一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題1．已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點(diǎn)，則（）A．的最小值為B．使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線C．函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)D．使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線【答案】ABD【分析】求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可判斷出A選項(xiàng)的正誤；解方程，可判斷出B選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的符號可判斷出C選項(xiàng)的正誤；設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出D選項(xiàng)的正誤.進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】令，得，令，得，則點(diǎn)、，如下圖所示：由圖象可知，，其中，令，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，A選項(xiàng)正確；，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，令，即，即，則滿足方程，所以，使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線，B選項(xiàng)正確；構(gòu)造函數(shù)，可得，函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，，則存在，使得，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，所以，函數(shù)沒有零點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，，消去得，令，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，，，則存在，使得，且.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，，，由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)在上有零點(diǎn)，即方程有解.所以，使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的最值、零點(diǎn)以及切線問題，計(jì)算量較大，屬于難題.2．已知，則下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)證明其在單調(diào)遞減，即可得即可判斷選項(xiàng)A；作出和的函數(shù)圖象可判斷選項(xiàng)B；作出，的圖象可判斷選項(xiàng)C；構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷其在上的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，令，，在單調(diào)遞減，所以，即，所以即，可得，故A正確，對于選項(xiàng)B：由圖象可得，恒成立，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：要證，令，，是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，令，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，而單調(diào)遞增，由符合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增，其函數(shù)圖象如圖所示：由圖知當(dāng)時(shí)恒成立，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：令，，，所以在單調(diào)遞減，所以，即，可得，故選項(xiàng)D不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明不等式恒成立（或能成立）一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.3．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則【答案】BD【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)即可；對于B，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理即得結(jié)論；對于C，參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最小值的情況；對于D，利用的單調(diào)性，由得到，令，由得，所以要證，即證，構(gòu)造函數(shù)即得．【詳解】A：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤．B：，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又，，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確．C：若，即，則．令，則．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故C錯(cuò)誤．D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)．∵對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則．令，則，由，得，∴，即，即，解得，，所以．故要證，需證，需證，需證．∵，則，∴證．令，，，所以在上是增函數(shù)．因?yàn)闀r(shí)，，則，所以在上是增函數(shù)．因?yàn)闀r(shí)，，則，所以，∴，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷A、B的正誤；應(yīng)用參變分離，構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值；由函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合分析法、導(dǎo)數(shù)證明D選項(xiàng)結(jié)論.4．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在上的平均變化率為B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有2個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱D．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【分析】運(yùn)用平均變化率的定義可分析A，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，可分析B選項(xiàng)，證明可分析C選項(xiàng)，先得出，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合韋達(dá)定理可分析D選項(xiàng)．【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，則在上的平均變化率為，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，，可得下表：1＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因?yàn)?，，，結(jié)合的單調(diào)性可知，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，一個(gè)解為，另一個(gè)解在上，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，則有，故C正確；對于D，，，令，可得方程，因?yàn)?，且函?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有，則因?yàn)椋?，故D正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，平均變化率，極值等問題，本題的關(guān)鍵是選項(xiàng)D，利用根與系數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，證明不等式.5．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都只有一個(gè)對稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對稱點(diǎn)為，且不等式對任意恒成立，則（）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【分析】求導(dǎo)得，故由題意得，，即，故.進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為，由于，故，進(jìn)而得，即，進(jìn)而得ABC滿足條件.【詳解】由題意可得，因?yàn)椋?，所以，解得，?因?yàn)?，所以等價(jià)于.設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），從而，故.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得，進(jìn)而將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再結(jié)合得，進(jìn)而得.考查運(yùn)算求解能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是難題.6．某同學(xué)對函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論，其中正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．對定義域中的任意實(shí)數(shù)x的值，恒有成立C．函數(shù)的圖象與x軸有無窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)的距離相等D．對任意常數(shù)，存在常數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】BD【分析】由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷選項(xiàng)A；由函數(shù)的性質(zhì)可知可得到，即，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求得最值即可判斷選項(xiàng)B；函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為且，可判斷選項(xiàng)C；求導(dǎo)分析時(shí)成立的情況，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：由A選項(xiàng)可知為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，可得到，即，可設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，交點(diǎn)與間的距離為，其余任意相鄰兩點(diǎn)的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：，可化為ex(cosx－sinx)，不等式兩邊同除以得，，當(dāng)，，，區(qū)間長度為，所以對于任意常數(shù)m>0，存在常數(shù)b>a>m，，，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D選項(xiàng)正確；故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的步驟：①寫定義域，對函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；③利用單調(diào)性判斷極值點(diǎn)，比較極值和端點(diǎn)值得到最值即可.7．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，且，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B．的值隨的增大而減小C． D．【答案】C【分析】由得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷ACD選項(xiàng)的正誤；任取、，且，設(shè)，其中；設(shè)，其中，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的基本性質(zhì)得出，可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】令，可得，構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，由圖象可得，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；任取、，且，設(shè)，其中；設(shè)，其中.由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，.由不等式的基本性質(zhì)可得，則.所以，的值隨的增大而減小，B選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題個(gè)數(shù)中，可轉(zhuǎn)化為判定有兩個(gè)實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件，并注意的單調(diào)性、奇偶性、最值的靈活應(yīng)用．另外還可作出函數(shù)的大致圖象，直觀判定曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但應(yīng)注意嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)行必要的論證．8．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的可能取值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可判斷求出.【詳解】解：∵函數(shù)，∴，①若，那么，函數(shù)只有唯一的零點(diǎn)2，不合題意；②若，那么恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；此時(shí)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，由，可得：函數(shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，∴，令的兩根為，，且，則當(dāng)，或時(shí)，，故函數(shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；即函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；③若，則，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，由得：函數(shù)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；④若，則，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；⑤若，則，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，故單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，由得：函數(shù)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上所述，的取值范圍為，故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于較難題.9．若方程和的根分別為和，，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為，，和，分別是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和的單調(diào)性與取值情況，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可解決問題.【詳解】解：由題，，和，分別是和的兩個(gè)根，即與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo).對于函數(shù)，定義域?yàn)?，，所以函?shù)在和上單調(diào)遞增，且時(shí)，；對于函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且當(dāng)，時(shí)，，時(shí)，；故作出函數(shù)，的圖像如圖所示，注意到：當(dāng)時(shí)，，由圖可知，，，從而，解得，所以選項(xiàng)AD正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，又.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查化歸轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.10．函數(shù)、，下列命題中正確的是（）.A．不等式的解集為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D．若時(shí)，總有恒成立，則【答案】AD【分析】對A，根據(jù)，得到，然后用導(dǎo)數(shù)畫出其圖象判斷；對B，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，判斷；對C，將函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩根判斷；對D，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性.【詳解】對A，因?yàn)?，，令，得，故在該區(qū)間上單調(diào)遞增；令，得，故在該區(qū)間上單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，，，故的圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，的解集為，故正確