專題06一元一次方程章末56道壓軸題型專訓(xùn)（8大題型）題型一根據(jù)等式的性質(zhì)解方程題型二一元一次方程的含參問題題型三一元一次方程的規(guī)律問題題型四一元一次方程的新定義問題題型五一元一次方程解的計算壓軸題題型六一元一次方程解的拓展問題題型七一元一次方程的綜合應(yīng)用題型八一元一次方程與數(shù)軸有關(guān)問題【經(jīng)典例題一根據(jù)等式的性質(zhì)解方程】1．（24-25七年級·江西南昌·單元測試）利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）x=；（2）y=4；（3）；（4）y=-3．【分析】（1）利用等式的性質(zhì)1變形為：3x=7，然后利用等式的性質(zhì)2得到x=；（2）利用等式的性質(zhì)1得到：2y＝8，然后利用等式的性質(zhì)2可得到y(tǒng)=4；（3）利用等式的性質(zhì)1得到，然后利用等式的性質(zhì)2可得到；（4）利用等式的性質(zhì)1得到-3y=9，然后利用等式的性質(zhì)2可得到y(tǒng)=-3．【詳解】（1）等式兩邊同時減4得：3x=7，等式兩邊同時除以3得x=；（2）等式兩邊同時減3y再加6得：2y＝8，等式兩邊同時除以2得y=4；（3）等式兩邊同時加得：，等式兩邊同時乘以得；（4）等式兩邊同時加上5y得：-3y=9，等式兩邊同時除以-3得y=-3．【點睛】本題主要考查的是等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2025七年級上·浙江·模擬預(yù)測）利用等式的性質(zhì)求下列一元一次方程的解，并寫出檢驗過程．(1)；(2)．【答案】(1)，見解析(2)，見解析【分析】本題考查了解一元一次方程，等式的性質(zhì)，掌握解一元一次方程的方法，掌握等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)等式的性質(zhì)解方程，然后檢驗即可；（2）先根據(jù)等式的性質(zhì)解方程，然后檢驗即可．【詳解】（1）解：，，，．檢驗：當時，方程左邊，方程右邊，方程左右兩邊相等，∴是原方程的解．（2）解：x，，，，，．檢驗：當時，方程左邊，方程右邊，方程左右兩邊相等，∴是原方程的解．3．（2025七年級上·山東·模擬預(yù)測）利用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查等式的基本性質(zhì)，（1）先在等式的兩邊同時加，然后在兩邊同時除以即可得出結(jié)論；（2）先在等式的兩邊同時加，然后在兩邊同時乘以即可得出結(jié)論；（3）先在等式的兩邊同時減，然后在兩邊同時除以即可得出結(jié)論；（4）先在等式的兩邊同時加，然后在兩邊同時除以即可得出結(jié)論；解題的關(guān)鍵是掌握等式的個基本性質(zhì)：性質(zhì)：等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；性質(zhì)：等式兩邊同時乘同一個數(shù)，或除以同一個不為的數(shù)，結(jié)果仍相等．【詳解】（1）解：兩邊同時加，得：，兩邊同時除以，得：；（2）兩邊同時加，得：，兩邊同時乘，得：；（3）兩邊同時減去，得：，即：，兩邊同時除以，得：；（4）兩邊同時加，得：，即：，兩邊同時除以，得：．4．（24-25七年級上·山東泰安·課后作業(yè)）能否從等式得到，為什么？反過來，能否從得到，為什么？【答案】見解析【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解；不能從等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0時，無意義；能從中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得兩邊都乘以（2a-1）．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，等式的兩邊都乘以或除以同一個不為零的整式，結(jié)果仍是等式．5．（24-25七年級上·山東棗莊·期中）小麗學完分式方程之后解一道分式方程過程如下：第一步：整理第二步：去分母……．(1)請說明第一步和第二步變化過程的依據(jù)分別是______、______；(2)請把以上解分式方程的過程補充完整．【答案】(1)分式的基本性質(zhì)，等式的性質(zhì)(2)無解【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，尤其不要丟了檢驗．（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)、等式的性質(zhì)判斷即可；（2）將分式方程化為整式方程求解即可．【詳解】（1）解：第一步變化過程的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，第二步變化過程的依據(jù)是等式的性質(zhì)，故答案為：分式的基本性質(zhì)，等式的性質(zhì)；（2），整理得，去分母，得，解得，檢驗：當時，，所以不是分式方程的解，所以原分式方程無解．6．（24-25七年級上·山西朔州·階段練習）依據(jù)下列解方程的過程，請在前面的括號內(nèi)填寫變形步驟．在后面的括號內(nèi)填寫變形依據(jù)．解：原方程可變形為去分母，得（

）去括號，得（

）（

），得（

）合并同類項，得．（

），得，（

）【答案】答案見詳解【分析】本題考查解一元一次方程的基本步驟，熟練掌握一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵；【詳解】解：原方程可變形為去分母，得（等式的性質(zhì)）去括號，得（乘法分配律）（移項），得（等式的性質(zhì)）合并同類項，得．（系數(shù)化為），得，（等式的性質(zhì)）7．（24-25七年級·江西南昌·單元測試）小明學習了“等式的基本性質(zhì)”后對小亮說：“我發(fā)現(xiàn)4可以等于3，你看這里有一個方程，等式的兩邊同時加上2，得，然后等式的兩邊再同時除以x，得.”（1）請你想一想，小明的說法對嗎？為什么？（2）你能用等式的性質(zhì)求出方程的解嗎？【答案】（1）不對，理由見解析；（2）x=0【分析】（1）等式兩邊除以的未知數(shù)也有可能是0，所以不能把等式兩邊都除以未知數(shù)；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)1即可求解.【詳解】（1）不對．理由：∵4x-2=3x-2的解為x=0，當4x=3x兩邊除以x時，即兩邊除以0，∴不對．（2），等式的兩邊同時加上2，得，等式的兩邊同時減3x，得，故的解為x=0.【點睛】用到的知識點為：等式兩邊除以的數(shù)，應(yīng)保證不為0的情況下結(jié)果才依然是等式．【經(jīng)典例題二一元一次方程的含參問題】8．（24-25七年級上·重慶忠縣·期中）設(shè)為有理數(shù)，已知關(guān)于的一元一次方程．(1)若方程與已知方程的解相同，求的值；(2)若關(guān)于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵．（1）先求出方程的解為，再將代入已知方程可得一個關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得；（2）先求出兩個方程的解，再根據(jù)關(guān)于的方程的解比已知方程的解大可得一個關(guān)于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得．【詳解】（1）解：，，，，，，∵方程與方程的解相同，∴將代入方程得：，解得．（2）解：，，解得，，，，解得，∵關(guān)于的方程的解比方程的解大，∴，解得，∴，所以已知方程的解為．9．（24-25七年級上·湖南長沙·期中）定義：如果兩個一元一次方程的解相同，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程是“美好方程”，求的值；(2)若無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程（、為常數(shù)）與方程為“美好方程”，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）表示出和的解，再根據(jù)“美好方程”的定義列式即可．（2）先解出的解，再根據(jù)“美好方程”的定義可得，即可列式求解a和b的值，代入即可求解．【詳解】（1）解：∵，解得：，∵，∴，∵方程與方程是“美好方程”，∴，∴．（2）解：，解得：，∴方程的解為，，，，∵無論k取任何有理數(shù)，兩個方程是“美好方程”，，，，解得：，，∴．10．（24-25七年級上·江西南昌·期中）如果，我們把數(shù)和稱為等式的“共和數(shù)對”，記作．(1)，可以稱為等式的“共和數(shù)對”的是________；(2)若是等式的“共和數(shù)對”，求的值；(3)已知為常數(shù)，無論取何值，總是等式的“共和數(shù)對”，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查新定義計算，一元一次方程，一元一次方程的解，能正確的理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）分別利用定義進行計算，再判斷即可；（2）根據(jù)新定義進行列方程求解即可；（3）先根據(jù)新定義列方程，并利用“關(guān)于的一元一次方程對于任意的都滿足，則”進行解答即可．【詳解】（1）解：對于，，，因為，所以不是等式的“共和數(shù)對”；對于，，，因為，所以是等式的“共和數(shù)對”；故答案為：；（2）解：因為是等式的“共和數(shù)對”，所以，解得：；（3）解：因為是等式的“共和數(shù)對”，所以，整理得：，由題意：與的取值無關(guān)，所以，所以．11．（24-25七年級上·重慶·期中）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則稱該方程是“至誠方程”，例如：方程的解為，而，則該方程是“至誠方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)若關(guān)于x的一元一次方程是“至誠方程”，求m的值；(2)若關(guān)于x的一元一次方程是“至誠方程”，求代數(shù)式的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了新定義——“至誠方程”，熟練掌握新定義，一元一次方程解的定義，解一元一次方程，代數(shù)式求值，是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元一次方程是“至誠方程”，得到，代回原方程求解即得；（2）根據(jù)一元一次方程是“至誠方程”，得到，再整體代入計算即可求解．【詳解】（1）解：∵一元一次方程是“至誠方程”，∴，∴，解得：；（2）解：∵一元一次方程是“至誠方程”，∴，∴，整理得∴．12．（2025七年級上·江西南昌·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的方程．(1)若，求該方程的解；(2)若是方程的解，求的值；(3)若該方程的解與方程的解相同，求的值；(4)某同學在解該方程時，誤將“”看成了“”，得到方程的解為，求的值；(5)若該方程有正整數(shù)解，求整數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)【分析】本題考查同解方程、一元一次方程的解法、求代數(shù)式的值，（1）依據(jù)題意得，當時，方程為，求解即可；（2）依據(jù)題意，由是方程的解，得，解關(guān)于的方程，再將的值代入計算即可；（3）依據(jù)題意，由方程的解為，從而得，再解關(guān)于的方程即可；（4）依據(jù)題意，由誤將“”看成了“”，得到方程的解為，可得，再解關(guān)于的方程即可；（5）依據(jù)題意，由，可得，再結(jié)合取正整數(shù)，從而為的正因數(shù)，又取最小值，進而得解；解題時要能讀懂題意并列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：當時，方程為，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵是方程的解，∴，∴，∴，解得：，∴，∴的值為；（3）解：∵，解得：，∵方程的解與方程的解相同，∴，∴，解得：，∴的值為；（4）解：∵誤將“”看成了“”，得到方程的解為，∴是方程的解，∴，解得：，∴的值為；（5）解：∵，∴，∴，∴，∵取正整數(shù)，∴為的正整數(shù)倍數(shù)．又∵取最小值，∴，∴，∴的值為．13．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）定義：關(guān)于的方程與（、均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對方程”．例如：方程與互為“反對方程”；方程，通過轉(zhuǎn)化可得，所以與互為“反對方程”．(1)若關(guān)于的方程與（為不等于0的常數(shù)）互為“反對方程”，則______；(2)若關(guān)于的方程（為不等于0的常數(shù)）的解為，求的值及它的“反對方程”的解；(3)若關(guān)于的方程（為不等于0的常數(shù)）的解為，請直接寫出的解．【答案】(1)；(2)，；(3)．【分析】此題考查的是新定義，解一元一次方程，能夠正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“反對方程”的定義直接可得答案；（2）將代入求出，然后得到方程為，然后根據(jù)“反對方程”的概念求解即可；（3）首先得到互為“反對方程”的兩個方程的解互為倒數(shù)，然后判斷出方程和方程互為“反對方程”，進而求解即可．【詳解】（1）解：由題可知，與、均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對方程”，與方程互為“反對方程”，；（2）解：∵關(guān)于的方程（為不等于0的常數(shù)）的解為，∴∴；∴，∴∴關(guān)于的方程的“反對方程”為∴；（3）解：∵關(guān)于的方程的解為，關(guān)于的方程的解為，且關(guān)于的方程與（、均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對方程”，∴互為“反對方程”的兩個方程的解互為倒數(shù)，∵方程∴∴∵方程∴∴方程和方程互為“反對方程”∵關(guān)于的方程（為不等于0的常數(shù)）的解為，∴的解為．14．（24-25七年級上·湖南長沙·期中）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為，我們就稱這兩個方程互為“星光方程”．例如：的解為，的解為，所以這兩個方程互為“星光方程”．(1)若關(guān)于的一元一次方程與是“星光方程”，則______；(2)已知兩個一元一次方程互為“星光方程”，且這兩個“星光方程”的解的差為．若其中一個方程的解為，求的值：(3)已知關(guān)于的一元一次方程的解是，請寫出解是的關(guān)于的一元－次方程：（只需要在括號內(nèi)填充含有的代數(shù)式）；(4)若關(guān)于的一元一次方程和互為“星光方程”，則關(guān)于的一元一次方程的解為______．【答案】(1)(2)或(3)①；②(4)【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意義解答，理解并熟練應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．（1）分別求得兩個方程的解，利用“星光方程”的定義列出關(guān)于的方程解答即可；（2）設(shè)另外一個方程的解為，根據(jù)題意可得：，，即可求解；（3）由題意可知，關(guān)于的一元一次方程的解是，結(jié)合，則，即可求解；（4）求得方程的解為，利用“星光方程”的定義得到方程的解，再將關(guān)于的方程變形得，利用同解方程的定義即可得到，從而求得方程的解．【詳解】（1）解：解方程得，關(guān)于的一元一次方程與是“星光方程”，關(guān)于的一元一次方程的解是，，，故答案為：；（2）設(shè)另外一個方程的解為，根據(jù)題意可得：，，解得：或；（3）關(guān)于的一元一次方程的解是，的解是，關(guān)于的一元－次方程：的解是，，則，故答案為：①；②；（4）的解是，關(guān)于的一元一次方程和互為“星光方程”，關(guān)于的一元一次方程的解是，關(guān)于的一元一次方程整理可得：，，．故答案為：2026【經(jīng)典例題三一元一次方程的規(guī)律問題】15．（24-25七年級上·河南焦作·期中）有一列數(shù)，按一定的規(guī)律排列：，其中某三個相鄰的數(shù)的和是，這三個數(shù)分別是多少？【答案】，，【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)這三個數(shù)中的第一個數(shù)是，則其后面的兩個數(shù)分別是，，根據(jù)題意列出方程即可求解，找出數(shù)列的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這三個數(shù)中的第一個數(shù)是，則其后面的兩個數(shù)分別是，，由題意得，，解得，∴，，答：這三個數(shù)分別是，，．16．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）下列每一幅圖都是由單位長度均為1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某種規(guī)律組成的．(1)根據(jù)規(guī)律，第4個圖中白色小正方形共有_____個，灰色小正方形共有_____個；(2)第個圖形中，白色小正方形共有_____個，灰色小正方形共有_____個（用含的式子表示，為正整數(shù)）；(3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多64個嗎？如果可能，求出的值；如果不可能，請說明理由．【答案】(1)28；8(2)；(3)可能；【分析】此題考查了圖形變化類規(guī)律問題；（1）根據(jù)題意歸納出本題第n個圖中共有個小正方形，其中灰色小正方形個，白色小正方形共有個，再將代入計算即可；（2）由（1）可知，第n個圖形中共有灰色小正方形個，白小正方形個數(shù)為個；（3）根據(jù)題意可得到，從而可求解．【詳解】（1）解：∵第1個圖中共有個小正方形，其中灰色小正方形共有2個，白色小正方形共有個，第2個圖中共有個小正方形，其中灰色小正方形共有個，白色小正方形共有個，第3個圖中共有個小正方形，其中灰色小正方形共有個，白色小正方形共有個，…，∴第n個圖中共有個小正方形，其中灰色小正方形共有個，白色小正方形共有個，∴第4個圖中共有個小正方形，其中灰色小正方形共有個，白色小正方形共有個，故答案為：28，；（2）由（1）可知，第n個圖形中灰色小正方形共有個，白小正方形個數(shù)共有個，故答案為：，；（3）設(shè)第個圖形白色小正方形比灰色小正方形正好多個，得，

解得，∴可能白色小正方形比灰色小正方形正好多64個．17．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）（1）用一個長方形像圖中那樣任意圈出四個數(shù)字，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（寫出兩條規(guī)律即可）？（2）如果長方形中最上面一個數(shù)字用a表示，最下面一個數(shù)字是______（用a表示）；（3）按這樣的圈法，小麗圈出的四個數(shù)的和是212，你知道她圈的是哪四個數(shù)嗎？算一算寫出來．【答案】（1）圈出的4個數(shù)的個位數(shù)字相同，每相鄰兩個之間相差10；（2）（3）這四個數(shù)是38，48，58，68【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，一元一次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)四個數(shù)存在的聯(lián)系可得答案；（2）由長方形圈出的四個數(shù)字中上下相鄰的兩個數(shù)相差10，從而可得答案；（3）設(shè)圈的四個數(shù)中最小的數(shù)是x，由題意得：，再解方程可得答案.【詳解】解：（1）由題意可知，圈出的4個數(shù)的個位數(shù)字相同，每相鄰兩個之間相差10；（2）∵長方形圈出的四個數(shù)字中上下相鄰的兩個數(shù)相差10，所以如果長方形中最上面一個數(shù)字用a表示，最下面一個數(shù)字可以表示為；（3）設(shè)圈的四個數(shù)中最小的數(shù)是x，由題意得：，解得：，即這四個數(shù)是38，48，58，68.18．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）數(shù)學綜合與實踐課上，王老師和同學們一起利用循環(huán)小數(shù)的循環(huán)規(guī)律，根據(jù)設(shè)計了“”的圖案（教材第70頁）．我們知道分數(shù)可以寫成小數(shù)，反過來，無限循環(huán)小數(shù)可以寫成分數(shù)，一般地，任何一個無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)形式．我們以無限循環(huán)小數(shù)為例進行探究：設(shè)…，兩邊同乘以10得：，即，解得，∴．請仿照這一方法解決以下問題：(1)無限循環(huán)小數(shù)寫成分數(shù)為．(2)大小比較：1．（選填“＞”“＝”或“＜”）(3)請把無限循環(huán)小數(shù)寫成分數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題干轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，兩邊同乘以10，得到，求出的值；（2）設(shè)，兩邊同乘以10，得到，求出，即可得到答案；（3）設(shè)，兩邊同乘以100得到，解得：，再根據(jù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，兩邊同乘以10得：，即，解得：，即無限循環(huán)小數(shù)寫成分數(shù)為，故答案為；（2）解：設(shè)，兩邊同乘以10得：，即，解得：，即無限循環(huán)小數(shù)寫成，即，故答案為：；（3）解：設(shè)，兩邊同乘以100得，，即，解得：，即無限循環(huán)小數(shù)寫成分數(shù)為，則．19．（24-25七年級上·安徽亳州·期中）已知式子是關(guān)于的二次多項式，且二次項系數(shù)為，數(shù)軸上，兩點所對應(yīng)的數(shù)分別是和．(1)則_______，________；，兩點之間的距離為_______；(2)有一動點從點出發(fā)第一次向左運動個單位長度，然后在新的位置第二次向右運動個單位長度，再在此位置第三次向左運動個單位長度，，按照如此規(guī)律不斷地左右運動，當運動到第幾次時，點到達點；(3)有一動點從點出發(fā)第一次向左運動個單位長度，然后在新的位置第二次向右運動個單位長度，再在此位置第三次向左運動個單位長度，，按照如此規(guī)律不斷地左右運動，當運動到第次時，求點所對應(yīng)的有理數(shù)．【答案】(1)，，；(2)當運動到第次時，點到達點；(3)第次運動點對應(yīng)的數(shù)為．【分析】（）根據(jù)是關(guān)于的二次多項式，且二次項系數(shù)為，可得，，再根據(jù)數(shù)軸上的兩點的距離，即可得到，兩點之間的距離；（）首先求出前幾次點P運動后表示的數(shù)，然后得到規(guī)律，進而求解即可；（）根據(jù)（）得到的規(guī)律求解即可；本題考查了多項式的概念，數(shù)字類規(guī)律問題，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上的動點問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵是關(guān)于的二次多項式，且二次項系數(shù)為，∴，，∴，∴，兩點之間的距離為，故答案為：，，；（2）解：第次運動點對應(yīng)的數(shù)為；第次運動點對應(yīng)的數(shù)為；第次運動點對應(yīng)的數(shù)為；第次運動點對應(yīng)的數(shù)為；第次運動點對應(yīng)的數(shù)為；第次運動點對應(yīng)的數(shù)為；，∴當?shù)诖芜\動時，點對應(yīng)的數(shù)為，且奇數(shù)次逐項遞減，偶數(shù)次逐項遞增，∵點在點A的右邊，則點P需要經(jīng)過偶數(shù)次運動，又點B對應(yīng)的數(shù)為，∴，∴，∴；∴當運動到第次時，點到達點；（3）解：由（）中的規(guī)律點對應(yīng)的數(shù)為，且奇數(shù)次逐項遞減，偶數(shù)次逐項遞增，∴第次運動點對應(yīng)的數(shù)為．20．（25-26七年級上·湖北武漢·階段練習）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“△”運算：；；；；；；．(1)歸納△運算的法則：兩數(shù)進行△運算時，______；（文字語言或符號語言均可）特別地，0和任何數(shù)進行△運算，或任何數(shù)和0進行△運算，______．(2)計算：_______．(3)是否存在有理數(shù)m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)若，則；若，則；都等于這個數(shù)的平方(2)(3)存在，理由見解析【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，新定義下的實數(shù)運算，解一元一次方程（一）——合并同類項與移項，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能運用求解．（1）根據(jù)題意給出的算式，歸納總結(jié)即可；（2）根據(jù)法則，列出算式進行計算即可；（3）根據(jù)法則，進行計算即可．【詳解】（1）解：兩數(shù)a，b進行△運算時，若，則；若，則；特別地，0和任何數(shù)進行△運算，或任何數(shù)和0進行△運算，都等于這個數(shù)的平方；故答案為：若，則；若，則；都等于這個數(shù)的平方；（2），，故答案為：；（3）存在，理由：∵，∴當，，即，時，．21．（24-25七年級上·江西南昌·期中）數(shù)學小組活動中，某同學發(fā)現(xiàn)了數(shù)正方形的規(guī)律，如圖，每個小正方形的邊長為1，的正方形的正方形的長方形邊長為1的正方形數(shù)量：4邊長為2的正方形數(shù)量：1正方形總數(shù)：5邊長為1的正方形數(shù)量：①邊長為2的正方形數(shù)量：4邊長為3的正方形數(shù)量：1正方形總數(shù)：②邊長為1的正方形數(shù)量：12邊長為2的正方形數(shù)量：③邊長為3的正方形數(shù)量：2正方形總數(shù)：④(1)數(shù)一數(shù)，填寫以上空白處的數(shù)量：①________，②________，③________，④________；(2)已知長方形網(wǎng)格中的正方形總數(shù)為44，寫出一組符合條件的，的值________，________（其中，）．【答案】(1)①9；②14；③6；④20(2)3；8（或2；15答案不唯一）【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律探索，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意數(shù)出對應(yīng)圖形中對應(yīng)邊長的正方形個數(shù)即可得到答案；（2）在長方形網(wǎng)格中的，邊長為1的正方形個數(shù)為，邊長為2的正方形個數(shù)為，邊長為3的正方形個數(shù)為……，則不妨設(shè)，然后討論m的值，再建立關(guān)于n的方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，在的正方形中，邊長為1的正方形有9個，∴在的正方形中正方形總數(shù)為個；在的長方形中，邊長為2的正方形有6個，∴在的長方形中正方形總數(shù)為個；（2）解：在長方形網(wǎng)格中的，邊長為1的正方形個數(shù)為，邊長為2的正方形個數(shù)為，邊長為3的正方形個數(shù)為……，不妨設(shè)，當時，正方形總數(shù)為，則，解得；當時，正方形總數(shù)為，則，解得；當時，正方形總數(shù)為，則，解得，不符合題意；當時，正方形總數(shù)為，不符合題意；隨著m的最大，正方形的總數(shù)增大，∴當時，正方形總數(shù)一定比44多，綜上所述，，或，．【經(jīng)典例題四一元一次方程的新定義問題】22．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）定義一種新運算，規(guī)定(、是有理數(shù))．例如：(1)計算；(2)若，求的值；(3)比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)(3)當大于時，大，當?shù)扔跁r，一樣大，當小于時，小【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算，整式的加減，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)給定的新運算，即可求出的值；（2）根據(jù)，可列出關(guān)于的一元一次方程，求解即可；（3）表示出，分類討論即可．【詳解】（1）解：，；（2），解得，的值為；（3）；，，當時，，即；當時，，即；當時，，即，綜上，當時，；當時，；當時，即．23．（24-25七年級上·廣東梅州·期中）對于有理數(shù)a，b，定義了一種新運算“※”為如：．(1)計算：①，②；(2)若是關(guān)于x的一元一次方程，且方程的解為，求m的值；(3)若，且，求的值．【答案】(1)5，(2)(3)【分析】本題考查了整式的加減運算，解一元一次方程．（1）根據(jù)題中定義代入即可得出；（2）根據(jù)，代入題中定義，解方程即可求解；（3）先利用整式的加減求得的值，得到，再整體代入即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意：；；故答案為：5，；（2）解：∵，∴，∵∴，解得；（3）解：由題意，∵，∴，即，∴．24．（24-25七年級上·吉林長春·期中）新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，就稱這兩個方程為“友好方程”，如：方程和為“友好方程”．(1)若關(guān)于x的方程與方程是“友好方程”，求m的值．(2)若某“友好方程”的兩個解的差為6，其中一個解為n，求n的解．【答案】(1)15(2)±3【分析】（1）解方程，可得，根據(jù)“友好方程”的定義可知，方程的解為，將代入到方程中并求解即可；（2）設(shè)該“友好方程”的一個解為n，則另一個解為-n，根據(jù)題意，分兩種情況討論，當時和當時，分別求解即可．【詳解】（1）解：解方程，可得，若關(guān)于x的方程與方程是“友好方程”，則有方程的解為，將代入到方程中，可得，解得；（2）設(shè)該“友好方程”的一個解為n，則另一個解為-n，根據(jù)題意，該“友好方程”的兩個解的差為6，當時，解得，當時，解得，綜上所述，可得．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，理解“友好方程”的定義．25．（24-25七年級上·廣西南寧·階段練習）計算題．①②③④對于數(shù)定義新運算，，那么．求的值．⑤⑥⑦⑧⑨⑩【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算及解方程，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運算及解方程的步驟．①先分別計算分子與分母，再相除即可；②先分別計算分子與分母，再相除即可；③先分別計算分子與分母，再相除即可；④先列出方程，再求解即可；⑤利用拆分法或錯位相減法進行計算即可；⑥先計算乘法，再計算加法即可；⑦利用乘法分配律進行計算即可；⑧利用拆分法進行計算即可；⑨先計算小括號內(nèi)的，再計算中括號內(nèi)的，再計算大括號內(nèi)的，最后計算乘法即可；⑩先去括號，再進行組合即可計算【詳解】①②③④解：⑤解法1：拆分法原式解法2：錯位相減法設(shè)①兩邊同時乘2，得②②?①，得⑥⑦⑧⑨⑩26．（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習）定義一種新運算“★”，其運算方式如下：……觀察式子的運算方式，請解決下列問題：(1)這種運算方式是：______（用含m，n的式子表示）；(2)解方程；(3)若關(guān)于x的方程的解為整數(shù)，求整數(shù)a的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查定義新運算，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理解并掌握新運算的法則，正確的列出一元一次方程．（1）根據(jù)給定的新運算的法則，進行計算即可；（2）根據(jù)新運算的法則，列出方程進行求解即可；（3）根據(jù)新運算的法則，列出方程進行求解，根據(jù)解為整數(shù)，求出a的值即可．【詳解】（1）解：由題意，得：；故答案為：；（2）解：∵∴，即：，解得：；（3）解：，即：，解得：，∵方程的解為整數(shù)，∴為整數(shù)，又為整數(shù)，∴．27．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）（1）解方程（2）在解形如這一類含有絕對值的方程時，可以根據(jù)絕對值的意義分和兩種情況討論：當時，原方程可化為．解得．符合．當時，原方程可化為．解得．符合．所以原方程的解為或．請你類比此法解方程：．（3）新定義：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，是關(guān)于y的方程的一個解，且，滿足，則關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，當時，滿足，所以關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．若關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．【答案】（1）或；（2）或；（3）或【分析】本題主要考查了解一元一次方程：（1）先推出，進而得到或，進而解方程即可；（2）仿照題意進行求解即可；（3）先解方程得到或，，再根據(jù)新定義得到或，解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴或，解得或；（2）當時，原方程可化為．解得．符合．當時，原方程可化為．解得．符合．所以原方程的解為或；（3）∵，∴，∴或，∴或；∵，∴，∴，解得，∵關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”，∴或，解得或．28．（24-25七年級上·湖南長沙·階段練習）小兵喜歡研究數(shù)學問題，在學習一元一次方程后，他給出一個新定義：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且，滿足，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，當時，，所以為一元一次方程的“十全十美方程”．(1)判斷下列關(guān)于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的橫線上寫“是”或“否”：①______，②

______；(2)若關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“十全十美方程”，請求出a的值；(3)若關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“十全十美方程”，請直接寫出的值．【答案】(1)①否；②是(2)3或9(3)或【分析】本題考查了新定義方程，解方程，熟練掌握定義，正確解方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義的要求，解方程驗證即可．（2）先求出的解，再根據(jù)新定義的內(nèi)容求出的根，再代入這個根求出a即可．（3）先求出的解，再根據(jù)新定義的內(nèi)容求出的根，再代入這個根求出，繼而得解．【詳解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下：的解為；①方程的解是，，故不是“十全十美方程”；②方程的解是或，當時，，是“十全十美方程”．故答案為：①否；②是；（2）方程的解是或，一元一次方程的解是，即，若，，則，解得：；若，，則，解得：；∴a的值為3或9．（3）的值為或．理由如下：由，解得：，∵，∴，即的解是：，∴，整理得：，∵分母m不能為0，∴，∴，①當時，，∴，；②當時，，∴，；∴的值為或．【經(jīng)典例題五一元一次方程解的計算壓軸題】29．（25-26七年級上·湖北武漢·階段練習）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了解方程的應(yīng)用．（1）對于方程，先通過移項、系數(shù)化為1將方程變形為等于一個常數(shù)的形式，再利用立方根的定義求解x；（2）對于方程，先通過移項、系數(shù)化為1將方程變形為等于一個常數(shù)的形式，再利用平方根的定義求解x．【詳解】（1）解：．（2）解：或或．30．（24-25七年級上·河南鄭州·階段練習）計算下面各題．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)（解方程）．(6)（解方程）．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算和解方程，掌握運算法則和運算順序是解題的關(guān)鍵．（1）利用加法交換律和結(jié)合律解答即可；（2）利用裂項相加解答即可；（3）利用裂項相加解答即可；（4）利用乘法分配律的逆運算解答即可；（5）利用合并同類項，系數(shù)化為解方程即可；（6）利用合并同類項，去括號，移項，系數(shù)化為解答即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：（5）解：；（6）解：．31．（2025七年級上·江蘇南通·模擬預(yù)測）對于有理數(shù)、定義一種新運算，如，；請按照這個定義完成下列計算：(1)若，求的值；(2)若，，且，求的值；(3)若和均為正整數(shù)，且滿足，直接寫出的值．【答案】(1)(2)20(3)3【分析】本題考查整式的加減運算，理解新定義運算規(guī)則，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．（1）分和兩種情況，根據(jù)新定義運算得出關(guān)于x的方程，解方程，然后判斷是否滿足條件即可得；（2）先計算，得出，再根據(jù)新定義計算，得出，利用整體代入法求解即可；（3）先判斷，根據(jù)新定義計算，得出，整理得，根據(jù)和均為正整數(shù)，可得的值．【詳解】（1）解：當時，，，，解得，與矛盾，舍去；當時，，，，解得，符合題意；綜上可知，x的值為．（2）解：，，，即，，，；（3）解：和均為正整數(shù)，，，，解得，和均為正整數(shù)，是5的因數(shù)，且只能是，此時，，，即k的值為3．32．（24-25七年級上·吉林四平·階段練習）定義：如果兩個一元一次方程的解互為倒數(shù)，則稱這兩個方程互為“優(yōu)雅方程”．例如：和互為“優(yōu)雅方程”．(1)判斷：與__________（填“是”或“不是”）互為“優(yōu)雅方程”；(2)若方程與關(guān)于的方程互為“優(yōu)雅方程”，求的值．【答案】(1)是(2)【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，倒數(shù)，其他應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握已知條件中的新定義．（1）解已知條件中的兩個一元一次方程，然后根據(jù)“優(yōu)雅方程”的定義進行判斷即可；（2）先解已知條件中的兩個方程，根據(jù)新定義，列出關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：是互為“優(yōu)雅方程”，理由如下：的解為；的解為；的倒數(shù)為，滿足“優(yōu)雅方程”的定義，故答案為：是；（2）解：的解為；的解為，根據(jù)“優(yōu)雅方程”的定義得，解得．33．（25-26七年級上·江西南昌·課后作業(yè)）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為，我們就稱這兩個方程互為“美好方程”．例如：方程的解為，方程的解為．因為，即這兩個方程的解之和為，所以這兩個方程互為“美好方程”．(1)請判斷方程與方程是否互為“美好方程”．(2)若關(guān)于的方程與方程互為“美好方程”，求的值．(3)若方程與方程互為“美好方程”，求關(guān)于的方程的解．【答案】(1)方程與方程互為“美好方程”(2)(3)【分析】（1）求出這兩個方程的解，再根據(jù)“美好方程”的定義進行判斷即可；（2）求出這兩個方程的解，再根據(jù)“美好方程”的定義列出關(guān)于的方程求解即可；（3）根據(jù)“美好方程”的定義求出的值，再求解關(guān)于的方程即可．【詳解】（1）解：解方程，得．解方程，得．∵，∴方程與方程互為“美好方程”．（2）解：解關(guān)于的方程，得．解方程，得．∵關(guān)于的方程與方程互為“美好方程”，∴，解得．（3）解：解方程，得．解關(guān)于的方程，得．∵方程與關(guān)于的方程互為“美好方程”，，解得．將代入，得，解得．【點睛】本題考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的求解方法，理解“美好方程”的定義是正確解答的關(guān)鍵．34．（24-25七年級上·黑龍江大慶·期中）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程是“美好方程”，求的值：(2)若“美好方程”的兩個解的差為8，其中一個解為，求的值；(3)若無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程（，為常數(shù)）與關(guān)于的方程是“美好方程”，求的值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解是解此題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)等式的性質(zhì)求出兩個方程的解，再根據(jù)兩方程是“美好方程”得出關(guān)于m的方程，再求出m即可；（2）設(shè)另一個方程的解為x，列出方程組求出n值即可；（3）先根據(jù)等式的性質(zhì)求出兩個方程的解，再根據(jù)兩方程是“美好方程”得出結(jié)論即可．【詳解】（1）解：解方程，得，解方程，得，∵關(guān)于的方程與方程是“美好方程”，∴解得：．（2）解：設(shè)另一個方程的解為x，根據(jù)題意可得：，∴或．∴或．（3）解：將方程整理為，由題意得：方程的解與的值無關(guān)，∴，解得，此時方程的解為：；解方程得：，又無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程（，為常數(shù)）與關(guān)于的方程是“美好方程”，所以，，解得，，所以，．35．（24-25七年級上·江西南昌·期中）對于方程，小華同學的解法如下：解：將原方程化為．…第一步，得．…第二步去括號，得．…第三步移項、合并同類項，得．…第四步系數(shù)化為1，得．…第五步(1)第二步進行的是，這一步的依據(jù)是；以上求解步驟中，從第步開始出現(xiàn)錯誤．(2)請寫出正確的解答過程．【答案】(1)去分母，等式的性質(zhì)，一(2)，過程見解析【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)等式的性質(zhì)得出錯誤的步驟及原因．（2）先整理方程，再根據(jù)去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1解方程即可．【詳解】（1）解：第二步進行的是去分母，這一步的依據(jù)是等式的性質(zhì)；以上求解步驟中，從第一步開始出現(xiàn)錯誤；答案為：去分母，等式的性質(zhì)，一；（2）解：整理方程得：1，去分母得：，去括號得：，移項、合并同類項得：，解得：．【經(jīng)典例題六一元一次方程解的拓展問題】36．（24-25七年級上·河南鄭州·階段練習）一杯鹽水，鹽占鹽水的，又加入鹽后，鹽占鹽水的，原來鹽水有多少克？（用方程解答）【答案】100克【分析】本題考查了分數(shù)應(yīng)用題中濃度變化的問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)加鹽前后鹽的質(zhì)量與鹽水總質(zhì)量的關(guān)系列出方程，進而求解原來鹽水的質(zhì)量．設(shè)原來鹽水的質(zhì)量為未知數(shù)，根據(jù)鹽占鹽水的比例表示出原來鹽的質(zhì)量；加入鹽后，鹽的質(zhì)量和鹽水的總質(zhì)量均增加，再根據(jù)新的鹽占鹽水的比例列出方程；通過解方程求出原來鹽水的質(zhì)量．【詳解】解：設(shè)原來鹽水有克．原來鹽的質(zhì)量為克；加入鹽后，鹽的質(zhì)量為克，鹽水的總質(zhì)量為克．根據(jù)此時鹽占鹽水的，可列方程：兩邊同乘消去分母得：展開括號：移項得：，即，解得答：原來鹽水有克．37．（2025七年級上·湖南邵陽·模擬預(yù)測）甲、乙兩個缸里都放有水，第一次把甲缸里的水往乙缸里倒，使乙缸的水增加一倍．第二次把乙缸里的水往甲缸里倒，使甲缸所剩的水增加一倍．第三次又把甲缸里的水往乙缸里倒，使乙缸所剩的水增加一倍．這樣一來，兩缸里各有水64升，問兩個缸里原有的水各是多少升？【答案】甲缸里有水88升，乙缸里有水40升【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程，是解題的關(guān)鍵．設(shè)乙缸里原來有水x升，則甲缸里原來有水升，根據(jù)題意表示出第三次倒后，乙有升，從而得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)乙缸里原來有水x升，則甲缸里原來有水升，第一次倒后，乙有水升，甲剩升，第二次倒后，甲有升，乙剩升，第三次倒后，乙有升，∵第三次倒后，兩缸里各有水64升，∴，解得：，（升），答：甲缸里有水88升，乙缸里有水40升．38．（24-25七年級上·福建福州·階段練習）只列式不計算(1)一種優(yōu)質(zhì)大米的出米率為78%，要碾出117千克大米，需要谷子多少千克？(2)學校剛竣工的學生宿舍樓投資了70萬元，比計劃節(jié)約了10萬元，節(jié)約了百分之幾？(3)小明3天看了這本書的，照這樣計算，還要多少天才能看完？(4)小王在今年（2023年）的二月下旬加工一批零件，前3天共加工零件210個，在剩下的幾天里平均每天加工55個，這個下旬平均每天加工零件多少個？【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題重點考查?百分數(shù)的應(yīng)用（出米率、節(jié)約百分比）、分數(shù)的應(yīng)用（工作效率與時間關(guān)系）和平均數(shù)的計算?，掌握各量之間的關(guān)系，正確列出算式是解題的關(guān)鍵?．?根據(jù)出米率、節(jié)約百分比、工作效率與時間關(guān)系和平均數(shù)的計算列式即可．【詳解】（1）解：設(shè)需要谷子重量為千克，有，因此，千克，列式為．（2）計劃投資金額實際投資金額節(jié)約金額萬元，因此，節(jié)約百分比為，列式為．（3）3天看了，則每天看，剩余部分為，因此還需要時間為天，列式為．（4）今年的二月下旬為8天，依題意，剩下的天里平均每天加工55個，則加工個，所以這個下旬平均每天加工零件為個，列式為．39．（24-25七年級上·江西撫州·期中）發(fā)現(xiàn)：一個兩位數(shù)的平方與其個位數(shù)字的平方的差，一定是20的倍數(shù)．如：，160是20的8倍；，640是20的32倍．(1)請你仿照上面的例子，再舉出一個例子：（

）（

）．(2)若一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字為1，個位數(shù)字為a，這個兩位數(shù)的平方與其個位數(shù)a的平方的差是20的7倍，求這個兩位數(shù)．(3)設(shè)一個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y（，，且x，y為正整數(shù)），請用含x，y的式子論證“發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論是否正確．【答案】(1)19；9；280（答案不唯一）(2)這個兩位數(shù)為12(3)“發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論正確，論證見解析【分析】（1）根據(jù)材料提示的信息，即可求解；（2）十位數(shù)字為，表示為，個位數(shù)字為表示為，再根據(jù)材料提示即可求解；（3）根據(jù)兩位數(shù)的表示方法，完全平方公式的運算，即可求解．【詳解】（1）解：，是的14倍，（答案不唯一）．（2）解：十位數(shù)字為，表示為，個位數(shù)字為表示為，∴這個兩位數(shù)表示為，根據(jù)材料提示得，，的7倍表示為，∴，解得，∴這個兩位數(shù)是．（3）解：十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y（，，且x，y為正整數(shù)），∴這個表示為，∴，，∴，且是的倍，且是正整數(shù)，∴一個兩位數(shù)的平方與其個位數(shù)字的平方的差，一定是的倍數(shù)，正確．【點睛】本題主要考查定義新運算，整式混合運算，理解定義運算的法則，掌握整式混合運算法則是解題的關(guān)鍵．40．（24-25七年級上·遼寧大連·期中）小明在數(shù)學活動課上學習了木桿掛重物問題，覺得意猶未盡，在課余時間制作了如圖簡易桿秤，其中秤盤質(zhì)量，秤砣質(zhì)量，秤紐與秤盤的水平距離為，秤紐與零刻線的水平距離為，零刻線與末刻線水平距離為．當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡；當秤盤放入質(zhì)量為的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡．(1)求l，a的值；(2)小明將數(shù)學教材放在秤盤上，秤砣位于零刻線右側(cè)處時，桿秤平衡，求數(shù)學教材的質(zhì)量．【答案】(1)，(2)數(shù)學教材的質(zhì)量為【分析】本題考查了杠桿平衡原理的應(yīng)用及一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)桿秤平衡時“動力動力臂阻力阻力臂”的原理列出方程，進而求解未知量．（1）根據(jù)秤盤不放重物、秤砣在零刻線時桿秤平衡的條件，列出關(guān)于l和a的第一個方程；再根據(jù)秤盤放入重物、秤砣在末刻線時桿秤平衡的條件，結(jié)合零刻線與末刻線的距離列出第二個方程，聯(lián)立求解得到l和a的值．（2）設(shè)數(shù)學教材的質(zhì)量為未知數(shù)，根據(jù)秤盤放教材、秤砣在零刻線右側(cè)處時桿秤平衡的條件，利用杠桿平衡原理列出方程，求解得出教材質(zhì)量．【詳解】（1）∵秤盤不放重物，在零刻線時，桿秤平衡，∴．∴，當秤盤放入質(zhì)量為的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡．，∵，∴，∴，∴，；（2）設(shè)數(shù)學教材的重量為，∴，∴，答：數(shù)學教材的質(zhì)量為．41．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）如圖，某校的飲水機有溫水、開水兩個按鈕，溫水和開水共用一個出水口．利用圖中信息解決下列問題：（整個接水過程不計熱量損失）物理常識開水和溫水混合時會發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為“開水的體積×開水降低的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度”．例：的開水與溫水混合至50度，熱傳遞關(guān)系為：(1)王老師拿空水杯先接了的溫水，又接了的開水，剛好接滿，且水杯中的水溫為．①王老師的水杯容量為______；②開水放出的熱量為______（結(jié)果用含t的代數(shù)式表示）(2)小李同學拿空水杯先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯體積為，溫度為的水，求小李同學接溫水和開水的時間分別為多少秒？【答案】(1)①②(2)小李同學接溫水和開水的時間分別為秒和秒【分析】本題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，由熱傳遞關(guān)系進行求解即可．（1）①王老師的水杯容量為，即可求解；②由熱傳遞關(guān)系得，即可求解；（2）設(shè)小李同學接開水的時間分別為秒，由熱傳遞關(guān)系得，即可求解．【詳解】（1）解：①王老師的水杯容量為（），故答案為：；②由題意得，故答案為：；（2）解：設(shè)小李同學接開水的時間分別為秒，，解得：，（秒），答：小李同學接溫水和開水的時間分別為秒和秒．42．（24-25七年級上·黑龍江大慶·期中）【觀察思考】如圖，春節(jié)期間在某廣場上擺放多盆紅梅花（黑色圓點）和黃梅花（白色圓點），組成“中國結(jié)”系列圖案【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】根據(jù)上述圖案的擺放規(guī)律填空：（1）第5個圖案中黃梅花的盆數(shù)為________；（2）第1個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第2個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第3個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第4個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，…，第個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為_________；【解決問題】（3）若按照上述規(guī)律擺放的第個“中國結(jié)”圖案中，紅梅花的盆數(shù)比黃梅花的盆數(shù)的倍少5盆，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元一次方程；（1）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解．（3）根據(jù)題意，列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：（1）第1個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，第2個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，第3個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，第4個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，…；第n個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為；第5個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，故答案為：；（2）第1個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第2個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第3個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第4個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，…；第n個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為；故答案為：；（3）根據(jù)題意得，整理得，解得．【經(jīng)典例題七一元一次方程的綜合應(yīng)用】43．（24-25七年級上·福建漳州·階段練習）王強和李剛從點同時出發(fā)，朝不同方向沿著長方形花圃邊沿散步，結(jié)果在距離點的處第一次相遇，已知李剛的速度是王強的，此時李剛走了多少米？這個長方形花圃的周長是多少米？【答案】李剛走了64米，長方形花圃的周長是144米【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)長方形花圃的長，寬的和為，則李剛走了米，長方形花圃的周長是米，根據(jù)李剛的速度是王強的知兩人路程的關(guān)系，從而得：，即可解得答案．【詳解】解：設(shè)長方形花圃的長，寬的和為，則李剛走了米，長方形花圃的周長是米，根據(jù)題意得：，解得，∴，，答：李剛走了64米，長方形花圃的周長是144米．44．（24-25七年級上·貴州遵義·階段練習）七（1）班準備開展元旦晚會，生活委員小文負責為班級購買各項物品，小文去“好運來超市”準備購買飲料，根據(jù)以下信息，探索完成任務(wù)：信息①：購買5瓶A品牌飲料與8瓶品牌飲料共76元；信息②：品牌飲料的單價比A品牌飲料單價的2倍少1元；信息③：購買1瓶A品牌飲料與1瓶品牌飲料需11元．(1)在信息①②③中任選兩個作為條件，求A品牌飲料和品牌飲料的單價；(2)小文說：“我買了兩種飲料，共50瓶，花了286元．”學習委員說：“你肯定弄錯了”．請你用方程的知識計算一下，為什么說小文弄錯了？【答案】(1)A品牌飲料和品牌飲料的單價分別為4元和7元(2)見解析【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用——購買問題．熟練掌握總價與單價和數(shù)量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）分3種情況：選①②，選①③，選②③，分別討論即可；（2）設(shè)A品牌飲料買瓶，購買品牌飲料瓶，得方程，解得，a應(yīng)該是整數(shù)，不能是分數(shù)，可判斷錯誤．【詳解】（1）解：選①②，設(shè)A品牌飲料的單價為元，則品牌飲料的單價為元，由題意可得：，解得，∴，答：A品牌飲料和品牌飲料的單價分別為4元和7元．選①③，設(shè)A品牌飲料的單價為元，則品牌飲料的單價為元，由題意可得：，解得，∴．答：A品牌飲料和品牌飲料的單價分別為4元和7元．選②③，設(shè)A品牌飲料的單價為元，則品牌飲料的單價為元，由題意可得：，解得，∴，答：A品牌飲料和品牌飲料的單價分別為4元和7元．（2）解：設(shè)A品牌飲料買瓶，則購買品牌飲料瓶，由題意可得：，解得．因為飲料的數(shù)量不可能是分數(shù)，所以小文弄錯了．45．（24-25七年級上·湖南懷化·期中）列方程解應(yīng)用題某建筑公司有甲.乙兩個施工隊，甲隊的技術(shù)人員人數(shù)是乙隊技術(shù)人員人數(shù)的2倍.今年公司進行人員調(diào)整，從甲施工隊調(diào)出10名技術(shù)人員到乙施工隊，結(jié)果兩隊技術(shù)人員相等了.（1）原來甲.乙兩施工隊各有多少技術(shù)人員（2）若這個建筑公司的人員人數(shù)比例是：領(lǐng)導(dǎo):技術(shù)人員:工人=0.2:1:10，那么這個公司有多少人員？【答案】(1)甲隊有40名技術(shù)人員，乙隊有20名技術(shù)人員；（2）總?cè)藬?shù)是672；【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)原來乙隊技術(shù)員有x人，從而可以用x的代數(shù)式表示出甲隊的技術(shù)人員，然后列出方程即可求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和人員人數(shù)比例，進行分析即可求得這個公司有多少人員．【詳解】解：（1）設(shè)乙隊技術(shù)員有x人，則甲隊技術(shù)人員為2x人，列方程得2x-10=x+10,解得x=20，∴2x=40，所以甲隊有40名技術(shù)人員，乙隊有20名技術(shù)人員；（2）由（1）可知，這個公司的技術(shù)人員有：40+20=60（人），∵這個建筑公司的人員人數(shù)比例是：領(lǐng)導(dǎo)：技術(shù)人員：工人=0.2：1：10，∴這個公司的領(lǐng)導(dǎo)有：60×0.2=12（人），工人有：60×10=600（人），∴這個公司一共有：12+60+600=672（人），答：這個公司有672人．【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，利用方程的知識進行分析解答．46．（24-25七年級上·山東臨沂·階段練習）某工廠需要生產(chǎn)一批太空漫步器（如圖），每套設(shè)備由一個支架和兩套腳踏板組裝而成．工廠現(xiàn)共有45名工人，每人每天平均生產(chǎn)6個支架或15套腳踏板．(1)應(yīng)如何分配工人才能使每天生產(chǎn)的支架和腳踏板恰好配套？配成多少套？(2)若每套太空漫步器的成本為200元，每套按成本加價銷售，售出一部分后，出現(xiàn)滯銷，工廠決定打八折出售剩余的太空漫步器，全部售出后共獲利9200元，有多少套太空漫步器打八折出售？【答案】(1)人生產(chǎn)支架，人生產(chǎn)腳踏板恰好配套，配成套；(2)有套太空漫步器打八折出售．【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)安排人生產(chǎn)支架，則人生產(chǎn)腳踏板，由題意得，求解即可得出答案；（2）根據(jù)題意求出每套太空漫步器的售價和打八折后每套太空漫步器的售價，設(shè)有套太空漫步器打八折出售，依題意可得，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)安排人生產(chǎn)支架，則人生產(chǎn)腳踏板，由題意得：，整理得：，解得：，∴（人），（套），∴人生產(chǎn)支架，人生產(chǎn)腳踏板恰好配套，配成套；（2）解：每套太空漫步器的售價為：（元），打八折后每套太空漫步器的售價為：（元），設(shè)有套太空漫步器打八折出售，依題意可得：，整理得：，解得：，答：有套太空漫步器打八折出售．47．（2025七年級上·江西南昌·模擬預(yù)測）中國交通科技領(lǐng)跑世界一流水平，公路網(wǎng)絡(luò)“四通八達”，公路養(yǎng)護效能高，讓人們對“美好出行”的需要得到很好的滿足．某一段公路的維修養(yǎng)護工程，有甲、乙兩個工程隊可供選擇，承包單位發(fā)現(xiàn)：①若由乙隊單獨完成全部工程所需天數(shù)是甲隊單獨完成全部工程所需天數(shù)的1.5倍；②若由甲隊單獨施工5天后，再由甲、乙兩隊共同施工21天可完成剩余工程；③若由兩隊同時進場施工完成全部工程，共需要工程費用384000，且每天的工程費用甲隊比乙隊多2000元．(1)求甲、乙兩個工程隊單獨施工完成全部工程各需要多少天？(2)從節(jié)省工程費用的角度考慮，請你從甲，乙單獨施工完成與甲、乙同時進場施工完成這三種施工方案中選擇一種合適的方案？并說明理由；(3)若要使兩個工程隊完成全部工程施工總費用不超過378000元，則甲工程隊至少要施工多少天？【答案】(1)甲工程隊單獨施工完成全部工程各需要40天，乙工程隊單獨施工完成全部工程各需要60天；(2)選甲工程隊單獨施工完成(3)28天【分析】（1）設(shè)甲施工隊單獨完成此項工程需x天，依據(jù)等量關(guān)系列方程求解；（2）先根據(jù)“若由兩隊同時進場施工完成全部工程，共需要工程費用384000”求出甲乙隊每天工程的費用，進而求出甲乙隊完成全部工程的費用，比較即可得到結(jié)論；（3）設(shè)甲工程隊要施工y天，則乙工程隊要施工天才能完成全部工程，根據(jù)兩個工程隊完成全部工程施工總費用不超過378000列出不等式，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲施工隊單獨完成此項工程需x天，則乙施工隊單獨完成此項工程需天．根據(jù)題意得．解這個方程得．經(jīng)檢驗是所列方程的解．∴當時，．答：甲工程隊單獨施工完成全部工程需要40天，乙工程隊單獨施工完成全部工程需要60天；（2）解：方案為：選甲工程隊單獨施工完成．理由如下：由題意可得兩隊同時進場施工完成全部工程所需要的天數(shù)為（天），設(shè)乙隊每天工程費用為a元，則甲乙隊每天工程費用為元，由題意得，解得，∴甲隊完成全部工程費用為（元），乙完成全部工程費用為（元），又兩隊同時進場施工完成全部工程共需要工程費用元，∵，∴選甲工程隊單獨施工完成；（3）解：設(shè)甲工程隊要施工y天，則乙工程隊要施工天才能完成全部工程，由題意得，解得，答：甲工程隊至少要施工28天．【點睛】本題主要考查了分式方程、一元一次方程、一元一次不等式的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系或不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．48．（25-26七年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，在數(shù)軸上點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，并且a，b滿足．(1)求點A，B之間的距離；(2)點C在點A的右側(cè)，點D在點B的左側(cè)，為15個單位長度，為8個單位長度，求點C，D之間的距離；(3)動點P以3個單位長度秒的速度從點A出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，同時點Q以2個單位長度秒的速度從點B出發(fā)沿數(shù)軸負方向運動，求當（表示線段的長度）時點P表示的數(shù)是多少？【答案】(1)點A，B之間的距離為18(2)點C，D之間的距離為5(3)點P表示的數(shù)是或【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a和b的值，再根據(jù)兩點間的距離求解即可；（2）先根據(jù)兩點間的距離求出點C和點D表示的數(shù)，進而可求出點C和點D之間的距離；（3）根據(jù)題意設(shè)點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為，再根據(jù)分類討論設(shè)方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴點A表示數(shù)，點B表示數(shù)5，∴點A，B之間的距離為，（2）解：∵點C在點A的右側(cè)，為15個單位長度，∴點C表示的數(shù)是：，∵點D在點B的左側(cè)，為8個單位長度，∴點D表示的數(shù)是：，∴點C，D之間的距離為：．（3）解：根據(jù)題意設(shè)點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為，∵，∴當點Q在點P右邊時，∴，∴，∴點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為，當點P在點Q右邊時，∴，∴，∴點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為．49．（24-25七年級上·江西南昌·期中）某校組織學生參加2024年冬奧知識問答，問答活動共設(shè)有20道選擇題，每題必答，每答對一道題加分，答錯一道題減分，下表中記錄了三名學生的得分情況：參賽學生答對題數(shù)答錯題數(shù)得分A200100B18286C15565請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)，回答下列問題：(1)本次知識問答中，每答對一題加______分，每答錯一題減______分；(2)若小明同學答對16題，請計算小明的得分；(3)若小剛同學參加了本次知識問答，下列四個選項中，哪一個可能是小剛的得分_____（填寫選項）；A．75；B．63；C．56；D．44并請你計算他答對了幾道題，寫出解答過程，（列一元一次方程解決問題）【答案】(1)5，2(2)(3)D，答對了12道題【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．（1）根據(jù)A的得分可求出每答對一題的加分，根據(jù)B或C的得分可求出每打錯一題的減分；（2）按照（1）中的答題得分計算即可；（3）設(shè)小剛答對x道題，則答錯道題，列方程對每個選項分析即可；【詳解】（1）解：答對一題加：分，答錯一題減：分，故答案為：5，2；（2）小明的得分：分，（3）D，答對了12道題．設(shè)他答對道題，則答錯道題．A．若，解得，故不符合題意；B．若，解得，故不符合題意；C．若，解得，故不符合題意；D．若，解得，符合題意；答：小剛同學答對了12道題．【經(jīng)典例題八一元一次方程與數(shù)軸有關(guān)問題】50．（24-25七年級上·浙江紹興·期中）如圖，點A、B分別位于原點的兩側(cè)，，且，動點從點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向右運動，同時動點從點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向左運動．(1)求數(shù)軸上點A，B對應(yīng)的數(shù)；(2)當相遇時，求運動的時間．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由可知，將12平均分成三份，占兩份為8，占一份為4，由圖可知，A在原點的左邊，B在原點的右邊，從而得出結(jié)論；（2）設(shè)運動時間為t秒，根據(jù)點P、Q的運動速度分別為每秒3個單位長度和每秒1個單位長度可分別表示出點P、Q運動t秒后所對應(yīng)的點所表示的數(shù)，再根據(jù)當相遇時，兩個點表示的數(shù)相同，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵點A、B分別位于原點O的兩側(cè)，，且，∴，，又∵點A在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè)，∴點A對應(yīng)的數(shù)為，點B對應(yīng)的數(shù)為4；（2）解：設(shè)運動時間為t秒，根據(jù)題意得：點P對應(yīng)的數(shù)為，點Q對應(yīng)的數(shù)為，當相遇時，∴，解得：，∴當相遇時，運動的時間為3秒．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離、數(shù)軸上點的表示、一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理清題意，并注意數(shù)軸上的點，原點左邊表示負數(shù)，右邊表示正數(shù)，在數(shù)軸上，兩點的距離等于任意兩點表示的數(shù)的差的絕對值．51．（24-25七年級上·遼寧本溪·階段練習）如圖，A，B為數(shù)軸上的兩個點，A點表示的數(shù)為，B點表示的數(shù)為90.(1)請寫出與A，B兩點距離相等的M點對應(yīng)的數(shù)；(2)電子螞蟻P從B點出發(fā)，以3個單位長度/s的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q從A點出發(fā)以2個單位長度/s的速度向右運動，經(jīng)過多長時間，這兩只電子螞蟻在數(shù)軸上到原點的距離相等?【答案】(1)：40(2)20或80【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離以及一元一次方程與數(shù)軸動點問題，解題的關(guān)鍵是掌握兩點中點公式，的中點為．（1）根據(jù)A，B兩個點表示的數(shù)，然后借助數(shù)軸即可求出點；（2）由題意這兩只電子螞蟻在數(shù)軸上到原點的距離相等，可得或，以及列方程即可求解．【詳解】（1）解：A點表示的數(shù)為，B點表示的數(shù)為90，M點與A，B兩點距離相等，；（2）解：設(shè)經(jīng)過秒，這兩只電子螞蟻在數(shù)軸上到原點的距離相等，當時，有，解得：，當時，有，解得：，綜上，經(jīng)過20或80秒，這兩只電子螞蟻在數(shù)軸上到原點的距離相等．52．（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習）請利用數(shù)軸研究下列問題：(1)特例研究：數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示和5的兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離是______；(2)合理猜想：在數(shù)軸上，點、分別表示有理數(shù)，，則、間的距離為______；(3)結(jié)論應(yīng)用：①數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是______（用含的式子表示）．如果，那么為______；②當代數(shù)式，則的值是______．【答案】(1)3，7，5；(2)(3)①，1或；②或3【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離及絕對值的意義，熟練掌握兩點之間的距離公式是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離A、B兩點之間的距離解題即可．（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離即可求解（3）①根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離得到，然后根據(jù)絕對值的意義求出x的值．②把原題看成點x到點和點2的距離之和，分情況求解即可得到答案．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示和5的兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離為；故答案為：3，7，5；（2）解：在數(shù)軸上，點、分別表示有理數(shù)，，則、間的距離為，故答案為：；（3）①數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離是，根據(jù)題意得，即，所以或，故答案為，1或；②數(shù)軸上表示x的點到和2的距離和為5