微專題四隱零點(diǎn)與極值點(diǎn)偏移問題數(shù)學(xué)內(nèi)容索引關(guān)鍵能力提升第一部分考點(diǎn)1隱零點(diǎn)問題考點(diǎn)2極值點(diǎn)偏移問題0102課時(shí)作業(yè)第二部分1．在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的過程中，會(huì)利用隱零點(diǎn)解決相關(guān)問題．2．會(huì)利用常見的方法（對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)法與比（差）值換元法）解決極值點(diǎn)偏移問題．互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部一考點(diǎn)1隱零點(diǎn)問題隱零點(diǎn)問題是指函數(shù)的零點(diǎn)存在但無法直接求解出來的問題，在函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合題目中常會(huì)遇到涉及隱零點(diǎn)的問題，處理隱零點(diǎn)問題的基本策略是判斷單調(diào)性，合理取點(diǎn)判斷符號(hào)，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理處理．規(guī)律總結(jié)隱零點(diǎn)問題常用策略(1)依據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)單調(diào)性，大膽“試根”，再由單調(diào)性說明“此根”的唯一性．(2)先“虛設(shè)零點(diǎn)，設(shè)而不求”，通過形式化的“變量代換”或推理，達(dá)到化簡并求解的目的．(3)“多次求導(dǎo)”，合理變形，直至能夠求解．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】

（2024·山東德州三模）設(shè)函數(shù)f(x)＝bex＋acosx，a，b∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f（0)）處的切線方程為y＝x＋2.(1)求a，b的值；解：因?yàn)閒(x)＝bex＋acosx，所以f(0)＝be0＋acos0＝b＋a.又點(diǎn)(0，f（0)）在切線y＝x＋2上，所以f(0)＝2，所以a＋b＝2.又f′(x)＝bex－asinx，即f′(0)＝b＝1，所以a＝b＝1.(2)求證：方程f(x)＝2僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；解：證明：欲證方程f(x)＝2僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只需證明ex＋cosx－2＝0僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．令g(x)＝ex＋cosx－2，則g(0)＝e0＋cos0－2＝0，故x＝0是g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，g′(x)＝ex－sinx，令h(x)＝g′(x)＝ex－sinx，則h′(x)＝ex－cosx.當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)＝ex－cosx>e0－cosx＝1－cosx≥0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(0)＝1，即g′(x)＝ex－sinx>1>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)＝0，即此時(shí)g(x)無零點(diǎn)；當(dāng)x<0時(shí)，g(x)＝ex＋cosx－2<e0＋cosx－2＝1＋cosx－2＝－1＋cosx≤0，即g(x)＝ex＋cosx－2<0，所以當(dāng)x<0時(shí)，g(x)無零點(diǎn)．綜上，g(x)＝ex＋cosx－2僅有一個(gè)零點(diǎn)，得證.(3)對(duì)任意x∈(0，＋∞)，有f(x)>ksinx＋2，求正數(shù)k的取值范圍．解：當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，ex＋cosx>ksinx＋2，即ex＋cosx－ksinx－2>0恒成立．令F(x)＝ex＋cosx－ksinx－2，則F′(x)＝ex－sinx－kcosx，由(2)可知，x∈(0，＋∞)時(shí)，ex－sinx>1，所以F′(x)＝ex－sinx－kcosx>1－kcosx.當(dāng)0<k≤1時(shí)，因?yàn)椋?≤cosx≤1，所以－k≤kcosx≤k，即1－k≤1－kcosx≤1＋k，所以F′(x)>1－kcosx≥1－k≥0，所以F(x)＝ex＋cosx－ksinx－2在x∈(0，＋∞)時(shí)單調(diào)遞增，所以F(x)>F(0)＝0恒成立，即滿足條件ex＋cosx－ksinx－2>0；當(dāng)k>1時(shí)，由F′(x)＝ex－sinx－kcosx，可知F′(0)＝1－k<0，又F′(π)＝eπ＋k>0，所以存在x0∈(0，π)，使得F′(x0)＝0，所以當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，所以F(x0)<F(0)＝0，即不能保證ex＋cosx－ksinx－2>0恒成立．綜上，正數(shù)k的取值范圍是（0，1].考點(diǎn)2極值點(diǎn)偏移問題1．極值點(diǎn)不偏移（無偏移，左右對(duì)稱，如二次函數(shù)）若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝2x0.2．極值點(diǎn)偏移（左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移）若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2>2x0；（左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移）若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2<2x0.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為2，求a的值；(2)在(1)的條件下，若關(guān)于x的方程f(x)＝m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2，求證：

x1＋x2>2.所以φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以φ(x)>φ(1)＝0，即G(x)－G(2－x)>0，所以G(x)>G(2－x)，所以G(x2)＝G(x1)>G(2－x1).又G(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x2>2－x1，即x1＋x2>2，得證．規(guī)律總結(jié)極值點(diǎn)偏移問題的兩種解決方法(1)對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)法①對(duì)結(jié)論x1＋x2>2x0型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x).(2)比（差）值換元法【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】已知a∈R，f(x)＝x·e－ax.(1)討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性；解：f′(x)＝e－ax－ax·e－ax＝e－ax(1－ax).課時(shí)作業(yè)24第分部二1．（12分）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋b(a，b∈R)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2.(1)求f(x)的最值；(2)若?x∈(0，＋∞)，f(x)≤xex恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．當(dāng)0<x<x0時(shí)，h(x)<0，即g′(x)<0，當(dāng)x>x0時(shí)，h(x)>0，即g′(x)>0，可知g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，(2)當(dāng)x>0時(shí)，求證：f(x)≥g(x).當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)的最大值為f(1)＝1.當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時(shí)