中考欲考二法函烈

二次函數(shù)實際應用之路徑高度分析

例.（2024?裕華區(qū)模擬）如圖，一小球打從斜坡如上的〃點處拋出，建立如圖

所示的平面直角坐標系，球的拋出路線是拋物線￡］：尸-上,2+力x的一部分

2

,斜坡可以看作直線幼：的一部分.若小球經(jīng)過點（6,6）,解答下

2

列問題：

（1）求拋物線。的表達式，并直接寫出拋物線4的對稱軸；

（2）小球在斜坡上的落點為4求4點的坐標；

（3）在斜坡小上的8點有一棵樹，8點的橫坐標為2,樹高為4,小球材能

否飛過這棵樹？通過計算說明理由；

（4）直接寫出小球"在飛行的過程中離斜坡力的最大高度.

【解答】解：（1）把點（6,6）代入L/y=-l2W：

2x+bx

19

6=2X6+6b，

解得：b=4,

???拋物線L、的解析式為y=」x2+4x，

2

??121/八2c

?y=—-x+44x="-（x-4）+8，

???拋物線的對稱軸為直線x=4；

12.

y=?x+4x

（2）聯(lián)立得：，

中考欲考二法函烈

解得：卜二°或7,

\y=0y=y

，力點的坐標為（7,工）：

2

（3）小球."能飛過這棵樹，理由如下:

當x=2時，

對于L>y*x，y=L

2

對于L「y=--X+4X，y=6,6-1=5>4,

2

???小球"能飛過這棵樹.：

（4）根據(jù)題意得：小球."在飛行的過程中離斜坡勿的距離為

???小球，獷在飛行的過程中離斜坡總的最大高度為尊.

8

對應練習.L（2024?寶雞二模）如圖是一個東西走向近似于拋物線的山坡，以

地面的東西方向為x軸，西側(cè)的坡底為原點建立平面直角坐標系，山坡近似

滿足函數(shù)解析式丫=/乂2號乂，無人機從西側(cè)距坡底。為10米處的3點起飛

,沿山坡由西向東飛行，飛行軌跡可以近似滿足拋物線y='x2+bx+c?當無

50

人機飛越坡底上空時（即點〃），與地面的距離為20米.

（1）求無人機飛行軌跡的函數(shù)解析式；

（2）當無人機飛行的水平距離距起點為30米時，求無人機與山坡的豎直距

離出

（3）由于山坡上有障礙物，無人機不能離山坂過近.當無人機與山坡的豎直

距離大于9米時，無人機飛行才是安全的，請判斷無人機此次飛行是否安全,

并說明理由.

中考欲考二法函烈

【解答】解：（1）由題意可知，點6（-10,0）,D（0,20）,將區(qū)〃坐

標分別代入片―7J+bx+c，

bU

1（Q

得：為X（T°Al°b+c=0,解得：昨，

c=20c=20

???無人機飛行軌跡的函數(shù)表達式為y='x2*x+20，

y505

（2）當無人機飛行的水平距離距起點為30米札＞=3070=20,

???無人機與山坡的豎直距離

222

d=^^x-^-x+20-（-^x+^-x）=—^―x—^-x+20

0505'40420020

???當x=20時，X2。2々*20+20=13（米），

20020

答：當無人機飛行的水平距離距起點為30米時，無人機與山坡的豎直距離d

為13米；

（3）安全，理由如下:

由（2）知，

d=200x2^x+20=200（J-90x）+20=200（x%0/45?-45?）+20嗡&-45）2號

??.’〉0，

200

???x=45時，d有最小值金＞勺

8

???無人機此次飛行是安全的.

2.（2024?萬山區(qū)一模）排球考試要求墊球后，球在運動中離地面的最大高度

至少為2米,某次模擬測試中，某生在。處將球墊偏，之后又在力、ZT兩處先

后墊球，球沿拋物線運動（假設拋物線61、G、&在同一平面內(nèi)）

,最終正好在。處墊住，〃處離地面的距離為1米.如圖所示，以〃為坐標原

點1米為單位長度建立直角坐標系，x軸平行于地面水平直線加，已知點

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3）,點方的橫坐標為工,拋物線G表達式為尸a#-2ax和拋物線6

82

表達式為y=2ax^+bx(a#0).

（1）求拋物線G的函數(shù)表達式；

（2）第一次墊球后，球在運動中離地面的最大高度是否達到要求？請說明理

由；

（3）為了使第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度達到要求，該生第

三次墊球處〃離地面的高度至少為多少米?

【解答】解：（1）???拋物線G表達式為尸且經(jīng)過點AC1,I"），

???f=（f）2a-2ax1

解得：行,，

2

???拋物線G的函數(shù)表達式為：y=Ax2+x.

2

（2）最大高度未達到要求，理由如下：

由（1）得，拋物線G的函數(shù)表達式為y=二乂2+乂，

2

?y=-^-x2+x=-y（X2-2X）=-4"（X-1）

.?.拋物線G的頂點坐標為（1,1）,

2

???。處離地面的距離為1米，

???球在運動中離地面的最大高度為1卷卷〈2，

???最大高度未達到要求；

（3）解：由（1）可知，_A,

a=2

?.?拋物線G表達式為y=?，*+",

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???對稱軸為直線頂點坐標為（￡,缶），

???球在運動中離地面的最大高度達到要求，

2

?,k1*

???622或?！?2,

???對稱軸在刀軸負半軸,

???6V0,

:,b&-2,

???點8的橫坐標為/■,

2

-93

,,yB=-7^Vb，

???當6=?2時，%有最小值，最小值為_2_2、（-2）屈，

424

???點夕離地面的高度至少為1弓口.75（米）.

3.（2024?威縣校級三模）某課外科技小組研制了一種航模飛機.通過實驗，收

集了飛機相對于出發(fā)點的飛行水平距離x（單位：而、飛行高度y（單位：m

）隨飛行時間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)如下表：

飛行時間t/s02468???

???

飛行水平距離x/m010203040

飛行周度y/加022405464???

【探究發(fā)現(xiàn)】

通過表格可發(fā)現(xiàn)》與方滿足一次函數(shù)關系，即x=5九而y與方之間的數(shù)量關

系也可以用我們已經(jīng)學習過的函數(shù)來描述.

【解決問題】

（1）直接寫出y關于方的函數(shù)解析式.（不要求馬出自變量的取值范圍）

（2）如圖，活動小組在水平安全線上月處設置一個高度可以變化的發(fā)射平臺

試飛該航模飛機.根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下面的問題：

①若發(fā)射平臺相對于安全線的高度為0/〃，求飛機落到安全線時飛行的水平距

離；

②在安全線上設置回收區(qū)域，點〃的右側(cè)為回收區(qū)域（包括端點給，125/77

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.若飛機落到回收區(qū)域內(nèi)，求發(fā)射平臺相對于安全線的最低高度.

【解答】解：(1)根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：P與I是二次函數(shù)關系，

設夕與，的函數(shù)解析式為y=ag2+A,

由題意得：(4a+2b=22,

116a+4b=40

，」

解得a-石

b=12

???y與。的函數(shù)解析式為y=?』d+12￡；

2

(2)①依題意得，令y=0,則」弋2+12『0，

2

解得人=0,22=24,

當￡=24時，x=5￡=120.

答：飛機落到安全線時飛行的水平距離120俄

②設發(fā)射平臺相對于安全線的高度為〃/〃，飛機相對于安全線的飛行高度為

丫1;總產(chǎn)+121+0

?.32125,

A5125,

???/25,

在丫1=[t2+12t+n中，

當剛好落在"點時，即1=25,力=0時，〃=12.5,

工若飛機落到回收區(qū)域,則〃212.5,

答:發(fā)射平臺相對于安全線的最低高度為12.5勿.

4.(2024?祥符區(qū)一模)跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一,如圖，運動員

通過助滑道后在點A處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡戰(zhàn)、上的點夕處，他在空

中飛行的路線可以看作拋物線的一部分.這里如表示起跳點力到地面例的

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距離，。。表示著陸坡歐的高度，如表示著附坡底端8到點〃的水平距高.

建立如圖所示的平而直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高

度y（單位M與水平距離x（單位：加近似滿足函數(shù)關系j，=-工乂2+6廣。

,已知勿=70勿，比-60處落點〃的水平距離是40勿，豎直高度是30/.

（1）點力的坐標是（0,70）,點〃的坐標是（40,30）；

（2）求滿足的函數(shù)關系尸-工乂2+。戶。；

16*

（3）運動員在空中飛行過程中，當他與著陸坡緲豎直方向上的距離達到最

(2)把力(0,70),P(40,30)代入y=-工產(chǎn)。得:

16*

rc=70

1?

-^TX1600+40b+c=30

lc=70

所以二次函數(shù)的表達式為尸-工f+8產(chǎn)70；

162

（3）如圖，作的V〃y軸分別交拋物線和優(yōu)于極N兩點,

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"（0,60）,

設線段比的關系式為y=km,則卜=60,

I40k+m=30

解得：,4,

m=60

所以線段〃。的關系式為尸-3260,

4

設"（&-_±_浜+2卅70）,則N（a-2^-50）,

1624

貝|J國界70+旦w-60=-工4+且/10=--L（a-18）2+30.25,

162416416

V-A<0,

16

???當丑=18時，/V有最大值,最大值為30.25,

答：運動員到坡面"豎直方向上的最大距離時水平距離是18m.

5.（2024?確山縣二模）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的

周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，

高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖

所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系.

（1）求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式；

（2）主師傅在噴水池內(nèi)維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身

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高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？

（3）經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形

狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到24米，各方向噴出的水柱仍在噴水池

中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的

最大高度.

【解答】解：（1）'?'關于J軸對稱,

???第二象限拋物線的頂點坐標為（-3,5）,

設水柱所在拋物線［第二象限部分）的函數(shù)表達式為y=d（廣3）2+5（aWO）

將（-8,0）代入y=a（e3）2+5,得：25/5=0,

解得：a=-l,

5

???水柱所在拋物線［第二象限部分）的函數(shù)表達式為y=-2（戶3）2+5（-

5

8<^<0）；

（2）當尸1.8時,有-工（戶3）2+5=1.8,

5

解得：修=-7,彳2=1，

???為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內(nèi)；

（3）當x=0時，尸-』（歡3）2+5=」！，

55

設改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式為y=-工/+b世衛(wèi)

55

??,該函數(shù)圖象過點（-12,0）,

???0=-lx（-12）2+（-12）〃也，

55

解得：6=-笆，

15

?,?改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式為夕=■工/一絲廣

515

衛(wèi)二-A（戶K）2+觀,

5539

???擴建改造后噴水泡水柱的最大高度為毀米.

9

6.（2024?河南）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度h（〃?）滿足關系式h

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=-5#+的，其中f（s）是物體運動的時間，心（加/$）是物體被發(fā)射時的速

度.社團活動時，科學小組在實驗樓前從地面豎直向上發(fā)射小球.

（1）小球被發(fā)射后—需_s時離地面的高度最大（用含心的式子表示）.

（2）若小球離地面的最大高度為20根，求小球被發(fā)射時的速度.

（3）按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度

相同.小明說：“這兩次間隔的時間為3s.”已知實驗樓高15〃?，請判斷他

的說法是否正確，并說明理由.

【解答】解：（1）V-5<0,

???當，=-旦=幼時，離地面的高度最大.

2a10

故答案為：11；

10

（2）當尸至時，A=20.

10

V09V0

+

-5X%）v0X—=20.

解得：vo=2O（取正值）.

答：小球被發(fā)射時的速度是20〃而；

（3）小明的說法不正確.

理由如下：

由（2）得：h=-5t2+20t.

當力=15時，15=-5r2+20z.

解方程，得：Z]=l,<2=3.

V3-1=2（s）,

???小明的說法不正確.

7.（2024?江西）如圖，一小球從斜坡。點以一定的方向彈出，球的飛行路線可以用二次

函數(shù)y=ad+bx（aVO）刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)丫公乂刻畫，小球飛行的水平距離工（

米）與小球飛行的高度），（米）的變化規(guī)律如表：

X012m4567???

y07.615815n7_???

~2~2~2