微專題六立體幾何中的翻折、探索性和最值、范圍問題數(shù)學(xué)內(nèi)容索引關(guān)鍵能力提升第一部分考點1翻折問題考點2探索性問題0102課時作業(yè)第二部分考點3最值、范圍問題031．會用向量法探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系、角的存在條件與折疊問題．2．會用幾何法或向量法解決立體幾何中的最值、范圍問題．互動探究·考點精講關(guān)鍵能力提升第分部一考點1翻折問題【例1】

（2024·山東濰坊二模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°，E為CD的中點，將△ADE沿AE折起，連接BD，CD，且BD＝4，如圖2.(1)求證：圖2中的平面ADE⊥平面ABCE；【解】證明：如圖，連接BE，由題意得AD＝DE＝2，∠ADE＝60°，∠BCE＝120°，則△ADE為等邊三角形，則DE2＋BE2＝BD2，AE2＋BE2＝AB2，所以BE⊥DE，BE⊥AE.又AE∩DE＝E，AE，DE?平面ADE，所以BE⊥平面ADE.又BE?平面ABCE，所以平面ADE⊥平面ABCE.規(guī)律總結(jié)翻折問題的解題策略(1)弄清翻折過程中的“數(shù)量變化”，即哪些線段的長度、角的大小發(fā)生了變化，變成了多少，哪些沒有發(fā)生變化，依然是原來的大小．(2)弄清翻折過程中的“性質(zhì)變換”，即翻折過程中哪些“平行關(guān)系”“垂直關(guān)系”發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化．(3)弄清了(1)(2)兩個基本問題后，就可以把問題轉(zhuǎn)化為基本立體幾何問題，然后求解即可．(1)求證：FG⊥平面ABD；解：證明：如圖，連接CE，交AD于點O，則O為CE，AD的中點，連接GO.在菱形ACDE中，CE⊥AD，因為AB⊥平面ACDE，CE?平面ACDE，所以CE⊥AB，解：在菱形ACDE中，因為AC＝AD，所以△ACD和△ADE都是正三角形．取ED的中點H，連接AH，則AH⊥AC.又AB⊥平面ACDE，所以AB⊥AC，AB⊥AH，即AB，AC，AH兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點，AB，AC，AH所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．考點2探索性問題(1)求證：平面PBC⊥平面PAB.【解】存在．PE∶ED＝1∶2.因為BC⊥平面PAB，BC∥AD，所以AD⊥平面PAB.又因為PA，AB?平面PAB，所以AD⊥PA，AD⊥AB，又PA⊥AB，所以AB，AD，AP兩兩互相垂直，規(guī)律總結(jié)1．對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題．2．對于位置探究型問題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，求出參數(shù)的值．【對點訓(xùn)練2】

（2024·福建泉州模擬）如圖，棱柱ABC--A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為CB1和CA1的中點．(1)求證：EF∥平面ABB1A1.解：證明：由E，F(xiàn)分別為CB1和CA1的中點，得EF∥A1B1，而A1B1?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，所以EF∥平面ABB1A1.解：棱柱ABC--A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，如圖，取AB的中點O，A1B1的中點M，連接OC，OM，則OM∥AA1，OM⊥平面ABC，而OB，OC?平面ABC，則OM⊥OB，OM⊥OC.考點3最值、范圍問題(2)設(shè)二面角B--AE--C的大小為θ，求cosθ的取值范圍．規(guī)律總結(jié)在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積、距離、角的最值（范圍）問題的常用思路(1)借助幾何特征直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解．(2)借助極限思想：從特殊位置、特殊關(guān)系出發(fā)獲得最值（范圍）.(3)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值（范圍），在求解過程中常常利用“基本不等式”“二次函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”等求得目標(biāo)函數(shù)的最值（范圍）.【對點訓(xùn)練3】

（2024·安徽合肥模擬）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝1，AA1＝AB＝2，M為棱DD1的中點．(2)過A1M作該長方體外接球的截面，求截面面積的取值范圍．課時作業(yè)52第分部二1．（15分）（2024·河南濮陽模擬）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E為CD的中點，AE與BD相交于點O，將△ADE沿AE折起，使點D到達(dá)點P的位置（P?平面ABCE）.(1)求證：平面POB⊥平面PBC.解：證明：如圖，在原圖中連接BE.由于AB∥DE，AB＝DE，所以四邊形ABED是平行四邊形．由于AB＝AD，所以四邊形ABED是菱形，所以AE⊥BD.由于AB∥CE，AB＝CE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以BC∥AE，所以BC⊥BD.在翻折過程中，AE⊥OP，AE⊥OB保持不變，即BC⊥OP，BC⊥OB保持不變．由于OP∩OB＝O，OP，OB?平面POB，所以BC⊥平面POB.由于BC?平面PBC，所以平面POB⊥平面PBC.以O(shè)為原點，分別以O(shè)E，OB，OP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，(1)求證：PB⊥AC.解：證明：如圖，記AC∩BD＝O，連接OP，由四邊形ABCD是正方形，得O是AC的中點，由PA＝PC，得OP⊥AC，又BD⊥AC，OP，BD?平面PBD，OP∩BD＝O，所以AC⊥平面PBD.又PB?平面PBD，所以PB⊥AC.(2)若PB＝PD，求二面角P--AC--M的大小．(3)在(2)的前提下，在側(cè)棱PC上是否存在一點N，使得BN∥平面MAC？若存在，求出PC∶PN的值；若不存在，請說明理由．(1)求證：AC⊥平面PBM；所以AM⊥BM，即AC⊥BD，翻折后可得AC⊥BM，AC⊥PM.又PM∩BM＝M，PM，BM?平面PBM，故AC⊥平面PBM.(2)求三棱錐P--ACQ體積的最大值；(3)當(dāng)三棱錐P--ACQ的體積最大時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．解：由(2)得當(dāng)三棱錐P-ACQ的體積最大時，點P到平面ABC的距離為PM＝1，即PM⊥平面ABC，故PM⊥AC，PM⊥MB，又AC⊥BM，故MA，MB，MP兩兩垂直．以M為原點，MA，MB，MP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．解：證明：設(shè)平面PAB∩平面PCD＝l.由于AB∥DC，AB?平面PDC，CD?平面PDC，因此AB∥平面PDC，而AB?平面APB，平面PAB∩平面PCD＝l，因此AB∥l，易知AB⊥PE，因此l⊥PE.又平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD＝l，PE?平面PAB，因此PE⊥平面PDC.而PF?平面PDC，因此PE⊥PF.故△PEF是直角三角形．(2)求四棱錐P--ABCD體積的最大值；解：由于PE⊥PF，EF＝1，因此P是以EF為直徑的半圓上的點．而AB⊥EF，AB⊥PE，PE∩EF＝E，PE，EF?平面PEF