《近世代數(shù)》考試練習(xí)題及答案

一、單選題

1.設(shè)A=R（實數(shù)域），B=R+（正實數(shù)域）f:a—IOa,a€A廁f是從A到B的0

A、單射

B、滿射

C、映射

D、既非單射也非滿射

答案：D

2.當(dāng)G為有限群，了群H所含元的個數(shù)與任一左陪集aH所含元的個數(shù)（）。

A、小相等

B、0

C、相等

D、不一定相等

答案：C

3.下列正確的命題是0

A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)：

B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)：

C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)：

D.唯一分舸環(huán)必是歐氏環(huán)。

答案：A

4.有限群中的每?個元素的階都（）

A、有限

B、無限

C、為零

答案：A

5.A=｛所有整數(shù)｝.令T：a-a/2,當(dāng)a是偶數(shù);a-（a+1）f2,當(dāng)a是奇數(shù),則t為（）。

A、單射變換

B、滿射變換

<:、變換

D、不是變換

答案：B

6.設(shè)f：G1-G2是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（）。

A、的勺同態(tài)核是G1的不變子群：

B.G2的不變子胖的逆象是G1佗不變子群：

C、GI的子群的象是G2的子群：

D.G1的不變子群的象是G2的不變子群.

答案：D

7.若有元素eGR使每aGA,都有ae=ea=a,則e稱為環(huán)R的（）。

A,單元圓

B.生成元

答案：A

8.若6=(a),且a的階為有限整數(shù)n,則下列說法正確的是()

A、G與模n的婀余類加群同構(gòu)

B、G的階可能無限

C-元a-2,a-l.aO,al,…an-2中沒有相同元

D,G與整數(shù)加群同構(gòu)

答案：A

9.設(shè)集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合AxB中含有

()個元素.

A、2

B、5

C、7

D,10

答案：D

10.每一個布T限群都有與一個置換群()

A、相同

B、同構(gòu)

C、不同

答案：B

11.設(shè)A=B=R(實數(shù)集)，如果A到B的映射＜p：x—x+2,VxWR,則q)是從A到B的0

A.滿射而非單射

B.單射而非滿射

C.映射

D、既非單射也非滿射

答案：C

12.設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素顯x2a=bxc-l,acx=xac,那么x=0

A、bc-la-1

B,c-la-l

C、a-lbc-l

D,b-lca

答案：A

I3.n階群G是循環(huán)群的充要條件是0

A,G中不存在n元素

B.G中存在n元素

C、n中存在G元素

答案：B

14.下面的代數(shù)系統(tǒng)(G,*)中，()不是群

A.G為整數(shù)集合，*為加法

B、G為偶數(shù)集合，??為加法

C、G為有理數(shù)集合，*為加法

D、G為有理數(shù)集合，*為乘法

答案：D

15.設(shè)(G,。)為群，其中G是實數(shù)集，而乘法。：a.b=a+b+k,這里k為G中固定的常數(shù)。

那么群(G,。)中的單位元c和元x的逆元分別是0

A.0和-X

B、I和0

C.k和x-2k

D、-kfll-(x+2k)

答案：D

16.設(shè)S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素

有()。

A,(I),(123).(132)

B、(12),(13).(23)

C.(1).(123)

D、S3中的所有元素

答案：A

17.若R是一個特征為有限整數(shù)n的無零因子環(huán)，且ab€R,則0

A、ab=O—.b?0

B,n=nln2,其中n1n2為素數(shù)

C,存在R中元c的階為無限整數(shù)

D,RM乘法成立兩個消去律

谷笫D

18.若S是半群，則()

A、任意abceS,都有a(be)=(ab)c

B、任意abwS,都有ab=ba

C、必有單位元

D.任何元素必存在逆元

答案：A

19.域F的一個擴(kuò)域E叫做F的一個代數(shù)擴(kuò)域，如果°

A、E的每一個元都是F上的一個代數(shù)元

B,E的每一個元都不是F上的一個代數(shù)元

答案：A

20.若I是域F的有限擴(kuò)域,E是I的有限擴(kuò)域，那么。

A.(E:I)=(E:I)(1:F)

B、(F:E)=(E:D(l:F)

C.(I:F)={E:F>(I:F)

D、(E:F)=(E:I)<I:F)

答案：D

2L6階有限群的任何子群一定不是()o

A、2階

B,3階

C.4階

D、6階

答案：C

22.n階有限群G的子群H的階必須是n的。

A、倍數(shù)

次數(shù)

C、約數(shù)

D,指數(shù)

答案：D

23.在白然數(shù)集N匕下列哪種運算是可結(jié)合的？

A.a*b=a-b

B.a*b=max{a.b}

C、a*b=a+2b

D、a-b=|ab|

答案：B

24.設(shè)Al,A2...An和D都是非空集合,而f是Al*A2x...xAn到D的一個塊射,那么0

A、集合Al,A2...An,D中兩兩都不相同

B,Al,A2…An的次序不能A換

C、A”A2,…xAn中不同的元詆應(yīng)的象必不相同

D.1個元(AI>A2...An)的象可以不唯一

答案：B

25.如果集合M的一個關(guān)系是等價關(guān)系，則不一定具備的是().

A、反身性

B、對稱性

C、傳遞性

D、封閉性

答案：D

26.設(shè)f：R1-R2是環(huán)同態(tài)滿射，f(a)=b.,那么下列錯誤的結(jié)論為0

A、若a是零元則b是零元

B.若a是半位元則b是單位元

C、若a不是零因子則b不是零因子

D,若a是不交換的則b是不交換的

答案：C

27.偶數(shù)環(huán)的單位元個數(shù)為0

A.0個

B、1個

C,2個

D、無數(shù)個

答案：A

28.給出一個5■循環(huán)置換K=(31425),那么兀-1()。

A.(13524)

B、(52134)

C、(53421)

答案：A

29.集合A的一個等價關(guān)系需滿足自反性、對稱性和().

A、傳遞性

B、交接性

答案：A

30?環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個()。

A,交換環(huán)

賓數(shù)環(huán)

C.整數(shù)環(huán)

答案：A

31.整環(huán)R的一個元p叫做一個素元,如果()?

A、p既是零元，也是單位，旦q只有平凡因子

B、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子

C、p不是零元，但是單位，且q只有平凡因子

D、p是零元,但不是單位,且q只有平凡因子

答案：B

二、判斷題

I.設(shè)G是n階，e是它的單位元.則e的周期為1

A、正確

B、錯誤

笞案：正確

2.任意置換均可表示為若干個不相交的輪換的乘積

A、正確

B、錯誤

答案：正確

3.歐式環(huán)必是主理想環(huán)

A、正確

B、錯誤

答案：錯誤

4.如果循環(huán)群G=(a)中生成元a的階是無限的，則G與整數(shù)加群同構(gòu)

A、正確

B、錯誤

答案：正確

5.若環(huán)R滿足左消定律，那么R必定沒有右零因子

A、正確

B、錯誤

答案：正確

6.如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群

A、正確

B,錯誤

答案：錯誤

7.交換環(huán)中可逆元與在零元的和是可逆元

A、正確

B、錯誤

答案：正確

8.已知KH.是群G的子群，則HK也為G的子群

A、正確

B、錯誤

答案：錯誤

9.唯一分解壞必是王理想外

A、正確

B、錯誤

答案：錯誤

10.子群的并集必是子群

A,正確

B、錯誤

答案：錯誤

11.整環(huán)中，不可約元一定是素元

A、正確

B、錯誤

答案：正確

12.兩子群的并一定是子群

A、正確

B、錯誤

答案：錯誤

13.任何群都同構(gòu)與某個變化群

A、正確

B,錯誤

答案：正確

三、計算題

Lr

x=arctantd2x

22

求方y(tǒng)=程ln\(l+//)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)d》y

dr1

心=由=*(1)=1+/=1

dydyy(t)2t2t

d/14-/2

一1

d2x_ddr__l+〃

dy2dydy2/4/3

1+/2

答案：

如果。?是半群，則G是群的充分必要條件是?加…,方程心=6和

W在(，?申有解。

必要性。因。是群，則VaeG在(，?中有逆元則〃%加飛區(qū)分別代

入方程ori和四=匕有

6'b)=(M)=<_,/>=/>,(ha，1=&%)=be=b,

即U坂弧?分別為方程皿=》和W=b的解。

充分性。因(；是半群，則是非空集合，取定“wG,則方程加二"在"中有解

e,即存在(；中的元素。，使得初二%

下證e是G的左單位元.近2,方程讀=人和在G中有解c,即比=4

于是泌=4w)=(e/="=/>,則e是。的一個左單位元。

又V，wG,方程在(；中有解"，即得"是"的一個左逆元。從

而得(；中的每一個元素。都有左逆元。故G是群。

答案:

求索馀類加群Z12中每個元素的階。

答案:

設(shè)G咻?耿(12)(皿均(⑵)(132)}.//=((11(12)),求G關(guān)于子群，的

左陪橐分解。

(!)//=(12)//=//,

(13)//=(123)//={(131(123)(,

(23)〃=("2)〃={(231(132)}.

因而，(，關(guān)于子群〃的左陪集分解為

紫G=〃U(13)〃U(23)〃.

i：l

5，若已知群G中a加的階為r,求cab的階。

設(shè)同=“.貝lj(cac'1f=ca"c~'=e.

又若=%則8七7=%a"=e.從而

”見故卜""卜”=同.

又abc=ck{cab}c?故cab的階也為I?

答案：

四、證明題

1?若*>是群，則對于任意的a、beG,必有惟一的xwG使得a*x=b.

證明設(shè)。足群.