6/15解答題多模塊綜合考查根據(jù)近幾年的高考情況，解三角形、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何、平面解析幾何、導(dǎo)數(shù)等專(zhuān)題是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的解答題類(lèi)型，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)相互交匯的情況，本專(zhuān)題通過(guò)對(duì)高考中經(jīng)常出現(xiàn)的幾種交匯類(lèi)型進(jìn)行總結(jié)。題型一：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)相交匯1．（2025·河南·一模）（1）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，證明：；（3）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.利用三角函數(shù)的性質(zhì)，在利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題時(shí)，構(gòu)建相關(guān)的模型利用導(dǎo)數(shù)恒成立思想或能成立思想進(jìn)行求解1．（2025·陜西榆林·一模）已知函數(shù)，．(1)證明：在上單調(diào)遞減；(2)記的最小值為，最大值為，數(shù)列的前項(xiàng)積為．（?。┣蟮耐?xiàng)公式；（ⅱ）證明：．2．（2025·廣東肇慶·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)，時(shí)，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，（?。┣笤谏系乃袠O大值點(diǎn)之和；（ⅱ）若在上有兩個(gè)實(shí)根，，比較與的大小關(guān)系.題型二：導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)相交匯1．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）某檢測(cè)中心在化驗(yàn)血液時(shí)有兩種化驗(yàn)方法：①逐份化驗(yàn)法：將血液樣本逐份進(jìn)行化驗(yàn)，則份血液樣本共需要化驗(yàn)次.②混合化驗(yàn)法：將份血液樣本分別取樣混合在一起化驗(yàn).若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則這份血液均為陰性，此時(shí)共化驗(yàn)1次；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，為了確定陽(yáng)性血液，就需要再采取逐份化驗(yàn)，故此時(shí)共需要化驗(yàn)次.(1)現(xiàn)有5份血液樣本，其中有2份為陽(yáng)性血液，現(xiàn)采取逐份化驗(yàn)法進(jìn)行化驗(yàn)，求恰好化驗(yàn)2次就把全部陽(yáng)性樣本檢測(cè)出來(lái)的概率；(2)現(xiàn)有10份血液樣本，每份呈陽(yáng)性的概率為，采用5份為一組的混合化驗(yàn)法進(jìn)行化驗(yàn)，記這10份血液樣本需要化驗(yàn)的總次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列；.(3)現(xiàn)有份血液樣本，每份呈陽(yáng)性的概率為，記采用逐份化驗(yàn)法時(shí)需要化驗(yàn)的次數(shù)為，采用份為一組的混合化驗(yàn)法時(shí)需要化驗(yàn)的總次數(shù)為，當(dāng)時(shí)，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）利用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)性質(zhì)列出式子利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)性，從而求出最值1．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）不透明的口袋中裝有編號(hào)分別為的個(gè)小球，小球除編號(hào)外完全相同.現(xiàn)從中有放回地任取次，每次取1個(gè)球，記取出的個(gè)球的最小編號(hào)為隨機(jī)變量.(1)若，求和；(2)若，且，求的最小值；(3)若，求證：且.題型三：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列相交匯1．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）（1）已知，函數(shù).證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)函數(shù)與的圖象分別為，.點(diǎn)在上，且，在點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)，.在點(diǎn)處的切線(xiàn)交于，由此構(gòu)造出點(diǎn)列，.已知.（i）證明：；（ii）求，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù).根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)得到相關(guān)通項(xiàng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行分析，得到相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解1．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿(mǎn)足，為給定的正數(shù)，則稱(chēng)為“有界數(shù)列”．(1)若，，證明：為有界數(shù)列；(2)設(shè)，對(duì)，均有，求實(shí)數(shù)的取值；(3)設(shè)數(shù)列是2－有界數(shù)列，，且，求的最大可能值．2．（2025·上海靜安·模擬預(yù)測(cè)）定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱(chēng)為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”．(1)已知，為函數(shù)的“生成數(shù)列”，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)已知，為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，均有；(3)已知，為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問(wèn)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測(cè)）抽屜原理也被稱(chēng)為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出并用來(lái)證明數(shù)論中的問(wèn)題，因此，也被稱(chēng)為狄利克雷原則．其內(nèi)容為：如果把個(gè)物體放進(jìn)個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜要放進(jìn)個(gè)或更多個(gè)物體．已知數(shù)列與數(shù)列滿(mǎn)足，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)．(1)當(dāng)，且數(shù)列具有性質(zhì)時(shí)，①寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足，項(xiàng)數(shù)為6的數(shù)列；②若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，至少存在兩個(gè)不同的數(shù)列，使得這兩個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和相等．(2)從項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列中選取一部分元素構(gòu)成新的數(shù)列，判斷是否存在項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）題型四：導(dǎo)數(shù)與二項(xiàng)式相交匯1．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)若，求；(2)已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).（i）求，；（ii）若，，.證明：.1..求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解．2.求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，由于展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是離散型變量，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值只需解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得結(jié)果．3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)對(duì)二項(xiàng)式進(jìn)行分析題型五：數(shù)列與平面幾何相交匯1．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到的距離為.對(duì)每個(gè)正整數(shù)，是上的點(diǎn)且在第一象限，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于另一點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)求證：；(3)取，并記為上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)，求的值（用含的式子表示）.利用平面解析幾何的性質(zhì)列出相關(guān)式子：聯(lián)立韋達(dá)定理找到相交點(diǎn)的關(guān)系列出相關(guān)式子2.利用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解1．（2025·江西贛州·二模）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，M的軌跡為C．點(diǎn)在C上，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交C于另一點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交C于另一點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，……，以此類(lèi)推，設(shè)．(1)求C的方程；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：；(3)求的面積．2．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)列與滿(mǎn)足，且，其中，．

(1)求；(2)求與的關(guān)系式；(3)證明：．題型六：統(tǒng)計(jì)概率與數(shù)列相交匯1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生健康水平，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，更好地推進(jìn)“一核四翼”高質(zhì)量發(fā)展，豐富全校師生的校園文化生活，某學(xué)校開(kāi)展了為期兩天的秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)置了多個(gè)項(xiàng)目，小宇參加了“定點(diǎn)投籃”的比賽，規(guī)定：一場(chǎng)比賽總共投籃10次，若未命中不得分，單獨(dú)命中1球得1分，連續(xù)命中2球得3分，連續(xù)命中3球得6分，連續(xù)命中4球得10分，以此類(lèi)推，連續(xù)命中球得分，假設(shè)小字每次投籃命中率為，且每次投籃之間相互獨(dú)立.(1)求小宇在一場(chǎng)比賽中最終得分為10分的概率；(2)小宇在賽前進(jìn)行了大量練習(xí)，在一次訓(xùn)練中，小宇決定只要連續(xù)命中3球就回家，在以下三種方法中選擇一種，求解小宇投籃次數(shù)的均值.①馬爾科夫鏈：以代表當(dāng)小宇已經(jīng)連續(xù)命中球時(shí)，最終達(dá)到連續(xù)命中3球狀態(tài)所需的平均投籃次數(shù)，那么當(dāng)小宇一開(kāi)始投籃時(shí)，若他下一次投籃將球命中，他只需要再投中個(gè)球就能回家，若下次投籃未命中，則需要再投中個(gè)球才能回家.由此我們得出，若將來(lái)的狀態(tài)僅與當(dāng)下的狀態(tài)有關(guān)，與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)，根據(jù)下圖，推導(dǎo)其余關(guān)系式.②概率母函數(shù)：小明投籃的情況可劃分為四種，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分別為，則小宇投籃次數(shù)的均值恰好為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值；（當(dāng)時(shí)，）③鞅的停時(shí)定理：試想小宇在和球場(chǎng)管理員玩一個(gè)賭博游戲，每次投籃都要下注，當(dāng)小宇下注為元時(shí)，若命中就會(huì)贏得元，未命中就會(huì)輸?shù)粼?，小宇一開(kāi)始沒(méi)有錢(qián)，小華決定每次投籃前都會(huì)借給小宇1元錢(qián)，而小宇每次都會(huì)將自己所有的錢(qián)全部押為下一次投籃的賭注，已知此游戲是“公平的”，也就是小宇停止時(shí)的賭本的期望值和他開(kāi)始時(shí)的賭本相同.根據(jù)統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)性質(zhì)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行熟練掌握馬爾科夫鏈全概率公式是新高考考查內(nèi)容，利用全概率公式，我們既可以構(gòu)造某些遞推關(guān)系求解概率，還可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻時(shí)，位于點(diǎn)，下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)表示：在時(shí)刻該點(diǎn)位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進(jìn)一步，我們假設(shè)在與處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游走.于是，.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過(guò)程.進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為，原地不動(dòng)，其概率為，向右平移一個(gè)單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：3.利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解1．（24-25高二下·廣東東莞·期末）現(xiàn)有一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立，每件產(chǎn)品合格的概率均為p．在某次抽樣中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)抽取的100件產(chǎn)品中，恰有98件合格品．(1)以頻率估計(jì)概率，若從該批產(chǎn)品中再抽取10件，記合格品的數(shù)量為X，求X的期望；(2)在概率統(tǒng)計(jì)中，我們常常通過(guò)觀測(cè)到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)用極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)某參數(shù)的取值．設(shè)X為與未知參數(shù)m有關(guān)的離散型隨機(jī)變量，其中m的取值范圍為S．若對(duì)已知結(jié)果，存在，且對(duì)任意，有成立，則稱(chēng)為m的一個(gè)極大似然估計(jì)值．①請(qǐng)根據(jù)此次抽樣，求p的極大似然估計(jì)值．②在實(shí)際操作中往往采用多次獨(dú)立抽樣來(lái)求參數(shù)的極大似然估計(jì)值，現(xiàn)對(duì)該批產(chǎn)品進(jìn)行m次獨(dú)立抽樣，每次從中抽取n個(gè)產(chǎn)品，記錄合格品數(shù)分別對(duì)應(yīng)為，，…，，請(qǐng)根據(jù)這m次獨(dú)立抽樣結(jié)果，求p的極大似然估計(jì)值．2．（2024·云南麗江·模擬預(yù)測(cè)）衛(wèi)生檢疫部門(mén)在進(jìn)行病毒檢疫時(shí)常采用“逐一檢測(cè)”或“混采檢測(cè)”（隨機(jī)地按人一組平均分成組，然后將各組個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)．如果混管血樣呈陰性，說(shuō)明這個(gè)人全部陰性；如果混管血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次）．已知某種病毒性疾病在某地的患病率（患病率）為．(1)當(dāng)時(shí)，已知某組混管血樣呈陽(yáng)性，且這5人中只有1人患病．（i）將該組每個(gè)人的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病人員為止．用表示所需化驗(yàn)次數(shù)，求的期望；（ii）先從該組中取3人的血液混在一起化驗(yàn)，若呈陽(yáng)性，則對(duì)這3人的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病人員；若不呈陽(yáng)性，則對(duì)剩下的2人再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病人員．用表示所需化驗(yàn)次數(shù)，求的期望；(2)已知某次“混采檢測(cè)”的血樣總數(shù)為20000，記檢驗(yàn)總數(shù)次數(shù)為，當(dāng)時(shí)，求的最大值.3.（2025·黑龍江大慶·一模）2025年7月16日-27日，第32屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在德國(guó)舉行.在比賽期間，運(yùn)動(dòng)員甲（來(lái)自中國(guó)）和運(yùn)動(dòng)員乙（來(lái)自澳大利亞）因賽事成為朋友.運(yùn)動(dòng)員甲持有一套熊貓主題的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目徽章，包含乒乓球?羽毛球?籃球3個(gè)項(xiàng)目；運(yùn)動(dòng)員乙則擁有一套袋鼠主題的同項(xiàng)目（乒乓球?羽毛球?籃球）徽章.兩套徽章除印制的主題圖案和項(xiàng)目標(biāo)識(shí)不同外，其余完全相同.為了加深友誼，兩人在比賽期間約定，每次見(jiàn)面時(shí)，都隨機(jī)取出1枚徽章與對(duì)方進(jìn)行交換，運(yùn)動(dòng)會(huì)結(jié)束時(shí)已重復(fù)進(jìn)行了次交換.(1)求3次交換后，運(yùn)動(dòng)員甲有3枚熊貓主題徽章的概率；(2)求次交換后，運(yùn)動(dòng)員乙有3枚相同動(dòng)物主題徽章的概率（結(jié)果用含的式子表示）；(3)求次交換后，運(yùn)動(dòng)員甲的徽章包含乒乓球?羽毛球?籃球3項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率（結(jié)果用含的式子表示），并求出這個(gè)概率的最大值.題型七：平面解析幾何與導(dǎo)數(shù)相交匯1．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與交于另一點(diǎn).（i）證明:；（ii）若點(diǎn)是的外心，求面積的最大值.根據(jù)平面幾何性質(zhì)列出相關(guān)式子利用導(dǎo)數(shù)對(duì)其進(jìn)行求解1．（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，，，，，，分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，，，，直線(xiàn)與的交點(diǎn)為M．設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．

(1)證明曲線(xiàn)C的方程為；(2)設(shè)曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)為E，右焦點(diǎn)為F，動(dòng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于P，Q兩點(diǎn).①設(shè)直線(xiàn)EP，EQ的斜率分別為，，且滿(mǎn)足，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在直線(xiàn)l上的射影為W，求面積的最大值.②若l過(guò)點(diǎn)F，且P，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，是否存在直線(xiàn)l，使得四邊形OFQN的面積為?若存在，求出直線(xiàn)l的條數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型八：數(shù)列與排列組合相結(jié)合1．（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)，都有，則稱(chēng)與為“級(jí)相鄰數(shù)列”．(1)設(shè)的前n項(xiàng)和，且，試判斷與是否為“2級(jí)相鄰數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)若，且為“4級(jí)相鄰數(shù)列”，求k的取值范圍；(3)已知，由數(shù)列的所有項(xiàng)組成的集合M中恰好有2個(gè)元素，若與為“1級(jí)相鄰數(shù)列”，求滿(mǎn)足條件的數(shù)列的組數(shù)（用數(shù)字作答）．利用排列組合的性質(zhì)得到相關(guān)式子和數(shù)列相結(jié)合進(jìn)行求解1．（2025·浙江·三模）空氣中的塵埃，天上的云朵飄忽隨機(jī)不定、這些動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的研究有著重要的意義.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，等可能向四個(gè)方向移動(dòng)，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在，，，四點(diǎn)處.(1)求粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)的概率；(2)記第秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為.（i）已知求以及；（ii）令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在，使得，則稱(chēng)粒子是常返的.已知證明：該粒子是常返的.題型九：導(dǎo)數(shù)與解三角形相交匯1．（24-25高一下·黑龍江綏化·期末）記斜的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且．(1)求角；(2)為邊的中點(diǎn)，若，求的面積；(3)如圖所示，是外一點(diǎn)，若，且，記的周長(zhǎng)為，求的取值范圍．1．（2025·四川成都·三模）記斜的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且.(1)求角；(2)為邊的中點(diǎn)，若，求的面積；(3)如圖所示，是外一點(diǎn)，若，且，記的周長(zhǎng)為，求的取值范圍.2．（2025·湖北黃岡·二模）如圖，銳角的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為，直線(xiàn)與的邊AB，AC分別相交于點(diǎn)D，E，設(shè)，滿(mǎn)足.(1)求角的大??；(2)若且，求的取值范圍.題型十：導(dǎo)數(shù)與平面向量相交匯1．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)．已知，．(1)若曲線(xiàn)和有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)已知B為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，把繞著原點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為E．（ⅰ）求E的方程；（ⅱ）求曲線(xiàn)E的內(nèi)接等腰直角三角形面積的最小值．題型十一：數(shù)列與三角函數(shù)相交匯1．（24-25高三上·山西·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)常數(shù)及，對(duì)任意，當(dāng)且時(shí)，都有成立，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)具有性質(zhì)，求和的值；(3)已知函數(shù)不存在零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)具有性質(zhì)，若數(shù)列滿(mǎn)足，，且，求的通項(xiàng)公式.1．（2025·山西·三模）已知函數(shù)，從點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交的圖象于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交的圖象于點(diǎn)，重復(fù)這一過(guò)程，得到兩個(gè)點(diǎn)列，，，點(diǎn)的坐標(biāo)記作．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)證明：．(切線(xiàn)不等式)題型十二：立體幾何與三角函數(shù)相交匯1．（2025·甘肅白銀·三模）圓柱的標(biāo)準(zhǔn)方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圓柱任意一點(diǎn)的坐標(biāo).已知圓柱的方程為，如圖，點(diǎn)，分別為上、下底面圓的圓心，四邊形是圓柱的一個(gè)軸截面，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦（不與重合）.(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)是下底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)在上底面的投影，且，與下底面所成的角分別為，，求的取值范圍；(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面所成角的余弦值.1．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，在梯形中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，將沿折起至，如圖②．(1)若，證明：；(2)若二面角的大小為，求平面與平面夾角的正弦值．1．（2025·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到禮券，最多進(jìn)行19輪游戲.(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為，求的期望；(2)若累計(jì)得分為的概率為，（初始得分為0分，）.①證明數(shù)列，，，，是等比數(shù)列；②求活動(dòng)參與者得到禮券的概率.2．（25-26高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）甲有兩輛自行車(chē)，且每天都去體育館鍛煉.若甲去體育館時(shí)，只要不下雨且家里有自己的自行車(chē)，他就會(huì)騎自行車(chē)過(guò)去．若甲回家時(shí)，只要不下雨且體育館有自己的自行車(chē)，他就會(huì)騎自行車(chē)回家.其他情況下均走路去體育館或回家．假設(shè)甲每天去體育館時(shí)，回家時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且每次下雨與否互不影響．當(dāng)前甲的自行車(chē)一輛在家里，一輛在體育館．(1)設(shè)甲第一天去體育館鍛煉回到家后，家中自行車(chē)的數(shù)量為，求的分布列與期望．(2)設(shè)甲連續(xù)天去體育館鍛煉回到家后，家中自行車(chē)的數(shù)量為0，1的概率分別為，．①求；②證明：．3．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2．現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積．(1)求概率的值；(2)求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望．4．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，將函數(shù)的所有正的零點(diǎn)從小到大排列組成數(shù)列.記表示不超過(guò)的最大整數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)從數(shù)列的前項(xiàng)中，隨機(jī)選出兩個(gè)不同的項(xiàng)相乘，所得結(jié)果為偶數(shù)的概率為.是否存在一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，若存在，求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)數(shù)列滿(mǎn)足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.5．（2025·貴州·三模）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；(3)證明：.6．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在概率統(tǒng)計(jì)中，常常用頻率估計(jì)概率.已知袋中有若干個(gè)白球和紅球，有放回地隨機(jī)摸球次，白球出現(xiàn)次.假設(shè)每次摸出白球的概率為，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，則每次摸出白球的概率的估計(jì)值為.(1)若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多.有放回地隨機(jī)摸取個(gè)球，設(shè)摸出的球?yàn)榘浊虻拇螖?shù)為，則.（注：表示當(dāng)每次摸出白球的概率為時(shí)，摸出白球次數(shù)為的概率）（ⅰ）完成下表，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；（ⅱ）在統(tǒng)計(jì)理論中，把使得的取值達(dá)到最大時(shí)的，作為的估計(jì)值，記為，請(qǐng)寫(xiě)出的值.(2)把（1）中“使得取值達(dá)到最大時(shí)的作為的估計(jì)值”的思想稱(chēng)為最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計(jì)方法稱(chēng)為最大似然估計(jì).具體步驟：先對(duì)參數(shù)構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)，再對(duì)其關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計(jì)值.已知的參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為，其中，求參數(shù)的估計(jì)值，并且說(shuō)明頻率估計(jì)概率的合理性.7．（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱(chēng)為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”.①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)，均有；②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問(wèn)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.8．（2025·上?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱(chēng)為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”．①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)，均有；②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問(wèn)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，；(3)若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍．10．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身體健康．為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開(kāi)發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測(cè)時(shí)收集了玩家對(duì)每一關(guān)的平均過(guò)關(guān)時(shí)間，如下表：關(guān)卡123456平均過(guò)關(guān)時(shí)間（單位：秒）5078124121137352計(jì)算得到一些統(tǒng)計(jì)量的值為：，，其中，．(1)若用模型擬合與的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)甲參加一場(chǎng)闖關(guān)游戲，比賽共有5局，甲每局比賽獲勝的概率為，且每局比賽相互獨(dú)立，記甲恰好獲勝3次的概率為，求的最大值，并求出相應(yīng)的概率．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．11．（2025·浙江麗水·一模）已知函數(shù)，，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，（i）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（ii）記為函數(shù)在上從小到大排列的第個(gè)極值點(diǎn)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．(2)當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，恒成立．12．（2025·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）在一次旅游中，導(dǎo)游為增加旅游樂(lè)趣，組織游客到甘蔗園里選甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗細(xì)不同的甘蔗中選一棵最粗的甘蔗，期間只能選一次，且只能向前走，不能回頭.在某處若游客選到最粗的甘蔗，則該游客活動(dòng)結(jié)束，回到旅游車(chē)中，否則繼續(xù)向前走，以此類(lèi)推，直至看到第棵甘蔗結(jié)束.游客甲認(rèn)為最粗的甘蔗一定是最后一棵，決定始終選擇最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就選擇這棵甘蔗，否則就取最后一棵甘蔗.設(shè)甲選到最粗的甘蔗的概率為，乙選到最粗的甘蔗的概率為.(1)若，求和；(2)若最粗的甘蔗是第棵，求；(3)當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度（即），求的最大值及取最大值時(shí)的值.（?。?3．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）拐點(diǎn)，又稱(chēng)反曲點(diǎn)，指改變曲線(xiàn)向上或向下的點(diǎn)（即曲線(xiàn)的凹凸分界點(diǎn)）．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若方程有實(shí)數(shù)解，并且在點(diǎn)左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，則稱(chēng)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心．已知三次函數(shù)(1)過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程：(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)，其中．求的拐點(diǎn)．14．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)單調(diào)不減的無(wú)界非負(fù)數(shù)列，定義數(shù)列為，這里表示集合中元素的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為數(shù)列的伴隨數(shù)列．(1)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的伴隨數(shù)列（可以用表示不超過(guò)的最大整數(shù)）；(2)對(duì)任意的正整數(shù)，，證明下述關(guān)于伴隨數(shù)列的基本性質(zhì)：（i）；（ii）若為整數(shù)數(shù)列的伴隨數(shù)列，則也為數(shù)列的伴隨數(shù)列：(3)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，嚴(yán)格遞增且無(wú)界，滿(mǎn)足，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，證明：數(shù)列與數(shù)列互為伴隨數(shù)列，這里是的反函數(shù)；并利用上述結(jié)果，直接寫(xiě)出數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通項(xiàng)公式．15．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，其中．(1)寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．1．（2025·北京·高考真題）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)的概率及X的數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)：如果沒(méi)有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為，，判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.2．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬?duì)于正實(shí)數(shù)a，定義集合．(1)若，判斷是否是中的元素，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，求a的取值范圍；(3)若是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，均有．寫(xiě)出，解析式，并證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個(gè)零點(diǎn)．3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線(xiàn)，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線(xiàn)與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.4．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每