北京理工大學(xué)2025年強(qiáng)基計劃物理學(xué)科數(shù)學(xué)建模試題及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一已知一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在一個半徑為R的水平圓形平臺上做勻速圓周運(yùn)動。平臺通過一根長為L的不可伸長的輕繩懸掛于固定點(diǎn)O。假設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，平臺保持靜止，繩與豎直方向的夾角為θ（θ為銳角）。忽略空氣阻力，重力加速度為g。1.試用牛頓第二定律，建立描述質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的微分方程（不必求解）。2.假設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的角速度為ω，試推導(dǎo)出繩中張力T和水平平臺對質(zhì)點(diǎn)的支持力N分別表達(dá)式。3.若平臺對質(zhì)點(diǎn)的最大支持力N_max為重力mg的2倍，試求質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的最大角速度ω_max。4.在質(zhì)點(diǎn)以ω_max的角速度運(yùn)動時，試求此時繩與豎直方向的夾角θ的值。5.探討當(dāng)ω變化時，繩中張力T和水平平臺對質(zhì)點(diǎn)的支持力N各自的變化規(guī)律。試題二考慮一維熱傳導(dǎo)問題。設(shè)有一根長度為L的均勻細(xì)桿，其初始溫度分布函數(shù)為f(x)，x∈[0,L]。桿的左端（x=0）保持恒定溫度T?，右端（x=L）通過一個熱絕緣層，與外界環(huán)境的熱交換可以忽略。桿的熱擴(kuò)散系數(shù)為α（常數(shù)）。1.試用熱傳導(dǎo)方程和相應(yīng)的邊界條件及初始條件，建立描述桿上溫度分布隨時間演化問題的數(shù)學(xué)模型（形式為偏微分方程、邊界條件、初始條件）。2.假設(shè)桿的長度L=1，熱擴(kuò)散系數(shù)α=0.1，初始溫度分布為f(x)=sin(πx)，邊界條件為x=0處T(x,0)=1，x=1處溫度變化率dT(x,0)/dx=0。試求該問題的精確解T(x,t)。3.若初始溫度分布改為f(x)=0，邊界條件不變，試描述穩(wěn)態(tài)溫度分布的大致形態(tài)，并解釋原因。4.分析熱擴(kuò)散系數(shù)α對溫度分布隨時間演化速度的影響。5.討論如果右端（x=L）也改為保持恒定溫度T?，模型的邊界條件將如何修改？穩(wěn)態(tài)溫度分布又將如何變化？試題三在一個容積為V的密閉容器中，裝有總質(zhì)量為M的某種理想氣體。容器內(nèi)有一個質(zhì)量為m、可無摩擦移動的活塞，將容器分為兩個部分A和B，體積分別為V_A和V_B(V_A+V_B=V)。初始時，A部分氣體的壓強(qiáng)為P_A0，B部分氣體的壓強(qiáng)為P_B0，溫度分別為T_A0和T_B0。整個系統(tǒng)與外界處于熱平衡。1.假設(shè)活塞在A、B兩部分氣體壓強(qiáng)差的作用下達(dá)到平衡，試用力學(xué)平衡條件，建立描述活塞位置的方程（設(shè)活塞處于平衡位置時，A、B兩部分氣體體積分別為V_A*和V_B*）。2.根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，分別寫出初始時刻A、B兩部分氣體的狀態(tài)方程。3.假設(shè)活塞開始移動，最終達(dá)到新的平衡狀態(tài)。試從能量守恒或熱力學(xué)第一定律的角度，推導(dǎo)最終平衡時A、B兩部分氣體的溫度T_Af和T_Bf滿足的關(guān)系式（不必求解具體數(shù)值）。4.探討如果初始時A部分氣體溫度T_A0顯著高于B部分氣體溫度T_B0，活塞將如何移動？最終平衡狀態(tài)與初始狀態(tài)相比，A、B兩部分氣體的壓強(qiáng)和內(nèi)能將如何變化？（定性分析）5.若容器絕熱，即與外界無熱量交換，活塞移動過程中A、B兩部分氣體的壓強(qiáng)和溫度將如何變化？最終狀態(tài)與在相同初始條件下與外界有熱交換達(dá)到的平衡狀態(tài)相比，有何異同？試題四在xy平面內(nèi)，一個帶正電荷Q的點(diǎn)電荷位于原點(diǎn)O。一個質(zhì)量為m、帶正電荷q的質(zhì)點(diǎn)，從x軸上距離原點(diǎn)r?(r?>0)的P?點(diǎn)以初速度v?沿y軸正方向拋出。質(zhì)點(diǎn)只受到點(diǎn)電荷Q的庫侖力作用，忽略重力和其他力。靜電力常量為k。1.試用牛頓第二定律和庫侖定律，建立描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程組（質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程不必求解）。2.分析質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，其總能量E（動能+電勢能）是否守恒？并說明理由。3.若質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，試求其軌道半徑R和角速度ω的表達(dá)式。4.判斷質(zhì)點(diǎn)以初速度v?從P?點(diǎn)拋出時，是否可能做勻速圓周運(yùn)動？為什么？5.若質(zhì)點(diǎn)做的是橢圓軌道運(yùn)動，試分析其近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的位置關(guān)系，并說明電勢能和動能在這兩個位置附近如何轉(zhuǎn)化。試題五考慮一個由RLC元件組成的串聯(lián)電路，電源電壓為U(t)，角頻率為ω。電路中的電阻R、電感L、電容C均為已知常量。1.試用基爾霍夫電壓定律，建立描述該電路中電流i(t)或電壓u_L(t)、u_C(t)隨時間變化的微分方程。2.分析該電路的固有頻率（自然頻率）是多少？它取決于哪些元件參數(shù)？3.假設(shè)電源電壓U(t)=U?sin(ωt)，ω為電路的固有頻率。試定性描述電路中電流i(t)的相位與電源電壓U(t)的相位關(guān)系。4.若R=0，L=1H，C=1μF，電源電壓U(t)=1V的正弦交流電。試求電路中的電流i(t)的表達(dá)式。5.探討改變電路參數(shù)R、L、C或電源頻率ω時，電路的阻抗、電流幅值、相位以及電路行為（如諧振）將如何變化？試卷答案試題一1.質(zhì)點(diǎn)受重力mg、繩子張力T和平臺支持力N。取水平方向（切向）和豎直方向（徑向）建立坐標(biāo)系。勻速圓周運(yùn)動時，合外力提供向心力。徑向：Tsinθ=mω2(R+Lsinθ)。切向：Tcosθ-N=0。（若考慮平臺對質(zhì)點(diǎn)的作用僅為支持力N，則徑向Tsinθ=mω2R，切向Tcosθ=N）。建立微分方程需根據(jù)具體情況，此處提供基本平衡/動力學(xué)關(guān)系。2.由徑向平衡方程Tsinθ=mω2R（若平臺提供支持力N，則為Tsinθ=mω2(R+Lsinθ)）。解得T=mω2R/sinθ。（若平臺提供支持力N，則為T=mω2(R+Lsinθ)/sinθ）。切向平衡方程Tcosθ=N。代入T的表達(dá)式，得N=mω2Rcosθ/sinθ=mω2Rcotθ。（若平臺提供支持力N，則為N=mω2(R+Lsinθ)cotθ）。3.平臺提供最大支持力時，N=N_max=2mg。代入N=mω2Rcotθ，得2mg=mω2Rcotθ。解得ω_max=√(2gcotθ/R)。4.將ω_max代入T=mω2R/sinθ，得T_max=m(2gcotθ/R)R/sinθ=2mgcotθ/sinθ=2mgcscθ。同時，N_max=2mg=T_maxcotθ。將T_max代入，得2mg=(2mgcscθ)cotθ，即2mg=2mg(cosθ/sinθ)(1/sinθ)=2mgcos2θ/sin2θ。整理得sin2θ=cos2θ，即tan2θ=1。由于θ為銳角，得θ=π/4。5.T=mω2R/sinθ。隨著ω增大，T增大；隨著θ減?。ㄙ|(zhì)點(diǎn)更靠近圓心），T增大。T是ω和θ的增函數(shù)。N=mω2Rcotθ。隨著ω增大，N增大；隨著θ增大（質(zhì)點(diǎn)更遠(yuǎn)離圓心），N減小。N是ω的增函數(shù)，是θ的減函數(shù)。試題二1.熱傳導(dǎo)方程：?u/?t=α?2u/?x2，其中u(x,t)為溫度分布。邊界條件：x=0,u(x,0)=T?；x=L,?u/?x|_(x=L,t)=0（熱絕緣，無熱流）。初始條件：u(x,0)=f(x)。2.方程為?u/?t=α?2u/?x2，BC:x=0,u=T?；x=1,?u/?x=0。IC:u(x,0)=sin(πx)。此為齊次方程非齊次邊界條件的問題。令u(x,t)=v(x)+T?。代入得v(x)滿足?v/?t=α?2v/?x2，BC:x=0,v=0；x=1,?v/?x=0。IC:v(x,0)=sin(πx)。這是標(biāo)準(zhǔn)的齊次邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，解為v(x,t)=Σ[B_nsin(nπx)exp(-α(nπ)2t)]，其中B_n=2∫?1sin(nπx)sin(πx)dx。對于n=1,B_1=2(1-cos(π))/π=2/(π)。對于n≠1,B_n=0(正交性)。故v(x,t)=(2/π)sin(πx)exp(-α(π)2t)。因此，T(x,t)=v(x,t)+T?=T?+(2/π)sin(πx)exp(-α(π)2t)。3.穩(wěn)態(tài)即?u/?t=0，此時?2u/?x2=0。方程變?yōu)?2u/?x2=0。邊界條件為x=0,u=T?；x=1,?u/?x=0。通解為u(x)=Ax+B。由BC定解：x=0,A+B=T?；x=1,A=0。得A=0,B=T?。故穩(wěn)態(tài)溫度分布為常數(shù)T(x)=T?。這表示穩(wěn)態(tài)時，由于右端絕熱，整個桿的溫度都等于左端的溫度。4.熱擴(kuò)散系數(shù)α越大，表示熱量傳播得越快。因此，α越大，初始溫度分布f(x)消失或趨于穩(wěn)態(tài)T?的速度越快。從t=0開始，溫度分布u(x,t)的變化率（絕對值）越快。5.若右端x=L也保持恒定溫度T?，則新的邊界條件為x=0,u(x,0)=f(x)；x=L,u(x,t)=T?。穩(wěn)態(tài)時，u(x)滿足?2u/?x2=0，BC:x=0,u=f(0)；x=L,u=T?。通解u(x)=Ax+B。由BC定解：x=0,B=f(0)；x=L,AL+B=T?。得A=(T?-f(0))/L，B=f(0)。故穩(wěn)態(tài)溫度分布為u(x)=((T?-f(0))/L)x+f(0)。穩(wěn)態(tài)溫度分布不再是線性變化，而是斜率為(T?-f(0))/L的直線，最終溫度為T?。試題三1.活塞受A、B兩部分氣體的壓強(qiáng)差作用。設(shè)A部分壓強(qiáng)為P_A，B部分壓強(qiáng)為P_B?；钊娣e設(shè)為S。向右移動的力為(P_A-P_B)S。達(dá)到平衡時，此力與活塞重力mg（向下）相平衡（若O點(diǎn)在桿中心，則活塞受重力和左右兩端壓力差）?？紤]力矩平衡（以O(shè)點(diǎn)為軸），(P_A-P_B)S*Lsinθ=mg*(L/2)sinθ(若O在中點(diǎn))或(P_A-P_B)S*Lsinθ=mg*xsinθ(若O在左端，x為活塞位置)。簡化得P_A-P_B=mg/S?；蛘咧苯佑脡簭?qiáng)乘以面積等于力：P_A*S_A-P_B*S_B=mg。由于S_A+S_B=S，且S_A=(V_A/L)S，S_B=(V_B/L)S，得P_A*(V_A/L)-P_B*(V_B/L)=mg/L。即P_A*V_A-P_B*V_B=mgL。這是平衡方程，包含了活塞位置（通過V_A或V_B）。2.理想氣體狀態(tài)方程：PV=nRT。初始A部分：P_A0*V_A0=n_A*R*T_A0。初始B部分：P_B0*V_B0=n_B*R*T_B0。其中n_A=M_A/M，n_B=M_B/M，M_A+M_B=M。若氣體為同種均勻氣體，則摩爾質(zhì)量M相同，n_A=M_A/M，n_B=(M-M_A)/M。3.達(dá)到最終平衡時，A、B兩部分氣體溫度T_Af和T_Bf相等，設(shè)為T_f。兩部分氣體壓強(qiáng)分別為P_Af和P_Bf。設(shè)兩部分最終體積分別為V_Af和V_Bf(V_Af+V_Bf=V)。兩部分氣體滿足理想氣體狀態(tài)方程：P_Af*V_Af=n_A*R*T_f；P_Bf*V_Bf=n_B*R*T_f。由于T_f相同，壓強(qiáng)和體積成比例：P_Af/P_Bf=V_Bf/V_Af。此即P_Af*V_Af=P_Bf*V_Bf。由熱力學(xué)第一定律，系統(tǒng)總內(nèi)能變化等于對外做功加上吸收的熱量。如果系統(tǒng)絕熱，則ΔU=0。理想氣體內(nèi)能變化ΔU=n_AC_v(T_f-T_A0)+n_BC_v(T_f-T_B0)=0。其中C_v為定容比熱容。整理得n_A(T_f-T_A0)+n_B(T_f-T_B0)=0。代入n_A,n_B，若氣體為同種，M相同，則n_A/n_B=M_A/(M-M_A)=V_Af/V_Bf。代入得(M_A/(M-M_A))(T_f-T_A0)+((M-M_A)/M_A)(T_f-T_B0)=0。整理得M_A(T_f-T_A0)+M_B(T_f-T_B0)=0。即M_AT_f-M_AT_A0+M_BT_f-M_BT_B0=0。由于M_A+M_B=M，得MT_f=MT_A0+MT_B0。最終溫度T_f=T_A0+T_B0。4.若T_A0>T_B0，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程P=nRT/V，在V相同的情況下，T越高則P越高。因此，初始時A部分壓強(qiáng)P_A0較高，B部分壓強(qiáng)P_B0較低?；钊麑⑾駼部分移動，使A部分體積減小，B部分體積增大。移動過程中，A部分溫度降低，B部分溫度升高。最終達(dá)到平衡時，A、B兩部分溫度相等T_f=(T_A0+T_B0)/2。由于T_A0>T_B0，且A部分初始體積V_A0較大（或B部分初始體積V_B0較?。鶕?jù)壓強(qiáng)關(guān)系P_Af*V_Af=P_Bf*V_Bf和T_f的表達(dá)式，可以推斷最終平衡時，A部分壓強(qiáng)P_Af將會大于B部分壓強(qiáng)P_Bf。與初始相比，A部分內(nèi)能減少（因溫度降低），B部分內(nèi)能增加（因溫度升高）。5.若容器絕熱：*活塞移動過程中：A部分氣體經(jīng)歷膨脹（對外做功），溫度降低；B部分氣體經(jīng)歷壓縮（外界對氣體做功），溫度升高。壓強(qiáng)P_A和P_B會發(fā)生連續(xù)變化，以維持活塞的移動和系統(tǒng)的能量守恒。*最終狀態(tài)：絕熱系統(tǒng)達(dá)到平衡，最終溫度T_f=(T_A0+T_B0)/2（與有熱交換時相同，因?yàn)閮?nèi)能守恒）。*與有熱交換相比：有熱交換時，系統(tǒng)會通過左端與外界的熱量交換來調(diào)整溫度，最終可能使A部分溫度略低于T_f，B部分溫度略高于T_f，以維持穩(wěn)態(tài)時的壓強(qiáng)平衡。而絕熱過程中，系統(tǒng)內(nèi)部通過活塞移動完成能量交換，沒有與外界的熱量交換，最終溫度T_f就是精確的平衡溫度。絕熱過程的動態(tài)過程更劇烈，溫度變化更顯著。試題四1.質(zhì)點(diǎn)受電場力F=kQq/r2（沿徑向，r為質(zhì)點(diǎn)到O點(diǎn)距離）。根據(jù)牛頓第二定律，設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度v，加速度a，取極坐標(biāo)系，原點(diǎn)在O點(diǎn)。切向：m*(d2r/dt2)-mω2r=0（向心加速度）?；蛘適*(v2/r)=kQq/r2。徑向：m*(rα+ω2r)=kQq/r2（α為角加速度，ω為角速度，假設(shè)角速度ω可變）。或者m*(d2r/dt2+ω2r)=kQq/r2。微分方程組通常指關(guān)于r和ω的方程組，或者關(guān)于r和θ的方程組。此處提供基于牛頓定律和勻速圓周運(yùn)動向心力的基本關(guān)系。2.總能量E=動能K+電勢能U。K=?mv2。U=-kQq/r?？偰芰縀=?mv2-kQq/r。電場力F=-dU/dr，是保守力。保守力場中，做功與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，因此，質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)電荷電場中運(yùn)動，機(jī)械能（動能加電勢能）總是守恒的。理由：電場力是保守力。3.做勻速圓周運(yùn)動意味著角速度ω恒定，速度v的大小v=ωr也恒定。此時，切向加速度dv/dt=0，徑向加速度dv/dr=0。徑向動力學(xué)方程為mω2r=kQq/r2。解得r=√(mkQq/ω2)。軌道半徑R=r=√(mkQq/ω2)。角速度ω=√(mkQq/r2)。4.判斷能否做勻速圓周運(yùn)動，即判斷是否存在一個固定的r值和固定的ω值滿足條件。由上一問，若做勻速圓周運(yùn)動，則r=√(mkQq/ω2)。同時，質(zhì)點(diǎn)從P?=r?沿y軸正方向拋出，初速度v?沿y軸正方向。這意味著初始時刻r=r?，v_r=0，v_θ=v?。要維持勻速圓周運(yùn)動，軌道半徑r必須恒定，即r=r?。因此，需要滿足r?=√(mkQq/ω2)，即ω2=mkQq/r?2。此時，電場力提供全部向心力。需要判斷此ω是否存在。電場力F=kQq/r2，提供向心力F_c=mv?2/r?。要求F=F_c，即kQq/r?2=mv?2/r?。整理得kQq=mv?2r?。這個等式是否成立取決于給定的Q,q,r?,v?的值。如果kQq=mv?2r?成立，則存在一個ω滿足ω2=mkQq/r?2，此時質(zhì)點(diǎn)可以做勻速圓周運(yùn)動。如果kQq≠mv?2r?，則不存在這樣的ω，質(zhì)點(diǎn)不能做勻速圓周運(yùn)動。因此，不能確定是否可能，取決于具體參數(shù)。5.橢圓軌道是指質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)做周期性運(yùn)動，但軌道不是圓形。橢圓軌道上，到焦點(diǎn)的距離r是變化的。根據(jù)庫侖定律，電場力F=kQq/r2，方向始終指向焦點(diǎn)O。根據(jù)牛頓第二定律，加速度a=F/m=kQq/r3。在橢圓軌道上，質(zhì)點(diǎn)在近地點(diǎn)（離O最近點(diǎn)，r_min）的速度v_min最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)（離O最遠(yuǎn)點(diǎn)，r_max）的速度v_max最小。根據(jù)能量守恒E=?mv2-kQq/r=常數(shù)。在r_min時，v2最小，因此電勢能U_min=-kQq/r_min最大（絕對值最?。?，動能K_min=?mv_min2最小。在r_max時，v2最大，因此電勢能U_max=-kQq/r_max最?。ń^對值最大），動能K_max=?mv_max2最大。電場力做功等于電勢能的變化量。在近地點(diǎn)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的過程中，r增大，電勢能U從U_min增加到U_max（絕對值減小，U增大）。根據(jù)能量守恒，動能K減小（從K_min減小到K_max）。因此，電場力做負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)克服電場力從近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動。在遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)的過程中，r減小，電勢能U從U_max減小到U_min（絕對值增大，U減小）。根據(jù)能量守恒，動能K增大（從K_max增大到K_min）。因此，電場力做正功，推動質(zhì)點(diǎn)從遠(yuǎn)地點(diǎn)向近地點(diǎn)運(yùn)動?？偨Y(jié)：質(zhì)點(diǎn)在橢圓軌道上運(yùn)動時，電勢能在近地點(diǎn)最高，遠(yuǎn)地點(diǎn)最低；動能與電勢能相反，在近地點(diǎn)最低，遠(yuǎn)地點(diǎn)最高。電場力始終指向焦點(diǎn)，是質(zhì)點(diǎn)做橢圓軌道運(yùn)動的原因。試題五1.根據(jù)基爾霍夫電壓定律，沿回路繞行，電壓降之和等于電壓升之和。設(shè)電流為i(t)，電阻電壓為Ri，電感電壓為L(di/dt)，電容電壓為(1/C)∫idt。設(shè)電源電壓為U(t)=U?sin(ωt)。一個可能的回路（從下到上，經(jīng)過R,L,C）為：電容電壓+電感電壓+電阻電壓=電源電壓。即(1/C)∫idt+L(di/dt)+Ri=U?sin(ωt)。這是二階線性非齊次微分方程，描述了電流i(t)?；蛘撸紤]整個回路（從上到下，經(jīng)過R,L,C）:電阻電壓+電感電壓+電容電壓=電源電壓。即Ri+L(di/dt)+(1/C)∫idt=U?sin(ωt)。也可以寫出關(guān)于電壓u_L(t)=L(di/dt)和u_C(t)=(1/C)∫idt的方程。例如，對于R-L-C串聯(lián)電路，總電壓U(t)=U?sin(ωt)。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，U(t)=u_R+u_L+u_C=Ri+L(di/dt)+(1/C)∫idt。2.電路的固有頻率（自然頻率）是指在沒有外部驅(qū)動力（U(t)=0）且系統(tǒng)處于無阻尼或小阻尼振蕩狀態(tài)時，系統(tǒng)自由振蕩的角頻率。對于RLC串聯(lián)電路，描述其振蕩行為的微分方程為L(di/dt)+Ri+(1/C)∫idt=0。將其改寫為二階微分方程d2i/dt2+(R/L)d(i/dt)+(1/(LC))i=0。這是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程。其特征方程為r2+(R/L)r+(1/(LC))=0。解得特征根r=[-R/(2L)±√((R/(2L))2-1/(LC))].若R=0，則特征根為r=±√(1/(LC))。此時，系統(tǒng)做簡諧無阻尼振蕩，固有角頻率ω?=1/√(LC)。固有頻率取決于電感L和電容C。如果R≠0，系統(tǒng)可能做阻尼振蕩或過阻尼/臨界阻尼運(yùn)動，此時有阻尼固有角頻率ω_d=√(1/(LC)-(R/(2L))2)，但通常我們說的“固有頻率”指的是無阻尼情況下的ω?=1/√(LC)。3.若U(t)=U?sin(ωt)，ω為電路的固有頻率ω=1/√(LC)。此時，電路發(fā)生“諧振”。在RLC串聯(lián)電路中，諧振時電路呈純阻性（因?yàn)殡姼须妷汉碗娙蓦妷捍笮∠嗟龋辔幌喾?，相互抵消），電流i(t)與電源電壓U(t)同相。因此，電流i(t)的相位與電源電壓U(t)的相位關(guān)系是同相。4.給定R=0,L=1H,C=1μF,U(t)=1Vsin(ωt)。首先計算固有角頻率ω?=1/√(LC)=1/√(1*1e-6)=1/10?3=103rad/s=1000rad/s。題目中U(t)=1Vsin(1000t)。由于R=0，電路處于無阻尼等幅振蕩狀態(tài)。諧振頻率ω=ω?=1000rad/s。此時電路呈純阻性，阻抗Z=R=0(理論上)。但實(shí)際中R=0不可能，且電容電壓和電感電壓不能為零。更準(zhǔn)確地說，在ω=ω?時，電抗X_L=ω?L=1000*1=1000Ω，X_C=1/(ω?C)=1/(1000*1e-6)=1000Ω。X_L=X_C，電路發(fā)生串聯(lián)諧振。諧振時，阻抗Z=√(R2+(X_L-X_C)2)=√(02+(1000-1000)2)=0Ω(理想情況)。但電源電壓U(t)=1Vsin(1000t)，不為零，因此電路中有電流。理想情況下，電流幅值I?=U?/Z=1V/0Ω，這在物理上無意義，說明R=0的假設(shè)導(dǎo)致矛盾。更合理的解釋是，題目可能隱含R≈0的小電阻情況。此時，阻抗Z≈R，電流幅值I?≈U?/R。由于題目未給R值，無法計算具體電流。但可以肯定的是，在ω=ω?時，電