二次函數(shù)與菱形

1.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y^x2+bx+c的圖象與x軸交于4、8兩點,4點在原點的

左側(cè)，8點的坐標為(3,0),與v軸交于C(0,-3)點，點夕是直線8c下方的拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)當點P運動到什么位置時，四邊形力8PC的面積最大并求出此時0點的坐標和四邊形彳8%

的最大面積.

⑶連接尸0、PC,并把△刃C沿笫翻折，得到四邊形戶的C,那么是否存在點只使四邊形戶0戶'

C為菱形？若存在，請求出此時點夕的坐標；若不存在，請說明理

2.已知拋物線y=ax?+bx+8(a21)過點D(5,3),與x軸交于點B、C(點B、C均在y軸右側(cè))

且BC=2,直線BD交y軸于點A,

(1)求拋物線的解析式；

(2)在坐標軸上是否存在一點N,使aABN與ABCD相似？若存在，求出點A、N的坐標；若不

存在，請說明理由.

(3)在直線BD上是否存在一點P和平面內(nèi)一點Q,使以Q、P、B、C四點為頂點的四邊形為菱形？

IAV/

若存在，請直接寫出點p的坐標；若不存在，請說明理由.T/

3.如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為坐標原點0,y軸為對稱軸，且經(jīng)過點A(3,3),一次函數(shù)的圖

象經(jīng)過點A和點B(6,0).

(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;

(2)如果一次函數(shù)圖象與y軸相交于點C,E是拋物線上0A段上一點，過點E作y軸平行的直

線DE與直線AC交于點D,ZD0E=ZEDA,求點E的坐標;

(3)點M是線段AC延長線上的一個動點，過點M作y軸的平行線交拋物線于F,以點0、C、M、

F為頂點的四邊形能否為菱形？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由.

4O如圖，已知拋物線經(jīng)過原點0和x軸上一點4(4,0),拋物線頂點為￡它的對稱軸與x軸

交于點2直線*-24-1經(jīng)過拋物線上一點8(-2,加且與v軸交于點C,與拋物線的對稱軸

交于點F.

(1)求勿的值及該拋物線對應(yīng)的解析式;

(2)P(x,0是拋物線上的一點，若S△加=S△.求出所有符合條件的點"的坐標;

(3)點。是平面內(nèi)任意一點，點的從點尸出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速

運動，設(shè)點"的運動時間為亡秒，是否能使以。、4E、"四點

點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點〃的運動時間亡的值;

能，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A(-3,4)、

B(-3,0)、C(-1,0).以D為頂點的拋物線廠ax'+bx+c過點B.動點P從點D出發(fā)，沿DC

邊向點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)，沿BA邊向點A運動，點P、Q運動的速度均為每秒1個

單位，運動的時間為t秒.過點P作PE_LCD交BD于點E,過點E作EF_LAD于點F,交拋物線

于點G

(1)求拋物線的解析式；

(2)當t為何值時，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

(3)動點P、Q運動過程中，在矩形ABCD內(nèi)(包括其邊界)是否存在點H,使以B,Q,E,H為頂

點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時菱形的周長；若不存在，請說明理由.

6.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2-2ax-3a交x軸于A、B兩點，交y的正半軸

于點C,連接BC,且0B=0C.

(1)求拋物線的解析式;

⑵如圖2,點D為第一象限拋物線上一點，過點D作DE_LBC于點E,設(shè)DE=d,點D的橫坐標為

t,求d與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，點F為拋物線的頂點，對稱軸交x軸于點G,連接DF,過D作DH_LDF交

FG于點H,點M為對稱軸左側(cè)拋物線上一點，點N為平面上一點且tanNHDN二K,當四邊形DHMN

為菱形時，求點N的坐標.

v

tyt

7.如圖，拋物線y=ax2-2x+c(a=#0)與x軸、y軸分別交f"點A,B,C三點，已知點A(-2,0),

點C(0,-8),點D是拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)如圖1,拋物線的對稱軸與x軸交于點E,第四象限的拋物線上有一點P,將4EBP沿直線

EP折疊，使點B的對應(yīng)點B1落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；

(3)如圖2,設(shè)BC交拋物線的對稱軸于點F,作直線CD,點M是直線CD上的動點，點N是平面內(nèi)

點，當以點B,F,M,N為頂點的四邊形是菱形時,請直接寫出點M的坐標.

8.如圖，口ABCD的兩個頂點B,D者卜在拋物線y=二x?+bx+c上，且0B=0C,AB=5,tanZACB=—.

84

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線上是否存在點E,使以A,C,D,E為頂點的四邊形是菱形？若存在,請求出點E的

坐標；若不存在，請說明理由.

(3)動點P從點A出發(fā)向點D運動，同時動點Q從點C出發(fā)向點A運動，運動速度都是每秒1個

單位長度，當一個點到達終點時另一個點也停止運動，運動時間為t(秒).當t為何值時，△APQ

是直角三角形？

9.如圖，拋物線y二-a乂?-lix+1與v軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B,過點B

44

作BC_Lx軸，垂足為點C(-3,0).

(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式;

(2)動點E在線段0C上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點E作EG_Lx軸，交直

線AB于點F,交拋物線于點G.設(shè)點E移動的時間為t秒，GF的長度為s個單位，求s與t的

函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍;

(3)設(shè)在(2)的條件下(不考慮點E與點0、C重合的情況)，連接CF,BG,當t為何值時，四

邊形BCFG為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCFG是否菱形？請說明理由.

10.如圖，已知拋物線y=ax2+c過點(-2,2),(4,5),過定點F(0,2)的直線I：y=kx+2

與拋物線交于A、B兩點，點B在點A的右側(cè)，過點B作x軸的垂線，垂足為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點B在拋物線上運動時，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系(＞、V、=),并證明你的判斷;

(3)P為y軸上一點，以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，設(shè)點P(0,m),求自然數(shù)m的值;

(4)若k=1,在直線I下方的拋物線上是否存在點Q,使得AOBF的面積最大？若存在，求出點

Q的坐標及aOBF的最大面積；若不存在，請說明理由.

11.如圖，拋物線y=ax?+bx-2的對稱軸是直線x=1,與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

點A的坐標為(-2,0),點P為拋物線上的一個動點，過點P作PDJ_x軸于點D,交直線BC于

點E.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點P在第一象限內(nèi)，當0D=4PE時，求四邊形POBE的面積；

(3)在(2)的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系內(nèi)一點，是否存在這樣

的點M和點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存

在，請說明理由.

12.如圖1,拋物線y=ax?+bx+4的圖象過A(-1,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C,作直

線BC,動點P從點C出發(fā)，以每秒正個單位長度的速度沿CB向點B運動，運動時間為t秒，當

點P與點B重合時停止運動.(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖2,當t=1時，求SJCP的面積;

(3)如圖3,過點P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F兩點.

①求PF的長度關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求出PF的長度的最大值；

13o如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax?+bx+3與x軸交于點A(-4,0),B(-1,0)

兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第三象限的拋物線上有一動點D.

①如圖(1),若四邊形0DAE是以0A為對角線的平行四邊形，當平行四邊形0DAE的面積為6時,

請判斷平行四邊形0DAE是否為菱形？說明理由.

②如圖(2)，直線y=工x+3與拋物線交于點Q、C兩點，過點D作直線DF_Lx軸于點H,交QC于

2

點F.請問是否存在這樣的點D,使點D到直線CQ的距離與點C到直線DF的距離之比為證:2?

若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a(x+1)?-3與x軸交于A,B兩點(點A在點

B的左側(cè))，與y軸交于點C(0,-3),頂點為D,對稱軸與x軸交于點H,過點H的直線I交

3

拋物線于P,Q兩點，點Q在y軸的右側(cè).

(1)求a的值及點A,B的坐標；

(2)當直線I將四邊形ABCD分為面積比為3:7的兩部分時，求直線I的函數(shù)表達式；

(3)當點P位于第二象限時，設(shè)PQ的中點為M,點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形

DMPN能否為菱形？若能，求出點N的坐標；若不能，請說明理由.

15o已知，如圖，在平面直角坐標系中，4ABC的邊BC在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，0A=2,

0B=1,0C=4.

(1)求過A、B、C三點的拋物淺的解析式；

(2)設(shè)點G是對稱軸上一點,求當4GAB周長最小時，點G的坐標;

(3)若拋物線對稱軸交x軸于點P,在平面直角坐標系中，是否存在點Q,使aPAQ是以PA為腰

的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點Q的坐標，并選擇其中一個的加以說明；

若不存在，說明理由；

(4)設(shè)點M是x軸上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在點N,使得以點A、B、M、

N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由.

16o如圖，已知拋物線G：尸-2x2,平移拋物線yr2,使其頂點D落在拋物線6位于y軸右側(cè)的

2

圖象上，設(shè)平移后的拋物線為G,且C2與y軸交于點CQ2).

(1)求拋物線C2的解析式；

(2)拋物線C2與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè))，求點A,B的坐標及過點A,B,C的圓

的圓心E的坐標;

(3)在過點(0,1)且平行于x軸的直線上是否存在點F,使四邊形CEBF為菱形？若存在，求出

2

點F的坐標；若不存在，請說明理由.

17.如圖，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y二工x?+bx+c經(jīng)過A、B兩點，

3

與x軸的另一個交點為C,連接BC.

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標；

(2)點M在拋物線上，連接MB,當/1^4+/。80=45°時，求點M的坐標；

(3)點P從點C出發(fā)，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿線段BC由B向C運動，

P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當Q點到達C點時，P、Q同時停止運動，試問在坐標

平面內(nèi)是否存在點D,使P、Q運動過程中的某一時刻，以C、D、P、Q為頂點的四邊形為菱形？

若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，說明理由.

拋物線與菱形的專題參考答案

1o解：(1)將8、。兩點的坐標代入得

b=-2

解得：

c=-3

所以二次函數(shù)的表達式為：y=/-2x-3

-2x-3),

則。點的坐標為（x,x-3）;

SE邊整A8P<FS4A蛀S△CPQ

=1AB*OC+\Q入OR-IQP?BF

222

得X4X3+￡（-X2+3X）X3

乙乙

=-衛(wèi)（x-a）2口（10分）

228

當X=J忖，四邊形48QC的面積最大

x2

此時0點的坐標為（旦-西），四邊形4?外的面積的最大值為W.

248

（3）存在點只使四邊形HWC為菱影；

設(shè)戶點坐標為（x,x-2x-3）,PPf史CO于E

若四邊形qT。是菱形，則有PUPO；

連接，則P￡LC0于￡,

：.OFE是

2

??.尸-J；（6分）

2

：.x-2x-3=一2

2

解得X尸蘭近，X2二2一疝（不合題意,舍去）

22

???夕點的坐標為（生叵，-￡）

22

2o解：（1）設(shè)B點坐標為（XI,0）,C點坐標為（X2,0）,

則XisX2是方程ax?+bx+8=0的兩根,

?**X1+X2二——,XiX2=—,

aa

VBC=IXI-X2|=2,

2

（Xi-x2）-4,即（X1+X2）-4xix2=4,

2

.,?旦一四二4①，

a2a

把D點坐標代入拋物線解析式可得25a+5b+8=3②,

1

a兩

由①②可解得［an或,(舍去),

lb=-6

???拋物線解析式為y=x2-6x+8;

(2)在y=x?-6x+8中，令y=0可得x?-6x+8=0,解得產(chǎn)2或x=4,

AB(2,0),C(4,0),

設(shè)直線BD解析式為y=kx+s,

把B、D坐標代入可得(2k+s=0,解得(k=1,

I5k+s=3Is=-2

?,?直線BD解析式為y=x-2,

???A(0,-2),

①當點N在x軸上時，設(shè)N(x,0),則點N應(yīng)在點B左側(cè)，

JBN=2-x,

VA(0,-2),B(2,0),D(5,3),

1?AB=2心BD=3加

??ZABN=ZDBC,

有△BCDsZ\BNA或△BCDS/\BAN,

當△BCDsZ^BNA時，則有理工區(qū),即乎二解得x二2,此時N點坐標為(2,0);

BABN2&2-x33

當△BCDs/\BAN時，則有些二區(qū),即&Z2二一=，解得x=-4,此時N點坐標為(-4,0);

BNBA2-x2V2

②當點N在y軸上時，設(shè)N(0,y),則點N應(yīng)在A點上方,

AAN=y+2,

由上可知有△BCDs/\ABN或△BCDsaANB,

當△BCDs/^ABN時，則有些二些，gp2==3V2解得y=4,此時N點坐標為(0,4)；

ABAN272y+2

當△BCDs/\ANB時，則有些二雙，即，-二里.，解得y=-2,此時N點坐標為(0,-2)：

ANABy+22V233

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為(2,0)或(-4,0)或(0,4)或(0,2)；

33

(3)???點P在直線BD上，

???可設(shè)P(t,t-2),

222

???BP:4(t-2)+(t-2)注屈It-2|,PC=^(t-4)+(t-2)^721-l2t+20?

???以Q、P、B、C四點為頂點的四邊形為菱形，

???有BC為邊或BC為對角線，

當BC為邊時，則有BP二BC,即加|t-2|二2,解得t=2+&或t=2-后,此時P點坐標為(2+沈,

加)或(2-&，V2)；

當BC為對角線時，則有BP=PC,即WK-2|=42t2_]2t+20,解得t=3,此時P點坐標為(3,

1);

綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為(2+加，沈)或(2-加，加)或(3,1).

3.解：(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax?,

把點A(3,3)代入得3二aX3?,解得a二工；

3

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,

把點A(3,3)、點B(6,0)代入得e+b=3,解得]k=T,

6k+b=0Ib=6

所以二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式分別為y=.Lx2,y=-x+6;

3

(2)C點坐標為(0,6),

VDE/7y軸,

JNODE=NCOD,NEDA=NOCD,

INDOE=NEDA,

.?.NDOE二NOCD,

.,.△OCD^ADOE,

AOC:OD=OD：DE,即0D2=0C?DE,

設(shè)E點坐標為則D點坐標為(a,6-a),

3

0D2=a2+(6-a)2,=2a2-12a+36,0C=6,Dt=6-a-la2,

3

/.2a?-12a+36=6(6-a--a2)，解得a1=0,a=—,

322

???E是拋物線上0A段上一點，

A0<a<3,

?a-3

2

???點E坐標為(21);

24

(3)以點0、C、M、F為頂點的四邊形不能為菱形.理由如下：

如圖，過0點作0F/7AC交拋物線于F,過F點作FM〃y軸交AC延長線于M點,交x軸于H點,

則四邊形OCMF為平行四邊形，

?：0C=0B=6f

：.A0CB為等腰直角三角形，

AZ0BC=45°,

AZH0F=45°,

/.A0HF為等腰直角三角形，

AHO=HF,

設(shè)F點坐標為(m,-m)(m>0).

把F(m,-m)代入y=工x?得-"Ln、解得向=0,m2=-3,

33

/.m--3,

.?.HO=HF二3,

???0F=&0H=3g,

而0C=6,

.,?四邊形OCMF不為菱形.

4.解：(1)???點8(-2,加)在直線*-2x-1上

A/7F35(-2,3)

又??,拋物線經(jīng)過原點0

設(shè)拋物線的解析式為y=ax+bx

???點8(-2,3),4(4,0)在拋物線上

.(4a-2b=3

**ll6a+4b=0，

，」

解得；a’.

b=-l

??2

?設(shè)拋物線的解析式為y=lx-X.

4

(2)???P(x,一是拋物線上的一點,

???P(X，￥->)*

若S^ADi^-S/xADCf

?S△雨=^AD*0C?SAADP|y|?

又???點C是直線片-2x-1與y軸交點，

：.C(0,1),

???00\,

???|-^x2-x|=b即1乂2-x=l或3x'x二-1,

_

解得：乂產(chǎn)2+2a,X2=2272?X3=X4=2-

??

,點戶的坐標為P](2+272，1),P2(2-2近,1),P3(2,-1)?

(3)結(jié)論：存在.

二,拋物線的解析式為y=-Y2—X，

4

???頂點￡(2,-1),對稱軸為*2；

點尸是直線尸-2x-1與對稱軸片2的交點，：.F(2,-5),。后5.

又???4(4,0),

AAE^.

如右圖所示，在點"的運動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形：

①菱形AEM-a.

???此時麗A昌氐

?,.林FDF-DE-濟4-臟,

亡尸4-立；

②菱形AEOMi.

'：此時DM^DE=\,

??.腸片用/用二6,

，22二6；

③菱形AEM^.

［此時E歸A國Q

：.ZM二功-D田臟-1,

...廄片圾+。片(V5-D+5=4+加,

???&=4+，兀；

④菱形A肱EQ4.

此時彳￡?為菱形的對角線，設(shè)對角線〃?與眼Q交于點“，則4RL也Q,

,/易知△/4￡P(guān)s△眼日/,

???等渭，即￥1_，得腹反工

AEDEV512

:.D3根E-DF昌-1=3,

22

二版片ZM+D片輸5二衛(wèi)，???公衛(wèi).

222

綜上所述，存在點、M、點、。,使得以。、4E、"四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：G二4一的,

后6,右3=4+遂，力二里.八，：

5o解：(1)由題意得，頂點D點的坐標為(-1,4).

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)2+4(aWO),

???拋物線經(jīng)過點B(-3,0),代入尸a(x+1)?+4

可求得a=-1

工拋物線的解析式為y=-(x+1)，4,即尸-x、2x+3.

(2)由題意知，DP=BQ=t,

VPE//BC,

.,.△DPE^ADBC.

?DP=DC=9

PEBC

.,.PE=lDP=lt.

22

???點E的橫坐標為-1-Lt,AF=2-lt.

22

將X=-1-Lt代入y二-(x+1)2+4,得y=-乂2+4.

24

???點G的縱坐標為-Lt44,

4

GE=-lt2+4-(4-t)=-lt-t.

44

如圖1所示：連接BG.

=++

S有邊布BDGQSABOGSABEGSAOEGRpSBOGO=—BQ*AF+—EG*(AF+DF)

22

=lt(2-It)-lt2+t.

224

=-lt2+2t=-l(t-2)2+2.

22

???當t=2時，四邊形BDGQ的面枳最大，最大值為2.

(3)存在.

VCD=4,BC=2,

AtanZBDC=l,BD=2在.

.,.cosZBDC=.?2^.

5

?.'BQ=DP二t,

,迷二恒.

2

如圖2所示：當BE和BQ為菱形的鄰邊時，BE=QB.

VBE=BD-DE,

ABQ=BD-DE,即t二2加一返t,解得t=20-8加.

2

???菱開彳BQEH的周長=80-3275.

如圖3所示：當BE為菱形的對南時，則BQ=QE,過點Q作QMJ_BE,則BM=EM.

VMB=cosZQBM?BQ,

AMB=^t.

5

,BE二9t.

5

\'BE+DE=BD,

角單彳導：1=20.

5213

???菱形BQEH的周長為"

13

綜上所述，菱形BQEH的周長為現(xiàn)或80-32%.

13

6o解：(1)對于拋物線y=ax?-2ax-3a,令y=0,得到ax?-2ax-3a=0,解得x=-1或3,

AA(-1,0),B(3,0),

/.0A=1,0B=0C=3,

AC(0,3),

/.-3a-3,

a=-1,

，拋物線的解析式為y=-X2+2X+3.

(2)如圖2中，作DTJ_AB于T,交BC于R.設(shè)D(t,-t2+2t+3).

圖2

V0B=0C,ZB0C=ZRTB=90°,

AZ0BC=ZTRB=ZDRE=45°,

VDE±BC,

AZDER=90°,

AADER是等腰直角三角形，

??,直線BC的解析式為y=-x+3,

AR(t,-t+3),

.??DR=-t?+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,

?'?DE=DR,cos450=一返t?+3&t.

22

???D、M關(guān)于對稱軸對稱，點N在對稱軸上，

設(shè)DM交FH于Q,作HK±DN于K.

TtanNHDK=箸霹，設(shè)HK=12k,DK=5k,貝寸DH二標二而”=13k,

JDN=DH=13k,NK=DN-DK=8k,

在RtZXNHK中，NH二五居而N(8k)2+(12k產(chǎn)WB,

AQN=QH=27i3k,

SADNH=1?NH?DQ=1*DN?HK,

22

，DQ二3風

???tan/QDH=&l=2,

QD3

VDF±DH,

AZ0DH+ZFDQ=90°,VZQFD-ZFDQ=90°,

NDFQ=NQDH,

???tanNDFQ二四2,

FQ3

??,拋物線的頂點F(1,4),Q(1,-t2+2t+3),

???FQ=4一(-t2+2t+3),

.?_____tzia

4-(-t2+2t+3)3

解得仁立，

2

AD(1,工)，

24

.\DQ=1-1=1,

22

??QN二2

*QD3，

AQN=1,

AN(1,11).

4

7o解：(1)將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式得:[4a+4+c=°,

lc=-8

解得：a=1,c=-8.

???拋物線的解析式為y=x2-2x-8.

,:V=(x-1)2-9,

AD(1,-9).

(2)將y=0代入拋物線的解析式得:x2-2x-8=0,解得x=4或x=-2,

AB(4,0).

Vy=(x-1)2-9,

工拋物線的對稱軸為x=1,

???E(1,0).

???將4EBP沿直線EP折疊，使點B的對應(yīng)點B,落在拋物線的對稱軸上,

AEP為NBEF的角平分線.

AZBEP=45°.

設(shè)直線EP的解析式為v=-x+b,將點E的坐標代入得：-1+b=0,解得b=1,

?,?直線EP的解析式為y=-x+1.

將尸-x+1代入拋物線的解析式得：-x+1=x?-2x-8,解得:x=二運或運.

22

???點P在第四象限,

-l+V37

??X八=一,■

2

???y士巨.

2

...p(HA/S71->/37)

??-2-'-2-?

(3)設(shè)CD的解析式為尸kx-8,將點D的坐標代入得：k-8=-9,解得k=-1,

?,?直線CD的解析式為y=-x-8.

設(shè)直線CB的解析式為尸k?x-8,將點B的坐標代入得：42-8=0,解得：k2=2.

?,?直線BC的解析式為y=2x-8.

將x=1代入直線BC的解析式得：y=-6,

AF(1,-6).

設(shè)點M的坐標為(a,-a-8).

當MF二MB時，(a-4)2+(a+8)2=(a-1)2+(a+2)2,整理得：6a=-75,解得：a二-里，

2

???點M的坐標為(-至，1).

22

當FM=FB時，(a-1)2+(a+2)2=(4-1)2+(-6-0)2,整理得：a2+a-20=0,解得：a=4或

a=-5.

???點M的坐標為(4,-12)或(-5,-3).

綜上所述，點M的坐標為(-至，2)或(4,-12)或(-5,-3).

22

8o解：⑴V0B=0C,0A±BC,AB=5,

AAB=AC=5.

，tanNACB二空?二三

OC4

?*-OA=|oC?

由勾股定理,#OA2+OC2=AC2,

(1-0C)2+0C—A解得OC二±4(負值舍去).

?*-OA=1oC=3,0B=0C二4,AD=BC=8.

AA(0,3),B(-4,0),C(4,0),D(8,3).

'Ip

令X(-4)-4b+c=0

?O

??

12

8>8b+c=3.

o

解之得,b*,

c=5.

，拋物線的解析式為y=_AX2+^X+5;

84

（2）存在.

???四邊形ABCD為平行四邊形，

AAC=AB=CD.

5CVAD#=CD,

，當以A,C,D,E為頂點的四邊形是菱形時,AC=CD二DE二AE.

由對稱性可得，此時點E的坐標為（4,6）

當x=4時，y=-AX2+.?.X+5=6,所以點（4,6）在拋物線y=八x?+&x+5上.

8484

???存在點E的坐標為（4,6）;

(3)???四邊形ABCD為平行四邊形,

AAD/7BC,

AZDAC=ZACB<90°.

???當△APQ是直角三角形時，NAPQ=90°或NAQP=90°.

LosNACB窄4,

?,4

,,cosZPAQ=-z-

5

由題意可知AP=t,AQ=5-t,0WtW5.

當NAPQ=90°時，cos/PAQ?，

AQ

?t4

??瓦丁？

解得t=型.

9

當NAQP=90°時，cos/PAQ筆，

Ai

???—二1,解得t3.

t59

V0＜當＜5,0＜孕＜5

99

J》或四.

99

9.解：(1)由拋物線的解析式知：A(0,1);

???BC_Lx軸，且點C(-3,0)

???點B的橫坐標為-3,將其代入拋物線的解析式中，得:

-1X9+1Z-X3+1=1

442

?,?點B(-3,a);

2

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+1,有：

-3k+1=l,k=-l

22

??.直線AB：y=-lx+1.

2

(2)由題意,OE=t,則點E(—t,0)；(0WtW3)

當x二-t時，點F(-t,工t+1),點G(-t,-i.t2+lZ.t+1)

244

.?.GF=I(-lt2+Ht+1)-(lt+1)|=-

44244

即：s=-&+&(0WtW3).

44

(3)因為BC_Lx軸，GE_Lx軸，所以BC〃GF;

若四邊形BCFG是平行四邊形，那么BC=FG,即:

s=-5t?+嶼:二旦解得：t=1或2.

442

當t=1時，點F(-即CF二BC,該平行四邊形是菱形;

當t=2時，點F(-2,2),諾加，即CF于BC,該平行四邊形不是菱形;

綜上，當t=1或2時，四邊形BCFG是平行四邊形，其中t=1時，該平行四邊形是菱形.

10.解：⑴把點(-2,2),(4,5)代入尸ax?+c得—a+c二2,解得a3,

16a+c=5c=i

所以拋物線解析式為y=lx2+1;

4

(2)BF=BC.

理由如下：

設(shè)B(x,lx2+1),而F(0,2),

4

22222222

BF=X+(1X+1-2)=x+(lx-1)2=(lx+1),

444

.\BF=1X2+1,

4

VBC±x軸，

.\BC=1X2+1,

4

ABF=BC;

(3)如圖1,m為自然數(shù)，

當m=0時，易得四邊形BCPF為正方形，此時P點在原點；

當點P在F點上方，

??,以B、C、F、P為頂點的四邊舷是菱形，

.\CB=CF=PF,

而CB=FB,

ABC=CF=BF,

AABCF為等邊三角形,

AZBCF=60°,

AZ0CF=30°,

在RtZ\OCF中，CF二20F=4,

PF=CF=4,

；.PS,6),

???自然數(shù)m的值為0或6;

(4)作QE〃y軸交AB于E,如圖2,

當k=1時,一次函數(shù)解析式為y=x+2,

解方程組廠得產(chǎn)2+21或,=2-2%則B(2+2加,4+2加)，

y=1x2+l1y=4+2V21y=4-2V2

設(shè)Q(t,則E(t,t+2),

4

???EQ=t+2-(lt2+1)=-lt2+t+1,

44

，S△版二S.+S.EOB乩(2+272)?EQ=(V2M)(-lt2+t+1)=-返(t-2)2+2揚2

244

當t=2時，S/.有最大值，最大值為202,此時Q點坐標為(2,2).

工爻

'0Cx

圖2

圖1

2,。)在拋物線上，/我1，解得:

11.解:(1)??,拋物線y=ax?+bx-2的對稱軸是直線x=1,A(-

.(-2)2a-2b-2=0

1

a]

,拋物線解析式為y=—x2-—x-2;

4

b=42

2

(2)y=^x2-lx-2=0,解得：XF-2,xk4,當x=0時，y=-2,AB(4,0),C(0,-2),設(shè)BC的解析

42

4k+b=0

式為y=kx+b,W(,解得：.\y=-l.x-2,設(shè)D(m,0),?「DP〃y軸,

lb=-22

AE(m,Im-2),P(m,XII2-XII-2),V0D=4PE,

242

m=4(Am2-Am-2-Am+2),mz5,m=0(舍去),

422

工)

AD(5,0),P(5,,E(5,1),四邊形POBE的面積=SZWD-S6EBO=1X5X-L-J^X1X工二遛:

4224228

(3)存在，設(shè)M(n,In-2),

2

①以BD為對角線，如圖1,???四邊影BNDM是菱形,

?,?MN垂直平分BD,.\n=4+l,AM〔2工)，TM,N關(guān)于x軸對稱，?小(2-1);

22424

②以BD為邊，如圖2,二四邊形BNDM是菱形,

AMN//BD,MN=BD二MD二1,過M作MH_Lx軸于H,

222222

AMH+DH=DMt即(In-2)+(n-5)=1,

2

.\ni=4(不合題意)，nF5.6,AN(4。6,9),

5

同理(ln-2)2+(4-n)?=1,n尸4+強(不合題意，舍去)，廿4-笙，

254

???N(5-延,-返)，

55

222

③以BD為邊，如圖3,過M作MH_Lx軸于H,,MH7+BH^BM?,即(In-2)+(n-4)=1,，n尸4+2石，n2=4

25

-強(不合題意，舍去)，

5

AN(5+越,國

55

綜上所述，當N(2,-1)或(4。6,-i)或(5-2運，-魚)或(5+2運，返)，以點B,D,M,N為頂

2455555

點的四邊形是菱形.

12o解：(1)???拋物線尸ax?+bx+4的圖象過A(-1,0),B(4,0)兩點，

/fa-b+4=0,解得：卜二T.二拋物線的表達式為y=-x?+3x+4.

ll6a+4b+4=0Ib=3

(2)令x=0,則y=4,即點C的坐標為(0,4),

ABC=^42+42=4V2.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4,???點B的坐標為(4,0),/.0=4k+4,解得k=-1,???直

線BC的解析式為v=-x+4.當t=1時，CP二后，

點A(-1,0)到直線BC的距離h二迎匹二3Ml二月返，

BC4^22

SglcP?h=lxV2X-^/2=l.

2222

(3)①?,?直線BC的解析式為y=-x+4,

??.CP二四，0E=t,設(shè)P(t,-t+4),F(t,-t2+3t+4),(0WtW4)

PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,(0WtW4).

當t二—-〈—二2時，PF取最大值，最大值為4.

2X(-1)

②二?△PCF沿CF,斤疊得到△P'CF,.'.PC=P'C,PF=P,F,

當四邊形PFP'C是菱形時，只需PC=PF.,??Wt=

解得：50(舍去)，t2=4-V2.故當t二4-加時，四邊形PFP'C是菱形.

13.解：(1)把點A(-4,0)、B(-1,0)代入解析式廠axabx+3,

得(16a-4b+3=0,解得,

a-b+3=0

拋物線的解析式為：y=WX?+KX+3.

44

(2)①如答圖2-1,過點D作DH_Lx軸于點H.

AS=1OA>DH=3,

AAOO2

ADH=1.

2

因為D在第三象限，所以D的縱坐標為負，且D在拋物線上，

.,.當2+%+3二一2

442

解得:Xi=-2,XF-3.

???點D坐標為（-2,-0）或（-3,-1）.

22

當點D為（-2,-0）時，DH垂直平分0A,平行四邊形ODAE為菱形;

2

當點D為(-3,-A)時，0D手AD,平行四邊形ODAE不為菱形.

2

②假設(shè)存在.

如答圖2-2,過點D作DM_LCQ于M