第一章集合、常用邏輯用語與不等式1.1集合數(shù)學內容索引必備知識回顧關鍵能力提升第一部分第二部分考點1集合的含義與表示考點2集合的基本關系0102考點3集合的運算03課時作業(yè)第三部分04考點4集合的新定義問題05高考創(chuàng)新方向創(chuàng)新考法1．了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系．2．會求兩個集合的并集、交集與補集．3．能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算．自主學習·基礎回扣必備知識回顧第分部一1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：______、______、______．(2)元素與集合的關系是____或______，用符號__或__表示．(3)集合的表示法：______、______、______．教材回扣確定性互異性無序性屬于不屬于∈?列舉法描述法圖示法(4)常見數(shù)集的記法集合非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作____(或B?A).(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且________，就稱集合A是集合B的真子集，記作______(或B

A).(3)相等：若A?B，且_______，則A＝B.任意一個元素A?Bx?AA

BB?A(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)任何集合都是自身的子集．3．集合的基本運算{x|x∈A，或x∈B}A∪B{x|x∈A，且x∈B}A∩B{x|x∈U，且x?A}?UA1．若集合A中有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，(2n－1)個真子集，(2n－1)個非空子集，(2n－2)個非空真子集．2．若A?B，B?C，則A?C.3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).5．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).教材拓展1．判斷(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1，0，1}．(

)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(

)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(

)(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B).(

)基礎檢測×××√2．(人教A版必修第一冊P14T6改編)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩(?UB)＝{1，3，5，7}，則集合B＝

．解析：因為U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A∩(?UB)＝{1，3，5，7}，?UB?A，所以?UB＝{1，3，5，7}，故B＝?U(?UB)＝{0，2，4，6，8，9，10}．{0，2，4，6，8，9，10}3．(人教A版必修第一冊P35T9改編)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，則實數(shù)a＝

．解析：因為A∪B＝A，所以B?A，所以a＋2∈A.當a＋2＝3，即a＝1時，A＝{1，3，1}，不滿足集合中元素的互異性，不符合題意；當a＋2＝a2時，a＝－1(舍去)或a＝2，此時A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合題意．綜上，實數(shù)a＝2.24．(人教A版必修第一冊P9T5(2)改編)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為

．解析：因為B?A，所以利用數(shù)軸分析法(如圖)，可知a≥2.[2，＋∞)互動探究·考點精講關鍵能力提升第分部二考點1集合的含義與表示考點1集合的含義與表示【例1】

(1)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的元素只有一個，則實數(shù)a的值為(

)C(2)已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a＋3}，若A＝B，則a＝(

)A．－1或3 B．0C．3 D．－3【解析】∵A＝B，∴a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3，當a＝－1時，a2＝2a＋3＝1，不滿足集合中元素的互異性，舍去．當a＝3時，a2＝2a＋3＝9，此時A＝B＝{0，1，9}，滿足題意．綜上，a＝3.故選C.C規(guī)律總結解決集合含義問題的關鍵有三點：一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的限制條件)構造關系式解決相應問題．解析：當x＝2，y＝1時，z＝2；當x＝2，y＝2時，z＝1；當x＝4，y＝1時，z＝4；當x＝4，y＝2時，z＝2.所以M＝{1，2，4}，M中所有元素之和為7.故選C.C(2)已知集合A＝{a＋1，a2＋4a－9，2025}，若－4∈A，則實數(shù)a的值為(

)A．－5 B．1C．5或－1 D．－5或1解析：∵A＝{a＋1，a2＋4a－9，2025}，且－4∈A，∴－4＝a＋1或－4＝a2＋4a－9，若－4＝a2＋4a－9，則a＝－5或a＝1，當a＝－5時，a＋1＝－4，a2＋4a－9＝－4，此時不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當a＝1時，a＋1＝2，a2＋4a－9＝－4，此時A＝{2，－4，2025}，符合題意．若a＋1＝－4，則a＝－5，此時不滿足集合中元素的互異性，故舍去．綜上所述，實數(shù)a的值為1.故選B.B考點2集合的基本關系【例2】

(1)(2024·山西陽泉三模)設集合P＝{y|y＝ex＋1}，M＝{x|y＝log2(x－2)}，則集合M與集合P的關系是(

)A．M＝P B．P∈MC．M?P D．P?M【解析】函數(shù)y＝ex＋1的值域為(1，＋∞)，函數(shù)y＝log2(x－2)的定義域為(2，＋∞)，即P＝(1，＋∞)，M＝(2，＋∞)，所以有M?P.故選C.CD規(guī)律總結1．空集是任何集合的子集，在涉及集合的基本關系問題中，如無特殊說明，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．2．已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．【對點訓練2】

(1)(2024·廣東汕頭三模)已知集合M＝{x∈N|log2x≤1}，N＝{－1，0，1，2}，若M?A?N，則滿足條件的集合A的個數(shù)為(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：由題意可得M＝{x∈N|log2x≤1}＝{x∈N|0<x≤2}＝{1，2}，且N＝{－1，0，1，2}，M?A?N，可知集合A必有1，2兩個元素，可能有－1，0兩個元素，所以滿足條件的集合A的個數(shù)即為集合{－1，0}的子集個數(shù)，共有22＝4(個).故選D.D(2)(2024·廣東深圳模擬)定義兩集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x?N}．已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，則A－(A－B)的子集個數(shù)是(

)A．2 B．4C．8 D．16解析：因為A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，所以A－(A－B)＝{3，5}，有兩個元素，則A－(A－B)的子集個數(shù)是22＝4.故選B.B考點3集合的運算命題角度1集合的運算【例3】

(1)(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，則M∪N＝(

)A．{x|－1≤x<1}B．{x|x>－3}C．{x|－3<x<4}D．{x|x<4}【解析】集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，則M∪N＝{x|－3<x<4}．故選C.CD命題角度2根據(jù)集合的運算求參數(shù)【例4】

(2024·福建寧德三模)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}．若A∩B＝A，則m的取值范圍是(

)A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)D規(guī)律總結1．對于集合的運算問題，若所給集合是用描述法表示的，則需要將其具體化，如求出不等式的解集，再結合數(shù)軸和Venn圖進行集合之間的運算．2．若所給集合中帶有參數(shù)，在進行運算時要注意參數(shù)范圍的邊界值是否可以取到．【對點訓練3】

(1)(2024·新課標Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，則A∩B＝(

)A．{－1，0} B．{2，3}C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}解析：集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，(－3)3＝－27，(－1)3＝－1，03＝0，23＝8，33＝27，則A∩B＝{－1，0}．故選A.A(2)(2024·湖南邵陽三模)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合是(

)A．{x|－1≤x≤6}B．{x|x<－1}C．{x|x>6}D．{x|x<－1或x>6}解析：因為A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤6}，所以題圖中陰影部分表示的集合?U(A∪B)＝{x|x<－1或x>6}．故選D.D(3)(2024·廣東佛山二模)已知集合A＝{x|x2－x≥0}，B＝{x|x<a}，且A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．a>0 B．a≥0C．a>1 D．a≥1解析：由x2－x≥0，可得x≥1或x≤0，即A＝{x|x≥1或x≤0}，由A∪B＝R，B＝{x|x<a}，可得a≥1.故選D.D考點4集合的新定義問題【例5】大數(shù)據(jù)時代，常需要對數(shù)據(jù)庫進行檢索，檢索過程中有時會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會產生大量的數(shù)據(jù)，對內存、計算資源都會產生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個集合A和B，用A中元素為第一元素，B中元素為第二元素構成有序對，所有這樣的有序對組成的集合叫做A與B的笛卡爾積，又稱直積，記為A×B，即A×B＝{(x，y)|x∈A且y∈B}．關于任意非空集合M，N，T，下列說法一定正確的是(

)A．M×N＝N×MB．(M×N)×T＝M×(N×T)C．M×(N∪T)(M×N)∪(M×T)D．M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)D【解析】對于A，若M＝{1}，N＝{1，2}，則M×N＝{(1，1)，(1，2)}，N×M＝{(1，1)，(2，1)}，M×N≠N×M，A錯誤；對于B，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，則M×N＝{(1，2)}，(M×N)×T＝{((1，2)，3)}，而M×(N×T)＝{(1，(2，3))}，(M×N)×T≠M×(N×T)，B錯誤；對于C，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，則M×(N∪T)＝{(1，2)，(1，3)}，M×N＝{(1，2)}，M×T＝{(1，3)}，M×(N∪T)＝(M×N)∪(M×T)，C錯誤；對于D，任取元素(x，y)∈M×(N∩T)，則x∈M且y∈N∩T，則y∈N且y∈T，于是(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T，即(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，反之若任取元素(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，則(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T，因此x∈M，y∈N且y∈T，即x∈M且y∈N∩T，所以(x，y)∈M×(N∩T)，即M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)，D正確．故選D.規(guī)律總結解決以集合為背景的新定義問題的關鍵(1)緊扣新定義：首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程中，這是破解新定義集合問題的關鍵所在．(2)用好集合的性質：解題時要善于從題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合的性質．【對點訓練4】

(2024·浙江紹興模擬)對于集合A，B，定義A\B＝{x|x∈A且x?B}，則對于集合A＝{x|x＝6n＋5，n∈N}，B＝{y|y＝3m＋7，m∈N}，C＝{x|x∈A________B且x<1000}，以下說法正確的是(

)A．若在橫線上填入“∩”，則C的真子集有(212－1)個B．若在橫線上填入“∪”，則C中元素個數(shù)大于250C．若在橫線上填入“\”，則C的非空真子集有(2153－2)個D．若在橫線上填入“∪?N”，則?NC中元素個數(shù)為13B高考創(chuàng)新方向創(chuàng)新考法創(chuàng)新解讀本題難度低，計算量小，但是考查形式與常見的集合考查形式不一樣，學生很容易陷入思維定式，不能深刻理解本題為對元素與集合關系的考查，導致無法作答，復習過程中應從各種角度加強對基礎概念的理解．課時作業(yè)1第分部三1．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4<0}，則?U(A∪B)＝(

)A．{0，1，3，4} B．{1，2，3}C．{0，4} D．{0}解析：因為集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4<0}＝{2，3}，所以A∪B＝{1，2，3}，又集合U＝{0，1，2，3，4}，所以?U(A∪B)＝{0，4}．故選C.C2．（5分）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1?A}，則集合B中所有元素之和為(

)A．0 B．1CC4．（5分）已知集合A＝{1，－1}，B＝{1，0，－1}，則集合C＝{a－b|a∈A，b∈B}中元素的個數(shù)為(

)A．2 B．3C．4 D．5解析：當a＝1時，b＝1，0，－1，則a－b＝0，1，2；當a＝－1時，b＝1，0，－1，則a－b＝－2，－1，0.所以集合C＝{a－b|a∈A，b∈B}＝{－2，－1，0，1，2}，所以元素的個數(shù)為5.故選D.D5．（5分）（2024·廣東廣州三模）已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|3<x<5}，則{x|4≤x<5}＝(

)A．A∩(?RB) B．?R(A∩B)C．(?RA)∪B D．(?RA)∩B解析：由題得A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|3<x<5}，A∩B＝{x|3<x<4}，?RA＝{x|x≥4或x≤－3}，?RB＝{x|x≥5或x≤3}，所以A∩(?RB)＝{x|－3<x≤3}，故A錯誤；?R(A∩B)＝{x|x≥4或x≤3}，故B錯誤；(?RA)∪B＝{x|x≤－3或x>3}，故C錯誤；(?RA)∩B＝{x|4≤x<5}，故D正確．故選D.D6．（5分）（2024·河北邢臺二模）已知集合A＝{－7，－3，－1，2}，B＝{x|a<x<a＋3}，若A∩B中有2個元素，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－4，－3) B．[－4，－3]C．(－4，0] D．[－7，－3)解析：一方面，若A∩B中有2個元素x，y(x<y)，則由x，y∈B＝(a，a＋3)知y－x<a＋3－a＝3.由x，y∈A＝{－7，－3，－1，2}，結合0<y－x<3，知x，y只可能分別是－3，－1.所以a<－3，－1<a＋3，得－4<a<－3.另一方面，若－4<a<－3，則a<－3<－1<a＋3，所以A∩B有2個元素－3，－1.綜上，a的取值范圍是(－4，－3).故選A.A7．（6分）（多選）已知非空集合M，N，P均為R的真子集，且M

N

P，則(

)A．M∪P＝M B．N

(P∩M)C．?RP

?RN D．M∩(?RN)＝?解析：由題意知M

N

P，對于A，可知M∪P＝P，故A錯誤；對于B，因為P∩M＝M，所以P∩M為N的真子集，故B錯誤；對于C，可知?RP為?RN的真子集，故C正確；對于D，因為?RN為?RM的真子集，且M∩(?RM)＝?，所以M∩(?RN)＝?，故D正確．故選CD.CD8．（6分）（多選）（2024·云南曲靖二模）已知集合S，T，定義ST＝{xy|x∈S，y∈T}，則下列命題正確的是(

)A．若S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，則ST與TS的全部元素之和等于3874B．若S＝{2021}，R表示實數(shù)集，R＋表示正實數(shù)集，則SR＝R＋C．若S＝{2024}，R表示實數(shù)集，則RS＝RD．若S＝{2049}，R＋表示正實數(shù)集，函數(shù)f(x)＝log2024x，x∈(R＋)S，則2049屬于函數(shù)f(x)的值域BD解析：對于A，因為S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，根據(jù)所給定義可得TS＝{0，1}，ST＝{1，1921，1949}，則ST與TS的全部元素之和等于3872，故A錯誤；對于B，SR＝{y|y＝2021x，x∈R}＝R＋，故B正確；對于C，RS＝{y|y＝x2024，x∈R}，表示冪函數(shù)y＝x2024(x∈R)的值域，可知冪函數(shù)y＝x2024(x∈R)的值域為[0，＋∞），即RS＝[0，＋∞），故C錯誤；對于D，因為x∈(R＋)S＝{x|x＝t2049，t>0}，當t＝2024時，則x＝20242049，可得f(20242049)＝log202420242049＝2049，故D正確．故選BD.9．（5分）（2024·江西九江三模）若集合A＝{x|log3(x－1)<1}，B＝{x|1≤x<2}，則A∩(?RB)＝

．解析：∵log3(x－1)<1，∴0<x－1<3，1<x<4，∴A＝{x|1<x<4}．又?RB＝{x|x<1或x≥2}，故A∩(?RB)＝{x|2≤x<4}．{x|2≤x<4}10．（5分）（2024·山東日照二模）設m∈R，i為虛數(shù)單位．若集合A＝{1，2m＋(m－1)i}，B＝{0，1，2}，且A?B，則m＝

．1(1)當a＝2時，求A∪B和A∩B；(2)若A∪B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．12．（16分）已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{x|(x－3)(x－5)<0}．(1)求A∪B，?R(A∩B)；解：A＝{x|x≥2}，B＝{x|3<x<5}，所以A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3<x<5}，所以?R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}．(2)定義M－N＝{x|x∈M且x?N}，求A－B.解：因為M－N＝{x|x∈M且x?N}，A＝{x|x≥2}，B＝{x|3<x<5}，A