2025年秋季期中測試卷高一數(shù)學(xué)上冊解題技巧及答案一、集合與常用邏輯用語（一）集合1.解題技巧列舉法與描述法的轉(zhuǎn)換：當(dāng)集合用描述法表示時，若元素個數(shù)較少，可嘗試將其轉(zhuǎn)換為列舉法，這樣能更直觀地分析集合間的關(guān)系。例如，集合\(A=\{x\inZ|2\ltx\lt3\}\)，可通過列舉得出\(A=\{1,0,1,2\}\)。利用數(shù)軸解決集合的運(yùn)算問題：對于連續(xù)取值的集合，如不等式表示的集合，求交集、并集、補(bǔ)集時，借助數(shù)軸能清晰地確定結(jié)果。比如，已知集合\(A=\{x|1\ltx\leqslant3\}\)，\(B=\{x|2\ltx\lt4\}\)，在數(shù)軸上分別畫出集合\(A\)和\(B\)，可得\(A\capB=\{x|2\ltx\leqslant3\}\)，\(A\cupB=\{x|1\ltx\lt4\}\)。判斷集合間關(guān)系的方法：判斷\(A\subseteqB\)，可任取\(x\inA\)，看是否能推出\(x\inB\)；判斷\(A=B\)，需證明\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)。例如，集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{1,2\}\)，先解方程\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)，則\(A=B\)。2.典型題目及答案題目：已知集合\(A=\{x|x^25x+6=0\}\)，\(B=\{x|ax1=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，求實(shí)數(shù)\(a\)的值。答案：先求解集合\(A\)，解方程\(x^25x+6=0\)，因式分解得\((x2)(x3)=0\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)，所以\(A=\{2,3\}\)。因?yàn)閈(B\subseteqA\)，分三種情況討論：當(dāng)\(B=\varnothing\)時，方程\(ax1=0\)無解，此時\(a=0\)。當(dāng)\(B=\{2\}\)時，\(x=2\)是方程\(ax1=0\)的解，將\(x=2\)代入方程得\(2a1=0\)，解得\(a=\frac{1}{2}\)。當(dāng)\(B=\{3\}\)時，\(x=3\)是方程\(ax1=0\)的解，將\(x=3\)代入方程得\(3a1=0\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)。綜上，實(shí)數(shù)\(a\)的值為\(0\)或\(\frac{1}{2}\)或\(\frac{1}{3}\)。（二）常用邏輯用語1.解題技巧命題真假判斷：對于命題\(p\)，若能直接判斷其真假，可依據(jù)相關(guān)定義和定理；若不易直接判斷，可判斷其逆否命題的真假，因?yàn)樵}與逆否命題同真同假。例如，命題“若\(x^2\gt4\)，則\(x\gt2\)”，其逆否命題為“若\(x\leqslant2\)，則\(x^2\leqslant4\)”，當(dāng)\(x=3\)時，\(x^2=9\gt4\)，所以逆否命題為假，原命題也為假。充分條件和必要條件的判斷方法：定義法：若\(p\Rightarrowq\)，則\(p\)是\(q\)的充分條件；若\(q\Rightarrowp\)，則\(p\)是\(q\)的必要條件。例如，判斷“\(x\gt1\)”是“\(x^2\gt1\)”的什么條件，由\(x\gt1\)能推出\(x^2\gt1\)，但由\(x^2\gt1\)即\(x\gt1\)或\(x\lt1\)，推不出\(x\gt1\)，所以“\(x\gt1\)”是“\(x^2\gt1\)”的充分不必要條件。集合法：設(shè)\(A=\{x|p(x)\}\)，\(B=\{x|q(x)\}\)，若\(A\subseteqB\)，則\(p\)是\(q\)的充分條件；若\(B\subseteqA\)，則\(p\)是\(q\)的必要條件。例如，\(p\)：\(x\in\{x|1\ltx\lt3\}\)，\(q\)：\(x\in\{x|0\ltx\lt4\}\)，因?yàn)閈(\{x|1\ltx\lt3\}\subseteq\{x|0\ltx\lt4\}\)，所以\(p\)是\(q\)的充分不必要條件。2.典型題目及答案題目：已知\(p\)：\(x^28x20\leqslant0\)，\(q\)：\(x^22x+1m^2\leqslant0(m\gt0)\)，若\(\negp\)是\(\negq\)的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍。答案：先求解\(p\)：解不等式\(x^28x20\leqslant0\)，因式分解得\((x10)(x+2)\leqslant0\)，解得\(2\leqslantx\leqslant10\)。再求解\(q\)：解不等式\(x^22x+1m^2\leqslant0(m\gt0)\)，即\((x1)^2\leqslantm^2\)，開方得\(1m\leqslantx\leqslant1+m\)。因?yàn)閈(\negp\)是\(\negq\)的充分不必要條件，所以\(q\)是\(p\)的充分不必要條件，即\(q\Rightarrowp\)，\(p\nRightarrowq\)。所以\(\{x|1m\leqslantx\leqslant1+m\}\subsetneqq\{x|2\leqslantx\leqslant10\}\)，則有\(zhòng)(\begin{cases}1m\geqslant2\\1+m\leqslant10\end{cases}\)（等號不同時成立），解得\(\begin{cases}m\leqslant3\\m\leqslant9\end{cases}\)，又\(m\gt0\)，所以\(0\ltm\leqslant3\)。二、一元二次函數(shù)、方程和不等式（一）一元二次不等式1.解題技巧求解一元二次不等式的步驟：先將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式\(ax^2+bx+c\gt0\)或\(ax^2+bx+c\lt0(a\neq0)\)，然后計算判別式\(\Delta=b^24ac\)，求出方程\(ax^2+bx+c=0\)的根（若有根），最后根據(jù)二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖象確定不等式的解集。例如，解不等式\(x^23x+2\gt0\)，其中\(zhòng)(a=1\)，\(b=3\)，\(c=2\)，\(\Delta=(3)^24\times1\times2=1\gt0\)，方程\(x^23x+2=0\)的根為\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，因?yàn)閈(a=1\gt0\)，二次函數(shù)\(y=x^23x+2\)圖象開口向上，所以不等式的解集為\(\{x|x\lt1或x\gt2\}\)。含參數(shù)的一元二次不等式：當(dāng)不等式中含有參數(shù)時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論。例如，解不等式\(ax^2(a+1)x+1\lt0(a\gt0)\)，因式分解得\((ax1)(x1)\lt0\)，方程\((ax1)(x1)=0\)的根為\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{1}{a}\)，然后分\(\frac{1}{a}\gt1\)（即\(0\lta\lt1\)），\(\frac{1}{a}=1\)（即\(a=1\)），\(\frac{1}{a}\lt1\)（即\(a\gt1\)）三種情況討論不等式的解集。2.典型題目及答案題目：已知關(guān)于\(x\)的不等式\(ax^2+bx+c\gt0\)的解集為\(\{x|2\ltx\lt3\}\)，求關(guān)于\(x\)的不等式\(cx^2+bx+a\lt0\)的解集。答案：因?yàn)椴坏仁絓(ax^2+bx+c\gt0\)的解集為\(\{x|2\ltx\lt3\}\)，所以\(a\lt0\)，且\(2\)和\(3\)是方程\(ax^2+bx+c=0\)的兩根。根據(jù)韋達(dá)定理\(\begin{cases}\frac{a}=2+3=5\\\frac{c}{a}=2\times3=6\end{cases}\)，即\(\begin{cases}b=5a\\c=6a\end{cases}\)。則不等式\(cx^2+bx+a\lt0\)可化為\(6ax^25ax+a\lt0\)，因?yàn)閈(a\lt0\)，兩邊同時除以\(a\)，不等號變向，得\(6x^25x+1\gt0\)。因式分解\(6x^25x+1=(2x1)(3x1)\gt0\)，解得\(x\lt\frac{1}{3}\)或\(x\gt\frac{1}{2}\)，所以不等式\(cx^2+bx+a\lt0\)的解集為\(\{x|x\lt\frac{1}{3}或x\gt\frac{1}{2}\}\)。（二）基本不等式1.解題技巧利用基本不等式求最值的條件：一正（各項均為正數(shù)）、二定（和或積為定值）、三相等（等號能取到）。例如，求\(y=x+\frac{4}{x}(x\gt0)\)的最小值，因?yàn)閈(x\gt0\)，\(\frac{4}{x}\gt0\)，滿足“一正”，\(x+\frac{4}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=\frac{4}{x}\)即\(x=2\)時取等號，滿足“三相等”，這里積\(x\cdot\frac{4}{x}=4\)為定值，滿足“二定”，所以\(y\)的最小值為\(4\)。變形技巧：當(dāng)不滿足基本不等式的使用條件時，可通過變形構(gòu)造出滿足條件的形式。例如，求\(y=x+\frac{1}{x1}(x\gt1)\)的最小值，將\(y=x+\frac{1}{x1}\)變形為\(y=(x1)+\frac{1}{x1}+1\)，因?yàn)閈(x\gt1\)，所以\(x1\gt0\)，\(\frac{1}{x1}\gt0\)，則\((x1)+\frac{1}{x1}\geqslant2\sqrt{(x1)\cdot\frac{1}{x1}}=2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x1=\frac{1}{x1}\)即\(x=2\)時取等號，所以\(y\geqslant2+1=3\)，\(y\)的最小值為\(3\)。2.典型題目及答案題目：已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，求\(x+y\)的最小值。答案：\(x+y=(x+y)\cdot(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})\)展開得\(x+y=1+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}+9=10+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\)。因?yàn)閈(x\gt0\)，\(y\gt0\)，所以\(\frac{9x}{y}\gt0\)，\(\frac{y}{x}\gt0\)，根據(jù)基本不等式\(\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant2\sqrt{\frac{9x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=6\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\)時取等號。聯(lián)立\(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\\\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\end{cases}\)，由\(\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\)得\(y=3x\)，代入\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)得\(\frac{1}{x}+\frac{9}{3x}=1\)，即\(\frac{1}{x}+\frac{3}{x}=1\)，\(\frac{4}{x}=1\)，解得\(x=4\)，則\(y=12\)。所以\(x+y=10+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant10+6=16\)，即\(x+y\)的最小值為\(16\)。三、函數(shù)的概念與性質(zhì)（一）函數(shù)的概念1.解題技巧求函數(shù)定義域：根據(jù)函數(shù)的解析式，考慮使解析式有意義的條件。例如，對于分式函數(shù)\(y=\frac{1}{x2}\)，分母不能為\(0\)，即\(x2\neq0\)，定義域?yàn)閈(\{x|x\neq2\}\)；對于偶次根式函數(shù)\(y=\sqrt{x+3}\)，被開方數(shù)須大于等于\(0\)，即\(x+3\geqslant0\)，定義域?yàn)閈(\{x|x\geqslant3\}\)。若函數(shù)由多個部分組成，則取各部分定義域的交集。判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)：需要判斷函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否都相同。例如，函數(shù)\(f(x)=x\)，\(g(x)=\sqrt{x^2}=|x|\)，雖然定義域都為\(R\)，但對應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一函數(shù)。2.典型題目及答案題目：已知函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x2}\)，求其定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則分子中的被開方數(shù)非負(fù)且分母不為\(0\)。由\(\begin{cases}x+1\geqslant0\\x2\neq0\end{cases}\)，解\(x+1\geqslant0\)得\(x\geqslant1\)，解\(x2\neq0\)得\(x\neq2\)。所以函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(\{x|x\geqslant1且x\neq2\}\)。（二）函數(shù)的單調(diào)性1.解題技巧定義法判斷函數(shù)單調(diào)性：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域?yàn)閈(I\)，如果對于定義域\(I\)內(nèi)的某個區(qū)間\(D\)上的任意兩個自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時，都有\(zhòng)(f(x_1)\ltf(x_2)\)，那么就說函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)；當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時，都有\(zhòng)(f(x_1)\gtf(x_2)\)，那么就說函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是減函數(shù)。步驟為：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論。例如，判斷函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性，設(shè)\(0\ltx_1\ltx_2\)，\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2x_2^2=(x_1x_2)(x_1+x_2)\)，因?yàn)閈(0\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_1x_2\lt0\)，\(x_1+x_2\gt0\)，則\(f(x_1)f(x_2)\lt0\)，即\(f(x_1)\ltf(x_2)\)，所以\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：對于可導(dǎo)函數(shù)\(y=f(x)\)，若\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\(D\)上恒成立，則\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)\lt0\)在區(qū)間\(D\)上恒成立，則\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上單調(diào)遞減。例如，函數(shù)\(f(x)=x^33x\)，\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)，令\(f^\prime(x)\gt0\)，即\(3(x+1)(x1)\gt0\)，解得\(x\lt1\)或\(x\gt1\)，所以\(f(x)\)在\((\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增；令\(f^\prime(x)\lt0\)，即\(3(x+1)(x1)\lt0\)，解得\(1\ltx\lt1\)，所以\(f(x)\)在\((1,1)\)上單調(diào)遞減。2.典型題目及答案題目：已知函數(shù)\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}\)在區(qū)間\((2,+\infty)\)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。答案：對\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}\)進(jìn)行變形，\(f(x)=\frac{ax+2a2a+1}{x+2}=a+\frac{12a}{x+2}\)。設(shè)\(2\ltx_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)f(x_2)=(a+\frac{12a}{x_1+2})(a+\frac{12a}{x_2+2})=\frac{12a}{x_1+2}\frac{12a}{x_2+2}=\frac{(12a)(x_2x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}\)。因?yàn)閈(2\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_2x_1\gt0\)，\((x_1+2)(x_2+2)\gt0\)。又因?yàn)閈(f(x)\)在\((2,+\infty)\)上是增函數(shù)，所以\(f(x_1)f(x_2)\lt0\)，即\(\frac{(12a)(x_2x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}\lt0\)，因?yàn)閈(x_2x_1\gt0\)，\((x_1+2)(x_2+2)\gt0\)，所以\(12a\lt0\)，解得\(a\gt\frac{1}{2}\)。所以實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是\((\frac{1}{2},+\infty)\)。（三）函數(shù)的奇偶性1.解題技巧判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱，則函數(shù)非奇非偶；若對稱，則進(jìn)一步判斷\(f(x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系，若\(f(x)=f(x)\)，則函數(shù)為偶函數(shù)