第七章立體幾何與空間向量7.7向量法求空間角和距離數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1異面直線所成的角考點(diǎn)2直線與平面所成的角0102考點(diǎn)3平面與平面的夾角03課時(shí)作業(yè)第三部分04考點(diǎn)4求空間距離1．能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題．2．會(huì)求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一用空間向量研究距離、夾角問題教材回扣1．確定平面的法向量的方法(1)直接法：觀察是否有垂直于平面的向量，若有可直接確定．教材拓展2．方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．3．當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，此夾角就是此異面直線所成的角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，此夾角的補(bǔ)角才是異面直線所成的角．1．判斷（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．(

)(2)直線的方向向量與平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(

)(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面的夾角．(

)基礎(chǔ)檢測(cè)×××√C3．（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P43T10改編）在空間直角坐標(biāo)系中，若直線l的方向向量是v＝(－2，2，1)，平面α的一個(gè)法向量是n＝(2，0，1)，則直線l與平面α所成角的正弦值為__．4．（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P35T3改編）已知平面α經(jīng)過點(diǎn)B(1，0，0)，且α的法向量n＝(1，1，1)，則點(diǎn)P(2，2，0)到平面α的距離為__．互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1異面直線所成的角【例1】

（2024·湖北武漢模擬）在正四面體PABC中，E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點(diǎn)，則異面直線BE與PF所成角的正切值為(

)D規(guī)律總結(jié)用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系．(2)求出兩直線的方向向量v1，v2.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】

（2024·遼寧丹東一模）在直三棱柱ABC--A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，則異面直線BA1與AC1所成角的余弦值為(

)A解析：取BC的中點(diǎn)D，連接AD，因?yàn)锳B＝AC，所以DA⊥DC，以D為原點(diǎn)，DA，DC所在直線分別為x軸、y軸，過點(diǎn)D且垂直于平面BAC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．考點(diǎn)2直線與平面所成的角【例2】

（2024·山東青島二模）如圖，在四棱錐P--ABCD中，△PAD是等邊三角形，且BC∥AD，AB⊥AD，PB＝AB＝AD＝2BC，E為PD的中點(diǎn)．(1)求證：CE∥平面PAB；∴GE∥BC且GE＝BC，∴四邊形BCEG為平行四邊形，∴CE∥GB.又GB?平面PAB，CE?平面PAB，∴CE∥平面PAB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．規(guī)律總結(jié)向量法求直線與平面所成角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）問題．(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】

（2024·山東聊城二模）如圖，在幾何體ABCC1B1A1中，四邊形BCC1B1是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA1∥BB1，AA1＝3，點(diǎn)E在線段A1C1上，且EC1＝2A1E.(1)求證：B1E∥平面ABC1；因?yàn)镸E?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以ME∥平面ABC1.由A1A＝3，得MA＝2，又B1B＝2，且AA1∥BB1，所以四邊形ABB1M為平行四邊形，所以B1M∥AB.因?yàn)锽1M?平面ABC1，AB?平面ABC1，所以B1M∥平面ABC1.又B1M∩ME＝M，B1M?平面B1ME，ME?平面B1ME，所以平面B1ME∥平面ABC1.又因?yàn)锽1E?平面B1ME，所以B1E∥平面ABC1.(2)若AB⊥平面BCC1B1，且AB＝2，求直線A1C1與平面AB1E所成角的正弦值．解：因?yàn)锳B⊥平面BCC1B，BB1，BC?平面BCC1B1，所以AB⊥BB1，AB⊥BC，又四邊形BCC1B1是正方形，所以BB1⊥BC，所以BC，BA，BB1兩兩互相垂直．所以以B為原點(diǎn)，以BC，BA，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由AB＝BC＝2，AA1＝3，得A(0，2，0)，A1(0，2，3)，B1(0，0，2)，C1(2，0，2)，考點(diǎn)3平面與平面的夾角【解】證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD.又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB?平面PAB，所以AD⊥AB.在△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，所以AD∥BC.又BC?平面PBC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.規(guī)律總結(jié)利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小．(2)找與棱垂直的向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，然后通過這兩個(gè)向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小．(1)求證：EF⊥PD；(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.考點(diǎn)4求空間距離【例4】（多選）（2024·福建福州模擬）在長(zhǎng)方體ABCD--A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝AD＝1，E為AB的中點(diǎn)，則(

)A．A1B⊥B1CB．A1D∥平面EB1CBC規(guī)律總結(jié)2．點(diǎn)面距的求解步驟(1)求出該平面的一個(gè)法向量．(2)找出從該點(diǎn)出發(fā)到平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量．(3)求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．D(2)如圖，正四棱柱ABCD--A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F(xiàn)分別是線段AC1，BD上的動(dòng)點(diǎn)，則E，F(xiàn)間的最小距離為(

)C創(chuàng)新點(diǎn)立體幾何中的新定義問題1．立體幾何的新定義問題，往往通過具體的問題背景或新的定義，考查立體幾何知識(shí)等在問題情境中的應(yīng)用，以此來檢驗(yàn)學(xué)生的核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)．2．解決立體幾何的新定義問題，常用的解題思路：審題、建模、研究模型、解決新定義問題．解題要點(diǎn)：根據(jù)題目給出的新定義，建立立體幾何模型．研究模型時(shí)需注意根據(jù)新定義進(jìn)行由特殊到一般的規(guī)律總結(jié)，最后解決問題．(1)若α為Ω的1階等距平面且1階等距集為{a}，求a的所有可能值以及相應(yīng)的α的個(gè)數(shù)；由于正四面體有4個(gè)面，這樣的1階等距平面α平行于其中一個(gè)面，有4種情況．(2)已知β為Ω的4階等距平面，且點(diǎn)A與點(diǎn)B，C，D分別位于β的兩側(cè)，若Ω的4階等距集為{b，2b，3b，4b}，其中點(diǎn)A到β的距離為b，求平面BCD與β夾角的余弦值．課時(shí)作業(yè)51第分部三1．（15分）如圖，四棱錐P--ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：OE∥平面PAD；解：證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E是PB的中點(diǎn)，則EO∥PD，且EO?平面PAD，PD?平面PAD，所以EO∥平面PAD.(2)求DE與PA所成角的正弦值．解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，又PO⊥底面ABCD，則PO，OC，OB兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OC，OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以BD＝2OB＝2.2．（15分）如圖，在三棱錐P--ABC中，AB＝BC＝PC＝PB＝2，∠ABC＝90°，E為AC的中點(diǎn)，PB⊥AC.(1)求證：平面PBE⊥平面ABC；解：證明：∵AB＝BC，E為AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC.又PB⊥AC，且PB∩BE＝B，PB，BE?平面PBE，∴AC⊥平面PBE.又AC?平面ABC，∴平面PBE⊥平面ABC.(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．3．（15分）（2024·江西景德鎮(zhèn)三模）如圖，已知在正三棱柱ABC--A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1.(1)已知E，F(xiàn)分別為棱AA1，BC的中點(diǎn)，求證：EF∥平面A1B1C；∴GF∥A1E，且GF＝A1E，∴四邊形A1EFG是平行四邊形，∴EF∥A1G.又EF?平面A1B1C，A1G?平面A1B1C，∴EF∥平面A1B1C.(2)求直線A1B與平面A1B1C所成角的正弦值．4．（15分）（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷）如圖，三棱錐A--BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點(diǎn)．(1)求證：BC⊥DA；解：證明：如圖，連接AE，DE.∵DB＝DC，E為BC的中點(diǎn)，∴DE⊥BC.∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ACD與△ABD均為等邊三角形，∴AC＝AB，∴AE⊥BC.又AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE.又AD?平面ADE，∴BC⊥DA.5．（20分）（2024·山東青島三模）如圖所示，多面體ABCDEF的底面ABCD是正方形，點(diǎn)O為底面的中心，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，側(cè)面ADEF與BCEF是全等的等腰梯形，EF＝4，其余棱長(zhǎng)均為2.(1)求證：MO⊥平面ABCD；解：證明：如圖，分別取AB，CD的中點(diǎn)K，Q，連接FK，KQ，QE，則O為KQ的中點(diǎn)．因?yàn)閭?cè)面ADEF是等腰梯形，所以EF∥AD，又KQ∥AD，所以KQ∥EF.△ABF和△DCE都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則FK＝EQ，所以四邊形FKQE為等腰梯形．因?yàn)辄c(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，O為KQ的中點(diǎn)，所以MO⊥KQ.因?yàn)椤鰽BF是等邊三角形，所以AB⊥FK，又AB⊥KQ，KQ，F(xiàn)K?平面FKQE，KQ∩FK＝K，所以AB⊥平面FKQE.又AB?平面ABCD，所以平面FKQE⊥平