2/11專題02排列與排列數(shù)題型一：排列的概念及簡單計算題型二：排列數(shù)方程與不等式題型三：全排列問題題型四：元素（位置）有限制的排列問題題型五：相鄰問題的排列問題題型六：不相鄰問題的排列問題題型七：數(shù)字的排列問題題型一：排列的概念及簡單計算1．（24-25高二下·江蘇南京·期中）可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】排列的意義理解【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】根據(jù)排列數(shù)的定義得可以表示為.故選：B.2．（24-25高二下·上海閔行·階段練習）下列選項中，不屬于排列問題的是（

）A．從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法B．有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從3，5，7，9中任選兩個數(shù)做指數(shù)運算，可以得到多少個冪D．從中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個不同的點【答案】B【難度】0.85【知識點】排列的意義理解【分析】排列是要求有順序的，故而只需看每個選項中的是否和順序有關(guān)即可.【詳解】A.選出3名學(xué)生后，哪位同學(xué)參加哪門競賽需再排序，故屬于排列問題，故A錯誤；B.分組無順序，故不屬于排列問題，B正確；C.如和是不同的，即哪個數(shù)作指數(shù)和底數(shù)是不同的，故屬于排列問題，故C錯誤；D.如和是不同的點，故屬于排列問題，故D錯誤.故選：B.3．（23-24高二下·山東菏澤·期中），，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點】排列的意義理解、排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)給定條件利用排列數(shù)公式的意義即可得解.【詳解】因且，表示80個連續(xù)正整數(shù)的乘積，其中最大因數(shù)為，最小因數(shù)為，由排列數(shù)公式的意義得結(jié)果為，所以.故選：A4．從本不同的書中選本送給個人，每人本，不同方法的種數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】排列的意義理解【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義即可求解.【詳解】根據(jù)排列數(shù)的定義，可得從本不同的書中選本送給個人，每人本，不同方法的種數(shù)是.故選：B5．（24-25高二下·福建福州·期末）（多選題）下列問題屬于排列問題的是（

）A．從10人中選取5人組成一個衛(wèi)生隊B．從10人中選取4人參加4×100米接力賽C．從10人中選取5人參加某興趣小組D．從10人中選取5人分別去五個地區(qū)支教【答案】BD【難度】0.94【知識點】排列的意義理解【分析】利用排列的定義，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于A，因為選取人后沒有順序要求，不是排列問題，所以A錯誤，對于B，因為選取人后，4人排列有順序要求，是排列問題，所以B正確，對于C，因為選取人后沒有順序要求，不是排列問題，所以C錯誤，對于D，因為地區(qū)不一樣，選取人后有順序要求，是排列問題，所以D正確，故選：BD.6．（23-24高二上·江西新余·階段練習）下列選項中，屬于排列問題的是（

）A．從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法B．有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從，，，中任選兩個數(shù)做指數(shù)運算，可以得到多少個冪D．從，，，中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個不同的點【答案】ACD【難度】0.85【知識點】排列的意義理解【分析】根據(jù)排列的定義及相關(guān)知識逐項進行判斷.【詳解】對于A項：從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法屬于排列問題，故A項正確；對于B項：有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組，可分為四組，三人一組無先后順序，不屬于排列問題，故B項錯誤；對于C項：從，，，中任取兩個數(shù)進行指數(shù)運算，可以得到多少個冪屬于排列問題，故C項正確；對于D項：從，，，中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個點屬于排列問題，故D項正確.故選：ACD.7．（24-25高二下·山東臨沂·階段練習）一個數(shù)陣有行列，第一行中的個數(shù)互不相同，其余行都由這個數(shù)以不同的順序組成．如果要使任意兩行的順序都不相同，則的最大取值．【答案】【難度】0.85【知識點】全排列問題【分析】根據(jù)排列數(shù)意義計算即可.【詳解】由題中所給的n個數(shù)組成的排序共有，所以任意兩行的順序都不相同時的最大取值為.故答案為：.8．（2025·上?！と＃┗ゲ幌嗤恼麛?shù)滿足，滿足條件的有序?qū)崝?shù)對有組（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】48【難度】0.4【知識點】全排列問題【分析】設(shè)，由已知得，可得或，從而可求解.【詳解】設(shè)，由，可得，因為是互不相同的正整數(shù)，故是互不相同的整數(shù)，因為乘積為6，可得負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個，可得或，則對應(yīng)的也有兩組，故符合條件數(shù)有2組，故符合條件的的所有有序?qū)崝?shù)對是這兩個組的數(shù)的全排列，即.故答案為：.題型二：排列數(shù)方程與不等式1．（24-25高二下·廣東清遠·期末）（

）A．8 B．13 C．63 D．66【答案】D【難度】0.94【知識點】排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計算即可.【詳解】.故選：D.2．（24-25高二下·四川成都·期末）（

）A．0 B．56 C．1 D．42【答案】A【難度】0.85【知識點】排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)排列數(shù)計算公式，化簡求值.【詳解】由題意得，故選：A.3．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知，則（

）A．5 B．3 C．4或6 D．4【答案】D【難度】0.85【知識點】排列數(shù)的計算、排列數(shù)方程和不等式【分析】利用排列數(shù)與組合數(shù)的相關(guān)公式，化簡計算求出即可.【詳解】由，可知，且，化簡得：，解得或，因，故.故選：D.4．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】A【難度】0.85【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，化簡計算，結(jié)合x的范圍，即可得答案.【詳解】由題意得，化簡可得，解得或6，因為，所以且，故.故選：A.5．不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計算即可.【詳解】由，得，解得，所以不等式的解集是.故選：D.6．不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)和計算公式化簡求其解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，又，，所以，所以不等式的解集為，故選：D.7．（24-25高二下·江蘇揚州·期中）（多選題）滿足不等式的x的值可能為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】ABC【難度】0.65【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列不等式，求出未知數(shù)范圍，運用階乘公式計算求解后取整數(shù)即可.【詳解】由可得：，即，由化簡得：，即，解得或，綜上可得，又，故x的值可能為3，4，5，6，7.故選：ABC.8．（多選題）滿足不等式的的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】BC【難度】0.65【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列數(shù)公式化簡后解一元二次不等式即可.【詳解】,,,原不等式可化為，,解得,,即或，故選：BC9．（24-25高三·上?！ふn堂例題），則.【答案】9【難度】0.85【知識點】排列數(shù)的計算、排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)階乘的性質(zhì)即可求解.【詳解】，所以，故，故答案為：910．（24-25高三·上海·隨堂練習）已知，則正整數(shù)．【答案】8【難度】0.94【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，結(jié)合的取值范圍，得出的值．【詳解】，則，解得，又，則，得．故答案為：題型三：全排列問題1．（25-26高三上·福建·階段練習）用可以組成個無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)，則（

）A．360 B．400 C．420 D．450【答案】A【難度】0.94【知識點】排列數(shù)的計算、全排列問題【分析】根據(jù)排列公式計算即可.【詳解】個位數(shù)字可以是，可得，故選：A.2．（25-26高一上·浙江·開學(xué)考試）對于正整數(shù)n，符號…，例如：，，如果，那么（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【難度】0.4【知識點】全排列問題【分析】先確定末尾有4個0，再確定!能被9整除，則各個數(shù)字之和也能被9整除，即可求解．【詳解】由!……，5的倍數(shù)有5，10，15，20共4個，!中，末尾共有4個0，故；!中的因數(shù)有9，!能被9整除，各位數(shù)字之和也能被9整除，應(yīng)為9的倍數(shù)，即，，故選：A.3．（24-25高二下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）某旅行社設(shè)計了4條不同的旅游路線，甲要從中任選2條路線，分別在假期7月和8月出游，則不同的選擇及安排方法有（

）A．24種 B．16種 C．12種 D．6種【答案】C【難度】0.94【知識點】全排列問題【分析】從四個當中選兩個安排在不同日期，意味著有順序需要用排列解決.【詳解】由題意可得不同的選擇及安排方法有種.故選：.4．（24-25高二下·江蘇連云港·階段練習）八音是中國古代對樂器的統(tǒng)稱，包含“金、石、土、革、絲、木、匏páo、竹”八類，每類又包括若干種樂器．現(xiàn)有“土、絲、竹”三類樂器，其中“土”包括“缶fǒu、塤xūn”2種樂器：“絲”包括“琴、瑟、箏、琵琶”4種樂器：“竹”，包括“簫、笛、筍”3種樂器．現(xiàn)從這三類樂器中各選1種樂器分配給甲、乙、丙三位同學(xué)演奏，則不同的分配方案有（

）A．144種 B．72種 C．44種 D．48種【答案】A【難度】0.94【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、全排列問題【分析】利用排列數(shù)及分步計數(shù)原理即可求解..【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①“土”包括“缶(fǒu)、塤(xūn)“2種樂器，在其中選出1種有2種選法，“絲”包括“琴、瑟、箏、琵琶”4種樂器，在其中選出1種有4種選法，“竹”，包括“簫、笛、筍”3種樂器，在其中選出1種有3種選法，測在三類樂器中各選1種樂器，有種選法；②將選出的3種樂器安排給甲乙丙三人，有種情況，則有種不同的分配方法；故選：A.5．（25-26高二上·全國·課前預(yù)習）把n個不同的元素取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為（叫做n的階乘）．規(guī)定：.【答案】全部1【難度】0.94【知識點】排列的意義理解【分析】略【詳解】略6．（23-24高二下·河北保定·階段練習）3名工人各自在4天中選擇1天休息，且每天最多只能1個人休息，則共有種不同的休息方法.【答案】24【難度】0.85【知識點】排列的意義理解、全排列問題【分析】依題意可知相當于將三人在4天中進行排序的問題，計算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知該問題相當于將三人在4天中進行排序，共有種不同的休息方法.故答案為：24.題型四：元素（位置）有限制的排列問題1．（25-26高三上·青海西寧·期中）2025年10月西寧市大通回族土族自治縣首次全面摸清野生動物資源“家底”，標志著生物多樣性保護進入科學(xué)化、精細化新階段．某校野生動物興趣小組在野生動物宣傳周后合影留念，2名指導(dǎo)老師和5名學(xué)生排成一排照相留念，若2位老師相鄰，則不同的排法共有（

）A．5040種 B．1440種 C．720種 D．360種【答案】B【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題【分析】利用捆綁法即可求解.【詳解】先將2位老師看作一個整體與5名學(xué)生全排，有種，2位老師自身排有種，所以2位老師相鄰時不同的排法共有種．故選：B．2．（24-25高二下·貴州遵義·階段練習）某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“雨水”“驚蟄”“春分”“清明”“谷雨”六張知識展板放置在六個并列的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”和“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為（

）A．24 B．48 C．144 D．240【答案】C【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】利用捆綁法和插空法，結(jié)合排列知識進行求解.【詳解】將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁成一個整體，有種放置方法，捆綁后的“立春”和“春分”整體與“雨水”，“谷雨”進行全排列，共有種方法，再將“清明”和“驚蟄”進行插空，4個空選擇2個，共有種方法，綜上，共有種放置方式.故選：C3．（2025高三·全國·專題練習）在圖所示的10塊地中，選出6塊種植這六個不同品種的蔬菜，每塊地種植一種．若必須橫向相鄰種在一起，與在橫向、縱向都不能相鄰種在一起，則不同的種植方案有（

）.A．3120種 B．3360種 C．5160種 D．5520種【答案】C【難度】0.65【知識點】排列組合綜合、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】本題是一個分類和分步原理的綜合應(yīng)用，橫向相鄰種，在這三種蔬菜的排列就是,排在上排與排在下排又是兩種方案，可以選擇的方案:分兩種情況，當與在同一排時，又分兩種情況，根據(jù)計數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】①當與同行，與也同行時，有種種植方案；與不同行時，有種種植方案；②當與不同行時，有種種植方案.故不同的種植方案有（種）.故選：C.4．（24-25高二下·天津·期中）一場小型晚會有3個唱歌節(jié)目和2個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有種排法；前3個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有種排法．【答案】36108【難度】0.85【知識點】全排列問題、元素（位置）有限制的排列問題、其他排列模型【分析】利用特殊元素優(yōu)先選擇，即可求解第一空；利用正難則反，先算前3個節(jié)目中沒有相聲，即相聲在后兩個節(jié)目的排法，即可求解第二空.【詳解】選兩個唱歌節(jié)目排在首尾，剩下的3個節(jié)目在中間排列，排法為；5個節(jié)目全排列減去后兩個都是相聲的排法，共有．故答案為：36；1085．（25-26高三上·云南·期中）甲、乙等5名同學(xué)參加羽毛球比賽，決出特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、優(yōu)秀獎各1名.若甲、乙均沒有獲得特等獎，則獲獎的所有可能情況有（用數(shù)字作答）種.【答案】72【難度】0.85【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】根據(jù)排列的定義，結(jié)合分步乘法原理進行求解即可.【詳解】因為甲、乙均沒有獲得特等獎，所以甲、乙獲獎的可能情況有種，則除甲、乙之外的三個同學(xué)獲獎情況有種，，所以5名同學(xué)獲獎的所有可能情況有種.故答案為：726．（25-26高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）某數(shù)學(xué)興趣小組的6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩名同學(xué)必須彼此相鄰，丙不在隊伍兩頭的安排方式共有（用數(shù)字作答）種.【答案】144【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】利用捆綁法、分步乘法計數(shù)原理和間接法求解.【詳解】6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙相鄰的安排方式有（種），6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙相鄰，丙在隊伍兩頭的安排方式有（種），所以6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩名同學(xué)彼此相鄰，丙不在隊伍兩頭的安排方式共有（種）.故答案為：144.7．（25-26高三上·重慶·階段練習）數(shù)字10在中華傳統(tǒng)文化中有著“十全十美”的美好寓意，現(xiàn)有甲乙兩人擬使用撲克牌來拼湊數(shù)字10，事先準備好紅桃紙牌10張，分別含有數(shù)字2至數(shù)字10，以及一張字母．為了計數(shù)的方便，兩人約定字母代表數(shù)字1，現(xiàn)兩人輪流從紙牌中不放回地隨機抽取一張紙牌，當有一人所抽數(shù)字總和為10時，則結(jié)束游戲，此人獲勝．若甲先抽，則甲取三次紙牌即獲勝的概率為．【答案】【難度】0.4【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、計算古典概型問題的概率【分析】由題抽牌順序依次為甲乙甲乙甲，把它看成一排對應(yīng)共5個數(shù)字，討論的情況、、、依次求出對應(yīng)滿足要求的抽取情況數(shù)，結(jié)合排列數(shù)及古典概型的概率求法求概率.【詳解】由題設(shè)，抽牌順序依次為甲乙甲乙甲，把它看成一排對應(yīng)共5個數(shù)字，由甲取三次紙牌即獲勝，則不可能為10，不可能為10，且，，由題意，的情況有、、、，對于其中任意情況甲抽取數(shù)字的方式均有種，乙在余下的7個數(shù)字中選2個數(shù)字，當由組成，若時有6種，若時，即從中選有種，此時滿足題設(shè)的情況有種，當由組成，若時有6種，若時，即從中選有種，此時滿足題設(shè)的情況有種，當由組成，若時有6種，若時，即從、中選有種，此時滿足題設(shè)的情況有種，當由組成，若時有6種，若時，即從、中選有種，此時滿足題設(shè)的情況有種，綜上，滿足要求的的情況有種，又的所有情況有種，所以甲取三次紙牌即獲勝的概率為.故答案為：8．（25-26高三上·江蘇南京·階段練習）某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師.由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是.【答案】【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】先安排甲、乙兩位老師，再利用間接法安排剩下的3位老師，最后利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】設(shè)學(xué)校為，先把甲、乙兩位老師安排到不同學(xué)校，有種，不妨設(shè)甲在，乙在，只需剩余3人至少有1人去即可，利用間接法計算，有種不同安排方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同安排方法.故答案為：.9．（25-26高三上·陜西西安·開學(xué)考試）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲、乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法種數(shù)為．【答案】192【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.【詳解】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，故不同的排法有種.故答案為：192.10．（25-26高三上·浙江·階段練習）用1，2，3，四個數(shù)組成一個五位數(shù)（每個數(shù)僅用到1次），則能組成個不同的五位數(shù)．【答案】【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、數(shù)字排列問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】先分兩大類，第一類為1和2相鄰，然后再按1和2的左右順序分兩小類，分別由分步乘法計數(shù)得出，第二類為1和2不相鄰，然后再按3在不在數(shù)字1和2中間分兩小類，分別由分步乘法計數(shù)得出，最后再由分類加法計數(shù)得到答案.【詳解】分兩大類進行：第一類：數(shù)字1和2相鄰時，再分兩小類：①數(shù)字1和2相鄰且1在2的左邊，這時相當于兩個和一個3排序，先排兩個只有一種方法如圖，再由這兩個產(chǎn)生3個空中選一個空插入3，所以共有種不同的五位數(shù)；

②數(shù)字1和2相鄰且2在1的左邊，這時1，2，3的排法有2種順序如圖，此時產(chǎn)生3個空，再從這3個空中選一個空插入，所以共有種不同的五位數(shù).或

第二類：數(shù)字1和2不相鄰時，再分兩小類：③數(shù)字3在數(shù)字1和2中間，此時共有兩種順序132和231如圖，再由這3個數(shù)產(chǎn)生4個空選一個空插入，所以共有種不同的五位數(shù)，或

④數(shù)字3不在數(shù)字1和2中間，那么只能在數(shù)字1和2中間，此時共有2種不同的排法如圖，最后3只能排首位或者末位，所以共有種不同的五位數(shù).或

故一共有種不同的五位數(shù).故答案為：.題型五：相鄰問題的排列問題1．（24-25高二下·青海西寧·期末）高三畢業(yè)季甲乙丙丁戊五位同學(xué)在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，則不同的站隊方法共有（

）種.A．6 B．12 C．36 D．72【答案】C【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題【分析】排列問題，捆綁法解決【詳解】先將甲乙丙“捆綁”，然后與丁戊進行全排列，有種排列方式，再將甲乙丙解綁，并只對甲乙丙進行排列，有種排列方式，總數(shù)為種故選：C2．（24-25高二下·湖北省直轄縣級單位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲和乙相鄰，且都不站在兩端，則不同的排列方式共有（

）A．48種 B．72種 C．96種 D．144種【答案】D【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】應(yīng)用捆綁法及特殊位置優(yōu)先處理計算求解【詳解】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲和乙相鄰，則有種排法，且甲和乙都不站在兩端丙、丁、戊、己4名同學(xué)選2人在兩端有種排法，所以不同的排列方式有種排法.故選：D.3．（24-25高二下·廣東茂名·期末）小明在注冊某賬號的密碼時，想在1，2，3，a，b中組成無重復(fù)的五位字符的密碼，要求a與b相鄰，則可以設(shè)置不同的密碼的個數(shù)為（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題【分析】將“a”和“b”看成一個整體，利用捆綁法求解.【詳解】將“a”和“b”看成一個整體，與1，2，3進行全排列，再將“a”和“b”交換順序，所以不同的放置方式種數(shù)為.故選：D.4．（24-25高二下·江蘇·階段練習）現(xiàn)有五人站成一排，則相鄰且不相鄰的排法種數(shù)共有種．【答案】24【難度】0.65【知識點】排列數(shù)的計算、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】根據(jù)排列數(shù)以及分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，將，看成一個整體，，的排列方法有種方法，然后將這個整體與進行全排列，即不同的排列方式有，最后將，插入到三個空中的兩個中，有種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可知排法種數(shù)為，故答案為：24.5．（25-26高一上·北京·期中）某學(xué)校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學(xué)獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學(xué)相鄰，且乙班的2名同學(xué)不相鄰的站法種數(shù)共有種.（用數(shù)字作答）【答案】144【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】甲班的2名同學(xué)相鄰，用“捆綁法”，乙班的2名同學(xué)不相鄰，用“插空法”，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】第一步，先排甲班和丙班的同學(xué)，將甲班的2人捆綁視為一個整體，這個整體與丙班的2人（共3個元素）進行全排列，有種方法；甲班兩人內(nèi)部有種排法，故共有種站法；第二步，將乙班的2人插入前后4個空位，有種站法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的站法共有種.故答案為：1446．（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）某高中學(xué)校經(jīng)過推薦和選拔，挑選6名同學(xué)（4名男生、2名女生）參加奧林匹克生物競賽，并進行合影留念．若女生必須相鄰，則有種不同的排法．（用數(shù)字作答）【答案】240【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題【分析】根據(jù)題意，使用捆綁法，2名女生相鄰，將其排在一起當做一個元素，有2種情況，再將其與其他4名男生全排列，由分步計數(shù)原理乘法公式，計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進行，先將2名女生排在一起，看成一個元素，考慮其順序，有種情況，再將其與其他4名男生全排列，有種情況，則其不同的排列方法為種，故答案為：240．7．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活動需分配4名大學(xué)生和2名老師（甲、乙）排成一列合影．要求大學(xué)生與必須相鄰，兩名老師不能相鄰，則滿足條件的排列方式共有種．【答案】144【難度】0.85【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】先對進行捆綁，再與全排，最后用插空法求解即可.【詳解】由題知，先把學(xué)生與進去捆綁有種，再與進行全排，有種，最后把2名老師插入4個空中，有種，所以共有.故答案為：144.題型六：不相鄰問題的排列問題1．（24-25高二下·陜西咸陽·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，乙和丙不相鄰．則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種【答案】C【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題【分析】先考慮甲的站位，可選中間3個位置，不考慮乙和丙位置相鄰不相鄰，去除其中乙丙相鄰情況，即可求得答案.【詳解】先考慮甲的站位，可選中間3個位置，不考慮乙和丙位置相鄰不相鄰，此時共有種排列方式；然后考慮其中乙和丙位置相鄰的情況，即將乙和丙看作一個元素，和丁、戊全排列，在這3個元素之間形成的兩個位置上選一個將甲插入，此時共有種排列方式；故符合題意的不同排列方式共有（種），故選：C2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出二十四節(jié)氣宣傳櫥窗，其中“雨水”，“驚蟄”，“谷雨”，“芒種”，“白露”，“寒露”6塊知識展板放置在排成一排的六個文化櫥窗里，要求“雨水”和“谷雨”兩塊展板不相鄰，且“白露”與“寒露”兩塊展板不相鄰，則不同放置方式的種數(shù)為（

）A．144 B．240 C．336 D．456【答案】C【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】根據(jù)題意，先讓“雨水”和“谷雨”不相鄰，再讓“雨水和“谷雨”不相鄰且“白露和“寒露”相鄰，分別求得不同的放置方式，結(jié)合間接法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，第一步，讓“雨水”和“谷雨”不相鄰，不同放置方式種數(shù)為；第二步，讓“雨水和“谷雨”不相鄰且“白露和“寒露”相鄰，不同放置方式種數(shù)為；所以不同放置方式種數(shù)為.故選：C.3．（24-25高二下·四川資陽·期末）某學(xué)生準備將兩顆不同口味的山楂、兩顆不同口味的葡萄、一顆圣女果和一顆草莓串起來制作一串冰糖葫蘆，因口味的需求，山楂不相鄰，則不同的串法共有（

）A．240種 B．360種 C．480種 D．512種【答案】C【難度】0.85【知識點】不相鄰排列問題【分析】根據(jù)插空法計算即可.【詳解】由題可知：.故選：C4．（24-25高二下·云南曲靖·階段練習）為慶祝七一建黨節(jié)，某黨支部舉辦了建黨節(jié)演出活動，該活動要安排3個歌舞類節(jié)目、2個情景類節(jié)目和2個朗誦類節(jié)目的演出順序.若朗誦類節(jié)目不在第一個出場，情景類節(jié)目演出順序不相鄰，則不同的演出順序的種數(shù)為（

）A．1560 B．2640 C．1360 D．2340【答案】B【難度】0.65【知識點】分類加法計數(shù)原理、元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題【分析】分情景類節(jié)目第一個出場、舞類節(jié)目第一個出場兩種情況利用插空法可得答案.【詳解】若情景類節(jié)目第一個出場，有種，再安排3個歌舞類節(jié)目和2個朗誦類節(jié)目的演出順序，有種，最后再利用插空法安排一個情景類節(jié)目，有種，則共有種演出順序.若歌舞類節(jié)目第一個出場，有種，再安排余下的2個歌舞類節(jié)目和2個朗誦類節(jié)目的演出順序，有種，最后再利用插空法安排2個情景類節(jié)目，有種，則共有種演出順序.故不同的演出順序的種數(shù)為.故選：B.5．（24-25高二下·江蘇無錫·階段練習）某班星期一上午安排5節(jié)課，若數(shù)學(xué)2節(jié)，語文、物理、化學(xué)各1節(jié)，且物理、化學(xué)不相鄰，2節(jié)數(shù)學(xué)相鄰，則星期一上午不同課程安排種數(shù).【答案】【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】先安排數(shù)學(xué)與語文，再插空安排物理化學(xué)，最后根據(jù)乘法原理求結(jié)果.【詳解】先安排數(shù)學(xué)與語文有兩種排法，產(chǎn)生三個空位，從中選兩個安排物理化學(xué)，有種排法，所以星期一上午不同課程安排種數(shù)為.故答案為：6．（2025·貴州·模擬預(yù)測）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．某校國學(xué)社團開展“六藝”講座活動，每“藝”安排一次講座，共開展六次．講座次序要求“射”和“御”必須相鄰，“禮”和“書”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有種．【答案】144【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】由題意，將“射”和“御”捆綁看作一個元素與“樂”和“數(shù)”進行全排列，再將“禮”和“書”排到所得排列的空隙中，最后將“射”和“御”交換位置，根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】先將“射”和“御”“捆綁”視為一個元素，再與“樂”和“數(shù)”一起排列，有種不同的次序，再將“禮”和“書”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中間不能排），有種不同的次序，最后將“射”和“御”交換位置，有種不同排序，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知“六藝”講座不同的次序共有種．故答案為：.7．（2025高三·全國·專題練習）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列是1，1，2，3，5，8，…，這個數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和．小李以前6項數(shù)字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)有種．【答案】144【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題【分析】插空法，先排2，3，5，8四個數(shù)，再根據(jù)已知條件，分兩類情況將剩下的兩個1插空即可解答.【詳解】先排數(shù)字2，3，5，8，有種排法，4個數(shù)字形成5個空當，再考慮排兩個1，有兩類情況：第一類：若兩個1相鄰，依題意應(yīng)從可選擇的3個空當中選一個放入兩個1，有3種排法；第二類：若兩個1不相鄰，則應(yīng)從可選擇的3個空當中選兩個分別放入數(shù)字1，有3種排法．由分步乘法計數(shù)原理，不同的密碼個數(shù)有種，故答案為：144.8．（24-25高二下·四川綿陽·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求兩名女生不能相鄰，同時男生甲不能站在最左邊，女生乙不能站在最中間，滿足條件的站法種數(shù)為．【答案】50【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題【分析】先利用插空法求得兩名女生不能相鄰的站法；然后分別求出兩名女生不能相鄰且男生甲站在最左邊、兩名女生不能相鄰且女生乙站在最中間、兩名女生不能相鄰，同時男生甲站在最左邊，女生乙站在最中間三種情況的站法，根據(jù)排除法求解即可.【詳解】先求出兩名女生不能相鄰的站法有種；若兩名女生不能相鄰且男生甲站在最左邊，則滿足題意的站法有種，若兩名女生不能相鄰且女生乙站在最中間，則滿足題意的站法有種，若兩名女生不能相鄰，同時男生甲站在最左邊，女生乙站在最中間，則滿足題意的站法有種，所以滿足條件的站法種數(shù)為種.故答案為：509．（2025高二·全國·專題練習）有2名女生和3名男生共5名學(xué)生站成一排照相，則女生甲不在兩端、3名男生中有且只有2名相鄰的站法有種.【答案】48【難度】0.85【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理,對“3名男生中有且只有2名相鄰”利用捆綁法、插空法即可求解.【詳解】先從3名男生中選擇2名捆綁，且他們的位置與順序相關(guān)，共有種可能，記2名女生為甲和乙，則她們的站法有2種：若甲在左、乙在右，因為女生甲不在兩端，所以男生捆綁后作為兩個個體插空，必有一個在甲的左邊，因此有種可能；若甲在右、乙在左，同樣也有種可能；由分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可知，共有種站法.故答案為：48.題型七：數(shù)字的排列問題1．（25-26高三上·福建·階段練習）用可以組成個無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)，則（

）A．360 B．400 C．420 D．450【答案】A【難度】0.94【知識點】排列數(shù)的計算、全排列問題【分析】根據(jù)排列公式計算即可.【詳解】個位數(shù)字可以是，可得，故選：A.2．（2025高三·全國·專題練習）將1，2，3，4，5，6，7這7個數(shù)字排成一排，則相鄰數(shù)字互質(zhì)的排法有（

）．A．576種 B．720種 C．864種 D．900種【答案】C【難度】0.65【知識點】數(shù)字排列問題、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】先排列1，3，5，7，再分類排6結(jié)合排列數(shù)公式列式計算求解.【詳解】先排1，3，5，7，有種排法；再排6，根據(jù)題意，6不能排在3的兩側(cè)，則6有種排法；最后排2和4，這兩個數(shù)不能排在6的兩側(cè)，則有種排法.故相鄰數(shù)字互質(zhì)的排法共有（種）．故選：C.3．（24-25高二下·吉林·期末）用、、、可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點】數(shù)字排列問題、其他排列模型【分析】利用排列計數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】用、、、可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是.故選：D.4．（24-25高二下·廣東廣州·期末）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【難度】0.94【知識點】元素（位置）有限制的排列問題【分析】利用特殊元素優(yōu)先法，結(jié)合計數(shù)原理以及排列數(shù)，即可求解.【詳解】若五位數(shù)的個位為零，其余數(shù)位隨意安排，這樣的數(shù)有個，若五位數(shù)的個位不為零，而個位僅有2，4兩種選擇，萬位有3種選擇，這樣的數(shù)有，所以五位的偶數(shù)有.故選：C.5．（24-25高二下·山東濟南·期末）用1，2，3，4這四個數(shù)能夠組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．9 B．12 C．16 D．24【答案】D【難度】0.94【知識點】排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)題意，選出3個數(shù)字，進行全排列，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可從1，2，3，4這四個數(shù)中，選出3個數(shù)字，進行全排列，可得組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為.故選：D.6．（24-25高二下·湖北咸寧·期末）從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任選3個數(shù)字，可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．60 B．84 C．100 D．120【答案】C【難度】0.85【知識點】數(shù)字排列問題、排列數(shù)的計算【分析】利用間接法，將首位為的情況去掉即可求解.【詳解】從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任選3個數(shù)字，共有種選法，若首位為，從剩下的五個數(shù)字中任選個數(shù)字，共有種選法，所以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為.故選：7．（24-25高二下·廣東中山·階段練習）從數(shù)字0，1，2，3，4，5中任取四個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，其個數(shù)為【答案】156【難度】0.65【知識點】數(shù)字排列問題、排列數(shù)的計算【分析】考慮個位數(shù)字是否為0，利用分類加法計數(shù)原理即可求得答案.【詳解】若個位數(shù)字為0，則其余數(shù)位上的數(shù)字可從其余5個數(shù)字里任選3個排列，此時符合題意的偶數(shù)有（個）；若個位數(shù)字為2或4，首位不能為0，則符合題意的偶數(shù)有（個）；故符合題意的四位偶數(shù)共有（個），故答案為：156.8．（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）從1，2，3，…，19，20中選三個不同的數(shù)a，b，c，且滿足的數(shù)組（a，b，c）的個數(shù)為．【答案】180【難度】0.65【知識點】分類加法計數(shù)原理、排列數(shù)的計算、元素（位置）有限制的排列問題【分析】由，知，必須同奇或同偶，結(jié)合排列問題和分類加法計數(shù)原理計算即可求解.【詳解】由，知，必須同奇或同偶，若，都為奇數(shù)，則有種選法；若，都為偶數(shù)，則有種選法；由分類加法計數(shù)原理知，滿足題意的數(shù)組共有種.故答案為：.9．（2025高三·全國·專題練習）由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7組成無重復(fù)數(shù)字的七位整數(shù)，從中任取一個，所取的數(shù)滿足首位為1，且任意相鄰的兩位數(shù)字之差的絕對值不大于2，則取到此類數(shù)字的概率為.【答案】【難度】0.85【知識點】數(shù)字排列問題、計算古典概型問題的概率【分析】根據(jù)題意，畫出樹狀圖，得到滿足條件的取法數(shù)，再用排列數(shù)表示總的取法數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式計算即可.【詳解】由圖所示的樹狀圖可知，滿足條件的共有14種，全部取法共有種，

因此所求的概率為.故答案為：.10．（24-25高二下·上?！て谀┰谟?，2，3，4這四個數(shù)組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，偶數(shù)的概率為．【答案】/【難度】0.85【知識點】分類加法計數(shù)原理、元素（位置）有限制的排列問題、計算古典概型問題的概率【分析】利用排列組合先確定無重復(fù)的三位數(shù)，再分別計算個位是2和4時的情況，由古典概率求解可得.【詳解】首先無重復(fù)的三位數(shù)共有個，當個位是2時，有；同理當個位是4時，也有，所以偶數(shù)的概率為.故答案為：題型八：綜合問題1．（24-25高二下·廣東江門·期中）中國古代十進制的算籌計數(shù)法在數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子.如圖，是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.若規(guī)定137可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以表示的不含數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．10 B．20 C．36 D．38【答案】D【難度】0.65【知識點】分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、其他排列模型【分析】依題意根算籌可以分為，，三種情況，再分別確定相應(yīng)的三位數(shù)的個數(shù)，即可得解.【詳解】依題意，一根算籌只能表示；兩根算籌可以表示、，三根算籌可以表示、，四根算籌可以表示、；依題意根算籌可以分為，，三種情況：若為，則有個三位數(shù)；若為，則有個三位數(shù)；若為，則有個三位數(shù)；綜上可得一共有個三位數(shù).故選：D2．（24-25高二下·湖北·期中）初等數(shù)論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識點】其他排列模型【分析】這道題考查的是排列的應(yīng)用，首先找出小于等于的自然數(shù)的平方有哪些，再列出可由哪些平方數(shù)（不超過四個）相加而成，最后算出這些數(shù)的排列數(shù)即可.【詳解】小于等于的自然數(shù)的平方有：，而，由構(gòu)成的有序數(shù)組的個數(shù)為：個；由構(gòu)成的有序數(shù)組的個數(shù)為：個；由構(gòu)成的有序數(shù)組的個數(shù)為：個；所以一共有：個.故選：C.【點睛】方法點睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，局部元素相同法求排列數(shù)：在對元素進行排列時，出現(xiàn)部分元素相同時，則要除以相同元素數(shù)量的全排列，以消除順序，有多少就除多少；思路點睛：解題時先求出可由哪些平方數(shù)（不超過四個）相加而成，再應(yīng)用排列的相關(guān)知識求排列數(shù)，最后相加即為最后的答案；關(guān)鍵點點睛：這道題考查排列及排列數(shù)問題，列出三種情況后能否求出其排列數(shù)是關(guān)鍵，故應(yīng)對局部元素相同的排列數(shù)的求法加以鞏固.3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）春節(jié)是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（

）A．240種 B．188種 C．144種 D．120種【答案】D【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題、其他排列模型【分析】先將“相聲”與“小品”排在一起再與其它4個節(jié)目排序，最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣,即可得出答案.【詳解】先將“相聲”與“小品”排在一起，有種排法，再與其它4個節(jié)目排序，有種排法，最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣，所以有種．故選：D.4．（23-24高二下·安徽滁州·階段練習）五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮?商?角?徵?羽，把這五個音階排成一列，形成一個音序，若徵、羽兩音階相鄰且在宮音階之后，則可排成不同音序的種數(shù)為（

）A．128 B．64 C．48 D．24【答案】D【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題、其他排列模型【分析】相鄰問題用捆綁法