2/17專題3.2排列與排列數(shù)

教學(xué)目標1.理解排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列（數(shù)學(xué)抽象）。2.會用排列數(shù)公式進行求值或證明。教學(xué)重難點1.重點（1）排列數(shù)的概念；（2）排列數(shù)方程與排列數(shù)不等式；（3）全排列問題。2.難點（1）有限制的排列問題；（2）相鄰與不相鄰的排列問題。知識點01排列的概念從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素（這里的被取元素各不相同）按照排成一列，叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同知識點02排列的定義從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從SKIPIF1<0個元素中取出SKIPIF1<0元素的排列數(shù)，用符號SKIPIF1<0表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號SKIPIF1<0只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列知識點03排列數(shù)公式及其推導(dǎo)由SKIPIF1<0的意義：假定有排好順序的2個空位，從SKIPIF1<0個元素SKIPIF1<0中去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)SKIPIF1<0．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有SKIPIF1<0種填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3個空位來考慮，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0個空位來考慮SKIPIF1<0，排列數(shù)公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是SKIPIF1<0，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0個因數(shù)；（2）全排列：當SKIPIF1<0時即SKIPIF1<0個不同元素的一個排列全排列數(shù)：SKIPIF1<0（叫做n的階乘） 另外，我們規(guī)定0!=.知識點04排列的一些常用結(jié)論1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．

題型01排列的概念及簡單計算【典例1】．（24-25高二上·山東東營·階段練習(xí)）（

）A． B．3 C． D．【變式1】．（24-25高二下·山西·期末）（用數(shù)字作答）.【變式2】．（24-25高二下·吉林·期中）計算.【變式3】．（多選題）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．題型02排列數(shù)方程與不等式【典例2】．（24-25高二下·吉林·期末）若，則.【變式1】．（24-25高三·上?！ふn堂例題）若，則.【變式2】．不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式3】．（24-25高二下·福建莆田·階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B． C． D．題型03全排列問題【典例3】．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7這4個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是（

）A．12 B．24 C．36 D．48【變式1】．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）一個數(shù)陣有行4列，第一行中的4個數(shù)互不相同，其余行都由這4個數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，那么的值最大可取（

）A．6 B．12 C．24 D．48【變式2】．（24-25高二下·河南·階段練習(xí)）現(xiàn)將一個7、兩個3、三個5排成一排，不同的排列方法有種.【變式3】．（24-25高二下·浙江紹興·期中）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑假開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有種排法.題型04元素（位置）有限制的排列問題【典例4】．（25-26高二上·全國·單元測試）學(xué)校舉行德育知識競賽，甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)晉級到了決賽環(huán)節(jié)，通過筆試決出了第1名到第5名．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對他們說：“決賽5人的成績各不相同，但你們倆的名次是相鄰的”，丙、丁兩名參賽者也去詢問成績，回答者對丙說：“很遺憾，你和丁都未拿到冠軍”，又對丁說：“你當然不會是最差的"．從這個回答分析，5人的名次排列情況共有種．【變式1】．（2025高二·全國·專題練習(xí)）9人排成3行，每行3人，其中甲、乙、丙3人要排在同一行，有種不同的排法.（用數(shù)字作答）【變式2】．（2025·遼寧大連·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生依次參加接力跑的接力比賽，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，則可能的安排排列順序有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【變式3】．（25-26高二上·全國·單元測試）在一次大型運動會的火炬?zhèn)鬟f中．某路段的傳遞活動由共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能從中產(chǎn)生，最后一棒由兩名火炬手共同完成，且兩名火炬手不能共同完成最后一棒，則不同的傳遞方案種數(shù)為（

）A．60 B．54 C．120 D．114題型05相鄰問題的排列問題【典例5】．（24-25高一下·廣東廣州·期中）在華南師大附中社團開放日的展示活動中，辯論社，國學(xué)社，攝影社，魔方社，天文社5個社團的攤位排成一列，其中辯論社與國學(xué)社必須相鄰，那么不同的排法有（

）A．60種 B．48種 C．36種 D．24種【變式1】．（24-25高二下·重慶·期中）2025年春節(jié)檔電影《哪吒之魔童鬧?！烦蔀橹袊笆菲狈孔罡叩碾娪埃嘲嗉?、乙、丙、丁、戊這5位同學(xué)相約一起去電影院觀看，要求5人坐在同一排相鄰的5個位置，甲、乙、丙這三人相鄰，且丙不與丁相鄰，則不同的座位排列方法有（

）種.A．32 B．28 C．24 D．20【變式2】．（24-25高二下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）某天文興趣小組開展了月球知識宣傳活動，活動結(jié)束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）【變式3】．（24-25高二下·湖南衡陽·期中）中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“驚蟄”“清明”“立夏”“芒種”“小暑”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有種（要求：用數(shù)字填空，用式子填空不給分）

題型06不相鄰問題的排列問題【典例6】．（24-25高二下·北京·期中）現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊、必修第二冊、選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊、選擇性必修第三冊教材各1本．若把這5本教材從左到右放置書架的某一層內(nèi)（該層無其他書籍），如果必修第一冊與必修第二冊相鄰，則不同的放法共有種；如果必修第一冊與必修第二冊相鄰且必修第一冊與選擇性必修第三冊不相鄰，則不同的放法共有種．（用數(shù)字作答）【變式1】．（24-25高二下·天津濱海新·期中）中國古代儒家提出的“六藝”指：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團預(yù)在周六開展“六藝”課程講座活動，周六這天準備連排六節(jié)課，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“禮”與“樂”不能相鄰，“射”和“御”要相鄰，則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有種.【變式2】．（24-25高二下·貴州貴陽·期中）《哪吒之魔童鬧?！菲狈恳宦凤j升，現(xiàn)暫列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要為哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹這6位角色制作宣傳海報，要求哪吒和敖丙不能相鄰出現(xiàn)在海報上，那么一共有（

）種不同的排版方式．A．120 B．240 C．480 D．720【變式3】．（24-25高二·全國·課堂例題）某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“雨水”“驚蟄”“春分”“清明”“谷雨”六塊知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“雨水”與“谷雨”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為（

）（

）A．24 B．48 C．144 D．240題型07數(shù)字的排列問題【典例7】．從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（

）A． B． C． D．

【變式1】．用數(shù)字、、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列，則第85個數(shù)字為（

）A．2300 B．2301 C．2302 D．2303【變式2】．從1、2、3、4中任取兩個不同數(shù)字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，則組成不同點的個數(shù)為．【變式3】．從集合中分別取2個不同的數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到個不同的對數(shù)值．

一、選擇題1．（25-26高二上·全國·單元測試）可表示為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·河北衡水·期中）（多選題）滿足不等式的的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．123．不等式的解集為（）A． B． C． D．4．（24-25高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動，高一、高二、高三年級分別有2名、3名、3名同學(xué)獲一等獎，若將上述獲一等獎的8名同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（

）A．432種 B．420種 C．176種 D．7種5．（24-25高二下·江西·期末）小華一家4人（小華，姐姐，爸爸，媽媽）計劃去南京自駕游，車子前排有駕駛座和副駕駛座，后排有3個座位．只有爸爸和媽媽會開車，且小華未成年只能坐在后排，則不同的乘坐方式一共有（

）A．18種 B．27種 C．36種 D．54種6．（24-25高二下·黑龍江雞西·階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，其中甲、乙必須相鄰，丁不能站在兩端，則不同站法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．1207．（24-25高二下·山西·階段練習(xí)）一家物流公司計劃在“長三角”地區(qū)部署5G無人配送車，需從上海、南京、杭州、合肥4個城市中各選出2個核心倉儲點作為中轉(zhuǎn)站．所有配送車必須從上海指定的倉儲點出發(fā)，最終返回上海的倉儲點；每輛配送車在另外3個城市中各選1個倉儲點作為中轉(zhuǎn)站，但中轉(zhuǎn)時南京和杭州的倉儲點的順序不能相鄰，則符合條件的倉儲點的排列種數(shù)為（

）A．24 B．16 C．12 D．88．在如圖所示的表格中填寫，，三個數(shù)字，要求每一行、每一列均有這個數(shù)字，則不同的填法種數(shù)為（

）．A． B． C． D．9．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組為了了解我國古代的數(shù)學(xué)成就，先后去圖書館借閱了5本古代數(shù)學(xué)名著：《周髀算經(jīng)》?《九章算術(shù)》?《海島算經(jīng)》?《孫子算經(jīng)》和《張丘建算經(jīng)》，該小組每次隨機借閱一本名著，且歸還后再隨機借閱下一本（已借閱的不會重復(fù)借閱）．則最先借閱的兩本是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，且最后一本借閱的是《孫子算經(jīng)》的概率為（

）A． B． C． D．10．（25-26高三上·山東聊城·開學(xué)考試）如圖，四個開關(guān)控制著五盞燈，其中開關(guān)控制著1，2，3號燈，開關(guān)控制著2，3，4號燈，開關(guān)控制著3，4，5號燈，開關(guān)控制著1，4，5號燈.開始時，五盞燈均是亮的，現(xiàn)先后按動這四個開關(guān)中兩個不同的開關(guān)，則其中2號燈亮的概率為（）A． B． C． D．11．（2025高三·全國·專題練習(xí)）為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事，展望鄉(xiāng)村振興圖景，演出民眾身邊日常，唱出百姓幸福心聲，某地組織了“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目表演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節(jié)目，若要求歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出，則節(jié)目的排列順序種數(shù)為（

）A．120 B．360 C．180 D．9012．（24-25高二下·四川遂寧·期中）（多選題）下列說法正確的是（

）A．可表示為B．若把英文“hello”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有59種C．若3個男生與2個女生排成一排，男、女生都相間的排列種數(shù)12D．不等式的解集為13．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）（多選題）下列計算正確的是（

）A．