6/15解答題數(shù)列及其綜合應(yīng)用數(shù)列及其綜合應(yīng)用是高考必考內(nèi)容。近五年高頻考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減等求和方法，命題兼顧基礎(chǔ)與核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模），且近年情景更新穎、難度有所提升，常涉及實(shí)際應(yīng)用與跨知識(shí)綜合。未來(lái)考向仍以等差、等比數(shù)列核心知識(shí)為基礎(chǔ)，重點(diǎn)關(guān)注數(shù)列通項(xiàng)與求和，同時(shí)強(qiáng)化與函數(shù)、不等式、概率等的交匯，以及新定義、實(shí)際情境類創(chuàng)新題型，進(jìn)一步突出對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。題型1：分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和（25-26高三上·北京·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.1、適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．2、常見類型：（1）分組轉(zhuǎn)化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列：（2）奇偶并項(xiàng)求和：通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列．1．（25-26高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列和滿足：，，且(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，試求的前n項(xiàng)和．題型2：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和（25-26高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求前項(xiàng)和.1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）1．（25-26高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上且(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記，求2．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．題型3：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和（25-26高三上·湖北·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：．(1)證明是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式．1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．1．（25-26高三上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．2．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足．(1)求出(2)求出數(shù)列的前項(xiàng)和題型4：數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用（25-26高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)為，且.正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，為其前項(xiàng)和，且.(1)求，；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.數(shù)列與不等式是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，其綜合的角度主要包括兩個(gè)方面：一是不等式恒成立或能成立條件下，求參數(shù)的取值范圍：此類問(wèn)題常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為研究最值問(wèn)題來(lái)求解；二是不等式的證明：常用方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等．1．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且依次成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于任意，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（24-25高三下·四川江油·三診）已知數(shù)列滿足，（），記．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(ⅰ)求．(ⅱ)若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型5：數(shù)列中的探究性問(wèn)題（25-26高三上·廣東·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列?若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．?dāng)?shù)列中的探究性問(wèn)題實(shí)際上就是不定方程解的問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題的求解，通常有以下三種常用的方法：①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來(lái)加以判斷是否存在；②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行求解；③通過(guò)求出變量的取值范圍，從而對(duì)范圍內(nèi)的整數(shù)值進(jìn)行試根的方法來(lái)加以求解．對(duì)于研究不定方程的解的問(wèn)題，也可以運(yùn)用反證法，反證法證明命題的基本步驟：=1\*GB3①反設(shè)：設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立．作反設(shè)時(shí)要注意把結(jié)論的所有反面都要寫出來(lái)，不要有遺漏．②歸謬：從反設(shè)出發(fā)，通過(guò)正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論．③存真：否定反設(shè)，從而得出原命題結(jié)論成立．1．（2025·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且對(duì)任意的正整數(shù)都有成立，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出滿足要求的和的所有值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（25-26高三上·北京·階段練習(xí)）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足；數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使得成等差數(shù)列.（i）求；（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或數(shù)列中的項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的的值（直接寫出結(jié)論即可）.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型6：數(shù)列的新定義問(wèn)題（25-26高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）對(duì)于數(shù)列，記，稱數(shù)列為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列．(1)已知，證明：的差分?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列；(2)已知的差分?jǐn)?shù)列為，求的通項(xiàng)公式．1、數(shù)列新定義問(wèn)題的特點(diǎn)：通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新的模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情境，在閱讀、理解題目含義的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，或達(dá)到靈活解題的目的．2、數(shù)列新定義問(wèn)題的解題思路：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按要求逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以解決．1．（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是“方特?cái)?shù)列”.(1)證明：數(shù)列是“方特?cái)?shù)列”；(2)若數(shù)列是“方特?cái)?shù)列”，求的取值范圍；(3)證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是“方特?cái)?shù)列”.2．（25-26高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．(3)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)給定正整數(shù)m，設(shè)函數(shù)，求．4．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．（?。┣笞C：當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．5．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．6．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)，，有，（i）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．7．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.1．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足(1)求證：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和，求滿足的最小正整數(shù)．2．（25-26高三上·湖南·階段練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（25-26高三上·廣東·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（25-26高三上·遼寧·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若．①求的通項(xiàng)公式；②求的前項(xiàng)和．5．（25-26高三上·山東濰坊·開學(xué)考）已知數(shù)列為非零數(shù)列，設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)之積，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，，對(duì)于均有恒成立，求滿足條件的正整數(shù)k．6．（25-26高三上·湖北·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.7．（25-26高三上·天津武清·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足公差，，.等比