1/1重難點(diǎn)培優(yōu)03柯西不等式與權(quán)方和不等式目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 3題型一二維柯西不等式直接使用（★★★★） 3題型二二維柯西不等式變式型（★★★★★） 3題型三二維柯西不等式三角型（★★★） 4題型四三維（多維）柯西不等式（★★★★★） 4題型五權(quán)方和不等式基本型（★★★★） 5題型六權(quán)方和不等式的推廣型（★★★★★） 6題型七權(quán)方和不等式三角型（★★★） 603實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效 6檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固 6檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 8一、柯西不等式1、二維形式的柯西不等式2、二維形式的柯西不等式的變式3.擴(kuò)展：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對(duì)，并不是不等式的形狀，但變成就可以用柯西不等式了.二、權(quán)方和不等式權(quán)方和不等式：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.證明1：要證只需證即證故只要證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.證明2：對(duì)柯西不等式變形，易得在時(shí)，就有了當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．推廣1：當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．推廣:2：若，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.推廣3：若，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.題型一二維柯西不等式直接使用【技巧通法·提分快招】1、二維形式的柯西不等式2、記憶方法：口訣：平和城，城和平平：平方城：同“乘”，相乘的意思1．（24-25高三下·河北·期中）柯西不等式是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西與德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用．二維柯西不等式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．已知，直線與曲線相切，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．已知，，，則的最大值是.3．中角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，為的點(diǎn)，且，，則的最大值為題型二二維柯西不等式變式型1．的最小值為．2．若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為.3．（24-25高三上·遼寧·月考）已知空間向量，若，在上的正投影數(shù)量分別為1和3，且，則與所成角余弦的最大值等于.4．（2024·北京朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．5．（23-24高三上·上海奉賢·期中）對(duì)于平面曲線S上任意一點(diǎn)P和曲線T上任意一點(diǎn)Q，稱的最小值為曲線S與曲線T的距離.已知曲線和曲線，則曲線S與曲線T的距離為（

）A． B． C． D．2題型三二維柯西不等式三角型1．（2024·浙江·一模）若，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．2．的最小值為.3．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知面積為1，邊上的中線為，且，則邊的最小值為．題型四三維（多維）柯西不等式【技巧通法·提分快招】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.1．柯西不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，已知，請(qǐng)你用柯西不等式，求出的最大值是（）A．14 B．12 C．10 D．82．已知a，b，，滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．63．（23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·月考）若）（n為偶數(shù)），則的最小值為（

）A．25 B．8 C． D．4．（2024高二下·北京·競(jìng)賽）對(duì)于，若非零實(shí)數(shù)滿足，且使最大，則的最小值為.5．（24-25高三上·上海楊浦·期末）已知平面向量，，滿足，，且．記平面向量在，方向上的數(shù)量投影分別為，，向量在方向上的數(shù)量投影為，則對(duì)任意滿足條件的向量，代數(shù)式的最小值是．6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知，且．(1)求的最小值m；(2)證明：．題型五權(quán)方和不等式基本型【技巧通法·提分快招】1、很多題目是不會(huì)直接可以利用權(quán)方和不等式解決的，需要進(jìn)行一定的配湊與變形.2、權(quán)方和不等式的特征是分子的冪指數(shù)比分母的冪指數(shù)大1，用于“知和求和型”快速求最值，本質(zhì)還是代數(shù)式常數(shù)化.另外，一定要驗(yàn)證等號(hào)成立條件.1．則函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．492．（24-25高三下·遼寧葫蘆島·月考）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．39 B．52 C．49 D．363．已知a＞0，b＞0，且，則的最小值是____.4．已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為.題型六權(quán)方和不等式的推廣型1．已知且，a，b，c為常數(shù)，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)2．已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為3．已知，求的最小值為題型七權(quán)方和不等式三角型1．函數(shù)的最小值是.2．已知正實(shí)數(shù)、且滿足，求的最小值.3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固1．實(shí)數(shù)，，，滿足，，那么的最大值為（

）．A． B． C． D．2．實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．43．已知a，，，則的最大值為（

）A．18 B．9 C． D．4．若實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．14 B． C．29 D．5．柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的.而后來(lái)有兩位數(shù)學(xué)家Buniakowsky和Schwarz彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和，有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)已知，請(qǐng)你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．86．（23-24高三下·山東煙臺(tái)·月考）已知空間向量，，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．47．（23-24高三上·山西晉中·月考）已知是直角三角形三邊，是斜邊且.且的最小值為.如圖，在三棱錐中，，兩兩垂直，，則平面與平面所成角的夾角的正弦值為（

）

A． B． C． D．8．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．9．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為.10．已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最小值為.11．（23-24高三上·安徽·月考）為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)校在高一年級(jí)開設(shè)了《數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學(xué)生甲運(yùn)用平面向量的數(shù)量積知識(shí)證明了著名的柯西不等式（二維）；當(dāng)向量時(shí)，有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；學(xué)生乙從這個(gè)結(jié)論出發(fā)．作一個(gè)代數(shù)變換，得到了一個(gè)新不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，并取名為“類柯西不等式”．根據(jù)前面的結(jié)論可知：當(dāng)時(shí)，的最小值是．12．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為.13．（24-25高三上·陜西西安·月考）已知，，則的最小值為．14．已知為銳角，則的最小值為.15．（23-24高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是．檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升1．已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．12．已知，，則的最小值為.3．（23-24高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，最小值為4，則取值范圍為．4．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）柯西是一位偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家，許多數(shù)學(xué)定理和結(jié)論都以他的名字命名，