《高等代數(shù)》考試大綱

一、課程簡介

高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)的基礎(chǔ)課之一。主要內(nèi)容包括：多項式理論；線性方程

組；行列式；矩陣；二次型；線性變換；歐氏空間等。本課程不僅注重講授代數(shù)

學的基本知識，更強調(diào)對于學生的代數(shù)學基本思想和基本方法的訓練、線性代數(shù)

基木計算的訓練以及綜合運用分析、幾何、代數(shù)方法處理問題的初步訓練.既有

較強的抽象性和概括性，又具有廣泛的應(yīng)用性。對于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力、

抽象思維能力和運算能力有著重要作用。

二、考查目標

主要考察考生對高等代數(shù)的基本理論和基本方法的理解和掌握情況及抽象

思維能力、邏輯推理能力和運算能力。

三、考試內(nèi)容及要求

第一章多項式

一、考核知識點

1、熟練掌握一元多項式整除的概念及性質(zhì)。

2、熟練掌握最大公因式的求法、性質(zhì)及多項式互素的充要條件。

3、熟悉因式分解定理的內(nèi)容，了解標準分解式的概念。

4、熟悉重因式的概念，熟練掌握k重因式的判定方法。

5、熟悉有關(guān)多項式函數(shù)的概念、余數(shù)定理。

6、熟練掌握代數(shù)基本定理，復系數(shù)多項式、實系數(shù)多項式因式分解定理的

內(nèi)容。

7、掌握本原多項式的概念。熟練掌握有理系數(shù)多項式與整系數(shù)多項式因式

分解的關(guān)系。熟練掌握整系數(shù)多項式有理根的性質(zhì)和求法。熟練掌握

Eisenstein判別法及應(yīng)用。

二、考核要求

識記：數(shù)域的概念，一元多項式的概念和運算性質(zhì)，次數(shù)定理，整除的概念和

常用性質(zhì)，帶余除法，最大公因式的概念和性質(zhì)，不可約多項式的概念和性質(zhì)，

因式分解及唯一性定理，標準分解式的概念，重因式的概念、性質(zhì)，多項式函數(shù)

的概念、性質(zhì)及根，代數(shù)基本定理，復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解定理，本

原多項式的概念、性質(zhì),Eisenstein判別法。

簡單應(yīng)用：

1、會求解或證明最大公因式。

2、會求有理系數(shù)多項式的有理根。

第二章行列式

一、考核知識點

1、掌握排列、逆序數(shù)、奇排列、偶排列的概念，熟悉對換的概念和性質(zhì)0

2、深刻理解n級行列式的概念。會用定義確定行列式各項的符號及簡單行列

式的值。

3、熟練掌握行列式的性質(zhì)，并利用行列式性質(zhì)計算行列式。

4、熟練掌握將行列式化成三角形行列式計算其值的方法。

5、掌握子式、余子式的概念。熟練掌握行列式按行（列）展開的方法，并用

其計算行列式時使用。掌握范德蒙行列式。

6、熟練應(yīng)用克蘭姆法則。

二、考核要求

識記：n級排列的概念、逆序數(shù)，奇排列、偶排列的概念，n級行列式的概念、

性質(zhì)，矩陣的概念及其初等變換，行列式按一行（列）展開定理，代數(shù)余子式，

范德蒙行列式,克蘭姆（Cramer）法則。

簡單應(yīng)用：

1、理解和掌握行列式性質(zhì)，并利用其計算行列式。

2、熟練掌握將行列式化成三角形行列式計算其值的方法。

3、熟練掌握行列式按行（列）展開的方法.

第三章線性方程組

一、考核知識點

1、熟悉初等變換、同解方程組、階梯形方程組、一般解、自由未知量、系數(shù)

矩陣、增廣矩陣的概念。并能熟練地用消去法求解線性方程組。

2、熟練掌握有關(guān)向量及向量空間的概念和向量運算。

3、深刻理解線性組合、向量組等價、線性相關(guān)、線性無關(guān)、極大線性無關(guān)組、

向量組的秩的概念。熟練掌握極大線性無關(guān)組的性質(zhì)求法。

4、熟練掌握矩陣行秩列秩的概念和關(guān)系，矩陣的秩與行列式、子式的關(guān)系。

5、熟練掌握線性方程組是否有解的判別定理的內(nèi)容。

6、掌握線性方程組解的性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)解系的概念，基礎(chǔ)解系所含向量

的個數(shù)與方程組系數(shù)矩陣秩的關(guān)系，會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、并用基礎(chǔ)

解系表出其全部解，會求非齊次線性方程組的用導出組的基礎(chǔ)解系表出的全部

解。

二、考核要求

識記：n維向最空間的概念和運算性質(zhì)，線性相（無）關(guān)性的概念和性質(zhì)，

矩陣的k級子式，矩陣的秩的概念、性質(zhì)，初等變換、同解方程組、階梯形方程

組、一般解、自由未知量、系數(shù)矩陣、增廣矩陣、基礎(chǔ)解系的概念，線性方程如

有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理。

簡單應(yīng)用：

1、熟練掌握求解線性方程組的方法。

2、熟練掌握極大線性無關(guān)組的性質(zhì)、求法。

3、掌握矩陣行秩與列秩的證明。

第四章矩陣

一、考核知識點

1、掌握矩陣的概念，熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘運算、轉(zhuǎn)置、矩陣乘法運算

及其性質(zhì)。

2、掌握矩陣退化和非退化的概念。熟練掌握矩陣乘積的行列式，因子的秩與

積的秩的關(guān)系。

3、掌握逆矩陣、伴隨矩陣的概念。熟練掌握伴隨矩陣與逆矩陣間的關(guān)系和逆

矩陣的性質(zhì)。

4、深刻理解矩陣分塊的意義，熟練掌握分塊矩陣的運算性質(zhì)和方法。

5、深刻理解初等矩陣的概念和意義。

6、深刻理解分塊乘法的初等變換的意義。熟練掌握并會應(yīng)用。

二、考核要求

識記：矩陣的概念與運算，矩陣乘積的行列式與秩，伴隨矩陣，矩陣的逆的

概念、性質(zhì)，矩陣退化和非退化的概念，矩陣分塊的概念和分塊矩陣的運算，初

等矩陣及與矩陣的初等變換的關(guān)系，分塊乘法的初等變換。

簡單應(yīng)用：

1、熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘矩陣、轉(zhuǎn)置、矩陣乘法運算及其性質(zhì)。

2、熟練掌握伴隨矩陣與逆矩陣間的關(guān)系和逆矩陣的性質(zhì)，會求逆矩陣。

3、熟練掌握并應(yīng)用分塊乘法的初等變換。

第五章二次型

一、考核知識點

1、掌握線性替換、線性替換的退化、非退化，二次型及其矩陣、矩陣合同的概

念。

2、掌握二次型標準形的概念。熟練的掌握用配方法和合同變換法化二次型為標

準形。

3、深刻理解規(guī)范形的概念。掌握正、負慣性指數(shù)，符號差的概念。熟練掌握將

復二次型和實二次型化成規(guī)范形的方法。

4、掌握正定二次型、半正定二次型、負定二次型、半負定二次型和不定二次型

的概念。熟練掌握正定二次型判定法。

二、考核要求

識記：掌握線性替換、線性替換的退化、非退化，二次型及其矩陣、二次型

標準形、矩陣合同的概念，實二次型的規(guī)范形、正負慣性指數(shù)，符號差的概念，

復二次型的規(guī)范形，正定二次型、半正定二次型、負定二次型、半負定二次型和

不定二次型的概念。

簡單應(yīng)用

1、熟練的掌握配方法和合同變換法化二次型為標準形。

2、熟練掌握將復二次型和實二次型化成規(guī)范形的方法。

3、熟練掌握正定二次型判定法。

第六章線性空間

一、考核知識點

1、掌握集合、映射1-1對應(yīng)及其與之相關(guān)的概念。掌握集合運算、映射運算的

符號和性質(zhì)。

2、深刻理解線性空間的定義，熟記線性空間的簡單性質(zhì)。

3、深刻理解線性空間中向量的線性組合、線性表示、向量組的等價，線性相關(guān)、

線性無關(guān)、維數(shù)、基與坐標的概念。掌握向量組崗成基的條件。

4、掌握基變換與坐標變換的概念。熟練掌握基變換與坐標變換運算。

5、熟悉子空間、生成向量組的概念。深刻理解生成組等價與生成子空間的關(guān)系，

子空間的基與整個空間的基的關(guān)系。

6、掌握解子空間的交與和的概念，掌握維數(shù)定理。

7、掌握直和的概念，深刻理解直和的充要條件。

二、考核要求

識記：線性空間的定義與簡單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標的概念和性質(zhì)，基變換

與坐標變換，線性子空間的概念和性質(zhì)，子空間的交與和的概念及性質(zhì)，子空間

的直和的定義及判別準則，線性空間的同構(gòu)，同溝映射的概念和性質(zhì)。

簡單應(yīng)用：

1、掌握向量組構(gòu)成基的條件，會求有限維線性空間的基和維數(shù)。

2、熟練掌握基變換與坐標變換運算。

3、熟練掌握直和的證明方法。

第七章線性變換

一、考核知識點

1、掌握線性變換的概念；熟練掌握線性變換的運算及其性質(zhì)。

2、掌握線性變換與其矩陣的關(guān)系，熟練掌握線性變換及其運算的矩陣表示，同

一個線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系。

3、掌握線性變換與矩陣的特征多項式、特征值、特征向量的概念，熟練掌握特

征值、特征向量的求法。掌握相似矩陣特征多項式的關(guān)系。一般了解哈密爾頓-

凱萊定理的條件和結(jié)論。

4、深刻理解特征向量的性質(zhì)和線性變換在某組基下為對角矩陣的充要條件。

5、掌握線性變換的值域與核的概念，以及他們維數(shù)間的關(guān)系。

6、掌握不變子空間的概念，深刻理解線性矩陣的化簡與不變子空間之間的關(guān)系。

二、考核要求

識記：線性變換的定義、運算及其簡單性質(zhì)，線性變換的矩陣及其性質(zhì)，矩

陣的相似關(guān)系的定義及其性質(zhì)，特征多項式、特征值與特征向量的定義、性質(zhì)，

線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的條件(即矩陣相似于對角矩陣的條

件)，線性變換的值域與核的概念及性質(zhì)，不變子空間的概念，若當(Jordan)

標準形的概念。

簡單應(yīng)用

1、掌握同一個線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系，會求線性變換在給定基下

的矩陣。

2、熟練掌握線性變換與矩陣的特征值、特征向量的求法。

3、熟練掌握特征向量的性質(zhì)，以及線性變換的矩陣在某組基下為對角陣的充要

條件。

4、會求線性變換的值域與核，會求線性變換的不變子空間。

第八章歐氏空間

一、考核知識點

1、掌握歐氏空間，向量的長度，夾角，垂直，線性變換的度量矩陣的概念和度

量矩陣的性質(zhì)。

2、掌握標準正交基、正交矩陣的概念。深刻理解標準正交基的性質(zhì)。熟練學:握

施密特正交化方法。

3、深刻理解同構(gòu)的概念和意義。熟練掌握同構(gòu)的充要條件。

4、掌握正交變換、第一類、第二類正交變換的概念。熟練掌握正交變換的等價

命題。

5、掌握正交子空間、正交補的概念。熟練掌握正交子空間的性質(zhì)。

6、深刻理解實對稱矩陣與正交矩陣的關(guān)系。能熟練地運用正交線性替換將一個

實二次型化為標準形。

二、考核要求

識記：歐兒里得空間（含內(nèi)積）的定義與基本性質(zhì)，向量的長度、夾角、垂

直的概念，歐幾里得空間中基的度量矩陣，正交向量組、正交基、標準正交基的

定義、基本性質(zhì)，正交變換、正交矩陣的定義和性質(zhì)，正交子空間、正交補的概

念，對稱變換、實對稱矩陣的性質(zhì)。

簡單應(yīng)用

1、熟練掌握施密特正交化方法。

2、會利用基的度量矩陣求向量的長度、夾角。

3、掌握正交變換的證明。

4、會用正交線性替換將一個實二次型化為標準型。

*關(guān)于能力層次的說明：

識記：要求學生能知道本章節(jié)中有關(guān)的概念、定理的含義，并能正確認識和表

述。

領(lǐng)會：要求在識記的基礎(chǔ)上，能全面把握本章中的基本概念、基本原理、基本

方法，能掌握有關(guān)概念、定理、方法的區(qū)別與聯(lián)系。

簡單應(yīng)用：要求在領(lǐng)會的基礎(chǔ)上，能運用本章中的基本概念、