最值問題

直線軌跡專題

易錯(cuò)點(diǎn)1:將軍飲馬

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(1,1),8(3,3),點(diǎn)夕為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則必+P8的最小值為()

A.2逐B(yǎng).275C.5D.V15

【答案】A

【分析】求出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A,連接4B,交x軸于點(diǎn)P,則P即為所求點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公

式即可求解.

【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)連接48交x軸于點(diǎn)P,則P即為所求點(diǎn)；

???點(diǎn)A(1,1),

???點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,-1),

(I,-I),B(3,3),

?^(3—I)2+(3+1)2=2y/5,

即陰+尸8的最小值為26,

故選:A.

【點(diǎn)睛】此題考查了最短線路問題及兩點(diǎn)間的距離公式，解答此題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí).

變式1:如圖，8是。。的直徑，CD=8,Z48=20°,點(diǎn)8為弧AQ的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑CD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn),則尸A+總的最小值為.

【答案】4

【分析】本題主要考查最短路徑及圓的基本性質(zhì).作點(diǎn)8關(guān)于直徑8的對稱點(diǎn)E,連接AE、OA.OE、PE,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及軸對稱的性質(zhì)可得AE即為PA+依的最小值，然后利用圓周角、圓心角、弧之間

的關(guān)系及等邊三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于直徑CQ的對稱點(diǎn)&連接AE、。4、0E、小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及軸對稱

的性質(zhì)可得人石即為孫+出?的最小值，如圖所示：

'BD=E>

ZACD=20°,

???ZAOD=40°,

???點(diǎn)8為弧AZ）的中點(diǎn)，

???8。與次）的度數(shù)為20°,

???ZEO/）=20°,

???/AOE=60。，

?：OA=OE,

???AAOE是等邊三角形，

VCD=8,

/.AE=OA=4,

即PA+總的最小值為4,

故答案為:4.

易錯(cuò)點(diǎn)2：三點(diǎn)共線

例：如圖，在△ABC中，43=13,80=10,。是3c中點(diǎn)，石尸垂直平分交邊于點(diǎn)E,交AC邊于

點(diǎn)F,在放上確定一點(diǎn)P,使|尸8-也最大，則這個(gè)最大值為（）

A.10B.5C.13D.6.5

【答案】B

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系.延長8c交宜線b于P,在即上任取一點(diǎn)〃不與點(diǎn)P重合，連接了4,

P7），根據(jù)三角形三邊關(guān)系證明此時(shí)，|28-即最大，最大值等「80長即可求解.

【詳解】解：如圖，延長BC交更線“'于P,在瓦'上任取一點(diǎn)〃不與點(diǎn)尸重合，連接P'B,PD，

A

???伊'8一產(chǎn)￡)|<BD,\PB-PD\=\PD+BD-PD\=BD,

：.\PB-PD\>\P,B-P,D\,

???此時(shí)，也最大，最大值等于4。長，

???。是8c中點(diǎn),

???5D--15C--X10-5,

22

??.|PB-叫最大值=5,

故選:B.

變式1：如圖，四邊形A8C。中，AB//CD,ZA^C=90°,48=5,BC=3,CO=3,點(diǎn)P為直線BC左

側(cè)平面上一點(diǎn)，△水:9的面積為T，則|%-PC|的最大值為.

【答案】3〃

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、勾股定理、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線.過，

作PHJ.BCJ-H,由三角形的面積公式求得?！?1,則點(diǎn)。在平行于且與BC的距離為1的直線/上運(yùn)

動(dòng)，作C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)C,連接AC并延長交直線/于產(chǎn)，連接?廠，則|AP-尸q=|AQ-?C|WAC,

當(dāng)A、C、P共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大值為AC的長度，過C作CM±AMfM,利用勾股定理求解AC

即可.

【詳解】解：過P作PHLBC于H,

的面積為g,BC=3,

：,-BC-PH=--PH=3,則尸H=l,

22

???點(diǎn)。在平行于BC且與BC的距離為I的直線/上運(yùn)動(dòng)，

作C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)C,連接AC并延長交直線/于〃，連接PC',則|A尸一尸。=同尸一2當(dāng)

A、C\P共線時(shí)取等號(hào),此時(shí)最大值為M9—pq=AC的長度,過。'作aw_L4W于M.

???BM=CC=2OC=2,C'M=BC=3,

在中，AM=AB-BM=3,

**-AC=JAM?+CM2=J32+32=3V2，

故答案為：3&.

易錯(cuò)點(diǎn)3：兩動(dòng)一定

例：如圖，已知/4。"=15。，點(diǎn)M在邊。8上，且QW=4,點(diǎn)N和點(diǎn)P分別是OM和04上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短及直角三角形30。角所對直角邊等于斜邊一半，作“關(guān)于0A

的對稱點(diǎn),過1％作M|N_LOB交Q4于一點(diǎn)即為最小距離和點(diǎn)P,結(jié)合直角三角形30。角所對直角邊等

于斜邊一半求解即可得到答案.

【詳解】解：作M關(guān)于。4的對稱點(diǎn)1％,過作M|N_LO3交04于一點(diǎn)P,如圖所示,

丁M】是M關(guān)于04的對稱點(diǎn)，。0=4,403=15。，

NM0M=2/404=30°,OM.=OM=4,PM=PM「

?:M、N工OB,：.(PM+PN)EE=MIN,NON%=90。，

：.M.N=-OM.=2.

121

.??(PM+PN)inin=2,

故選：B.

變式1：如圖，在四邊形A8CO中，AD//BC,AB=AC,BC=6,△OBC的面積為24,A3的垂直平

分線MN分別交A/3,AC于點(diǎn)M、N,若點(diǎn)尸和點(diǎn)。分別是線段MN和8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則P3+PQ的最小

值為.

【答案】8

【分析】連接AQ,過點(diǎn)。作Q〃_LBC于，.利用三角形的面積公式求出。〃，由題意

PB+PQ=AP+PQ>AQ,求出AQ的最小值，可得結(jié)論.

【詳解】解：連接AQ，過點(diǎn)。作O”J_8c于〃.

???△O8C面積為24,4。=6,

..--BCDH=24,

2

=8,

???MN垂宜平分線段八B,

：.PA=PB,

;.PB+PQ=AP+PQ>AQ,

???當(dāng)八Q的值最小時(shí)，P/PQ的值最小，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，AQ的值最小,

vAD//BC,DH1BC,

DH//AQ,

???四邊形O"QA是平行四邊形，

〈DH1BC,

???四邊形。"QA是矩形，

..AQ=DH=S.

.??尸8+PQ的值最小值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短問題，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是把最短問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短，屬于中考?？碱}型.

易錯(cuò)點(diǎn)4：兩動(dòng)兩定

例：如圖，已知正比例函數(shù)>=依（心>0）的圖象與x軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（。，4）,

P為），軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)量=心”>0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MP+PN的最小值為（）

A.2B.4sin40°

C.28D.4sin200(l+cos200+sin20°cos20°)

【答案】C

【分析】如圖所示直線OC、），軸關(guān)于直線），=履對稱，直線OD、直線y=h關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)4是點(diǎn)4關(guān)

于直線），=丘的對稱點(diǎn)，作A'E_L。。垂足為七，交），軸于點(diǎn)P,交直線）=右于M,作尸N_L直線＞，=心垂足

為N,此時(shí)4"+2/3+戶義=4，"+尸3+/^=4七最?。ù咕€段最短），在RTAA'EO中利用勾股定理即可解決.

【詳解】解：如圖所示，直線。以y軸關(guān)于直線y=E對稱，直線。。、直線y=h關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A是

點(diǎn)A關(guān)于直線），=匕的對稱點(diǎn).

作*及LO。垂足為E交y軸于點(diǎn)P,交直線y=履于M,作PML直線y=h垂足為N,

?:PN=PE,AM=A'M,

??/M+PM+PN=4知+夕加+。石=4￡：最?。ù咕€段最短），

在R%/VEO中，???NA'EO=90。，O4'=4,NAOE=3N4OM=60。，

AfE=＞JOA＞2-OE2=273.

:.AM+MP+PN的最小值為2G.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題、垂線段最短、直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱性質(zhì)正確找到等P的位置.，題目有點(diǎn)難度，是最短問題中比較難的題目.

變式1：如圖，已知正比例函數(shù)曠二日僅＞0）的圖象與九軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,P

為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)），=丘（攵＞0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則人M+的最小值為

【分析】本題考查了軸對稱，最短問題，垂線段最短，直角三角形30。角的性質(zhì)，勾股定理，利用軸對稱性,

找到正確的P的位置是解答本題的關(guān)鍵.

作直線OC與y軸關(guān)于直線對稱，直線0D與直線），=履關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)N是點(diǎn)A關(guān)于直線），="的

對稱點(diǎn)，作A'E_LOD,作PN1MN,此時(shí)AM+MA+/W最小，即AM+PM+/W=A'七，在RtaAEO中，

利用勾股定理得到答案.

【詳解】如圖，直線oc與y軸關(guān)于直線丁二履對稱，

直線0。與直線），=心關(guān)于y軸對稱，

點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線y=kx的對稱點(diǎn)，

作A'E_LO￡>,垂足為E，交y軸于點(diǎn)交直線)，=收于點(diǎn)M,

作PN_LM7V,

；PN=PE,AM=A!M,

AM+PM+PN=AM+PM+PE=ArE,

此時(shí)AM+MP+PN最小,

在Rl“VEO中，

Z/TEO=9()。，OA'=4,ZAfOE=3ZAOM=60°,

OE=-OAf=2,

2

AfE=xlOA,2-OE2=>/42-22=2G，

???八例+叱+8V的最小值為2舊，

故答案為：2.

易錯(cuò)點(diǎn)5：兩動(dòng)一定長

例：如圖，長方形A8CO中，AB=4,BC=2,G是人。的中點(diǎn)，線段“'在邊人B上左右滑動(dòng)，若EF=\,

則GE+3的最小值為（）

A.2百B.25/2C.3V2D.373

【答案】C

【分析】將EC沿著左向左平移使尸與E重合，得到CE,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)最值問題“將軍飲馬”模型，作G關(guān)于4B

的對稱點(diǎn)G',連接CG',此時(shí)GE+b的最小值為線段CG'長，利用勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：將"C沿著左向左立移使戶與E重合，得到CE,如圖所示：

由平移性質(zhì)得到EC=FC.EF=CC,

GE+CF=GE+EC,

作G關(guān)于的對稱點(diǎn)G',連接CG'、GE、EC,如圖所示:

G'

二?由對稱性得到G'E=GE,

??.GE+CF=GE+EC=G,E+EC,

由圖可知，GE+CF=GE+EC=G*E+EC>GC,此時(shí)，當(dāng)G'、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，GE+G有最小值,

為線段CG'長，

???EF=1,

：.CC=EF=\,

在長方形A8CO中，AB=4,BC=2,由矩形性質(zhì)可得4。=3c=2,A8=QC=4,

.?.DC'=DC—CC=4-1=3,

vG是4。的中點(diǎn)，

:.GA=-AD=\,

2

,/G與G'關(guān)于4B的對稱,

/.AG=AG=1,

在長方形ABC。中，？。90?,

???在R3GZX7中，？￡>90?,ZX7=AO+AG，=3,DC=3,上勾股定理得到

GC=dcrf+GD2=732+32=372，

??.GE+CF的最小值3行，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題?將軍飲馬模型，涉及平移性質(zhì)、對稱性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握動(dòng)

點(diǎn)最值問題-將軍飲馬模型題型的設(shè)別及做題方法步驟是解決問題的關(guān)鍵.

變式1：如圖，“4C中，=90°,ZA=30°,BC=2,若。,E是邊A4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，〃是邊AC上的

【答案】3一也

2

【分析】過。作AB的對稱點(diǎn)G，連接CG,交AB于N;過&作C,c2〃AB,R0G=也，過作，片。

于F,交A8于E,尸的長度即為所求最小值，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，過C作A8的對稱點(diǎn)C-連接CG，交AB于N；過G作CC2〃AB,且6。2=&,過

g作于居交AB于E,GF的長度即為所求最小值，

??.四邊形是平行四邊形，

QDEC2

:.C}D=C2E,

又???CG關(guān)于AA對稱，

:,CD=C\D，

：,CD+EF=C2F,

VZA=30°.ZACB=90°,

/.AC=y/3BC=2>/3,

:.CN=B/W=3,

過C?作GMLAB,則GM=GN=CW=75，

：?C?M//C\N,C\G〃MN,

:?MN=CG=4i,

/MEC?=/AEF2AFE=/C?ME=90°,

:.NMGE=NA=30。，

在R3QWE中，ME=1，GM=S，GE=2,

:.AE=AN-MN-ME=3-C-\=2-五，

?yri夜

??匕卜=1------，

2

ACF=2+1--=3-—.

222

BP：CD+律的最小值為3-XZ.

2

【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對稱解決線段和最小問題.同時(shí)考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30度角的直

角三角形，勾股定理.熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，確定線段和的最小值，是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)6：三動(dòng)點(diǎn)

例：如圖，在直角三角形ABC中，，ZACB=300,48=8,點(diǎn)P為8C上任意一點(diǎn)，連接物,以PA,PC

為鄰邊作平行四邊形厚QC,連接PQ，則打2的最小值為（）

A.3B.4>/3C.6D.26

【答案】B

【分析】設(shè)P。與AC交于點(diǎn)。，作。/_18c于尸’，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得8C=2A8=16,根據(jù)勾股

定理得4。=86，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得0A=0C=4G，根據(jù)OP'_L8C,46=30。得

0〃二g0C=差，當(dāng)尸與p’重合時(shí)，OP的值最小，則PQ的值最小，進(jìn)行計(jì)算即可得.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)尸Q與AC交于點(diǎn)O,作OP'J_8C于P，

在凡AAAC中，ZACB=30°,

?,.BC=2人B=16,

JAC=yjBC2-AB2=>/i62-82=8g，

???四邊形以QC是平行四邊形，

???OA=OC=46，

?：OP工BC,ZACB=30°,

???。尸」0。=這，

22

當(dāng)P與尸重合時(shí)，O2的值最小，則PQ的值最小,

?JQ的最小值為：2OP'=4瓜

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)用垂線段最短的性質(zhì).

變式1：如圖，ZkABC中，AC=BC=3,AB=2,將它沿A8翻折得到△回/),點(diǎn)P、E、尸分別為線段AB、AD.

QB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+P/的最小值是.

【答案】平取

【分析】首先證明四邊四邊形A/3C。是菱形，作出小關(guān)于A4的對稱點(diǎn)M，再過M作MEJ_AD，交/W于

點(diǎn)P,此時(shí)PE+PF最小,求出ME即可.

【詳解】解：作出/關(guān)于的對稱點(diǎn)M，再過M作M￡_L4。，交AB于點(diǎn)F,此時(shí)PE+產(chǎn)F最小，此時(shí)

PE'+P'F=MF,過點(diǎn)4作4N_LBC,C”_LAB于，，

???△A4C沿AB翻折得到ZkAB。,

：.AC=AD,BC=BD,

*：AC=BC,

：,AC=AD=BC=BD,

；?四邊形AO8C是菱形,

\fAD//BC,

:.ME'=AN,

'：AC=BC.

：,AH=^AB=\,

由勾股定理可得，?！?疹下=2&，

,/7xABxCH=；xBCxAN,

可得AN=t2,

3

：,ME,=AN=—

3t

???PE+P廠最小為生色.

3

故答案為；4，.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱-最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

易錯(cuò)點(diǎn)7：周長最小

例：如圖，408=30%0C為/AO3內(nèi)部一條射線，點(diǎn)P為射線。。上一點(diǎn)，0P=6,點(diǎn)M、N分別為04、

0B邊上動(dòng)點(diǎn),則周長的最小值為（）

【答案】A

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定M、N的

位置.作點(diǎn)。關(guān)于0A的對稱點(diǎn)1,點(diǎn)。關(guān)于。8的對稱點(diǎn)鳥，連接《鳥，與OA的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,與。8的

交點(diǎn)即為點(diǎn)M則此時(shí)M、N符合題意，求出線段4丹的長即可.

【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于。4的對稱點(diǎn)4,點(diǎn)夕關(guān)于。8的對稱點(diǎn)尸2,連接勺鳥，與04的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,

與。B的交點(diǎn)即為點(diǎn)N,

A

Pl

△PMN的最小周長為PM+MN+PN=+MN+,

連接OPZ,貝=OP=6,Zf]OA=ZAOC,ZP2OB=ZBOC,

???N《O6=2/AOB=60。,

???乙。46是等邊三角形，

??.4鳥=。[=6,即△PMN的周長的最小值是6.

故選:A.

變式1：如圖，在aABC中，點(diǎn)。為A8上一動(dòng)點(diǎn)，連接C。，點(diǎn)￡為線段C。上一點(diǎn)，點(diǎn)?，點(diǎn)G分別為邊

CA,邊。4上的動(dòng)點(diǎn)，若N4C4=30。，CE=6,則△所G的周長的最小值為.

【答案】6

【分析】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì).作點(diǎn)￡關(guān)「直線AC

的對稱點(diǎn)M,點(diǎn)E關(guān)于直線4。的對稱點(diǎn)M連接MN交AC于凡交BC于G,則此時(shí)，的周長最小，

最小值=MN，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)M,點(diǎn)E關(guān)于更線回的對稱點(diǎn)N,連接MV交AC于凡交BC

于G,

則此時(shí)，△EEG的周長最小，且△EFG的周長的最小值=的，

連接CM,CN,

???點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)M,點(diǎn)E關(guān)于直線8C的對稱點(diǎn)M

:?CM=CE=CN=6,ZMCF=NECF,小CG=/ECG,

???ZMCF+ZNCG=ZECF+/ECG=30°,

???/MCN=60。，

???是等邊三角形，

，MN=CM=6,

???^EFG的周長的最小值為6,

故答案為：6.

易錯(cuò)點(diǎn)8：中位線

例：如圖，在平行四邊形488中，ZC=135°,48=2,AO=3,點(diǎn)/G分別是CD8c上的動(dòng)點(diǎn)，連

接A",GH.E,F分別為A4,G”的中點(diǎn)，則石戶的最小值是（）

A.2B.72C.乎D.2夜

【答案】C

【分析】作AQL8C,根據(jù)中位線定理可推出進(jìn)一步可得當(dāng)4GJ.BC時(shí)，AG有最小值，此

時(shí)歷的值也最小.據(jù)此即可求解.

【詳解】解：作AQ_L8C,如圖:

???￡,尸分別為A”，G”的中點(diǎn)

：.EF=-AG

2

故：當(dāng)人G_L8C時(shí)，AG有最小值，此時(shí)的值也最小

:.EF的最小值是QAQ

?/ZC=135°M^=2

.-.ZB=180°-135°=45°

AQ=A8xsin450=&

，Er的最小值是正

2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形等.掌握相關(guān)結(jié)論即可.

變式1:已知矩形A3CO中，4y=24>=4,點(diǎn)昆尸分別是邊AN、C,〃的中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)為AD邊上動(dòng)點(diǎn)，過

點(diǎn)P作與A3平行的直線交所于點(diǎn)G,連接正，點(diǎn)M是正中點(diǎn)，連接MG,則MG的最小值=.

【答案】g

【分析】連接AC交PG與點(diǎn)M連接EN,利用勾股定理求得水?=2石，即有sin/ZMC邛，根據(jù)平行得

△4\右5“13和44〃65440/，有效=至=型.則有MG為△PEN的中位線，即MG=」EN,當(dāng)

CFAFDF2

FN

EN_LAC時(shí)，EN最小，MG也最小，利用sin/B4C=——，即可求得答案.

AE

【詳解】解：連接AC交PG于點(diǎn)N,連接目V,如下圖：

VAB=2AD=4,點(diǎn)、E、尸分別是邊A3、8的中點(diǎn),

2

/.CF-FD-AE-2,AC7A》十CD一,2?十4?一2行，

BC二2二石

???sinABAC=

~CA~245~~5~

,:PGHCD,

ANGsjCF,AAPGS^ADF,

.NGAGPG

'~CF~~AF~~DF'

,:CF=FD,

:.NG=PG,

???點(diǎn)M是PE的中點(diǎn)，

為△PEN的中位線，

:.MG=-EN,

2

當(dāng)ENJ.AC時(shí)，EN最小,MG也最小，

..EN_?

?=sinNBAC=—,

AE5

?皈26

??EN=------9

5

則=且.

2255

故答案為：當(dāng).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形中位線和三角函數(shù)的應(yīng)用.解題

關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，并得出中位線.

易錯(cuò)點(diǎn)9：斜中定值

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A8C。的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B是坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)，若正方形的邊長為

4,則線段OC長的最大值是（）

A.2+2石B.2+2石C.4及D.8

【答案】B

【分析】取48的中點(diǎn)E,連接OE、CE,則根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理得出?！?2百,

OE=^AB=2,結(jié)合圖形得出當(dāng)點(diǎn)E在線段。。上時(shí)，線段OC的長最大，即可求解.

【詳解】解：如圖，取A8的中點(diǎn)E,連接OE、CE,則=

???四邊形A8C。是正方形，邊長為4,

A^ABC=90°,AB=BC=4,則BE=pB=2,

在RSCE8中，NC8E=90。，由勾股定理，得CE=jBC2+BE2=2后

*/在Rt^AOB中，NAOB=90。，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，

AOE=-AB=2f

2

由圖可知：OC<OE+EC,當(dāng)點(diǎn)￡在線段OC上時(shí)，線段OC的長最大，最大值是OE+CE=2+2石,

故選B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊.上中線的性質(zhì)，勾股定理解三角形及三角形三邊關(guān)

系，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

變式1：如圖，長方形兩邊長A8=2,AO=I,兩頂點(diǎn)4、4分別在），軸的正半軸和x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),

則頂點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離最大值是.

【答案】1+V2/V2+1

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，確定出。。過

的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵.取AB的中點(diǎn)￡,連接。0、OE.DE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半可得。七二；A8,利用勾股定理列式求出OE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得

。力過點(diǎn)E時(shí)最大.

【詳解】解：如圖：取線段A6的中點(diǎn)K,連接。力、OE.DE,

VAB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，4408=90。，

???AE=BE=l=OE,

???四邊形A8CO是長方形，

AAD=BC=],ZDAB=90°,

'DE=《AE、AD2=6,

?：OD^OE+DE,

???當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)￡點(diǎn)。共線時(shí)，。。的長度最大.

，點(diǎn)。到點(diǎn)。的最大距離=OE+OE=1+夜，

故答案為：1+0.

易錯(cuò)點(diǎn)10：隱直線

例：如圖，在長方形A8C。中，A8=5,AD=3,動(dòng)點(diǎn)夕滿足“凡仍.長方形.a，則以+股的最小值為

A.國B.734C.V29D.5拒

【答案】A

【分析】本題考查矩形性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)題意先求出的面枳，再利用作對稱分析線段相加最小值

后用勾股定理即可求出本題答案.

【詳解】解：設(shè)△RS中A8邊上的高是〃，

???在長方形A8CQ中，AI3=5,AO=3,

S長方形AB8=5x3=15

?S^PAB=-S長方形aHCO?

??SMAB=§xl5=5,

：.-AB.h=-x5Ji=5即〃=2,

22t

動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與4B的距離是2的直線/上，如圖，作A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)E,連接班;，則班:

即為最短距離，

VAB=5,AE=2+2=4,

,,BE=>/AB2+AE2=\J5~+42=、/，

：?P4+P8的最小值為標(biāo)，

故選:A.

變式1：如圖，在矩形A8CD中，A8=5,40=12,點(diǎn)E是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接8旦CE,5、,皿=：S矩即。叱，

尸為AO上一動(dòng)點(diǎn)，連接政，則跖+CE+莊的最小值是.

【分析】取/W的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)N,連接MV、BD交于點(diǎn)E',過點(diǎn)￡/作￡FJL4）于尸'，過點(diǎn)石作

EG_L8c于點(diǎn)G,求出BD=QAB?+AD，=13，由M、N分別是ARCD的中點(diǎn)得到BM=CN=g,MN〃BC,

根據(jù)S、9=；S地形A8m求得EG4則點(diǎn)E在線段MN（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，證明EC=￡。，當(dāng)且僅當(dāng)3、

E、。三點(diǎn)共線時(shí)，BE+CE最小,即B￡+C￡=8O=13為BE+CE的最小值，由點(diǎn)尸在AO上運(yùn)動(dòng)，得到

當(dāng)￡U_LAT>時(shí)，E/取得最小值|,即可得到3E+CE+莊的最小值.

【詳解】解：如圖，取A4的中點(diǎn)M,CO的中點(diǎn)M連接MV、B。交于點(diǎn)E,過點(diǎn)￡作E9_L4）于9，

過點(diǎn)石作EG_L8C于點(diǎn)G,

;矩形A6CO中，A6=5,AD=12,

,BD=yjAB2+AD2=>/52+122=13?

■:M、N分別是A8、CO的中點(diǎn)，

ABM=CN=-,MN〃BC,

2

,S%BCE=TS矩形人網(wǎng)7八

；?；BCEG=；ABAD,即gx12xEG=》5x12,

???EG=-

2t

???點(diǎn)七在線段MN（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，

VC.。關(guān)于直線MN對稱，

:.EC=ED,

當(dāng)且僅當(dāng)3、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，BE+CE最小,即3F十CE=BD=13為3七十CE的最小值,

???點(diǎn)尸在AO上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)￡/_1人￡）時(shí)，石廠取得最小誼g,

531

??.BE+CE+產(chǎn)E的最小值是：BE+CE'+EF=8。+=13+-=—,

22

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸刈稱的性質(zhì)、靛短路徑等知識(shí)，求出6E+CE和石尸的最小

值是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)11:矩形對角線

例：如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,8C=4.點(diǎn)。是A8邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作邊AC、BC

垂線，垂足分別為￡，F(xiàn).連接石廠，則E尸的最小值為（）

A.3B.2.4C.4D.2.5

【答案】B

【分析】連接CD,求出AB的長度，根據(jù)矩形的性質(zhì)EF=CO,求的最小值，即求C。的最小值，當(dāng)

CZ）_LA8時(shí)，。。最?。桓鶕?jù)三角形的面枳公式即可求出CD的長，即可求解

VZAC^=90°,AC=3,8C=4,

,AB=y]AC2+BC2=5?

VDEIAC,DFA.BC,NAC3=90。，

:./DEC=ZACB=ZDFC=90°,

???四邊形CEDF是矩形：

；?CD=EF,

由垂線段最短可知，當(dāng)C￡>J_A小時(shí)，線段8最小，則線段后產(chǎn)的值最小,

此時(shí)s=-BCAC=-ABCD,

4八22

即;x3x4=gx5xCQ

ACD=2.4

???川的最小值為2.4,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1：如圖.直線尸。+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,片,點(diǎn)。是線段AR卜一動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)〃作PWLx軸于

4

點(diǎn)歷，作PN_Ly軸于點(diǎn)N,連接MN,則線段MN的最小值為.

【分析】如圖，連接0P,依題意，四邊形是矩形，則。P=MN,當(dāng)0P1A4時(shí)，0P最小，用等

面積法求得0P即可.本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，找到MN=OP是解題的關(guān)鍵.

【洋解】如圖，連接02，

???過點(diǎn)P作尸MLv軸于點(diǎn)作PN_Ly軸于點(diǎn)N,ZAOB=90°,

???四邊形OM/W是矩形，

???OP=MN,

???當(dāng)OP工A8時(shí)，0P最小，

???直線)，=。+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)人B,

4

令工=0,則y=3,

40.3),

令y=。,則0="t+3,解得x=-4,

/.我-4,0)

.-.OA=3,O/3=4,

.?.AB=JOA2+OB?=用+42=5'

當(dāng)。P_ZA8時(shí)，

SZAAA.o?Cr=—2OAxOB=—2OPxAB,

z?,OAxOB3x412

AB55

MN=OP=—.

5

I?

故答案為：y.

J

易錯(cuò)點(diǎn)12：數(shù)形結(jié)合

例：函數(shù)產(chǎn)&+2.r+2+&-6x+13的最小值是()

A.2+VF7B.1+2石C.5D.后

【答案】C

【分析】把3=，/+2入+2+，/一6x+13配方得J(X+1)2+(0—1『+J(X—3)2+(0—2)2,得到y(tǒng)就是在x軸

上的點(diǎn)？(笛0)到A(T1)和8(3,2)的距離之和，求得點(diǎn)A(T1)關(guān)于4軸的對稱點(diǎn)為連接48交

x軸于P,則此時(shí)，點(diǎn)尸(“0)到A(T1)和8(3,2)的距離之和最小，即為A8的長，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式

即可得到結(jié)論.

Iy

【詳解】.為

A?/

—*"卜-「A二

y=Jx2+2x+2+Vx2-6x4-13

=J(x+1)2+(。-1)+-^(x-3)2+(0-2)*

???)，就是在X軸上的點(diǎn)?(x,0)到4-1,1)和B(3,2)的距離之和,

?.?點(diǎn)A(-l.l)關(guān)于無軸的對稱點(diǎn)為

連接A79交x軸于點(diǎn)P,

則此時(shí)，點(diǎn)尸(以))到A(-1,1)和8(3,2)的距離之和最小,即為的長,

.?根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：A'B=^(-1-3)2+(-1-2)2=5，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值，兩點(diǎn)間的距離公式，推理出函數(shù)的最值就是43的長，是解題的關(guān)鍵.

變式1：數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對?個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東

西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原貝廠.在復(fù)習(xí)二次根式時(shí)，老師提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問題，如：“當(dāng)

0<x<12時(shí)，求代數(shù)式JZ￡+J(12-x):+9的最小值”,其中廬N可看作兩直角邊分別為“和2的

的斜邊長，70^7^9可看作兩直角邊分別是12-x和3的的斜邊長.于是構(gòu)造出如圖，

將問題轉(zhuǎn)化為求AP+8P的最小值.運(yùn)用此方法，請你解決問題：已知。，。均為正數(shù)，且。-10=-爪則

xla2+9+\lb2+25的最小值是.

【答案】2向

【分析】根據(jù)題中所給的思路，將廬3可以可看作兩直角邊分別是〃和3的Rt~4CP的斜邊長，廬石

可以可看作兩直角邊分別是方和5的的斜邊長，故問題轉(zhuǎn)化為求4P+BP的最小值，連接A8,則

A尸+8尸的最小值為A&再利用勾股定理計(jì)算出AB即可.

【詳解】解：如圖：必不可以可看作兩直角邊分別是〃和3的RLACP的斜邊長，廬而可以可看作

兩直角邊分別是/，和5的RL8OP的斜邊長，故問題轉(zhuǎn)化為求AP+8P的最小值，連接A3,則AP+3P的最

小值為AB,

Va-]0=—b?即a+Z?=10,

，BE=10,

VA石=3+5=8,

??AB=>/lO2+82=2V4T，

:.AP+BP的最小值為2向,

故答案為：2面.

【點(diǎn)睛】本題考宣勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是理解題中所給的思路，根據(jù)題干中的思路進(jìn)行解答.

易錯(cuò)點(diǎn)13：螞蟻爬行

例：如圖，已知圓柱底面的周長為6m,圓柱高為3m,AC為底面圓的直徑，一只螞蟻在圓柱的表面上從點(diǎn)

A爬到點(diǎn)C的最短距離為（）m.

A

B

A.2石B.3&C.3>/5D.5x/2

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定埋的應(yīng)用，把圓柱的側(cè)面展開，找出最短路徑4C,利用勾股定埋解答即可求解,

把圓柱的側(cè)面展開，找出最短路徑是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，線段AC的長度即為螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C的最短距離,

;圓柱底面的周長為6m,

BC=-x6=3m,

2

???48=3m,

：?AC=X/32+32=3V2m，

???螞蚊從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C的最短距離為3&m，

故選：B.

變式1：如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)。的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體

的表而從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是.

【答案】25

【分析】本題主要考查幾何體的展開圖及勾股定理，由題意得：①當(dāng)把長方體按照正面和右側(cè)進(jìn)行展開時(shí),

②當(dāng)沿長方體的右側(cè)和上面進(jìn)行展開時(shí)，然后利用勾股定理進(jìn)行求解最短路徑即可.

【詳解】解：由題意得：

①當(dāng)把長方體按照正面和右側(cè)進(jìn)行展開時(shí)，如圖所示：

...80=15,AO=20,

工在中，AB=yjBD2+AD2=25：

②當(dāng)沿長方體的右側(cè)和上面進(jìn)行展開時(shí)，如圖所示:

???在中，A8=j8￡>2+AD2=

VA/725>25,

工一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,

需要爬行的最短距離是25,

由長方體的特征可得其他途徑必定比①②兩種更遠(yuǎn)，故不作考慮;

故答案為：25.

易錯(cuò)點(diǎn)14：切線與勾股定理

例：如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)。到直線/的距離為3,點(diǎn)。是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切0。于點(diǎn)。，則

A.x/l3B.75C.3D.2

【答案】B

【分析】此題綜合考查了切線的性質(zhì)及垂線段最短等知識(shí)點(diǎn).因?yàn)镻Q為切線，所以△0PQ是直角三角形.乂

。。為定值，所以當(dāng)0P最小時(shí)，PQ最小，根據(jù)垂線段最短，知OP=3時(shí)出?最小，根據(jù)勾股定理得出結(jié)論

即可.

【詳解】解：???「。切于。。于點(diǎn)。，

.?.NOQP=90。，

/.PQ2=OP2-OQ2.

又第=2,

???PQ2=0尸-4,即夕。="。尸一4,

???當(dāng)OQ最小時(shí)，R2有最小值.

又?,?點(diǎn)。到直線,的距離為3,

:.0P的最小值為3,

：?PQx后二二邪.

故選:B.

變式1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是直線人A：y=gx+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，0O的半輕為1,過點(diǎn)P作。0

的切線，切點(diǎn)為Q,則。。長度的最小值為.

【分析】首先確定點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理解得的長度：連接OP,0Q,切線的性質(zhì)可得OQ-LP。，

所以在Rl△。尸。中，由勾股定理可得PQ=J。/—02?,當(dāng)OPUAB時(shí)，OP取最小值，。。也取最小值,

然后利用面積法解得0P的值，進(jìn)而確定。。長度的最小值即可.

【詳解】解：對于直線八A：y=；x+3,

令工=0,則y=3,即8(0,3),

令片0,則0=gx+3,解得x=-6,即4-6,0),

???0A=6,013=3,

,/乙404=90°,

***AB=do^+OB?=>/62+32=3x/5,

連接OP,OQ,如下圖,

y

???P。為00的切線，。。的半輕為1,即OQ=1,

0Q±PQ,

，在RtAOPC中，PQ=y/oP2-OQ2，

當(dāng)。PIA8時(shí)，0尸取最小值，也取最小值，

此時(shí)可有Soyf）=-ABxOP=-OAxOBt

g|J-x3^xOP=lx6x3,解得。P=延，

225

：?PQ=J。尸-OQ?=＞哈7=華，

???PQ長度的最小值為返.

5

故答案為：叵.

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題、勾股定理、垂線段最短、切線的性質(zhì)定理等知

識(shí)，正確作出輔助線，結(jié)合切線的性質(zhì)分析問題是解題關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)15：圓錐側(cè)面展開圖

例：如圖，圓錐的底面半徑是2,母線長是6.如果點(diǎn)A是底面圓周上一點(diǎn),從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)

面?圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長度是（）

C

二

A.6&B.6x/3C.12D.47r

【答案】B

【分析】此題考查了圓錐的計(jì)算；首先求出4。的長，再利用勾股定理求出A。以及AC的長即可.

【詳解】解：連接AC,過3作8D_LAC于O,

設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為〃。，

圓錐底面圓周長為2x2%二4?，黑,

IOV

則”=120,

?.?BC=BA,BDA.AC,

：.zABD=ar,

由AB=6,可求得80=3,

AD=3A/3,

AC=2AD=6x/3,

即這根繩子的最短長度是6G,

故選:B.

變式1：如圖，圓錐的母線長A8為2,底面圓的直徑為2,若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)8出發(fā)，沿表面爬到AC

的中點(diǎn)。處，則其爬行的最短路線長為.

【答案】V5

【分析】畫出圓錐的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷4〃的長為螞蟻爬行的最短路線長，設(shè)展開

圖的扇形的圓心角為〃。，利用弧長公式得到2萬？二^^廣，求出〃得到N3AC=90。，然后利用勾股定理計(jì)

180

算出4。'即可.

【洋解】解：如圖為圓錐的側(cè)面展開圖，連接〃77,則的長為螞蟻爬行的最短路線長,

設(shè)展開圖的扇形的圓心角為“。，

根據(jù)題意得？成=嘿^，

1o()

解得〃=180,

即/胡E=180。，

/.NBAC*=90。，

在中，==5

，螞蚊爬行的最短路線長為6.

故答案為：逐.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長，也考查了最短路徑問題.

易錯(cuò)點(diǎn)16：手拉手

例：如圖，在△ABC中，NACB=90。，AC=2C=2,點(diǎn)。是8。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ,則。。的最小值是()

A

Q

A.在B.JC.—D.-

4224

【答案】B

【分析】

本題考垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔

助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.如圖在C。的下方作等邊△8T,作射線丁。.證明△C。噂△'N)Q(SAS),

推出NDCP=NOTQ=90°,推出/?！?30。，推出點(diǎn)。在射線，。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CQ_L7Q時(shí)，CQ的值最小.

【詳解】

解：如圖，在CO的下方作等邊△口)丁，作射線TQ.

NCDT=NQDP=600,DP=DQ,DC=DT,

NCDP=/QDT,

在也。尸