簡潔實(shí)用高效第六章數(shù)列6.6數(shù)列的綜合交匯問題數(shù)學(xué)內(nèi)容索引關(guān)鍵能力提升第一部分考點(diǎn)1數(shù)列與不等式、函數(shù)的綜合問題考點(diǎn)2數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題0102考點(diǎn)3數(shù)列的新定義問題03課時(shí)作業(yè)第二部分1．了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會解決等差、等比數(shù)列的綜合問題．2．能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．互動探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部一考點(diǎn)1數(shù)列與不等式、函數(shù)的綜合問題(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求an；規(guī)律總結(jié)數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明．考點(diǎn)2數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個(gè)方案，方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完．(1)已知一年期存款的年利率為2.5%，試討論兩種方案哪一種更好？（僅考慮“現(xiàn)值”或“終值”）【解】方法一（從終值來考慮）若全款購置，則25萬元10年后的價(jià)值為25×(1＋2.5%)10≈32.00（萬元），若分期付款，每年初所付金額3萬元，10年后的總價(jià)值為S＝3×(1＋2.5%)10＋3×(1＋2.5%)9＋…＋3×(1＋2.5%)≈34.44（萬元）.因此，方案一更好．(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第(1)問中的存款年利率2.5%，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲全部租金的終值．（精確到百元）參考數(shù)據(jù)：(1＋2.5%)10≈1.28.【解】由題意，設(shè)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值為T萬元，T＝2×(1＋2.5%)10＋2.1×(1＋2.5%)9＋…＋2.9×(1＋2.5%)，記1＋2.5%＝q，an＝－0.1n＋3，則T＝a1q＋a2q2＋…＋a9q9＋a10q10，qT＝a1q2＋a2q3＋…＋a9q10＋a10q11，規(guī)律總結(jié)1．解決實(shí)際應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．3．注意問題是求什么(n，an，Sn).注意：①解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．②在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．③在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．④在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求．(1)求{an}的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)3數(shù)列的新定義問題【例3】如果n項(xiàng)有窮數(shù)列{an}滿足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i＝1，2，…，n)，那么稱有窮數(shù)列{an}為“對稱數(shù)列”．(1)設(shè)數(shù)列{bn}是項(xiàng)數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4成等差數(shù)列，且b2＝3，b5＝5，依次寫出數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)．【解】因?yàn)閿?shù)列{bn}是項(xiàng)數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，所以b5＝b3＝5，又因?yàn)閎1，b2，b3，b4成等差數(shù)列，其公差d＝b3－b2＝2，所以數(shù)列{bn}的7項(xiàng)依次為1，3，5，7，5，3，1.(2)設(shè)數(shù)列{cn}是項(xiàng)數(shù)為2k－1（k∈N*且k≥2）的“對稱數(shù)列”，且滿足|cn＋1－cn|＝2，記Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．①若c1，c2，…，ck構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且ck＝2025.當(dāng)k為何值時(shí)，S2k－1取得最大值？②若c1＝2024，且S2k－1＝2024，求k的最小值．【解】①由c1，c2，…，ck是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列{cn}是項(xiàng)數(shù)為2k－1的“對稱數(shù)列”且滿足|cn＋1－cn|＝2，可知c1，c2，…，ck構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，ck，ck＋1，…，c2k－1構(gòu)成公差為－2的等差數(shù)列，因?yàn)閿?shù)列{cn}是“對稱數(shù)列”，所以S2k－1＝c1＋c2＋…＋c2k－1＝2(c1＋c2＋…＋ck－1)＋ck≥(2k－1)c1－2(k－2)(k－1)－2(k－1)＝－2k2＋4052k－2026，因?yàn)镾2k－1＝2024，故－2k2＋4052k－2026≤2024，解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025，當(dāng)c1，c2，…，ck構(gòu)成公差為－2的等差數(shù)列時(shí)，滿足c1＝2024，且S2k－1＝2024，此時(shí)k＝2025，所以k的最小值為2025.規(guī)律總結(jié)數(shù)列中的新定義問題的解題步驟(1)讀懂定義，理解新定義數(shù)列的含義．(2)通過特例（一般是前面一些項(xiàng)）尋找新定義數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì)，以及新定義數(shù)列與已知數(shù)列（如等差數(shù)列與等比數(shù)列）的關(guān)系，進(jìn)行求解．【對點(diǎn)訓(xùn)練3】

（2024·江西九江三模）已知數(shù)列{an}共有m(m≥2)項(xiàng)，且an∈Z，若滿足|an＋1－an|≤1(1≤n≤m－1)，則稱{an}為“約束數(shù)列”．記“約束數(shù)列”{an}的所有項(xiàng)的和為Sm.(1)當(dāng)m＝5時(shí)，寫出所有滿足a1＝a5＝1，S5＝6的“約束數(shù)列”；解：當(dāng)m＝5時(shí)，所有滿足a1＝a5＝1，S5＝6的“約束數(shù)列”有①1，1，2，1，1；②1，1，1，2，1；③1，2，1，1，1.(2)當(dāng)m＝2000，a1＝25時(shí)，設(shè)p：a2000＝2024，q：“約束數(shù)列”{an}為等差數(shù)列，請判斷p是q的什么條件，并說明理由；解：p是q的充分不必要條件．理由：①當(dāng)a2000＝2024時(shí)，∵|an＋1－an|≤1(n＝1，2，…，1999)，∴an＋1－an≤1.則a2000＝(a2000－a1999)＋(a1999－a1998)＋(a1998－a1997)＋…＋(a2－a1)＋a1≤1999＋a1＝2024，當(dāng)且僅當(dāng)a2000－a1999＝a1999－a1998＝a1998－a1997＝…＝a2－a1＝1時(shí)，a2000＝2024成立，∴“約束數(shù)列”{an}是公差為1的等差數(shù)列．②當(dāng)“約束數(shù)列”{an}是等差數(shù)列時(shí)，由|an＋1－an|≤1，得an＋1－an＝1，或an＋1－an＝0，或an＋1－an＝－1，若an＋1－an＝0，則{an}的公差為0，∴a2000＝a1＝25；若an＋1－an＝－1，則{an}的公差為－1，∴a2000＝a1－1999＝－1974；若an＋1－an＝1，則{an}的公差為1，∴a2000＝a1＋1999＝2024，即當(dāng)“約束數(shù)列”{an}是等差數(shù)列時(shí)，a2000＝25或－1974或2024.由①②，得p是q的充分不必要條件．解：∵a1＝1，a2k＝0，∴要使得|Sm|取最大值，則an≥0，當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件時(shí)，|Sm|取最大值．①當(dāng)2≤n≤k時(shí)，an－an－1＝1；②當(dāng)k＋1≤n≤2k時(shí)，an－an－1＝－1；③當(dāng)2k＋1≤n≤m時(shí)，an－an－1＝1.課時(shí)作業(yè)43第分部二1．（11分）（2024·河北邢臺二模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1(n≥1).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1－1?a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1，兩式相減得an＝2an－2an－1?an＝2an－1.所以{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以an＝2n-1.因?yàn)閍1＝1，a1＝a2－1，所以a2＝2，所以an＋2＝n＋2(n≥1)，所以an＝n(n≥3)，又a1＝1，a2＝2，滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.(2)令bn＝2nan，記Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求證：n≥3時(shí)，Tn<n(2n+1－4).Tn－n(2n+1－4)＝(n－1)2n+1＋2－n(2n+1－4)＝－2n+1＋4n＋2，設(shè)f(x)＝－2×2x＋4x＋2，x≥3，則f′(x)＝－2×2xln2＋4在給定區(qū)間上遞減，又f′(3)＝－16×ln2＋4<0，故f(x)在[3，＋∞）上是減函數(shù)，f(x)max＝f(3)＝－24＋4×3＋2＝－2<0，所以當(dāng)n≥3時(shí)，Tn<n(2n+1－4).3．（17分）某地牧場牧草深受病害困擾，某科研團(tuán)隊(duì)研制了治療牧草病害的新藥，為探究新藥的效果，進(jìn)行了如下的噴灑試驗(yàn)：隔離選取1000平方米牧草，在第一次噴藥前測得其中800平方米為正常牧草，200平方米為受害牧草，每三天給受害牧草噴藥一次．試驗(yàn)的結(jié)論為：每次噴藥前的受害牧草有80%的面積會在下一次噴藥前變?yōu)檎Ｄ敛荩看螄娝幥暗恼Ｄ敛萦衪%(0<t<20)的面積會在下一次噴藥前被感染為受害牧草．假設(shè)試驗(yàn)過程牧草的總面積不變，記第n次噴藥前正常牧草的面積為an平方米．(1)求使得a2≥900成立的t的最大整數(shù)值；(2)求證：在t取(1)中最大整數(shù)值的情況下，如果試驗(yàn)一直持續(xù)，正常牧草的面積不可能超過920平方米．解：證明：由題設(shè)得t＝7，代入①式可得an＋1＝0.13an＋800②.用待定系數(shù)法，設(shè)實(shí)數(shù)λ滿足an＋1＋λ＝0.13(an＋λ)③.則數(shù)列{an＋λ}是公比為0.13的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＋λ＝(a1＋λ)×0.13n-1，解得an＝(a1＋λ)×0.13n-1－λ，4．（17分）（2024·浙江溫州二模）數(shù)列{an}，{bn}滿足{bn}是等比數(shù)列，b1＝2，a2＝5，且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2(an－3)bn＋8(n∈N*).(1)求an，bn.解：∵a1b1＝2(a1－3)b1＋8，b1＝2，∴a1＝2.又a1b1＋a2b2＝2(a2－3)b2＋8，b1＝2，a1＝2，a2＝5，解得b2＝4.∴bn＝2n.又a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2(an－3)bn＋8(n∈N*)，當(dāng)n≥2時(shí)，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2(an－1－3)bn－1＋8，兩式作差得anbn＝2(an－3)bn－2(an－1－3)bn－1，將bn＝2n代入，化簡an＝2(an－3)－(an－1－3)，得an－an－1＝3(n≥2)，∴{an}是公差d＝3的等差數(shù)列，∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.(2)求集合A＝{x|(x－ai)(x－bi)＝0，i≤2n，i∈N*}中所有元素的和．(3)對數(shù)列{cn}，若存在互不相等的正整數(shù)k1，k2，…，kj(j≥2)，使得ck1＋ck2＋…＋ckj也是數(shù)列{cn}中的項(xiàng)，則稱數(shù)列{cn}是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列{an}，{bn}是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有j的值；若不是，請說明理由.解：①數(shù)列{an}是“和穩(wěn)定數(shù)列”．當(dāng)j＝3m(m∈N*)時(shí)，ak1＋ak