第十章計(jì)數(shù)原理、概率10.8概率統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)內(nèi)容索引關(guān)鍵能力提升第一部分考點(diǎn)1頻率分布直方圖與分布列的綜合考點(diǎn)2回歸模型與分布列的綜合0102考點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合03課時(shí)作業(yè)第二部分會(huì)綜合利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，解決頻率分布直方圖、回歸模型、獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合問(wèn)題．互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部一考點(diǎn)1頻率分布直方圖與分布列的綜合【例1】為提高學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)舉辦了一次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，并從所有參賽大學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)均分布在[450，950]內(nèi)，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制了競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，如圖所示．分?jǐn)?shù)不低于850分的學(xué)生被稱為“特優(yōu)選手”．(1)求a的值，并估計(jì)該校學(xué)生競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的第70百分位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；【解】由頻率分布直方圖知(0.0015×2＋a＋0.0025＋0.0010)×100＝1?a＝0.0035.設(shè)第70百分位數(shù)為m，前兩組所占頻率為(0.0015＋0.0035)×100＝0.5，前三組所占頻率為(0.0015＋0.0035＋0.0025)×100＝0.75，則m位于第三組數(shù)據(jù)中，(2)現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式從分?jǐn)?shù)在[750，850），[850，950]內(nèi)的兩組學(xué)生中共抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，記被抽取的4名學(xué)生中“特優(yōu)選手”的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．規(guī)律總結(jié)高考中常將頻率分布直方圖與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，解題時(shí)要正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計(jì)算出各組數(shù)據(jù)．概率問(wèn)題以計(jì)算為主，往往和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問(wèn)題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來(lái)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】某甜品店為了解某款甜品的銷(xiāo)售情況，進(jìn)而改變制作工藝，根據(jù)以往的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖，如圖所示.假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)某一天此款甜品銷(xiāo)售量不超過(guò)60個(gè)的概率．解：設(shè)事件A為“某一天此款甜品銷(xiāo)售量不超過(guò)60個(gè)”，所以P(A)＝(0.01＋0.03)×10＝0.4.(2)用X表示在未來(lái)3天里，此款甜品日銷(xiāo)售量超過(guò)60個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)該店改變了制作工藝以后，抽取了連續(xù)30天的銷(xiāo)售記錄，發(fā)現(xiàn)這其中有20天的銷(xiāo)售量都超過(guò)70個(gè)，根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為改變工藝后，此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：可以認(rèn)為改變制作工藝后，此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化．理由如下：改變制作工藝前，設(shè)事件C表示“日銷(xiāo)售量超過(guò)70個(gè)”，用Y表示30天內(nèi)日銷(xiāo)售量超過(guò)70個(gè)的天數(shù)，由頻率分布直方圖可得P(C)＝0.2，則Y～B(30，0.2)，所以E(Y)＝30×0.2＝6<20，所以可以認(rèn)為改變制作工藝后，此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化．考點(diǎn)2回歸模型與分布列的綜合【例2】

（2025·山東淄博二模）汽車(chē)尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重要因素．我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．某汽車(chē)制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：年份t20202021202220232024年份代碼x12345銷(xiāo)量y/萬(wàn)輛1012172026(1)計(jì)算銷(xiāo)量y關(guān)于年份代碼x的樣本相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若|r|≥0.75，則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）.若是，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)為了解購(gòu)車(chē)車(chē)主的購(gòu)車(chē)種類(lèi)（分為新能源汽車(chē)與傳統(tǒng)燃油汽車(chē)）的情況，該企業(yè)調(diào)查了該地區(qū)4位購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)車(chē)主和4位購(gòu)買(mǎi)傳統(tǒng)燃油汽車(chē)車(chē)主，現(xiàn)從這8位購(gòu)車(chē)車(chē)主中隨機(jī)抽取3位，用X表示抽取的3位購(gòu)車(chē)車(chē)主中購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與均值．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r＝規(guī)律總結(jié)高考中常將回歸模型與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運(yùn)算．求解概率問(wèn)題時(shí)要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問(wèn)題所屬的事件類(lèi)型是關(guān)鍵．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】

（2024·山東日照二模）某公司為考核員工，采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成績(jī)以確定員工績(jī)效等級(jí)．(1)已知該公司甲部門(mén)有3名負(fù)責(zé)人，乙部門(mén)有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門(mén)中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人做測(cè)試分析，記負(fù)責(zé)人來(lái)自甲部門(mén)的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的最有可能的取值．(2)該公司統(tǒng)計(jì)了七個(gè)部門(mén)測(cè)試的平均成績(jī)x（滿分100分，成績(jī)?yōu)檎麛?shù)）與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率y，如下表所示：x32415468748092y0.280.340.440.580.660.740.94考點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合【例3】

（2024·山東青島三模）為了研究高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否低于170cm的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)部分高三年級(jí)的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女生14519男生81018合計(jì)221537(1)依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)？(2)從身高不低于170cm的15名學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，設(shè)抽取的三名學(xué)生中女生人數(shù)為X，求X的分布列及期望E(X).α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828規(guī)律總結(jié)高考中常將獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，要注意過(guò)好“三關(guān)”：假設(shè)關(guān)、公式關(guān)、對(duì)比關(guān)．解決概率問(wèn)題要準(zhǔn)確地把握題中所涉及的事件，明確所求問(wèn)題所屬的事件類(lèi)型．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】

（2024·山東臨沂二模）“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨(dú)特魅力．為了解年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度（態(tài)度分為非常喜歡和感覺(jué)一般），隨機(jī)調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示．性別對(duì)“趕大集”的態(tài)度合計(jì)非常喜歡感覺(jué)一般男性3t

100女性

t

合計(jì)

60

(1)求t的值，試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)．解：由題意可知3t＋(60－t)＝100，解得t＝20，零假設(shè)：年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別無(wú)關(guān)，2×2列聯(lián)表如下：性別對(duì)“趕大集”的態(tài)度合計(jì)非常喜歡感覺(jué)一般男性6040100女性8020100合計(jì)14060200(2)從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕大集”．現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進(jìn)一步交流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：設(shè)進(jìn)一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為m，女性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為n，則X＝m＋n，且X的所有可能取值為1，2，3，4.課時(shí)作業(yè)75第分部二1．（13分）（2025·北京東城區(qū)一模）某中學(xué)為了解高二年級(jí)學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測(cè)試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字?jǐn)?shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，將測(cè)試結(jié)果整理得到頻率分布直方圖：(1)若該校高二年級(jí)有1500人，試估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字/分及以上的人數(shù)；解：1500×(0.00375＋0.00100＋0.00025)×80＝600，故可估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字/分及以上的人數(shù)為600.(2)用頻率估計(jì)概率，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字/分及以上的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)；解：從中隨機(jī)抽取一人，其閱讀速度達(dá)到540字/分及以上的概率為(0.00500＋0.00375＋0.00100＋0.00025)×80＝0.8，X的可能取值為0，1，2，3，則X的分布列為

期望為E(X)＝3×0.8＝2.4.X0123P0.0080.0960.3840.512(3)若某班有10名學(xué)生參加測(cè)試，他們的閱讀速度的數(shù)據(jù)如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字/分及以上的人數(shù)為Y，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(2)中的E(X)的大小，并說(shuō)明理由．解：E(X)＝E(Y)，理由如下：這10名學(xué)生中，閱讀速度達(dá)到540字/分及以上的人數(shù)為8，則Y的可能取值為1，2，3，2．（13分）（2024·江西鷹潭三模）某校體育鍛煉時(shí)間準(zhǔn)備提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇．為了解該校學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，數(shù)據(jù)如下：態(tài)度性別合計(jì)男生女生同意7050120不同意305080合計(jì)100100200(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學(xué)生選擇．①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種，且他們的選擇互不影響．記事件A為“甲學(xué)生選擇足球”，事件B為“甲、乙兩名學(xué)生的選擇不同”，判斷事件A，B是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由．②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)X～N(185，169).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有明顯增加．假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校學(xué)生每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）.若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|<σ)≈0.6827，P(|X－μ|<2σ)≈0.9545，P(|X－μ|<3σ)≈0.9973.α0.0250.0100.005xα5.0246.6357.8793．（17分）（2024·江蘇南通模擬）某高校統(tǒng)計(jì)的連續(xù)5天入校參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：第x天12345參觀人數(shù)y/千人2.42.74.16.47.9(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)第10天入校參觀的人數(shù)．4．（17分）（2024·河北滄州模擬）“南澳牡蠣”是我國(guó)地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營(yíng)養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù).2024年某基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（單位：人）與年收益增量y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：人工投入增量x/人234681013年收益增量y/萬(wàn)元13223142505658該基地為了預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y關(guān)于x的兩個(gè)回歸模型．(1)(ⅰ