1/1易錯易混02不等式與基本不等式的應(yīng)用目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u01錯點掃描?易錯建模夯基石 102易錯歸納?查漏補缺避陷阱 3易錯歸納01忽略不等式成立的前提條件（★★★） 3易錯歸納02多次使用同向相加性質(zhì)，擴(kuò)大了取值范圍（★★★★） 4易錯歸納03分式不等式（★★★★） 5易錯歸納04一元二次不等式不等式恒成立、有解問題（★★★★★） 6易錯歸納05含參一元二次不等式分類討論不完整（★★★★★） 7易錯歸納06基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★） 803實戰(zhàn)檢測?易錯通關(guān)驗成效 91、不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價于）傳遞性（推出）可加性（等價于可乘性注意的符號（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)2、二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個不相等的實數(shù)根，()有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根()的解集()的解集3、一元二次不等式的解法（1）先看二次項系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；（2）寫出相應(yīng)的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運用十字相乘法）；②時，求根；③時，方程無解（3）根據(jù)不等式，寫出解集.4、解分式不等式（1）定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。（2）分式不等式的解法①移項化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤5、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）（1）基本不等式:,,（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”號）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．如果，有（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”號）特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，“”號成立.（2）基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”號）易錯歸納01忽略不等式成立的前提條件【易錯陷阱·避錯攻略】1、在運用不等式性質(zhì)之前，一定要準(zhǔn)確把握前提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件．2、不等式性質(zhì)包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ)，后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ)．1．（2025·上海長寧·二模）已知非零實數(shù)，則下列命題中成立的是（

）．A． B． C． D．2．（23-24高三上·四川南充·月考）若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·江西·期中）已知為實數(shù)，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（24-25高三下·海南·月考）（多選題）已知，則下列各選項正確的是（

）A． B．C． D．5．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）（多選題）已知，則（

）A． B．C． D．易錯歸納02多次使用同向相加性質(zhì)，擴(kuò)大了取值范圍【易錯陷阱·避錯攻略】1、在多次運用不等式性質(zhì)時，其取等的條件可能不同，造成多次累積誤差，結(jié)果擴(kuò)大了取值范圍．為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用不等式性質(zhì)時取等的條件是否相同；②盡量多使用等式．2、解決思路一般先用整體法建立所求代數(shù)式與已知代數(shù)式的等量關(guān)系，再通過不等式的性質(zhì)求得.3、解決步驟第一步：把所求代數(shù)式用條件的代數(shù)式，表示出來，即．第二步：列方程組，求出m，n的值.第三步：分別求出和的取值范圍．第四步：求出的取值范圍．1．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知，，則的取值范圍（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．已知實數(shù)x，y滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（多選題）已知且，則（

）A． B．C． D．5．（多選題）已知實數(shù)滿足，，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的取值范圍是D．的取值范圍是易錯歸納03分式不等式【易錯陷阱·避錯攻略】1、求解不等式時，一定要注意化簡的等價性，如去分母時要保證分母不為0、平方時范圍不能變大、兩邊同乘（除）一個因式時要注意判斷因式的符號等.2、應(yīng)用同號相乘（除）得正，異號同號相乘（除）得負(fù)，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式．在此過程中，變形的等價性尤為重要．1．（2025·新疆·模擬預(yù)測）若集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2025·山東聊城·二模）已知集合，則（

）A． B． C． D．3．若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三下·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·海南·月考）設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．易錯歸納04一元二次不等式不等式恒成立、有解問題【易錯陷阱·避錯攻略】1、解一元二次不等式的步驟：第一步：將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：解相應(yīng)的一元二次方程；第三步：根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；第四步：寫出不等式的解集．容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應(yīng)錯標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出錯；③結(jié)果未按要求寫成集合．2、求解二次型不等式恒成立問題時要注意兩個關(guān)鍵點：一看二次項的系數(shù)；二看不等式恒成立（有解）的區(qū)間.1．“不等式在上恒成立”的取值范圍是（

）A． B．C． D．或2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·四川成都·月考）已知關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·河南許昌·期中），恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B．3 C． D．65．已知命題：，；命題：，．若為假命題，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（24-25高三上·黑龍江綏化·期中）命題“”為假命題，則實數(shù)的范圍為.7．（24-25高三上·北京海淀·月考）若命題“對任意為假命題的a的取值范圍是易錯歸納05含參一元二次不等式分類討論不完整【易錯陷阱·避錯攻略】解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟注：求解方程的根時可優(yōu)先考慮用因式分解的方法求解，不能因式分解時再求判別式Δ，用求根公式計算．1．解下列關(guān)于的不等式．2．解關(guān)于的不等式：．3．（23-24高三上·福建莆田·月考）解關(guān)于的不等式：.4．（24-25高三上·安徽銅陵·月考）設(shè)．(1)若，求的最小值；(2)解關(guān)于的不等式.5．若函數(shù)，(1)若不等式的解集為，求的值；(2)當(dāng)時，求的解集.6．解關(guān)于x的不等式.易錯歸納06基本不等式忽略一正二定三相等【易錯陷阱·避錯攻略】1、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點：①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍.注：形如的函數(shù)求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．2、通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．3、利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等.1．（2025·山東菏澤·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高三下·遼寧本溪·開學(xué)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．3．若，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．4．（多選題）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是 B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)的最小值是6 D．若，則的最小值是81．（24-25高三上·甘肅臨夏·期末）若集合，則（

）A． B． C． D．2．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）若集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·河北·三模）已知，那么以下關(guān)于式子的分析判斷正確的選項是（

）（1）；（2）上式當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立；（3）所以當(dāng)時，取得最小值A(chǔ)．以上全正確 B．（1）錯 C．（2）錯 D．（3）錯4．（23-24高三上·天津濱海新·期末）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24高三上·江蘇·月考）下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時，的最小值為2 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，的最小值為2 D．當(dāng)時，7．已知命題：，；：，.均為真命題，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（24-25高三上·江蘇南通·月考）若變量x，y滿足約束條件，，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．若滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．10．（23-24高三上·山東青島·期末）若命題“，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．11．（24-25高三下·海南省直轄縣級單位·月考）（多選題）下列命題中，正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．則12．（24-25高三上·江西南昌·月考）（多選題）設(shè)，則下列結(jié)論正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則13．（多選題）下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)且時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，的最小值為 D．當(dāng)時，無最小值14．（23-24高三上·河南洛陽·月考）（多選題）已知，，則下列選項中正確的有（

）A．B． C． D．15．設(shè)，那么的取值范圍是