2/8第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法目錄TOC\o"1-2"\h\u01常考題型過關(guān)練題型01解不含參數(shù)的一元二次不等式題型02解分式不等式、高次不等式題型03解絕對值不等式題型04解含參數(shù)的一元二次不等式題型05由一元二次不等式的解集求參數(shù)題型06由一元二次不等式解集中的整數(shù)個數(shù)求參數(shù)題型07一元二次不等式的實際問題題型08一元二次不等式的恒（能）成立問題題型09一元二次方程根的分布問題02核心突破提升練03真題溯源通關(guān)練01解不含參數(shù)的一元二次不等式1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，，，，所以，，.故選：B2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：C3．“”是“”的（）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】不等式，可得，因為，因此，“”是“”的必要而不充分條件.故選：A.4．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知集合，則．【答案】【詳解】由題意知，，所以．故答案為：02解分式不等式、高次不等式5．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，則，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，則.故選：D6．不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【詳解】因，解得：.故選：C.7．（2025·上海黃浦·三模）不等式的解集為．【答案】【詳解】由題設(shè)，而，所以，則，即解集為.故答案為：8．關(guān)于的不等式的解集為.【答案】【詳解】由，可得，所以方程的根為，由數(shù)軸標(biāo)根法可得.故答案為：.9．不等式的解集是．【答案】【詳解】由題意，且，所以，利用穿針引線法，在數(shù)軸上標(biāo)根如下圖：解得：不等式的解集為.故答案為：.03解絕對值不等式10．（2025·四川樂山·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，解得，則，因為，所以，故D正確.故選：D11．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以，.故選：C.12．不等式的解集是．【答案】【詳解】當(dāng)時，；時，；時，；當(dāng)時，，無解；時，，解為；時，，解為.取并集，所以最終解集為.故答案為：.13．關(guān)于的不等式的解集為.【答案】【詳解】，當(dāng)時，，所以此時不等式無解；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以此時不等式無解.綜上可知，原不等式的解集為.故答案為：14．，則不等式的解集為.【答案】【詳解】當(dāng)時，，由，可得，解得，故x不存在；當(dāng)時，，由，可得，解得，故；當(dāng)時，，由，可得，解得，故，綜上，，故答案為：.15．解不等式：(1).(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，則，即，所以；當(dāng)時，，則恒成立，所以；當(dāng)時，，則，即，所以；綜上：，即的解集為.（2）因為，所以，解得，所以的解集為.04解含參數(shù)的一元二次不等式16．當(dāng)時，關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】時，，不等式可化為，因為，且，所以，，解原不等式，得，所以原不等式的解集為.故選：C.17．關(guān)于的不等式，其中，則該不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，不等式，即，，故不等式的解集為，故A可能；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，的解集為，故D可能；當(dāng)時，不等式無解；當(dāng)時，的解集為，故B可能.故選：C18．對于給定實數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，此時解集為或，當(dāng)時，，此時解集為，當(dāng)時，，此時解集為或，當(dāng)時，不等式為，此時解集為，當(dāng)時，，此時解集為，故A正確，B、C、D錯誤.故選：A.19．（多選）已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．可能為空集 B．中可能只有一個元素C．若，則中的元素為負(fù)數(shù) D．若，則【答案】BCD【詳解】對于A，由題意得，則不可能為空集，A錯誤；對于B，由，得，當(dāng)，即時，，得，則，B正確；對于C，當(dāng)，即時，，C正確．對于D，當(dāng)，即時，，因為，所以，得，D正確．故選：BCD.20．已知，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由可得，即，由可得，即，又因為是的充分不必要條件，所以，所以(等號不同時成立)，解得，故答案為：.21．已知集合集合(1)求集合；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，所以.（2）因為.當(dāng)即時，得或，即，此時不能成立；當(dāng)即時，得或，即，此時.故.所以實數(shù)的取值范圍為.05由一元二次不等式的解集求參數(shù)22．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題可知的根為1和2，代入方程可得，，不等式等價于，則解集為，故選：D.23．已知不等式的解集為或，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵不等式的解集為或，可得,是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得：，，且，所以的解集，即，所以解集為，故選：A.24．（多選）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的取值可以是（）A．2 B． C．3 D．4【答案】CD【詳解】∵的解集為，∴，且方程的兩根為，，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，故，而，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴的取值范圍為.故選：CD.25．若關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】解：根據(jù)不等式與方程之間的關(guān)系知1為方程的一個根，即，解得或，當(dāng)時，不等式的解集是，符合要求；當(dāng)時，不等式的解集是，不符合要求，舍去．故，故選：A．26．已知函數(shù)，若不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為函數(shù)，不等式的解集為，所以的兩實數(shù)根分別為和，所以，解得，所以.令，解得或，令，解得.由，可得或，即或，則所求解集為.故選：D.06由一元二次不等式解集中的整數(shù)個數(shù)求參數(shù)27．若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】不等式可化為，當(dāng)時，不等式的解集為，要使解集中恰有3個整數(shù)，則這3個整數(shù)只能是4，5，6，所以；當(dāng)時，不等式的解集為，此時不符合題意；當(dāng)時，不等式的解集為，要使解集中恰有3個整數(shù)，則這3個整數(shù)只能是0，1，2，所以．綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．故選：C．28．若，且不等式的解集中有且僅有一個整數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【詳解】不等式，當(dāng)時，，不等式的解集為，若不等式解集中有且僅有一個整數(shù)，則這四個整數(shù)為，則，即，解得即.當(dāng)時，，不等式的解集為，不符合題意；當(dāng)時，，不等式的解集為，若不等式解集中有且僅有一個整數(shù)，則這整數(shù)可為，則解得，，即綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．29．已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有5個整數(shù)，則所有符合條件的的值之和是（

）A．15 B．19 C．21 D．26【答案】A【詳解】設(shè)，其圖象為開口向上，對稱軸為的拋物線，根據(jù)題意可得：，解得：，解集中有且僅有5個整數(shù)，則這5個整數(shù)必為，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性可得：，即，解得：，又，，即符合題意的的值之和.故選：A.30．關(guān)于的不等式解集中恰有2個整數(shù)，則實數(shù)取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】由可得，當(dāng)時，無解，不滿足題意；當(dāng)時，原不等式解得，由于解集中恰有2個整數(shù)，所以該整數(shù)解為和0，因此可得，即；當(dāng)時，原不等式解得，由于解集中恰有2個整數(shù)，所以該整數(shù)解為2和3，因此可得，即；綜上所述：或，所以實數(shù)的取值范圍為或．故選：B．31．關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[-3，-2)∪(4，5] B．[-3，-2]∪[4，5] C．(-3，-2]∪[4，5) D．(-3，-2)∪(4，5)【答案】A【詳解】由，得，當(dāng)時，顯然不成立，當(dāng)時，不等式的解集為，由解集中恰有3個整數(shù)可得，此時這三個整數(shù)為，，，則；當(dāng)時，不等式的解集為，由解集中恰有3個整數(shù)可得，此時這三個整數(shù)為，，，則；綜上所述，或，故選：A07一元二次不等式的實際問題32．在物理學(xué)中，若不計空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點的高度與時間滿足關(guān)系，其中，一名同學(xué)以初速度豎直上拋一排球，排球能夠在拋出點以上的位置最多停留（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得：，令，即，解得，所以排球能夠在拋出點以上的位置最多停留秒.故選：C.33．有純農(nóng)藥液一桶，倒出4升后用水加滿，然后又倒出2升后再用水加滿，此時桶中所含的純農(nóng)藥藥液不超過桶的容積的，則桶的容積最大為升.【答案】/【詳解】設(shè)桶的容積為x升，那么第一次倒出4升純農(nóng)藥液后，桶內(nèi)還有升純農(nóng)藥液，用水補滿后，桶內(nèi)純農(nóng)藥液的濃度為，第二次又倒出2升藥液，則倒出的純農(nóng)藥液為升，此時桶內(nèi)有純農(nóng)藥液升.依題意，得，由于，則原不等式化簡為，解得，又，所以，所以桶的容積最大為升.故答案為：.34．近年來，某西部鄉(xiāng)村農(nóng)產(chǎn)品加工合作社每年的電費為24萬元．為了節(jié)能環(huán)保，決定修建一個可使用16年的沼氣發(fā)電池，并入該合作社的電網(wǎng)．修建沼氣發(fā)電池的費用（單位：萬元）與沼氣發(fā)電池的容積x（單位：）成正比，比例系數(shù)為0.12．修建沼氣發(fā)電池后該合作社每年的電費C（單位：萬元）與沼氣發(fā)電池的容積x（單位：）之間的關(guān)系為（為正常數(shù)）．記該合作社修建此沼氣發(fā)電池的費用與16年的電費之和為F（單位：萬元）(1)寫出F關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系．(2)該合作社應(yīng)修建多大容積的沼氣發(fā)電池，可使F最??？并求出F的最小值．(3)要使F不超過140萬元，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)修建350的沼氣發(fā)電池時，可使F最小，且F的最小值為90萬元(3)【詳解】（1）由題意修建沼氣發(fā)電池的費用為萬元，又當(dāng)未修建沼氣發(fā)電池時的費用為每年24萬元，所以當(dāng)時，，此時有，解得，所以有，所以F關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為.（2）由（1）可知，所以由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)修建350的沼氣發(fā)電池時，可使F最小，且F的最小值為90萬元.（3）由（1）可知，由題意有，所以，化簡并整理得，解得，要使F不超過140萬元，則x的取值范圍為．35．已知汽車從踩剎車到停住所滑行的距離s（單位：m）與速度v單位：km/h）的平方及汽車總質(zhì)量成正比設(shè)某輛卡車不裝貨物以59km/h的速度行駛時，從踩剎車到停住滑行了20m．如果這輛卡車裝著等于車重的貨物行駛時，發(fā)現(xiàn)前面20m處有障礙物，這時為了能在離障礙物5m以外處停車，最大限制時速應(yīng)是多少？（結(jié)果保留整數(shù)，設(shè)卡車司機發(fā)現(xiàn)障礙物到踩剎車需經(jīng)過1s）【答案】【詳解】設(shè)卡車從踩剎車到停住所滑行的距離為，卡車速度為，卡車總質(zhì)量為，比例系數(shù)為，則，當(dāng)時，，①當(dāng)這輛卡車裝著等于車重的貨物行駛時，設(shè)能在離障礙物以外處停車的速度為，則滿足，即②由①②得③，由，及③得，最大限制時速應(yīng)是.08一元二次不等式的恒（能）成立問題36．若命題為真命題，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】因為命題為真命題，所以在上恒成立，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最大值為，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：37．若不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【詳解】因?qū)θ我夂愠闪ⅲ瑒t對任意恒成立，因在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，則在上的最大值為，則，故實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：38．已知存在，使得成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，令，則，其圖象開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，因為存在，使得成立，所以，即，即，解得，所以的取值范圍是，故選：C.39．若函數(shù)的定義域是R，實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】因為的定義域為，所以不等式恒成立.當(dāng)時，不等式為，顯然恒成立；當(dāng)時，有，即，解得，所以的取值范圍為，故答案為：.40．不等式，對于任意及恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由，則不等式兩邊同時乘以不等式可化為，因為，所以，又，則，令，則不等式轉(zhuǎn)化為，在上恒成立，由，可得，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值，故可得，所以的取值范圍為.故答案為：09一元二次方程根的分布問題41．已知關(guān)于x的方程有兩個大于2的相異實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．或 B．C． D．或【答案】B【詳解】設(shè)關(guān)于x的方程的兩個根分別為,則由根與系數(shù)的關(guān)系，知所以由題意知，即，解得.故選：B42．關(guān)于的方程有兩根，其中一根小于2，另一根大于3，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則由題意可知，即，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故選：C．43．關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】因為關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得，因為，所以，因為，所以，故，即，而由韋達(dá)定理得，，代入不等式中得到，解得，故答案為：44．已知關(guān)于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】由，因式分解得，故方程兩根為和，則由題意得，∴．45．已知是方程的兩根，若兩根都大于1，求的取值范圍．【答案】.【詳解】依題意，，解得或，，由，得，則，即，則，解得，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，所以的最小值為10，即的取值范圍是.1．已知，集合，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為，由解得或，或，由解得或，即或，因為，所以，所以，所以是的真子集，所以是的充分不必要條件.故選：A2．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：B3．設(shè)a，b，c為實數(shù)，不等式的解集是或，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，1和3為方程的兩根，且，所以，即，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：C.4．若不等式對任意恒成立，則實數(shù)m的值為【答案】/【詳解】解：若，則當(dāng)趨于時，趨于，不滿足題意；當(dāng)時，是方程的一個根，不等式對任意恒成立，且方程的兩根不相等，所以是方程的根，，，得，此時原不等式等價于，顯然時恒成立，實數(shù)m的值為，故答案為：．5．若關(guān)于的不等式的解集中恰好有3個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】不等式因式分解為.①當(dāng)時，不等式為，不等式無解，不合題意；②當(dāng)時，不等式的解為，若不等式的解集中恰好有3個整數(shù)，這3個整數(shù)必為，0，1，必有，解得；③當(dāng)時，不等式的解為，若不等式的解集中恰好有3個整數(shù)，這3個整數(shù)必為，0，1，必有，解得.由①②③可知實數(shù)的取值范圍為.故選：D.6．（1）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知命題：關(guān)于的方程在上