2/8第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式（綜合訓(xùn)練）（全國(guó)通用）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】,故，故選：B.2．設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，故選：C3．設(shè)，則“”是的（

）條件.A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【詳解】由題意或，而若，則有，所以肯定有或，取，即滿(mǎn)足或，但是不滿(mǎn)足，所以“”是的充分而不必要條件.故選：A.4．若命題，則（

）A．是真命題，且B．是真命題，且C．是假命題，且D．是假命題，且【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以是假命題，且.故選：C.5．已知二次不等式的解集為，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，即，解得：或．因?yàn)橛袃蓚€(gè)不等根，所以，解得：或，則的取值范圍是．故選：B6．第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉行，參賽的各國(guó)運(yùn)動(dòng)員在比賽、訓(xùn)練之余，都愛(ài)逛逛杭州亞運(yùn)會(huì)特許商品零售店，開(kāi)啟“買(mǎi)買(mǎi)買(mǎi)”模式.某商店售賣(mài)的一種亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念章，每枚的最低售價(jià)為15元，若每枚按最低售價(jià)銷(xiāo)售，每天能賣(mài)出45枚，每枚售價(jià)每提高1元，日銷(xiāo)售量將減少3枚，為了使這批紀(jì)念章每天獲得600元以上的銷(xiāo)售收入，則這批紀(jì)念章的銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，得，即，∴，解得.又每枚的最低售價(jià)為15元，∴.故選：B.7．若，，則下列能成為“的最小值為16”的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，又的最小值為16，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即取到最小值16．所以，即．若，顯然的最小值為16．故選：A．8．正交數(shù)組的概念在現(xiàn)代廣泛應(yīng)用.設(shè)集合.任取，若，則稱(chēng)與正交.若，且中任意兩個(gè)元素均正交，則中元素個(gè)數(shù)最多是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【詳解】不妨設(shè)，由，則中最多包含6個(gè)元素，又，，三組元素不正交，所以6個(gè)元素中最多只有3個(gè)元素在集合中，如，若，且中任意兩個(gè)元素均正交，則中元素個(gè)數(shù)最多是.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．圖中陰影部分所表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】如圖，A選項(xiàng)：①+②，則②，故A正確；B選項(xiàng)：①+④，則④，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：③，①+②+④，則②，故C正確；D選項(xiàng)：①，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由不等式的性質(zhì)可得，故B正確；對(duì)于C，若，由不等式的性質(zhì)可得，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞增性質(zhì)可得，故D正確；故選：BCD11．已知（a，b，），且，則（

）A． B．存在a，c使得C．不存在a，c使得 D．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由，，得，則，A正確；對(duì)于B，由，，得，則，，若存在，使得，則，與已知相矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，，C正確；對(duì)于D，，，D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)k的最大值為【答案】【詳解】命題“，”為真命題，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)k的最大值為.故答案為：.13．已知集合，，若，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】因?yàn)樗杂深}意，集合為的解集，當(dāng)時(shí)，得不滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，在恒成立，即因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，由題意可得：在恒成立，即恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故答案為：14．有限集合中元素的個(gè)數(shù)記做，設(shè)，都為有限集合，給出下列命題：①的充要條件是②的必要不充分條件是③?的充分不必要條件是④的充要條件是其中，真命題有.（填序號(hào)）【答案】①②【詳解】①若，則集合與無(wú)重復(fù)元素，則，即是的充分條件，若，則集合與無(wú)重復(fù)元素，，即是的必要條件，綜上所述的充要條件是，①正確；②若，即集合中所有元素均屬于集合，此時(shí)，即，所以是的充分條件，即是的必要條件，若，無(wú)法判斷集合中元素與集合的關(guān)系，即不是的充分條件，綜上所述，的必要不充分條件是，②正確；③若，無(wú)法判斷集合中元素與集合的關(guān)系，即不是?的充分條件，③錯(cuò)誤；④若，無(wú)法判斷集合中元素與集合的關(guān)系，不能說(shuō)明，④錯(cuò)誤；故答案為：①②.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知集合，集合.(1)若，求和；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得， 3分所以，故或. 5分（2）由得到， 7分（i）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解? 9分（ii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解? 11分（iii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解?綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 13分16．（15分）某企業(yè)擁有一臺(tái)大功率的耗電設(shè)備，每天至少運(yùn)行1小時(shí)，但不超過(guò)20小時(shí)．假設(shè)該設(shè)備每天運(yùn)行小時(shí)，且每小時(shí)的平均耗電量千瓦與每天的運(yùn)行時(shí)間滿(mǎn)足如下函數(shù)關(guān)系：(1)當(dāng)時(shí)，若該設(shè)備每小時(shí)的平均耗電量不超過(guò)2千瓦，求的取值范圍；(2)求該設(shè)備一天的耗電總量的最小值及設(shè)備當(dāng)天的運(yùn)行時(shí)間．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由題意得，， 3分即，解得，又，所以的取值范圍為． 6分（2）由題意得，設(shè)設(shè)備一天的耗電總量為， 9分①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立； 11分②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取得最小值15； 13分因?yàn)?，所以最小值為．答：設(shè)備一天的耗電總量最小值為8千瓦，設(shè)備當(dāng)天運(yùn)行6小時(shí)． 15分17．（15分）已知正數(shù)，滿(mǎn)足.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴，，， 3分∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“=”，所以的最小值為25. 6分（2）∵，∴，∴， 8分∵且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，∴， 11分∴恒成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 15分18．（17分）設(shè)函數(shù).(1)若，求的解集；(2)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求a的取值范圍；(3)解關(guān)于的不等式：.【詳解】（1）由函數(shù)，若，可得，又由，即不等式，即， 2分因?yàn)?，且函?shù)對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向上，所以不等式的解集為，即的解集為. 5分（2）由對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)恒成立，，， 7分，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的取值范圍是. 10分（3）依題意，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為. 12分當(dāng)時(shí)，不等式可化為，此時(shí)，所以不等式的解集為. 14分當(dāng)時(shí)，不等式化為，①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為. 17分19．（17分）含有有限個(gè)元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開(kāi)始交替地加減各數(shù).例如，的元素和是；交替和是；而的元素和與交替和都是5.(1)寫(xiě)出集合的所有非空子集的交替和的總和.(2)已知集合，根據(jù)提示解決問(wèn)題.①求集合M所有非空子集的元素和的總和；提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出現(xiàn)多少次，進(jìn)而可求出集合M的所有非空子集的元素和的總是；②求集合M所有非空子集的交替和的總數(shù).【詳解】（1）集合的非空子集為，，，，，，， 2分集合，，的交替和分別為1，2，3，集合的交替和為，集合的交替和為，集合的交替和為，集合的交替和為，所以集合的所有非空子集的交替和的總和為. 6分（2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，數(shù)字1、2、3各出現(xiàn)次， 8分集合所有非空子集為：，，，，，，，，，，，，，，，其中數(shù)字1、2、3、4各出現(xiàn)次， 10分在集合所有非空子集中，含1的子集的個(gè)數(shù)為，因此數(shù)字1在16個(gè)子集中出現(xiàn)，即數(shù)字1在所有的非空子集中出現(xiàn)了16次，同理數(shù)字2、3