2025年秋季期中測試卷高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)集合與常用邏輯用語集合的含義與表示1.集合的含義集合是把一些能夠確定的不同的對象看成一個(gè)整體，這個(gè)整體就叫做集合，其中的每個(gè)對象叫做元素。集合中的元素具有確定性、互異性和無序性。例如，“比較大的數(shù)”不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤氨容^大”不具有確定性；而“所有大于2的整數(shù)”能構(gòu)成集合。2.集合的表示方法列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合。比如，方程\(x^{2}4=0\)的解組成的集合可表示為\(\{2,2\}\)。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。一般形式為\(\{x\inI\midp(x)\}\)，其中\(zhòng)(x\)是代表元素，\(I\)是\(x\)的取值范圍，\(p(x)\)是元素\(x\)所具有的特征。例如，不等式\(x3>0\)的解集可表示為\(\{x\inR\midx>3\}\)。集合間的基本關(guān)系1.子集如果集合\(A\)中任意一個(gè)元素都是集合\(B\)中的元素，就說集合\(A\)是集合\(B\)的子集，記作\(A\subseteqB\)（或\(B\supseteqA\)）。例如，若\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，則\(A\subseteqB\)。規(guī)定：空集是任何集合的子集，即\(\varnothing\subseteqA\)。2.真子集如果\(A\subseteqB\)，但存在元素\(x\inB\)，且\(x\notinA\)，就說集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，記作\(A\subsetneqqB\)。例如，\(\{1\}\subsetneqq\{1,2\}\)。3.集合相等如果\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，那么\(A=B\)。例如，若\(A=\{x\midx^{2}1=0\}\)，\(B=\{1,1\}\)，則\(A=B\)。集合的基本運(yùn)算1.交集由所有屬于集合\(A\)且屬于集合\(B\)的元素所組成的集合，叫做集合\(A\)與\(B\)的交集，記作\(A\capB\)，即\(A\capB=\{x\midx\inA且x\inB\}\)。例如，若\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\{2,3\}\)。2.并集由所有屬于集合\(A\)或?qū)儆诩蟎(B\)的元素所組成的集合，叫做集合\(A\)與\(B\)的并集，記作\(A\cupB\)，即\(A\cupB=\{x\midx\inA或x\inB\}\)。例如，若\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{2,3\}\)，則\(A\cupB=\{1,2,3\}\)。3.補(bǔ)集設(shè)\(U\)是一個(gè)集合，\(A\)是\(U\)的一個(gè)子集，由\(U\)中所有不屬于\(A\)的元素組成的集合，叫做子集\(A\)在\(U\)中的補(bǔ)集，記作\(\complement_{U}A\)，即\(\complement_{U}A=\{x\midx\inU且x\notinA\}\)。例如，若\(U=\{1,2,3,4\}\)，\(A=\{1,2\}\)，則\(\complement_{U}A=\{3,4\}\)。充分條件與必要條件1.充分條件與必要條件如果\(p\Rightarrowq\)，那么\(p\)是\(q\)的充分條件，\(q\)是\(p\)的必要條件。例如，若\(p\)：\(x=1\)，\(q\)：\(x^{2}=1\)，因?yàn)閈(x=1\)能推出\(x^{2}=1\)，即\(p\Rightarrowq\)，所以\(p\)是\(q\)的充分條件，\(q\)是\(p\)的必要條件。2.充要條件如果\(p\Rightarrowq\)且\(q\Rightarrowp\)，則\(p\)是\(q\)的充要條件，記作\(p\Leftrightarrowq\)。例如，若\(p\)：三角形是等邊三角形，\(q\)：三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，因?yàn)閈(p\Rightarrowq\)且\(q\Rightarrowp\)，所以\(p\)是\(q\)的充要條件。全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞有“所有”“任意”“一切”等，含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題。一般形式為“\(\forallx\inM\)，\(p(x)\)”。例如，“\(\forallx\inR\)，\(x^{2}\geqslant0\)”是全稱量詞命題。2.存在量詞與存在量詞命題存在量詞有“存在”“至少有一個(gè)”“有些”等，含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題。一般形式為“\(\existsx\inM\)，\(p(x)\)”。例如，“\(\existsx\inR\)，\(x^{2}2x+1=0\)”是存在量詞命題。3.命題的否定全稱量詞命題\(p\)：\(\forallx\inM\)，\(p(x)\)的否定\(\negp\)：\(\existsx\inM\)，\(\negp(x)\)；存在量詞命題\(p\)：\(\existsx\inM\)，\(p(x)\)的否定\(\negp\)：\(\forallx\inM\)，\(\negp(x)\)。例如，命題“\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+1>0\)”的否定是“\(\existsx\inR\)，\(x^{2}+1\leqslant0\)”。一元二次函數(shù)、方程和不等式不等關(guān)系與不等式1.不等式的性質(zhì)對稱性：若\(a>b\)，則\(b<a\)；若\(b<a\)，則\(a>b\)。傳遞性：若\(a>b\)，\(b>c\)，則\(a>c\)。可加性：若\(a>b\)，則\(a+c>b+c\)?？沙诵裕喝鬨(a>b\)，\(c>0\)，則\(ac>bc\)；若\(a>b\)，\(c<0\)，則\(ac<bc\)。2.比較大小比較兩個(gè)實(shí)數(shù)\(a\)，\(b\)的大小，可通過作差法：\(ab>0\Leftrightarrowa>b\)；\(ab=0\Leftrightarrowa=b\)；\(ab<0\Leftrightarrowa<b\)。例如，比較\(x^{2}+1\)與\(2x\)的大小，\((x^{2}+1)2x=(x1)^{2}\geqslant0\)，所以\(x^{2}+1\geqslant2x\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=1\)時(shí)取等號。一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式。一般形式為\(ax^{2}+bx+c>0\)或\(ax^{2}+bx+c<0\)（\(a\neq0\)）。2.一元二次不等式的解法對于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），其判別式\(\Delta=b^{2}4ac\)。當(dāng)\(\Delta>0\)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根\(x_{1,2}=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c>0\)（\(a>0\)）的解集為\(\{x\midx<x_{1}或x>x_{2}\}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c<0\)（\(a>0\)）的解集為\(\{x\midx_{1}<x<x_{2}\}\)。當(dāng)\(\Delta=0\)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根\(x_{1}=x_{2}=\frac{2a}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c>0\)（\(a>0\)）的解集為\(\{x\midx\neq\frac{2a}\}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c<0\)（\(a>0\)）的解集為\(\varnothing\)。當(dāng)\(\Delta<0\)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，不等式\(ax^{2}+bx+c>0\)（\(a>0\)）的解集為\(R\)，不等式\(ax^{2}+bx+c<0\)（\(a>0\)）的解集為\(\varnothing\)?；静坏仁?.基本不等式的形式基本不等式為\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a>0\)，\(b>0\)），當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b\)時(shí)，等號成立。其中，\(\frac{a+b}{2}\)叫做\(a\)，\(b\)的算術(shù)平均數(shù)，\(\sqrt{ab}\)叫做\(a\)，\(b\)的幾何平均數(shù)。2.基本不等式的應(yīng)用求最值：已知\(x>0\)，\(y>0\)，若\(x+y=s\)（和為定值），則當(dāng)\(x=y\)時(shí)，積\(xy\)有最大值\(\frac{s^{2}}{4}\)；若\(xy=p\)（積為定值），則當(dāng)\(x=y\)時(shí)，和\(x+y\)有最小值\(2\sqrt{p}\)。例如，已知\(x>0\)，求\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值，因?yàn)閈(x>0\)，根據(jù)基本不等式\(x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=\frac{1}{x}\)，即\(x=1\)時(shí)取等號，所以\(y\)的最小值為2。函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義設(shè)\(A\)，\(B\)是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合\(A\)中的任意一個(gè)數(shù)\(x\)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系\(f\)，在集合\(B\)中都有唯一確定的數(shù)\(y\)和它對應(yīng)，那么就稱\(f:A\rightarrowB\)為從集合\(A\)到集合\(B\)的一個(gè)函數(shù)，記作\(y=f(x)\)，\(x\inA\)。其中，\(x\)叫做自變量，\(x\)的取值范圍\(A\)叫做函數(shù)的定義域；與\(x\)的值相對應(yīng)的\(y\)值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合\(\{f(x)\midx\inA\}\)叫做函數(shù)的值域。2.函數(shù)的表示方法解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。例如，\(y=2x+1\)。圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的定義域和值域1.定義域的求法常見的求函數(shù)定義域的情況：分式中分母不為零。例如，函數(shù)\(y=\frac{1}{x1}\)的定義域?yàn)閈(\{x\midx\neq1\}\)。偶次根式中被開方數(shù)非負(fù)。例如，函數(shù)\(y=\sqrt{x2}\)的定義域?yàn)閈(\{x\midx\geqslant2\}\)。對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零。例如，函數(shù)\(y=\log_{2}(x+1)\)的定義域?yàn)閈(\{x\midx>1\}\)。2.值域的求法觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，觀察得出函數(shù)的值域。例如，\(y=\frac{1}{x^{2}+1}\)，因?yàn)閈(x^{2}+1\geqslant1\)，所以\(0<\frac{1}{x^{2}+1}\leqslant1\)，值域?yàn)閈((0,1]\)。配方法：對于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），可通過配方將其化為\(y=a(xh)^{2}+k\)的形式，再根據(jù)\(a\)的正負(fù)及\(x\)的取值范圍求值域。函數(shù)的單調(diào)性與最值1.函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(I\)，如果對于定義域\(I\)內(nèi)的某個(gè)區(qū)間\(D\)上的任意兩個(gè)自變量的值\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，當(dāng)\(x_{1}<x_{2}\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_{1})<f(x_{2})\)，那么就說函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)；當(dāng)\(x_{1}<x_{2}\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_{1})>f(x_{2})\)，那么就說函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是減函數(shù)。如果函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)\(y=f(x)\)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間\(D\)叫做函數(shù)\(y=f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。2.函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域?yàn)閈