2/11專題01基本計(jì)數(shù)原理題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用題型三：計(jì)數(shù)原理的判斷及綜合應(yīng)用題型四：計(jì)數(shù)原理在實(shí)際問題中的應(yīng)用題型五：代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題題型六：幾何中的計(jì)數(shù)問題題型七：數(shù)字排列問題題型八：涂色問題題型九：其它計(jì)數(shù)模型題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1．（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片?2部文藝片?3部喜劇片，小華從中任選1部電影觀看，則不同的選法種數(shù)有（

）A．18 B．9 C．8 D．72．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若某焊接點(diǎn)脫落，則此處斷路，則焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致電路不通的情況的種數(shù)為（

）

A．9 B．11 C．13 D．153．（24-25高二下·青海西寧·期末）在全球高鐵技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)中，中國(guó)站到了前沿.全國(guó)政協(xié)委員、中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗(yàn)，預(yù)計(jì)將在一年后投入商業(yè)運(yùn)營(yíng).小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，則小張的購(gòu)票方案種數(shù)為（

）A．14 B．19 C．90 D．2004．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）集合，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則在第二象限內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．65．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)了一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一個(gè)棋子放在如圖所示的正方形（邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度）的頂點(diǎn)處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向走幾個(gè)單位長(zhǎng)度，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時(shí)針方向走i個(gè)單位長(zhǎng)度，一直循環(huán)下去.此人拋擲三次骰子后，棋子恰好又回到起點(diǎn)A處的不同走法共有種.6．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）某玩具廠參加展出，帶了四款不同類型、不同價(jià)格的玩具，它們的價(jià)格分別是元、元、元、元.某禮品進(jìn)貨商準(zhǔn)備買若干款不同類型的玩具樣品（至少購(gòu)買一款，且每款只購(gòu)一只），因信用卡出現(xiàn)故障，他身上只剩元現(xiàn)金，則他買玩具樣品的方案有種.題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1．（25-26高二上·湖北襄陽·階段練習(xí)）李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色各不相同的概率為（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）書架上有6本不同的書，再往書架放另外3本不同的書，要求不改變?cè)瓉頃苌?本書的左右順序，則不同的放法有（

）種.A．504 B．84 C．1008 D．1683．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為，，，的個(gè)小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為，，的小正方形涂相同的顏色，則共有（

）種涂法，A． B． C． D．4．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圖中每個(gè)開關(guān)都有閉合與不閉合2種可能，因此5個(gè)開關(guān)共有種可能情況，在這種可能情況中，電路（從甲到乙）接通的情況有（

）.A．30種 B．24種 C．16種 D．10種5．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，當(dāng)一條電路從處到處接通時(shí)，不同的線路共有條（每條線路僅含一條通路）．

6．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子.現(xiàn)將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則共有種放法.題型三：計(jì)數(shù)原理的判斷及綜合應(yīng)用1．現(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．92．（24-25高二下·新疆喀什·期末）（多選題）下列說法正確的是（）A．分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情B．從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書各1本，求共有多少種取法的問題是分步計(jì)數(shù)問題C．求從甲地經(jīng)丙地到乙地共有多少條路線的問題是分類計(jì)數(shù)問題D．分類加法計(jì)數(shù)原理可用來求解完成一件事有若干類方法這類問題3．（24-25高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）若完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù)，則是;而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù)，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事，則是.4．有8種不同型號(hào)的手機(jī)供4位顧客選購(gòu)，每人只購(gòu)一臺(tái)，則共有種不同的選法.

題型四：計(jì)數(shù)原理在實(shí)際問題中的應(yīng)用1．（24-25高二下·廣西百色·期末）如圖所示，從甲地到丙地有2條公路可走，從丙地到乙地有3條公路可走，從甲地不經(jīng)過丙地到乙地有2條水路可走.則從甲地到乙地的走法種數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）學(xué)校教師運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)置有“跳繩”、“立定跳遠(yuǎn)”、“定點(diǎn)投籃”、“沙包擲準(zhǔn)”四個(gè)比賽項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目各需要一位裁判，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位體育老師，每人做且僅做一項(xiàng)裁判工作，因?yàn)闀r(shí)間問題，甲不能安排“跳繩”裁判，乙不能安排“定點(diǎn)投籃”裁判，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．14種C．7種 D．9種3．（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識(shí)競(jìng)賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績(jī)，老師對(duì)甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對(duì)丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．124．（23-24高二下·貴州·期中）高二某班級(jí)4名同學(xué)要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，其中甲同學(xué)不能報(bào)名足球，乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，則不同的報(bào)名種數(shù)有（

）A．54 B．12 C．8 D．815．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）2024屆高三某次聯(lián)考中對(duì)尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有五名屏蔽生總分在前9名，現(xiàn)在確定第一、二、五名是三位同學(xué)，但不是第一名，兩名同學(xué)只知道在6至9名，且的成績(jī)比好，則這5位同學(xué)總分名次有多少種可能（

）A．6 B．12 C．24 D．486．某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（

）種.A．10 B．9 C．8 D．127．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）有紅、黃、藍(lán)三色旗各三面，每次可升旗一面、兩面或三面，在旗桿上縱向排列，不同的顏色和旗幟數(shù)均代表不同的信號(hào)，共可組成不同的信號(hào)種.8．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一種特殊的粒子，現(xiàn)在把該粒子放在依次排開的1~5號(hào)密封箱子中，兩個(gè)箱子之間只有一條通道相連，該粒子每天只會(huì)出現(xiàn)在一個(gè)箱子里，第二天會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)在相鄰箱子中的一個(gè)，若科學(xué)家每天只能觀察一個(gè)箱子，則至少需要天才能確保觀測(cè)到該粒子.9．（24-25高三下·山東·開學(xué)考試）某校為弘揚(yáng)“頑強(qiáng)拼搏的馬拉松”精神，舉辦了5千米長(zhǎng)跑比賽，若包含甲、乙在內(nèi)的共6名同學(xué)進(jìn)入了決賽，通過賽后成績(jī)得知，其中沒有名次并列的情況，甲不是第一名，且甲和乙的名次之差的絕對(duì)值為2．（1）若甲的名次為偶數(shù)，則這6名同學(xué)的名次排列情況共有種；（2）甲和乙的名次之和為10的概率為.10．（23-24高二下·天津紅橋·期中）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有種．題型五：代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題1．（24-25高二下·山西呂梁·階段練習(xí)）數(shù)字540的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．16 C．20 D．242．（23-24高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對(duì)數(shù)的值有（

）A．30個(gè) B．42個(gè) C．41個(gè) D．39個(gè)3．已知，且，則所有滿足條件的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．13 C．20 D．244．從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作為底數(shù)，另一個(gè)作為真數(shù)，則可以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（

）A．64 B．56 C．53 D．515．設(shè)集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一個(gè)根x0∈A，就稱方程為合格方程，則合格方程的個(gè)數(shù)為()A．13 B．15C．17 D．196．從1，2，…，2024中任取兩數(shù)，（可以相同），則個(gè)位為8的概率為7．（23-24高二下·上?！て谀┘鲜堑淖蛹?，且中的元素有完全平方數(shù)，則滿足條件的集合共有個(gè)．8．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，，則不同的有序集合對(duì)有種.

題型六：幾何中的計(jì)數(shù)問題1．從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種2．過三棱柱中任意兩個(gè)頂點(diǎn)連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對(duì)數(shù)為（

）A．18 B．30 C．36 D．543．一個(gè)國(guó)際象棋棋盤（由8×8個(gè)方格組成），其中有一個(gè)小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）．“L”形骨牌由三個(gè)相鄰的小方格組成，如圖所示．現(xiàn)要將這個(gè)破損的棋盤剪成數(shù)個(gè)“L”形骨牌，則（）A．至多能剪成19塊“L”形骨牌B．至多能剪成20塊“L”形骨牌C．最多能剪成21塊“L”形骨牌D．前三個(gè)答案都不對(duì)4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個(gè)陰陽魚，陽魚的頭部有個(gè)陰眼，陰魚的頭部有個(gè)陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取出4個(gè)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為．

5．圓周上有個(gè)等分點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為．

題型七：數(shù)字排列問題1．（24-25高二下·山東威?！て谀┯?，1，2，3，4可組成無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．48 B．36 C．24 D．182．（24-25高二下·河北唐山·階段練習(xí)）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（

）A．48個(gè) B．52個(gè) C．60個(gè) D．120個(gè)3．（24-25高三下·湖南·階段練習(xí)）用1，3，5組成數(shù)字可以重復(fù)的自然數(shù)，并按照從小到大的順序排列，依次得到1，3，5，11，13，15，31，33，35，51，53，55，…則3135是這組數(shù)的（

）A．第69項(xiàng) B．第72項(xiàng) C．第74項(xiàng) D．第75項(xiàng)4．（24-25高三上·重慶長(zhǎng)壽·期末）數(shù)字0，1，1，2可以組成不同的三位數(shù)共有（

）A．24個(gè) B．12 C．9個(gè) D．6個(gè)5．（23-24高二下·河南商丘·期中）數(shù)學(xué)中“凸數(shù)”是一個(gè)位數(shù)不低于3的奇位數(shù)，是最中間的數(shù)位上的數(shù)字比兩邊的數(shù)字都大的數(shù)，則沒有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．147 B．112 C．65 D．506．（23-24高二下·江蘇無錫·期中）將數(shù)字“322469”重新排列后得到不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．240 B．192 C．120 D．727．（25-26高三上·浙江·階段練習(xí)）用1，2，3三個(gè)數(shù)字的全體或部分構(gòu)造四位數(shù)，但不允許有兩個(gè)2相鄰出現(xiàn)，則這樣的四位數(shù)有個(gè).（用數(shù)字作答）8．（24-25高二下·福建福州·期末）用0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字，可組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)（用數(shù)字作答）題型八：涂色問題1．（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．1442．（24-25高二下·江蘇南京·期中）用n種不同的顏色為下面的廣告牌圖則，要求在①②③④這四個(gè)區(qū)域中相鄰的區(qū)域（有公共邊界）涂不同的顏色，若涂色共有840種不同的方法，則n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（24-25高二下·海南?？凇て谀┤鐖D，現(xiàn)要用4種不同的顏色對(duì)海口市的4個(gè)區(qū)地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的2個(gè)區(qū)不能用同一種顏色，則不同的著色方法的種數(shù)為（

）A．24 B．48 C．72 D．1204．（24-25高二下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）某社區(qū)廣場(chǎng)有一個(gè)如圖所示的花壇，花壇有四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種植同一種花卉，中間圓圈區(qū)域不種植花卉，則該花壇的花卉種植方案共有（

）A．210種 B．420種 C．180種 D．260種5．（24-25高二下·安徽池州·期中）如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色給池州市4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，且青陽與東至不能使用同一種顏色，共有（

）種不同的著色方法.A．180 B．120 C．60 D．2406．（24-25高二下·天津·階段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．144種 B．120種 C．108種 D．96種7．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某停車場(chǎng)有2行4列共8個(gè)停車位，現(xiàn)有2輛紅色汽車和2輛黑色汽車要停車，則相同顏色的車輛不停在同一行也不停在同一列的概率為.

8．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種．

題型九：其它計(jì)數(shù)模型1．如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6，那么稱a為“好數(shù)”(如：6，24，2013等均為“好數(shù)”)，將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，則n＝（

）A．50 B．51 C．52 D．532．據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌計(jì)數(shù)法則是：“凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望