專題08圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)梳理】1、圓與圓的位置關(guān)系：（1）圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒(méi)有公共點(diǎn)．2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無(wú)解時(shí)，兩圓相離．（2）幾何法：設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．當(dāng)時(shí)，兩圓相交；當(dāng)時(shí)，兩圓外切；當(dāng)時(shí)，兩圓外離；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含．3、兩圓公共弦長(zhǎng)的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長(zhǎng)．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長(zhǎng)．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線．5、圓系方程（1）過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程是（2）以為圓心的同心圓系方程是：；（3）與圓同心的圓系方程是；（4）過(guò)同一定點(diǎn)的圓系方程是．【專題過(guò)關(guān)】【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)1：圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)2：兩圓的公共弦問(wèn)題考點(diǎn)3：公切線問(wèn)題考點(diǎn)4：圓系方程的應(yīng)用【典型例題】考點(diǎn)1：圓與圓的位置關(guān)系1．已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【解析】由題意得，圓圓心，半徑為7；圓，圓心，半徑為4，兩圓心之間的距離為，因?yàn)?，故這兩圓的位置關(guān)系是相交.故選：B.2．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)含 D．外切【答案】D【解析】由題，圓的圓心為，半徑為2；圓，即，所以圓心為，半徑為；所以兩圓圓心距離為，所以兩圓外切.故選：D3．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【答案】D【解析】圓的圓心坐標(biāo)是，半徑是1；圓的圓心坐標(biāo)是，半徑是6，所以圓心距為，故兩個(gè)圓內(nèi)切.故選：D.4．已知圓：，圓：，若圓與圓內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B．2 C．或2 D．1或【答案】C【解析】由題可知圓心，半徑，圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，所以，解得或．故選：C．5．（多選題）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（

）A．的最小值為3 B．的最大值為7C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D．兩個(gè)圓相交【答案】ABC【解析】根據(jù)題意，圓，其圓心，半徑，圓，即，其圓心，半徑，圓心距>R+r，故兩圓外離，故D錯(cuò)誤；則的最小值為，最大值為，故A正確，B正確；對(duì)于C，兩個(gè)圓心所在的直線斜率，故C正確.故選：ABC.6．已知圓C：，其中．(1)已知圓C與圓：外切，求m的值；(2)如果直線與C相交所得的弦長(zhǎng)為，求m的值．【解析】（1）由圓，可得，則圓心，半徑，由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A外切，則，解得．（2）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓心到直線的距離，又直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，，解得．的值為．7．已知圓的圓心在x軸上，且過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)若圓與圓有公共點(diǎn)，求r的取值范圍．【解析】(1)由題意，設(shè)，由圓過(guò)，兩點(diǎn)可得，解得，，所以圓的方程為．(2)(r＞0)的圓心為，半徑為r，因?yàn)閳A與圓有公共點(diǎn)，所以兩圓外切、相交或內(nèi)切，所以，又，所以，，又，所以.8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點(diǎn)A（-1，0），B（1，2）．(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且MN=AB，求直線l的方程；(2)圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12?若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心C（2，0），半徑為2．因?yàn)閘∥AB，且A（-1，0），B（1，2），所以直線l的斜率為．設(shè)直線l的方程為x-y+m=0，則圓心C到直線l的距離為．因?yàn)椋?，所以，解得m=0或m=-4，所以直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0．（2）假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P（x，y），則，所以PA2+PB2=，整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．因?yàn)?，所以圓（x-2）2+y2=4與圓x2+（y-1）2=4相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2．9．已知圓C1:(x-1)2+(y+5)2=50，圓C2:(x+1)2+(y+1)2=10.（1）證明圓C1與圓C2相交；（2）若圓C3經(jīng)過(guò)圓C1與圓C2的交點(diǎn)以及坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓C3的方程.【解析】（1）證明:依題意得，C1(1，-5)，r1==5，C2(-1，-1)，r2=，因此，5-<|C1C2|==2<+5，∴C1與C2相交.（2）設(shè)圓C1與圓C2的交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立兩式相減得x-2y+4=0，即x=2y-4，代入第一個(gè)式子得，(2y-5)2+(y+5)2=50，解得∴圓C3過(guò)A(-4，0)，B(0，2)，原點(diǎn)O(0，0).易得△ABO為直角三角形，∴r==，圓心為AB的中點(diǎn)(-2，1)，∴圓C3的方程為(x+2)2+(y-1)2=5.10．在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，的軌跡方程為____，的軌跡與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】

【解析】設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得；的軌跡與圓有公共點(diǎn)，兩圓心分別為，圓心之間的距離為4，故，解得.故答案為：；.考點(diǎn)2：兩圓的公共弦問(wèn)題11．（多選題）下列命題正確的有（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則直線的方程為.C．圓與圓恰有三條公切線，則D．已知點(diǎn)分別為圓與直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為3.【答案】AC【解析】對(duì)于A，直線化為：，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，兩圓的方程相減得，所以直線的方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若圓與圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，所以圓心距，解得，故C正確；對(duì)D，已知點(diǎn)分別為圓與直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑，圓心到直線的距離為，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．已知圓與相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)是___________.【答案】【解析】由題意所在的直線方程為：，即，因?yàn)閳A的圓心，半徑為，所以，圓心到直線的距離為1，所以.故答案為：13．（多選）已知兩圓，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．兩圓外離 B．兩圓有3條公切線C．兩圓相交，且兩圓的公共弦長(zhǎng)為 D．兩圓的公共弦方程為【答案】CD【解析】由題得，圓心坐標(biāo)為；,圓心坐標(biāo)為.所以.所以，所以兩圓相交.所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤.兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程；所以圓心到公共弦所在直線的距離，公共弦的長(zhǎng)為．所以選項(xiàng)CD正確.故選：CD14．（多選）圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（

）A．公共弦AB所在直線的方程為B．公共弦AB所在直線的方程為C．公共弦AB的長(zhǎng)為D．P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為【答案】AD【解析】由與作差可得，即公共弦AB所在直線的方程為，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心到直線的距離為，圓的半徑，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為，故D正確.故選：AD.15．（多選）圓和圓的交點(diǎn)為，，則（

）A．公共弦所在直線的方程為B．線段中垂線的方程為C．公共弦的長(zhǎng)為D．兩圓圓心距【答案】ABD【解析】①，②，用①減去②即得到公共弦所在直線的方程為，故A正確；把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心為，半徑為，把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，線段中垂線即為圓心與圓心兩點(diǎn)構(gòu)成的直線為，故B正確；圓心到公共弦所在直線的距離為，故公共弦的長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；

圓心到圓心的距離，故D正確.

故選：ABD.16．已知圓和圓.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)求公共弦所在直線的方程；(3)求公共弦的長(zhǎng)度.【解析】(1)將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，,則圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.，，，，兩圓相交.(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為.(3)由,解得或,兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為和.兩圓的公共弦的長(zhǎng)度為.17．已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.(1)求圓M的一般方程；(2)求圓M與圓的公共弦長(zhǎng).【解析】(1)設(shè)圓M：，把，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓M得：，解得：所以圓M的一般方程為(2)聯(lián)立與得：，即，代入到圓中，解得：，，分別代入，求出，，所以兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則公共弦長(zhǎng)等于18．已知圓(1)求證：相交；(2)求圓的公共弦所在的直線方程．【解析】(1)圓的圓心，半徑，的圓，半徑，，，圓和圓相交．(2)兩圓，，兩圓相減，得圓和圓的公共弦所在直線方程為：，即．19．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)求曲線與的公共弦長(zhǎng)．【解析】(1)設(shè)，，則，即，，又在已知圓上，所以，即，化簡(jiǎn)得．即為點(diǎn)的軌跡方程；(2)由（1）知點(diǎn)的軌跡是圓，與已知圓方程相減得：，即．圓的圓心為，半徑為，到直線的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為．考點(diǎn)3：公切線問(wèn)題20．已知圓，(1)判斷兩圓的位置關(guān)系，并求它們的公切線之長(zhǎng)；(2)若動(dòng)直線與圓交于，，且線段的長(zhǎng)度為，求證：存在一個(gè)定圓，直線總與之相切.【解析】（1）由圓可得，半徑，由圓可得，半徑，，所以，所以圓相交.設(shè)直線分別與圓切于，，連接，在直角梯形中，，所以，即它們的公切線之長(zhǎng)為；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，因?yàn)閯?dòng)直線與圓交于，，且線段的長(zhǎng)度為，所以，又因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線的距離為，所以直線總與圓相切，所以存在一個(gè)定圓，直線總與之相切.21．已知兩圓，，則兩圓的位置關(guān)系為___________，兩圓的公切線方程為___________.（用一般式表示）【答案】

內(nèi)切

【解析】由圓可得圓心，半徑，由可得，可得圓心，半徑，因?yàn)閳A心距，，所以，所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，設(shè)公切線方程為：，由題意可得，因?yàn)閮蓤A圓心所在直線垂直于公切線，且，所以代入可得，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足，所以，所以兩圓的公切線方程為即.故答案為：內(nèi)切；.22．已知兩圓方程分別為和．則兩圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】?jī)蓤A的圓心分別為和，半徑分別為2和3，圓心距，則兩圓外切，公切線有3條．故選：C23．已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．2條 C．1條 D．0條【答案】B【解析】由，得圓，半徑為，由，得，半徑為所以，，，所以，所以圓與圓相交，所以圓與圓有兩條公共的切線.故選：B.24．兩圓，的公切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即圓與外切，它們有3條公切線，所以圓與的公切線有3條.故選：C25．圓和圓的公切線的條數(shù)為______．【答案】3【解析】由題知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：326．若圓與圓恰有2條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A與圓恰有2條公切線，所以解得故選：B．考點(diǎn)4：圓系方程的應(yīng)用27．過(guò)圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是_______．【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：．28．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求公共弦AB所在直線方程；（2）求過(guò)兩圓交點(diǎn)A、B，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程．【解析】（1），①，②①-②得即公共弦AB所在直線方程為．（2）設(shè)圓的方程為即因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以，所以圓的方程為29．已知圓．求證：對(duì)任意不等于的實(shí)數(shù)，方程是通過(guò)兩個(gè)已知圓交點(diǎn)的圓的方程．【解析】若是圓、圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，則且，所以必在上，又，所以，則在時(shí)，方程表示圓，綜上，對(duì)任意不等于的實(shí)數(shù)，方程是