第3章二次根式3.3二次根式的加法和減法第2課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算1.【學(xué)科特色·易錯(cuò)題】下列計(jì)算正確的是

()A.2

+3

=5

B.2

×3

=6

C.5

-2

=3

D.

÷(

+

)=

+

B

二次根式的混合運(yùn)算解析

2

和3

不能合并,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;2

×3

=6

,故B選項(xiàng)正確;5

和-2

不能合并,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

÷(

+

)=

=

,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.易錯(cuò)警示注意除法沒有分配律.2.若x=3-

,則代數(shù)式x2-6x-8的值是

()A.2008

B.2007C.2006

D.2005

A

解析∵x=3-

,∴x2-6x-8=(3-

)2-6×(3-

)-8=9-6

+2025-18+6

-8=2008.故選A.3.【學(xué)科特色·多解法】(2025湖南湘潭月考)計(jì)算

×

的結(jié)果為__________.

3?

解析

【解法一】利用分配律:

×

=

×

-

×

=4

-

=3

.【解法二】按順序計(jì)算:

×

=

×

=

×

=3

.4.如圖,從一個(gè)大正方形中裁去面積為8cm2和18cm2的兩個(gè)小

正方形,則留下的陰影部分的面積為__________cm2.

24

解析陰影部分的面積為(

+

)2-8-18=(2

+3

)2-8-18=50-8-18=24(cm2).5.計(jì)算:(1)

×

.(2)

-

×

.(3)

÷

.解析

(1)

×

=

-

=4-2=2.(2)

-

×

=

+

-

=4+3-2=5.(3)

÷

=(9

+

-2

)÷4

=8

÷4

=2.6.(2025福建三明寧化期中)先化簡(jiǎn),再求值:(a-

)·(a+

)-a(a-

),其中a=

+

.解析

(a-

)(a+

)-a(a-

)=a2-3-a2+

a=

a-3,當(dāng)a=

+

時(shí),原式=

-3=5+

-3=2+

.7.【學(xué)科特色·數(shù)形結(jié)合思想】(2024湖南邵陽月考,★★☆)如

圖,點(diǎn)A,B,C,D在數(shù)軸上,其中可以近似表示

×

-

÷2

的運(yùn)算結(jié)果的點(diǎn)是

()

A.點(diǎn)A

B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C

D.點(diǎn)D

C

解析

×

-

÷2

=

-

=6-

,∵12<3<22,∴1<

<2,∴-2<-

<-1,∴4<6-

<5,∴可以近似表示6-

的點(diǎn)是C,故選C.8.(2024河北模擬,★★☆)設(shè)M=

·

,其中a=-3,b=-2,則M的值為

()A.2B.-2C.1D.-1

B

解析

M=

·

=

-

=1-

=1-|a|,當(dāng)a=-3時(shí),M=1-|-3|=-2.故選B.9.(2023山東濰坊中考,★★☆)從-

,

,

中任意選擇兩個(gè)數(shù),分別填在算式(□+○)2÷

里面的“□”與“○”中,計(jì)算該算式的結(jié)果是_________________________________.(只需

寫出一種結(jié)果)

-2??

解析若“□”是-

,“○”是

,則(-

+

)2÷

=(5-2

)÷

=

-2

;若“□”是-

,“○”是

,則(-

+

)2÷

=(8-2

)÷

=4

-2

;若“□”是

,“○”是

,則(

+

)2÷

=(9+2

)÷

=

+6.(寫出其一即可)10.(2025湖南衡陽月考,★★☆)已知x=

,y=

,求

+

和(x-1)(y-1)的值.解析∵x+y=

=

,xy=

=1,∴

+

=

=

=

=3.(x-1)(y-1)=xy-x-y+1=xy-(x+y)+1=1-

+1=2-

.11.【學(xué)科特色·類比思想】(2025湖南益陽期末,★★☆)閱讀

材料:在解決問題“已知a=

,求3a2-12a+4的值”時(shí),小紅是這樣解答的:∵a=

=

=2+

,∴a-2=

.∴(a-2)2=3,即a2-4a+4=3.∴a2-4a=-1.∴3a2-12a+4=3(a2-4a)+4=-3+4=1.請(qǐng)你根據(jù)小紅的解答過程,解決如下問題:(1)化簡(jiǎn):

.(2)若a=

,求2a2-12a+1的值.解析

(1)

=

=

=4-

.(2)∵a=

=

=

=3+

,∴(a-3)2=6,∴a2-6a+9=6,∴a2-6a=-3,∴2a2-12a+1=2(a2-6a)+1=-6+1=-5.12.【新課標(biāo)·推理能力】(2023湖南張家界中考)閱讀下面材

料:將邊長(zhǎng)分別為a,a+

,a+2

,a+3

的正方形面積分別記為S1,S2,S3,S4.則S2-S1=(a+

)2-a2=[(a+

)+a]·[(a+

)-a]=(2a+

)·

=b+2a

.例如:當(dāng)a=1,b=3時(shí),S2-S1=3+2

.根據(jù)以上材料解答下列問題:(1)當(dāng)a=1,b=3時(shí),S3-S2=_______,S4-S3=_______.(2)當(dāng)a=1,b=3時(shí),把邊長(zhǎng)為a+n

的正方形面積記作Sn+1,其中n是正整數(shù),根據(jù)(1)中的計(jì)算結(jié)果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少嗎?

并證明你的猜想.(3)當(dāng)a=1,b=3時(shí),令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,……,tn=Sn+1-Sn,且T=t1

+t2+t3+…+t50,求T的值.

解析

(1)S3-S2=(a+2

)2-(a+

)2=a2+4a

+4b-a2-2a

-b=2a

+3b,當(dāng)a=1,b=3時(shí),S3-S2=9+2

;S4-S3=(a+3

)2-(a+2

)2=a2+6a

+9b-a2-4a

-4b=2a

+5b,當(dāng)a=1,b=3時(shí),S4-S3=15+2

.故答案為9+2

;15+2

.(2)Sn+1-Sn=6n-3+2

.證明:Sn+1-Sn=(1+

n)2-[1+(n-1)

]2=[2+(2n-1)