1）拼湊法：拼湊法即將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成_______為定值或_______為定值的形式（2）常數(shù)替代法：①根據(jù)已知條件或其變形確定定值；②把確定的定值變形為_(kāi)______;③把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；④利用基本不等式求解最值.（3）消元法：通常是考慮利用已知條件消去部分_______后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”自主檢測(cè)已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．題型1直接法求最值【例1】已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【例2】已知且，則的最小值為【變式1-1】已知，設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定【變式1-2】已知函數(shù)，則的最小值為．【變式1-3】若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，則實(shí)數(shù)的值為.題型2配湊法求最值【例3】已知，則的最小值是（

）A． B．1 C．4 D．7【例4】已知，則取得最大值時(shí)x的值為（

）A． B． C． D．【變式2-1】已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（

）A． B．2 C． D．【變式2-2】當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的最大值為．題型3二次與二次（一次）的商式求最值【例5】若，則的最小值是.【例6】函數(shù)的最小值是，則當(dāng)時(shí)，a的值為，當(dāng)時(shí)，a的值為方法技巧形如的分式函數(shù)求最值通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)即化為，再利用不等式求最值?！咀兪?-1】已知，則的最小值為.【變式3-2】已知平面向量，，且，則的最小值為．【變式3-3】已知，則的最小值為.題型4“1”的代換求最值【例7】（2025·河南·三模）若，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【例8】已知，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．9方法技巧形如分式相加模型求最值①根據(jù)已知條件或者利用分母得到“1”的表達(dá)式；②把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘，進(jìn)而構(gòu)造和的形式，利用基本不等式求解最值．【變式4-1】已知0＜x＜1，則的最小值是（

）A．16 B．25 C．27 D．34【變式4-2】已知，，且，則的最小值是.【變式4-3】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．題型5雙換元法求最值【例9】（2025·福建泉州·二模）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例10】已知x，y都是正數(shù)．若，且，則的最小值為．方法技巧求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題可把兩個(gè)分母看做一個(gè)整體進(jìn)行換元，然后利用新元整理成基本不等式題型求解【變式5-1】已知正數(shù)滿足，則的最小值為．【變式5-2】已知，，且，則的最小值為．【變式5-3】已知，且，則的最小值是.題型6條件等式有和有積求最值【例11】若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．16 B．8 C．4 D．2【例12】若，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．方法技巧等式有和有積求最值（1）有和有積無(wú)常數(shù)可以同除“積”，得到“1”的代換型；（2）尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有所求代數(shù)式的不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求得最值【變式6-1】設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是．【變式6-2】已知，，且，則的最小值為（

）A．12 B．9 C．8 D．6【變式6-3】已知，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．題型7消元法求最值【例13】已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例14】已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式7-1】已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式7-2】已知，，，則的最小值為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【變式7-3】已知均為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為.【變式7-4】若則的最小值為題型8多次使用基本不等式求最值【例15】函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【例16】已知為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．易錯(cuò)分析注意“三相等”的條件運(yùn)用多次基本不等式時(shí)，要注意多次“三相等”不矛盾【變式8-1】已知，則的最小值為.【變式8-2】已知，，且，則的最小值為．題型9利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題【例17】某項(xiàng)研究表明：在考慮行車(chē)安全的情況下，某路段車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛）與車(chē)流速度（假設(shè)車(chē)輛以相同速度行駛，單位：）及平均車(chē)長(zhǎng)（單位：）的值有關(guān)，其公式為．若不限定車(chē)型，，則最大車(chē)流量為（

）A．1000輛 B．1200輛 C．1500輛 D．1900輛【例18】如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計(jì)劃在一塊直角三角形空地中建一個(gè)內(nèi)接矩形健身廣場(chǎng)（陰影部分），則健身廣場(chǎng)的最大面積為．【變式9-1】某火車(chē)站正在不斷建設(shè)，目前車(chē)站準(zhǔn)備在某倉(cāng)庫(kù)外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為，底面積為，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的保管員室．由于此保管員室的后背靠墻，無(wú)需建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元．設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度均為．(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造亮標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元．若無(wú)論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求a的取值范圍．【變式9-2】發(fā)展新能源汽車(chē)是我國(guó)從汽車(chē)大國(guó)邁向汽車(chē)強(qiáng)國(guó)的必由之路，是推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略措施，某汽車(chē)工業(yè)園區(qū)正在不斷建設(shè)，計(jì)劃在園區(qū)建造一個(gè)高為3米，寬度為（單位：米），地面面積為81平方米的長(zhǎng)方體形狀的儲(chǔ)物室，經(jīng)過(guò)談判，工程施工單位給出兩種報(bào)價(jià)方案：方案一：儲(chǔ)物室的墻面報(bào)價(jià)為每平方米200元，屋頂和地面報(bào)價(jià)共計(jì)7200元，總計(jì)報(bào)價(jià)記為；方案二：其給出的整體報(bào)價(jià)為元，(1)當(dāng)寬度為8米時(shí)，方案二的報(bào)價(jià)為29700元，求的值；(2)求的函數(shù)解析式，并求報(bào)價(jià)的最小值；(3)若對(duì)任意的時(shí)，方案二都比方案一省錢(qián)，求的取值范圍.【變式9-3】某廠家擬2024年舉行某產(chǎn)品的促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元滿足(為常數(shù))，如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只能是2萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）.(1)求的值；(2)將2024年該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；(3)該廠家2024年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？題型10利用基本不等式在恒成立問(wèn)題求參數(shù)【例19】對(duì)一切x，，都有，則實(shí)數(shù)a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3個(gè)答案都不對(duì)【例20】（2025·吉林延邊·一模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式10-1】已知，，且.若不等式恒成立，則的最大值為.【變式10-2】設(shè)實(shí)數(shù)滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．12 B．24 C． D．【變式10-3】已知，且恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型11基本不等式與對(duì)勾函數(shù)【例21】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例22】函數(shù)在上的最大值為；最小值為．方法技巧對(duì)勾函數(shù)圖象當(dāng)同號(hào)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)的圖象形狀酷似雙勾，如圖所示.【變式11-1·變載體】已知等比數(shù)列的公比，存在，滿足，則的最小值為．【變式11-2】已知函數(shù)＝，求的最小值，并求此時(shí)x的值.【變式11-3·變載體】若，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．5題型12多元均值不等式【例23】已知，且，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【例24】若，，求的最小值為（

）A． B． C． D．方法技巧多元均值不等式公式均值不等式公式：，為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)【變式12-1】函數(shù)的最小值為.【變式12-2】已知pq為實(shí)數(shù)，且滿足，那么的最大值為．題型13基本不等式多選題的綜合【例25】（多選）下列說(shuō)法正確的有（

）A．的最小值為B．已知，則的取值范圍是C．已知，則的最小值為4D．已知，則最小值為2【例26】（多選）已知正數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【變式13-1】（多選）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式13-2】（2025·遼寧·三模）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則的最大值為C．若，則的最小值為1D．若，則的最大值為【變式13-3】（多選）已知，，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C． D．的最小值為1．（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．2．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．3．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為．1．（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.2．已知，滿足，求范圍.3．已知、、都是正數(shù)，求證：.4．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價(jià)為元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為元，屋