微積分下期末試卷及答案考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分一、選擇題（總共10題，每題2分）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A.y=e^(-x)B.y=-ln|x|C.y=x^3-3x^2+2D.y=sin(x)2.極限lim(x→0)(sin^2x/x^2)(1-cosx)的值為（）A.0B.1/2C.1D.-13.函數(shù)f(x)=x^4-2x^3+3在x=1處的泰勒展開式的前三項(xiàng)為（）A.1-2x+3x^2B.1-2x+2x^2C.1-2x+3x^2-2x^3D.1-2x+4x^24.拋物線y=x^2與直線y=x相交圍成的圖形的面積為（）A.1/6B.1/3C.1/2D.15.不定積分∫(x^2+1)dx的值為（）A.x^3/3+x+CB.x^2/2+ln|x|+CC.x^3/3+ln|x|+CD.x^2/2+x+C6.廣義積分∫(1→+∞)(1/x^2)dx的值為（）A.1B.0C.+∞D(zhuǎn).-17.級數(shù)∑(n=1→∞)(1/2^n)的收斂性為（）A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判斷8.函數(shù)f(x)=√(1+x^2)在區(qū)間[0,1]上的弧長為（）A.√2-1B.√3-1C.1D.29.微分方程y'+y=0的通解為（）A.y=Ce^xB.y=Ce^(-x)C.y=CxD.y=Csin(x)10.級數(shù)∑(n=1→∞)(-1)^n(n/n+1)的收斂性為（）A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判斷二、判斷題（總共10題，每題2分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上必有最大值和最小值。（）2.極限lim(x→0)(sinx/x)=1是利用了洛必達(dá)法則。（）3.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處不可導(dǎo)。（）4.若級數(shù)∑(n=1→∞)a_n收斂，則級數(shù)∑(n=1→∞)|a_n|也收斂。（）5.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值等于e-1。（）6.微分方程y''-y=0的通解為y=C1e^x+C2e^(-x)。（）7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在該區(qū)間上必有界。（）8.級數(shù)∑(n=1→∞)(1/n)是調(diào)和級數(shù)，發(fā)散。（）9.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的定積分等于1/3。（）10.若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f(x)在x=0處必連續(xù)。（）三、填空題（總共10題，每題2分）1.極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值為________。2.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的駐點(diǎn)為________。3.不定積分∫(sinx+cosx)dx的值為________。4.廣義積分∫(0→+∞)(e^(-x))dx的值為________。5.級數(shù)∑(n=1→∞)(1/(n+1))的斂散性為________。6.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的弧長為________。7.微分方程y'-y=0的通解為________。8.級數(shù)∑(n=1→∞)(1/2^n)的前n項(xiàng)和為________。9.函數(shù)f(x)=√(1+x^2)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為________。10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)積分中值定理，必存在ξ∈(a,b)，使得________。四、簡答題（總共4題，每題5分）1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的極值點(diǎn)及其對應(yīng)的極值。2.討論級數(shù)∑(n=1→∞)(n/(n+1))^n的收斂性。3.解微分方程y''+4y=0，并求滿足初始條件y(0)=1,y'(0)=0的特解。4.計(jì)算定積分∫(0→π)sin^2(x)dx，并說明其幾何意義。五、討論題（總共4題，每題5分）1.證明函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的定積分存在，并計(jì)算其值。2.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性和凹凸性。3.若級數(shù)∑(n=1→∞)a_n收斂，討論級數(shù)∑(n=1→∞)a_n^2的收斂性。4.解釋微分方程y'+p(x)y=q(x)的通解結(jié)構(gòu)，并舉例說明。參考答案一、選擇題1.D2.B3.B4.C5.A6.A7.C8.A9.B10.A二、判斷題1.√2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.√三、填空題1.42.0,23.-cosx+sinx+C4.15.發(fā)散6.√2-17.y=Ce^x8.1-(1/2^n)9.110.f(ξ)=(1/(b-a))∫(a→b)f(x)dx四、簡答題1.極值點(diǎn)為x=1（極大值），x=2（極小值）；極大值為0，極小值為-1。2.級數(shù)收斂，因?yàn)橥?xiàng)lim(n→∞)(n/(n+1))^n=0且單調(diào)遞減。3.通解為y=C1cos(2x)+C2sin(2x)；特解為y=cos(2x)。4.∫(0→π)sin^2(x)dx=π/2，表示函數(shù)sin^2(x)在[0,π]上的面積。五、討論題1.存在，∫(0→1)x^2dx=1/3；利用定積分定義可證明。2.單調(diào)性：x<0遞增，x>0遞減；凹凸性：x∈(-∞,0)凹，