第3章勾股定理第1課時(shí)勾股定理3.1勾股定理的探究

勾股定理1.(2025江蘇無錫江陰期中)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,

BC=6,以AB為一條邊向三角形外部作正方形,則正方形的面

積是

()A.100

B.80

C.48

D.24

A

解析在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2=82+62=100,∴正方形的面積=AB2=100,故選A.2.(2025江蘇蘇州姑蘇期中)中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最早

的國家之一.中國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形,如圖,較

短的直角邊稱為勾,另一直角邊稱為股,斜邊稱為弦,所以勾股

定理也稱為勾股弦定理.若小立發(fā)現(xiàn)勾是9,股是40,則弦長(zhǎng)為

()A.7

B.31

C.41

D.49

C

解析由勾股定理得弦長(zhǎng)=

=41,故選C.3.(2025寧夏中衛(wèi)期末)如圖,將長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在水平

面上,固定兩端A和B,然后把中點(diǎn)C豎直向上拉升3cm至點(diǎn)D,

則橡皮筋被拉長(zhǎng)了

()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

A

解析在Rt△ACD中,AC=

AB=4cm,CD=3cm,根據(jù)勾股定理,得AD2=AC2+DC2=25=52,∴AD=5cm,∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm),∴橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm.故選A.4.【新考向·數(shù)學(xué)文化】(2023江蘇南京中考)我國南宋數(shù)學(xué)家

秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有這樣一道題:“問沙田一段,

有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三

百步,欲知為田幾何?”問題大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14

里,AC=15里,則△ABC的面積是

()A.80平方里

B.82平方里C.84平方里

D.86平方里

C

解析如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC于D,設(shè)BD=x里,則CD=(14-x)里,在Rt△ABD中,AD2+x2=132,在Rt△ADC中,AD2=152-(14-x)2,∴132-x2=152-(14-x)2,∴132-x2=152-196+28x-x2,解得x=5,在Rt△ABD中,AD2=132-52=144,∴AD=12里,∴△ABC的面積=

BC·AD=

×14×12=84(平方里).故選C.5.【學(xué)科特色·勾股樹模型】(2025江蘇宿遷宿豫期中)如圖,由

正方形和直角三角形拼成的勾股樹中,正方形中的數(shù)字表示

該正方形的面積,字母A所表示的正方形的面積為______.

13解析根據(jù)勾股定理和正方形面積公式,可知字母A所表示的

正方形的面積=2+3+3+5=13.6.(2025江蘇鎮(zhèn)江丹陽期中)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,

BC=12,CD⊥AB于點(diǎn)D,則CD=

.解析∵∠ACB=90°,AC=5,BC=12,∴AB=

=

=13,∵CD⊥AB,∴S△ABC=

AB·CD=

AC·BC,∴AB·CD=AC·BC,即13CD=5×12,∴CD=

,故答案為

.7.一直角三角形的斜邊長(zhǎng)比一直角邊長(zhǎng)大1,另一直角邊長(zhǎng)為

5,則斜邊長(zhǎng)為______.13解析設(shè)未知的直角邊長(zhǎng)為a,則斜邊長(zhǎng)為a+1.∵另一直角邊

長(zhǎng)為5,∴(a+1)2=a2+52,解得a=12,∴a+1=12+1=13.故答案為13.8.(2025江蘇無錫宜興期中)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,則△ABC的面積為______.12解析如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,∵AB=AC=5,BC=8,∴BD=CD=

BC=

×8=4,在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2+BD2=AB2,即AD2+42=52,解得AD=3(舍去負(fù)值),∴S△ABC=

BC·AD=

×8×3=12,故答案為12.9.(2025江蘇宿遷沭陽期中)已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分

別是3和4,則第三邊長(zhǎng)的平方是_______.25或7解析①當(dāng)長(zhǎng)為3的邊是直角邊,長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí),第三邊

長(zhǎng)的平方為42-32=7;②當(dāng)長(zhǎng)為3,4的邊都是直角邊時(shí),第三邊長(zhǎng)的平方為42+32=25.

綜上,第三邊長(zhǎng)的平方為25或7.10.如圖,在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,A,B,C均在格

點(diǎn)上,求AB2-CA2的值.

解析如圖,在BC上選一點(diǎn)D,連接AD,使AD⊥BC,易得△ABD

與△ACD是直角三角形,BD=3,CD=2,∴AB2=AD2+BD2,AC2=

AD2+CD2,∴AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=32-22=9-4=5.11.(2025江蘇揚(yáng)州江都期中)如圖,在Rt△ABC中,已知∠A=90°,D是斜邊BC的中點(diǎn),DE⊥BC交AB于點(diǎn)E,連接CE.(1)求證:BE2-AE2=AC2.(2)若AC=6,BD=5,求AE的長(zhǎng).解析

(1)證明:∵DE⊥BC,D是邊BC的中點(diǎn),∴DE是線段BC的垂直平分線,∴BE=CE,在Rt△ACE中,由勾股定理得CE2=AC2+AE2,∴BE2=AC2+AE2,∴BE2-AE2=AC2.(2)∵BD=5,D是邊BC的中點(diǎn),∴BC=2BD=10,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=

=

=8,∴AB=BE+AE=8,設(shè)AE=x,則BE=CE=8-x,在Rt△ACE中,由勾股定理得CE2=AC2+AE2,即(8-x)2=62+x2,解得x=

,∴AE=

,即AE的長(zhǎng)為

.

12.【新課標(biāo)·中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化】(2025江蘇蘇州五校聯(lián)考,

★★☆)勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算

書《周髀算經(jīng)》中已有記載.如圖1,以直角三角形的各邊為邊

分別向外作正方形,再把較小的兩個(gè)正方形按圖2的方式放置

在最大的正方形內(nèi).下列選項(xiàng)中一定正確的是()

D

A.S陰影=直角三角形的面積B.S陰影=S正方形①C.S陰影=S正方形②D.S陰影=較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積解析由題意得兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面

積,所以兩個(gè)小正方形重疊部分的面積等于陰影部分的面積.

故選D.13.(2025江蘇蘇州張家港月考,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分別以各邊的長(zhǎng)為直徑作半圓,圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”,當(dāng)AC=6,BC=3時(shí),陰影部分的面積為

()A.9

B.3π

C.4π

D.18

A

解析陰影部分的面積=以AC,BC的長(zhǎng)為直徑的半圓面積的

和+△ABC的面積-以AB的長(zhǎng)為直徑的半圓的面積=

AC2+

BC2+

AC·BC-

AB2=

(AC2+BC2-AB2)+

AC·BC=

AC·BC=

×6×3=9.14.(2025江蘇泰州靖江期中,★★☆)如圖所示的是勾股樹衍

生圖案,它由若干個(gè)正方形和直角三角形構(gòu)成,S1,S2,S3,S4分別

表示其對(duì)應(yīng)正方形的面積,若已知上方左右兩端的兩個(gè)正方

形的面積分別是64,9,則S1-S2+S3-S4的值為_______.55

解析如圖,∵圖案由若干個(gè)正方形和直角三角形構(gòu)成,∴S1=64+a,S2=a+b,S3=b+c,S4=c+9,∴S1-S2+S3-S4=64+a-(a+b)+b+c-(c+9)=55.故答案為55.15.【學(xué)科特色·最值問題】(2025江蘇揚(yáng)州江都期中,★★☆)

如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是對(duì)角線AC的

中點(diǎn),F是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn),連接EF.若AC=10,BD=6,則EF長(zhǎng)

的最小值為

.4解析連接BE,DE,如圖:

∵∠ABC=∠ADC=90°,E是對(duì)角線AC的中點(diǎn),∴BE=

AC,DE=

AC,∵AC=10,∴BE=DE=5,過點(diǎn)E作EF'⊥BD于點(diǎn)F',則點(diǎn)F'是線段BD的中點(diǎn),∴BF'=

BD=3,在Rt△BEF'中,由勾股定理得EF'=

=

=4,∴線段EF長(zhǎng)的最小值為4,故答案為4.16.【學(xué)科特色·方程思想】(2022浙江麗水中考,★★☆)如圖,

將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,折

痕為EF.(1)求證:△PDE≌△CDF.(2)若CD=4cm,EF=5cm,求BC的長(zhǎng).解析

(1)證明:∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形,∴AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°,由折疊的性質(zhì)知AB=PD,∠P=∠A=90°,∠PDF=∠B=90°,∴PD=CD,∠P=∠C,∠PDF=∠ADC,∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF,在△PDE和△CDF中,

∴△PDE≌△CDF(ASA).(2)如圖,過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G,∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形,∴AD∥BC,∴EG=AB=CD=4cm