第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2.10函數(shù)與方程數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷考點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷0102考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用03課時(shí)作業(yè)第三部分1．理解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系．2．結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用．3．能用二分法求方程的近似解的步驟．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：使____________的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：教材回扣f(x)＝02．函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有____________，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間__________內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得____________，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．3．二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且____________的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間________，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近____，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0f(a)·f(b)<0一分為二零點(diǎn)1.若連續(xù)函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是令函數(shù)值為0所得方程的實(shí)數(shù)根．2．由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．3．周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無窮多個(gè)零點(diǎn)．1．判斷(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)＝2x的零點(diǎn)為0.(

)(2)圖象連續(xù)的函數(shù)y＝f(x)(x∈D)在區(qū)間(a，b)?D內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0.(

)(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn)．(

)(4)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(

)基礎(chǔ)檢測(cè)√×√×B3．(人教A版必修第一冊(cè)P144T2改編)函數(shù)f(x)＝log2x＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且f(1)＝－1，f(2)＝1，則f(1)f(2)＜0，故f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2).故選B.B4．(蘇教必修第一冊(cè)P230T2改編)已知函數(shù)y＝x2＋ax＋b的零點(diǎn)是3和－1，則a＋b＝____．－5互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷【例1】

(1)(多選)已知函數(shù)f(x)＝2x－x2，則下列區(qū)間含f(x)零點(diǎn)的是(

)A．(－1，0) B．(1，3)C．(3，5) D．(5，6)ABCC規(guī)律總結(jié)1．確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，不滿足條件時(shí)，一定要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】

(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以判定方程lnx－x＋2＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間為(

)A．(1，2)

B．(2，3)C．(3，4)

D．(4，5)x12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－10123C解析：設(shè)f(x)＝lnx－x＋2＝lnx－(x－2)，易知函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上的圖象連續(xù)，由表格數(shù)據(jù)得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＝1.099－1＝0.099＞0，f(4)＝1.386－2＜0，f(5)＜0，則f(3)·f(4)＜0，即在區(qū)間(3，4)上，函數(shù)f(x)存在一個(gè)零點(diǎn)，即方程lnx－x＋2＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間為(3，4).故選C.B考點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷C【解析】作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示．將原問題轉(zhuǎn)化為直線y＝ax＋2(過定點(diǎn)(0，2))與函數(shù)y＝f(x)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可知，當(dāng)a＝0時(shí)，直線y＝2與函數(shù)y＝f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．所以直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．故選C.(2)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f(x)＝f(6－x)，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝|log2(x＋1)－1|，則函數(shù)F(x)＝f(x)＋lg|x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A．6 B．8C．10 D．12【解析】由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有f(x)＝f(6－x)，即f(－x)＝f(6－x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝6，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝|log2(x＋1)－1|，則f(x)＝C函數(shù)F(x)＝f(x)＋lg|x|－1的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝1－lg|x|圖象的交點(diǎn)，如圖所示，一共有10個(gè)交點(diǎn)，故C正確．故選C.規(guī)律總結(jié)函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)借助函數(shù)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)f(x)的圖象在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)把函數(shù)f(x)拆分為兩個(gè)較簡單的函數(shù)，畫這兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，交點(diǎn)有幾個(gè)，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．BC考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用命題角度1根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍A命題角度2根據(jù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【例4】函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(2，4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－∞，－18) B．(5，＋∞)C．(5，18) D．(－18，－5)【解析】若函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在(2，4)上存在零點(diǎn)，由函數(shù)f(x)在(2，4)上的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－18，－5).故選D.D規(guī)律總結(jié)已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍．(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，把函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)(一般一個(gè)含參，另一個(gè)不含參)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出拆分出的兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．A．(－1，0)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)BD課時(shí)作業(yè)15第分部三1．(6分)(2024·山東青島二模)函數(shù)f(x)＝ax－a(a>0，a≠1)的零點(diǎn)為(

)A．0 B．1C．(1，0) D．a(chǎn)解析：因?yàn)閒(x)＝ax－a(a>0，a≠1)，令f(x)＝ax－a＝0，解得x＝1，即函數(shù)的零點(diǎn)為1.故選B.B2．(6分)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2的零點(diǎn)所在區(qū)間是(

)A．(－2，－1) B．(0，1)C．(－1，0) D．[－1，0)BDA5．(6分)(2024·廣東梅州二模)三個(gè)函數(shù)f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝lnx＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c之間的大小關(guān)系為(

)A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3，y＝ex，y＝lnx，y＝x－3都是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝lnx＋x－3，h(x)＝ex＋x－3均為增函數(shù)，因?yàn)閒(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(1，2)上，即a∈(1，2)，因?yàn)間(2)＝ln2－1<0，g(3)＝ln3>0，所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)在(2，3)上，即b∈(2，3)，因?yàn)閔(0)＝－2<0，h(1)＝e－2>0，所以函數(shù)h(x)的零點(diǎn)在(0，1)上，即c∈(0，1)，綜上，c<a<b.故選B.BD7．(6分)(2024·浙江紹興三模)已知函數(shù)f(2x＋1)為偶函數(shù)，若函數(shù)g(x)＝f(x)＋21-x＋2x-1－5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則f(1)＝(

)A．1 B．2C．3 D．0解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(2x＋1)為偶函數(shù)，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，令h(x)＝21-x＋2x-1－5，則h(2－x)＝2x-1＋21-x－5＝h(x)，可得函數(shù)h(x)＝21-x＋2x-1－5的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以函數(shù)g(x)＝f(x)＋21-x＋2x-1－5的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，但g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則g(1)＝f(1)＋1＋1－5＝0，所以f(1)＝3.故選C.C8．(6分)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，有f(2－x)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x2＋x－a，則下列說法不正確的是(

)A．f(2025)＋f(2026)＝2B．點(diǎn)(－7，0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C．當(dāng)x∈[7，8]時(shí)，f(x)＝x2＋17x＋54D．函數(shù)y＝f(x)－log6(6x＋1)恰有3個(gè)零點(diǎn)C解析：因?yàn)閒(2－x)＝－f(x)，令x＝1，得f(1)＝0，所以f(1)＝12＋1－a＝0，解得a＝2.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，又f(2－x)＝－f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以f(x＋4)＝－f(－2－x)＝－f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，對(duì)于A，f(2025)＋f(2026)＝f(1)＋f(2)＝f(1)－f(2－2)＝2，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閒(x)的周期為4，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以(－7，0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)x∈[7，8]時(shí)，x－8∈[－1，0]，8－x∈[0，1]，所以f(x)＝f(x－8)＝f(8－x)＝(8－x)2＋8－x－2＝x2－17x＋70，故C不正確；對(duì)于D，作函數(shù)y＝log6(6x＋1)和y＝f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f(x)－log6(6x＋1)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選C.9．(8分)(多選)已知函數(shù)f(x)＝ex－x－2，則下列區(qū)間中含f(x)零點(diǎn)的是(

)A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解析：由函數(shù)f(x)＝ex－x－2，可得f(－2)＝e-2＋2－2＝e-2>0，f(－1)＝e-1＋1－2＝e-1－1<0，f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(1)＝e1－1－2＝e－3<0，f(2)＝e2－2－2＝e2－4>0，可得f(－2)f(－1)<0，f(1)f(2)<0，結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性：f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)中存在零點(diǎn)．故選AD.AD10．(8分)(多選)(2024·甘肅定西一模)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，則(

)A．當(dāng)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn)BD解析：令f(x)＝0，g(x)＝0，得|2x－1|＝a，x2－4|x|＋2＝a，利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)作出y＝|2x－1|，y＝x2－4|x|＋2的大致圖象，如圖所示，由圖可知，當(dāng)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a＝－2或a>2，此時(shí)f(x)無零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a＝2，此