5.3.1正比例函數

工分層練習寶

的基礎題

考查題型一正比例函數的定義

I.若函數y=/叫+（巾+1）是正比例函數，則m的值為（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根據正比例函數的定義進行求解即可.

【詳解】解：???函數，=3刈+（加+1）是正比例函數，

-f|m|=1

?%+l=0'

.*.Kl=-1,

故選B.

【點睛】本題主要考查了正比例函數的定義，一般地，形如y=kx（kH0）的函數叫做正比例函數.

2.已知y=（4-4萬+6是正比例函數，則kb應滿足的條件是（）

A.k主4且b=0B.k=4且匕HOC.kH4且bHOD.k=4且b=0

【答案】A

【分析】正比例函數的解析式為丫=k刈其中kWO,據此求解.

【詳解】解：?.?、二*-4）無+8是正比例函數，

???k-4羊0且b=0,

：,kH4且6=0.

故選A.

【點睛】本題考查根據正比例函數的定義求參數，解題的關鍵是掌握正比例函數中?次項系數不能為0,無

常數項.

8.若函數y=x+b—2是關于％的正比例函數，則〃的值為一.

【答案】2

【分析】根據正比例函數直接求解即可.

【詳解】解：???函數y=x+b—2是關于％的正比例函數，

/.t-2=0,

解得：b=2,

故答案為：2.

【點睛】此題考查了正比例函數的定義，正確理解正比例函數的定義是解題的關鍵.

4.已知y關于x的正比例函數關系式為：y=(m-2)x+m2-4,則m=.

【答案】-2

【分析】本題考查了正比例函數的定義，根據正比例函數的定義得出｛■二計算出m的值即可得到

答案，熟練掌握正比例函數的定義：”一般地，兩個變量％,y之間的關系式可以表示成形如y=h(k為常數,

且AHO)的函數，那么y就叫做工的正比例函數”，是解此題的關鍵.

【詳解】解：?.?函數y=0-2)%+/一4是正比例函數，

(m-20

A3-4=0'

解得：m=-2,

故答案為：-2.

5.下列選項中，y與x的關系為正比例函數關系的是()

A.正方形的周長y(cm)與邊長x(cm)的關系

B.圓的面積'(cm?)與半徑x(cm?)的關系

C.直角三角形中一個銳角的度數)，與另一個銳角的度數x的關系

D.矩形的面積為20cm2,長犬cm)與寬x(cm)之間的關系

【答案】A

【分析】根據正比例函數的定義：形如：y=kx(kW0)的函數為正比例函數，列出題目中的函數關系，判

斷即可.

【詳解】A、依題意得到y(tǒng)=4,所以正方形周長y(厘米)和它的邊長x(厘米)的關系成正比例函數，

故本選項正確；

B、依題意得到丫=兀/,則與x不是正比例函數，故本選項錯誤；

C、依題意得到y(tǒng)=90-則y與x是一次函數關系.故本選項錯誤；

D、依題意，得到'=,，則y與x不是正比例函數.故本選項錯誤；

故選：A.

【點睹】本題考查了正比例函數的定義，熟記定義以及正確列招相關函數關系式是解本題的關鍵.

6.下列變量之間的關系，一個變量是另一個變量的正比例函數的是（）

A.正方形的面積S隨邊長x的變化而變化

B.面積為20的三角形的一邊上的高h隨著這邊長。的變化而變化

C.正方形的周長C隨著邊長K的變化而變化

D.水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（單位：L）隨著放水時間/（單位：min）的變

化而變化

【答案】C

【分析】先依據題意列出函數關系式，然后依據正比例函數的定義：一般地，形如y=kx（k是常數，kHO）

的函數叫做正比例函數，進行判斷即可.

【詳解】解：A、S=/不是正比例函數，故此選項不符合題意；

B、九=竺，故此選項不符合題意：

a

C、54%是正比例函數，故此選項符合題怠；

D、設水箱有水aL,MV=a-0.5t,不是正比例函數，故此選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵.

考查題型二求正比例函數解析式

7.某商場為了促銷一種飲料，實行大降價，為了提高服務質量，服務員制作了售價y（元）與數量％（個）

之間的關系表，下面能表示這種美系式的式子是（）

數量（個）12345???

售價（元）1.803.605.407.209.00???

A.x=1.8yB.y=1.8xC.y=1.8+xD.y=—

【答案】B

【分析】觀察表格可知y是％的1.8倍，即得出y=1.8%.

【詳解】解：由表格可知售價y（元）是數量%（個）的1.8倍，

（元）與數量%（個）之間的關系為y=1.8%.

故選B.

【點睛】本題考查正比例函數的實際應用.由表格得出y是3的1.8倍是解題關鍵.

8.下表中x和），兩個量成正比例關系，則表格中的“？”處應填（）.

A.2B.-C.-

92

【答案】B

【分析】設x和），的關系式為y=kx,把（3,7）代入，求出），和x的表達式，再將％=卷代入，即可求出,，的

值.

【詳解】解：設x和），的關系式為y=kx,

把（3,7）代入得：7=3k,

解得：

，式和y的關系式為y=^x,

把“》弋入得：>=念5=全

故選:B.

【點睛】本題主要考查了正比例函數，解題的關鍵是掌握用待定系數法求正比例函數表達式的方法和步驟.

9.已知y=依是正比例函數，且當％=2時，y=4.

（I）求y與％的函數關系式；

（2）當力一泄，求y的值.

【答案】（l）y=2x

⑵-1

【分析】（1）把已知條件直接代入解析式求出左值即可得；

（2）直接將％=一夕弋入求出答案.

【詳解】（1）解：y是％的正例函數，且）/=kx,

當x=2時，y=4.

所以，4=2k,

所以，k=2,

所以y=2x；

(2)當％=-：時，y=2x(-1)=-l.

【點睛】此題主要考查了待定系數法求正比例函數解析式，正確進行計算是解題的關鍵.

10.在同一時間、同一地點測得樹高(m)和影長(m)的數據如下表：

樹高(w)23469???

影長G影1.62.43.24.87.2???

(1)在圖中描出表示樹高和對應影長的點，然后把它們按順序連起來，并描述形成的圖象的特點;

(2)樹高和影長成比例關系(填“正”或"反”)；

⑶當樹高11.5m時，影長是多少米？

【答案】(1)見解析

⑵王

⑶當樹高11.5m時，影長是9.2m,

【分析】(1)根據表格的對應數據描點，然后連線即可;

(2)根據樹高和影長的比值一定可得答案；

(3)根據(2)的結論列比例計算即可.

【詳解】(1)解：描點，連接直接這些點，如圖所示:

▲影長(m)

形成的圖象是一條直線；

(2)解：由樹高和影長的比值一定，可得樹高和影長成正比例關系.

故答案為：正；

(3)解：設當樹高11.5m時，影長是工米，

則噌=%

x1.6

解得％=9.2,

答：當樹高11.5m時，影長是9.2m.

【點睛】本題考查了一次函數的應用，掌握畫函數圖象的步驟與方法是解答本題的關鍵.

考查題型三根據正比例函數定義求解

11.下列式子，哪些)，是x的正比例函數？如果是，請你指出正比例系數女的值.

(1)『=一()."

⑵了=；

(3)y=2r

(4)/=4x

(5)y=—4x+3

(6)y=2Cx—x2)+2A2

【答案】(1)是正比例函數，正比例系數是-0.1

(2)是正比例函數，正比例系數是:

⑶不是正比例函數

(4)不是正比例函數

(5)不是正比例函數

(6)是正比例函數，正比例系數是2

12.已知y+4與x-3成正比例，且x=l時，y=0

(1)求1y與x的函數表達式；

(2)點M(m+1,2m)在該函數圖象上，求點M的坐標.

【答案】(l)y=-2x+2

⑵點M的坐標為(1,0)

【分析】(1)利用正比例函數的定義，設y+4=/c(x-3),然后把已知的對應值代入求出k即可；

(2)把M(m+l,2m)代入(1)中的解析式得到關于m的方程，然后解方程即可.

【詳解】(1)設y與％的表達式為y+4=k(x-3),

把x=1時，y=0代入y+4=k(x—3)得-2k=4,

解得k=-2,

與％的關系式為y4-4=-2(x-3),

即V=-2x+2；

(2)???點M(m+l,2m)在該函數幻象上,

/.2m=-2(?n+1)+2,

解得m=0,

.?.點M的坐標為(1,0).

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式：一次函數y=kx+b,則需要兩組小y的值.也考查了

一次函數的性質.

13.計算：

⑴(夕『+V(-5)2-V169+也

(2)y+3與x—2成正比例，且當％=4時，y=7.求當y=2時，x的值.

(3)已知x+1的算術平方根是2,2%+y-2的立方根是2,求好+產的平方根.

【答案】⑴一爾

(2)x=3；

(3)±5.

【分析】(1)根據算術平方根、立方根計算即可；

(2)設y+3=k(x—2),求出k=5,即y=5x—13,把y=2代入即可求出x的值；

(3)根據％+1的算術平方根是2,求出％=3,再利用2x+y-2的立方根是2,求出y=4,再求出/+/=

25,所以/+y2的平方根為±5.

【詳解】(1)解：原式=7+5-13-;二一"

44

(2)解：設y+3=k(x-2),

把x―4,y—7代入得k-(4-2)-74-3,解得/c-5,

所以y+3=5(X-2),即y=5x-13,

把了=2代入得，2=5%-13,

解得：x=3.

(3)解：??X+1的算術平方根是2,

：.x+l=22=4,

??x=3,

+y-2的立方根是2,

：.2x+y-2=23=8,

把*1勺值代入解得：y=4,

：.x2+y2=32+42=25,

??*2+必的平方根為±5.

【點睛】本題考查算術平方根，平方根，立方根，正比例函數，解題的關鍵是掌握以上相關知識并能夠綜

合運算，屬于基礎題.

7提升題

14.若y=(a-l)x+a2-1是關于x的正比例函數，則。2。23的值為.

【答案】-1

【分析】利用正比例函數的定義分析得出如再代入計算即可求解.

【詳解】解：,??y=(a—l)x+a?-1是關于x的正比例函數，

a2-1=0且a-1*0,

解得：a=-1,

a2023=(-1)2023_

故答案為：-1.

【點睛】此題主要考查了正比例函數的定義，正確把握定義是解題關鍵.

15.兩輛汽車勻速行駛時，路程與時間的關系如右圖.由圖象可知，兩輛車的路程和時間成（）比例:

（）號車的速度更快一些；

路程/千米

①號車②號車

360

270

180

012345678時間/小時

【答案】正①

【分析】根據輛車的路程和時間的函數圖像都過原點，可知兩輛車的路程和時間成正比例；再根據兩車行

駛360千米所用的時間即可發(fā)現，①號車快一些.

【詳解】解：根據圖像可知：輛車的路程和時間的因數圖像都過原點，則兩輛車的路程和時間成正比例；

根據圖像可知：①號車行駛360千米用時4小時，②號車行駛360千米用時8小時，即①號車的速度更快

故答案為：正，①.

【點睛】本題主要考杳了正比例函數的圖像的性質、函數圖像的意義等知識點，理解正比例函數圖像的性

質是解答本題的關鍵.

16.新定義：將數據［a,b］稱為一次函數y=ax+b（aHO,a,b為實數）“互聯(lián)數”，若“互聯(lián)數”1,7九一1］所

對應的一次函數是正比例函數，則關于x的方程」-上=1的解是X=

x-lm---

【答案】|

【分析】根據“互聯(lián)數”［1,加-1］所對應的一次函數是正比例系數，求出m的值，代入分式方程求解即可.

【詳解】解：???”互聯(lián)數”［1,m-1］所對應的一次函數是正比例函數，

y=x+m—1?771—1=0,

Am=1,

代人方程得七一1二1,

x-l

解得X=L

檢驗：當％='時，x-1^0,

，方程的解為x=

故答案為：

【點睛】本題考查了正比例函數的定義，解分式方程，新定義問題，掌握一般地，形如y=匕(A是常數，k工0)

的函數叫做正比例函數是解題的關鍵.

17.如圖，在平面直舛坐標系”0)，中，已知一次函數y=kx+4的圖象與)，軸交于點小與x羯交于點8,

以點A為直角頂點構造等腰直角點。在48的左側.

(1)已知點4是x軸正半軸上一點，若乙18。=30。.

①求。8的長度；

②求經過點C的正比例函數解析式；

(2)當點B在x軸上運動時，連接0C,求4C+0C的最小值.

【答案】(1)①。8=4后②y=(百-1卜

⑵AC+0C的最小值為4逐

【分析】(1)①當％=0，y=4,則8(0,4),由乙480=30。，可得A8=2。4=8,由勾股定理得，OB=

5MB2-042,計算求解即可;②如圖I,過。作co_Ly軸于。，證明△AOB卦GM(AAS),則40=0B=4次,

CD=OA=4,即。(一4,4一4百)，待定系數法求過點C的正比例函數解析式即可；

(2)由題意知，分點B在y軸左側，點8在、軸右側，兩種情況求解：①當點8在y軸左側，如圖2,過過C作

。01丫軸于。，同理可證，△AOEwaCZM(AAS),則=。8,CD=0A=4,C在直線義=一4上運動，

r

如圖2,作。關于直線％=-4的對稱點0、則OC=O'C,AC+OC=AC+OCf可知當力、C、0'三點共線

時，力C+OC的值最小，由勾股定理得，A0f=>JOO,2+OA2,計算求解即可；②當點B在y軸右側，如圖3,

過C作CDly軸于。，同理可證△,4。8三△CDA(AAS),求解同(2)中②.

【詳解】(1)①解:當％=0,y=4,

???H(0,4),

*：/.ABO=30°,

??AB=20A=8,

由勾股定理得，OB=/AB?-04=“J,

JOB=4百；

②解：如圖1,過C作CDly軸于D,

圖1

V“AB=90°,

：.￡CAD+乙OAB=90°=Z-CAD+/-DCA,

：.L